八年级下学期期中-第24题集锦.docx

八年级下学期数学期中第24题集锦1、如图1,在平面直角坐标系中，四边形AoCB为正方形.(1)点E、尸分别在边0C、Be上,若OE=BF,ZEAF=60o,若AE=2,求EC的长；点G在线段尸C上，ZAGC=120°,求证：AG=EG+FG(2)如图2,在平面直角坐标系中，OC=3,点E、尸分别是边。C、BC上的动点，且OE=CF,AE与。尸相交于点尸.若点M为边OC的中点，点N为边BC上任意一点，2、如图1,在平面直角坐标系中，矩形AoCo的顶点A(0,2),C(23,0).(1)求点O到直线AC的距离;(2)如图2,NAOe的角平分线交AO于点&交8的延长线于点E,产为B七的中点,连接CE求NAC尸的大小;且AN=CM,则OM+ON的最(3)如图3,M,N分别是边8和对角线AC上的动点,小值二.(直接写出结果)图1图2图33、在菱形ABCO中，ZDCB=120o,E为CD上一点、.rBDE七DEcD图1图2S3(1)如图1,若NZ)AE=30°,求证：BC=2CE.(2)F为CB上一点,ZEAF=30°.如图2,连接ER求证：EA平分NOEE_DE如图3,rBF=ZFC,求二7的值.4、如图，点B（加，）为平面直角坐标系内一点，且rr,n满足九=m-6+6-m+6,过点8分别作BA_L），轴于点A,8C_Lx轴于点C.(1)求证：四边形ABCO是正方形；(2)点E(0,b)为)，轴上一点，点尸(小0)为X轴上一点.如图1,若a=2,6=4,点G为线段BE上一点，且NEG/=45°,求线段尸G的长:如图2,若+b=6,直线A尸与BE交于点H,连接C”,则CH的最小值为.5、如图1,在平面直角坐标系中，四边形ABCQ的顶点坐标分别为A(mm),B(b,0),C(c,0),D(d,)，且BO平分NA8C,且。，b,c,d,in,满足关系式Vdc+b+依-n=0.（1）判断四边形A88的形状并证明你的结论.（2）在图1中，若NA8C=60°,BO交），轴于点E点P为线段产力上一点，连接用,且点E与点B关于），轴对称，连接PE,若尸E=%,试求NAPE的度数;试求焉的值.（3）如图2,在（2）的条件下，若PE与Co交于点M,且NCME=45°,请直接写出BC+C鼠E的值6、平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标为（?，），/、满足m-8=Vn4+4n.(1)m=(2)如图1,连接AB、OC交于点D,过点。作。TLO8交X轴于点M,求点M的坐标；(3)如图2,E、尸分别为08、BC上的动点，以AE、E尸为边作矩形AEFQ,连接EQ、CQ,当EQ=2CQ时，求点Q的纵坐标.7、如图(1),四边形OBC。正方形，O,。两点的坐标分别是(0,0),(0,4).(1)直接写出点C的坐标是；(2)如图(2),点/为线段BC的中点，点E在线段08上，若NEDF=NCDF,求点E的坐标;(3)如图(3),动点£尸分别在边08,CD上，将正方形OBCD沿直线E尸折叠，使点B的对应点M始终落在边0。上(点M不与点0,。重合)，点C落在点N处，设OM=x,四边形BErC的面积为S,请求出S与X的关系式.ykDIC0B图8、如图，在回48CD中，ABBC,将AABC沿AC翻折至C,连接B'D.(1)求证：ACB'D；(2)如图,若N3=30°,Afi=6,ZAB'D=75°,则NACB=,BC=(3)如图，若AB=25,N8=30°,BC=I,AB,与边Co相交于点上，求AE的长.9、如图：正方形ABCz)边长为m,正方形DEFG边长为n以AD,QG为边作平行四边形ADGM,以，CD,OE为边作平行四边形CDEM点P,。分别是。M,CE的中点.正方形DEFG绕点D旋转.(1)求证：4MDAQAECA(2)求/5PQ的面积(用含“，的代数式表示)；(3)直接写出PQ的长度的最大值(用含加，的代数式表示).备用图弁考答案与试题解析一.解答题(共9小题)1 .【解答】(1)解：在正方形AoCB中，AB=AO,ZB=ZAOC,在ZAB尸和aAOE中，AB=AO乙B=乙AOC,BF=OEABFOE(SAS),AE=AF, ZEAF=60°, AM是等边三角形，：.EF=AE=I, ；OE=BF,BC=OC,BC-BF=OJOE,即CE=CF,，。所是等腰直角三角形，.*.EC=孝E产=芋×2=V2；证明：在AG上截取G”=FG,连接/77,ZAGF=60°, AFG”是等边三角形，：.FH=FG1NFHG=60°,AE/是等边三角形，ZAFE=60°，AF=EF,ZAFE=ZGFH=GOa，ZFE-AEFH=AGFh-NEFH,即NAFH=NEFG,在尸和中，AF=EFZ.AFH=乙EFG,FH=FG,A产所G(SAS),：,AH=GE,AG=AH+GH=EG+FG,即AG=EG+FG;(2)解：作M关于BC的对称点Q,取。4的中点H,连接PQ与Be交于点N,连接OA=OC,OA/BC,/AOC=NOCB=W3,在AAOE和AOC尸中，OA=OCA0C=乙OCB,OE=CFAOEAOCF(SAS), ZAEO=ZOFc,TOZlB3 ZOP=ZOFC=NAEO, N0AE+NAEO=90°,ZOAE+ZAOP=90o,，NAPO=90°,13：.PH=OA=TM点是OC的中点，13：.OM=MC=CQ=OC=矛90Q=的 孥；PH+PQ2HQ,：.当H、P、。三点共线时，PH+PQ=HQ=yj0H2+0Q2小，PQ的最小值为5T一|,此时，若N与N重合时，MN+PN=MN+PN=QN+PN=PQ=号一擀的值最小,二3103故答案为：一2.【解答】解：(1)如图1,作OG_LAC于点G,四边形AoCD是矩形，A(0,2),C(23,0),ZADC=90o,AD=OC=ZgCD=OA=I,AC='AD?+CD2=J(23)2+22=4,；Saadc=ACDG=ADCD,1Il-×4DG=×23×2,22DG=3, 点D到直线AC的距离是Vl(2)如图2,连接A尸、DF, NAOC的角平分线交AO于点3,交CQ的延长线于点E,NAOC=90°, ZCOE=ZAOE=ZAOC=45o, ZOCE=90°,.NE=NCOE=45°,CE=OC,：,CE=AD,NBOE=180°-NAoC=90°,工NDBE=NE=45°,：.DB=DE,TF为BE的中点,：NADF=NEDF=W/DBE=45。,EF=DF=%E,DFA.BE,：4E=4ADF,CEFADF(SAS),：.CF=AFfZCFE=ZAFD,：ZAFC=ZAFD-ZCFD=ZCFe-ZCFD=ZDFE=90o, NAb=NCA尸=45°.(3)如图3,连接0。交AC于点Q,OD=AC=4f：,QD=QC=CD=AQ=OQ=OA=I, AQCD和AQOA都是等边三角形，过CO中点R作RP_LCO,CPOD交RP于息P,连接OP、MP, ；NCRP=90°,/PCR=NCDQ=60°,CR=DR=3CD=I,JNRPC=30°,：PC=2CR=2, PR=yPC2-CR2=22-l2=3,：.P(33,1),.0P=J(33)2+I2=27,：OM+PM2OP,，当点M在OP上时，OM+PM=27,此时。M+PM的值最小，TPC=OA=LNPCM=NoAN=60°,CM=AN,:ZCM9XGMi(SAS),IPM=ON, OM+ON的最小值为26，故答案为：2夕.图3图23.【解答】（1）证明：如图LY四边形ABCo是菱形,LAD=CD=BC,AD/BC,VZDCB=120o,ZDAE=30°,ZD=180o-ZDCB=GOo,ZAED=90°,：,DE=AD=CD,：,CE=CD-DE=CD-CD=CD=聂GBC=2CE.(2)证明：如图2,在Z)C上截取Go=尸C,连接AG、FG、AC,*：AD=CD=AB=CB,ZB=ZD=60o,AOC和aABC都是等边三角形，：.AD=AC,ZD=ZACF=ZDAC=GOo,ADGACF(SAS),AG=AF,ZDAG=ZCAf,：ZFAG=NCAF+NCAG=ZBAG+ZCAG=ZDAC=GOo,VZEAF=30°,NEAG=NEA尸=30°,AE垂直平分尸G,：.EF=EG.：ZAEG=ZAEFfEA平分NoEr.解：如图3,在OC上截取Go二尸C,连接ERAG、FG、AC,由得AG=AEEF=EG,ZMG=60o,AA/G是等边三角形，：CD-GD=CBFC,：.BF=CG,；BF=2FC,：.CG=2GD,作GPLAO于点P,网2_LOC交OC的延长线于点Q,则NAPG=NGQ/=90°,设PD=m,VZDPG=90o,ZD=60o,ZDGP=30o,：.GD=IPD=Im,CG=2GD=4m,AO=CD2w÷4mGm>.,.PA=6m-m=5m,NO=NAG尸=60°,AG=GFfZ¾G=180o-ZD-ZAGD=120o-ZAGDfZGF=180o-ZAGF-ZAGD=120o-ZAGD,/.ZPAG=ZQGF,4GeGF(AAS),：.PG=QF,PA=QG=5m,AgF2=PG2=<2m)2-m2=362,：QF2+Ee=EF2,EF=EG,EQ=5m-EG,3w2+n-EG)2=EG2f解得EG=昔?，.1424146.*.DE=2?+-w=-m,CE=6m-2np-=耳根,24DETm=A=4CEMnDE的值是4.图2图14.【解答】证明：由题意得，6IO-WlNU 机=6, =6,：.B(6,6),.3A"Ly轴，3C_LX轴，ZAOC=90°, 四边形48CO是矩形，.8C=6,AB=6,BC=ABt，四边形ABCo是正方形；(2)解：连接AH交BE于息H,OF=2,OE=4,Y四边形ABCo是正方形，AB=OA=6fZBAO=ZOC=ZABC=90°,：.AE=OA-OE=2,：.AE=OF,在ABA石和aAO尸中，AB=AOZ-BAE=A0F=90%AE=OFAA0F(SAS), ZABE=ZOAFf ZABE+ZAEB=90o,ZOAF+ZAFB=90°,AF±BE,在RtZXAO尸中，AF=0F2+OA2=62+22=2T,在AAHE和AAO/中，(AHE=乙AoFkHAE=Z.OAF'：.AAHEsAOF,eAEAH=-,AFAO2AH2T=T,H=,.*.HF=AF-AH=210一=华在RlG中，NHGF=45°,HFG=45o,：,AHGF=/HFG,：HG=HF=,.FG=HF2+HG2=J(等)2+(空)2=喈：YE(O,b),F(,0),OF=a,OE=6,E=OA-OE=6-6=0,JOF=AE,在484E和4AO/中，AB=OABAE=AOFAE=OF：.BAEAOF(SAS),取AB的中点为M,连接CM交圆弧于点'，CH的最小值为C”'，在RlzC8M中，OM=3,BC=6,；.CM=yBC2+BM2=62+32=35,:CH'=CM-MH'=35-3,C”的最小值为35-3.故答案为：353.5.【解答】解：（1）四边形ABCO是菱形.证明：.,d-ac+b+w-=0.*.d-a-c+b=Ofm-w=O,*.d-a=c-bym=n,:,ADBC,AD=BC, 四边形ABCO是平行四边形，YADHBC,：,/ADB=NDBC, ：BD平分NA8C,：,ZABD=ZDBc,：NABD=NADB,：.AB=AD,，团ABCQ是菱形.(2)如图1,连接Pa过点P作PQLt轴于点Q, 四边形ABCo是菱形，AB=CB,ZABD=ZCBD, ；BP=BP,ABPCBP(SAS),.¾=PC,/APB=/CPB,'：PE=PA,PC=PE, ：PQYCE,LNCPQ=NEPQ,VZABC=60°,AZPBC=30°,.5QP=90°,ZBPQ=60o,即NBPC+NCPQ=60°,ZAPE=ZAPB+ZBPC+ZCPQ+ZEPQ=2QBPC+NCPQ)=120°如图1,连接AC交3。于点S,则AC_LBD,BD=2BS,：B(b,O),C(c,O),：.BC=c-b,ZCBS=3O°,NBSC=90°,CS=BC=(c-b)fVBS=yBC2-CS2=J(C-by)2-(c-b)2Cc-b),：.BD=3(c-b),在RtABR?中，OF=%F,BF1-OF2=OB2,：BF=-竽4在RtZXBPQ中，PQ=BP,BQ=BC+*CE=C-b+=BP1-PQ1=BQ1,-BP=(c-3b),：PF=BP-BF=寺(c-3b)-(一孥)=卓(。-b),:BF+PD=BD-PF=6Qc-b)一字(c-b)=竽(e),PFf(c-b)1.+PD=竽(j)=5(3)点E与点B关于)，轴对称，：.E(-Z?,0),/.BE=-h-h=-2b,TNCME=45°,ZDP=45o,VZBDC=30°,：.NBPE=NBDC+NDMP=340+45°=75°,:ZDCE=ZABC=60°,NBEP=180°NOCE-NCME=180°-60°-45°=75°,：.NBPE=NBEP,：.BP=BE=-2b,VZDBC=30o,PQ_Lx轴，：.PQ=BP=-b,：BQ=yjBP2-PQ2=(-2)2-(-b)2=-3由(2)知：BQ=R/，.c=(3-23)b,.BC+CE_c-b+(-b-c)_b_b125+3BC-CEcb-(bC)c(23-3)b2333图2由/4Ti有意义得:4-20,24,"=4,把=4代入6-8=/九-4+4九得:?=8,故答案为:4；8：(2),n=8,=4,：.C(8,4),四边形403C是矩形,，AO=4,80=8,AD=BD,JAB=>JAO2+BO2=45,：.BD=AB=25,*：DMYDB,：.ZBDM=ZBOA=90o,又；NDBM=NOBA,：ADBMsAOBA,tBMBD=9ABBO喘考：BM=5,.OM=BO-BM=3,：.M(3,0)：(3)如图，连接AF交EQ于点P,连接CR过点Q作QH_Ly轴于点”，交BC的延长线于G,设CE交Q/于N,四边形AE/。是矩形，：.AF=EQ,PF=PA=4F,PE=PQ=3EQ,/QAE=/AEF=/EFQ=9C,AQ=EFt工PF=WEQ,四边形AOBC是矩形，ZACB=ZOBC=ZAOB=90o,又：PF=PA,：.PC=PF=AF,：.PC=EQtLPC=PE=PQ,：NPEC=NPCE,ZPCQ=ZPQC,XVZPEC+ZECQ+ZPQC+ZPCQ=S0o,：NPEC+NPCE+NPCQ+NPQC=180°,ZPCE+ZPCe=90o,即NECQ=90°,VEQ=2CQ,：NCEQ=30°,TNE尸Q=NECQ=90°,ZCNQ=ZFNEf：lCNQsXFNE,.NCNQatNF-NEf又NCNF=NQNE,：RCNFsRQNE,：.ZQF,C=ZCEQ=30o,VZEF0=9Oo,ZEFB=GOo,NBE/=30°,VZAEF=90°,ZOAE=30o,ZGAW=60°,在RtAOE中，NoAE=30°,A0=4,/.OE=AOian30°=4×辛=竽，:BE=BOOE=8在RtZkBE产中，NBEF=30°,.B_BE_163-8,ef'Eos305-3-'.4C_crr16Q-8AQEF=,在RtAAQH中，ZQAH=GQo,ZASH=30°,44*x中=宇，.*.OH=AO+AH=4+=5±.点。的纵坐标为we.7.【解答】解：(1)Y四边形08Co是正方形，0(0,0),D(0,4),OB=BC=CD=OD=4,BCL轴，：C(4,4),故答案为：(4,4)：(2)如下图，过点尸作/G_LOE于点G,连接EE四边形OBC。是正方形，O(0,0),D(0,4),OB=BC=CD=OD=4,NC=NoBC=N800=90°,*：FGYDE,：.ZDGF=ZC=9Qo,在AOG尸和AOC/中，NDGF=Z,C=90°乙EDF=乙CDF,DF=DFDGFDCF(AAS),.GO=CD=4,GF=CF,点尸为线段BC的中点，：.BF=CF=BC=×4=2,：.GF=BF=2,在RtAEFG和RtAEFB中，(GF=BFIfiT=E尸'RtEFGRtEFB(HL),：.GE=BEf设OE=Cl(>0),则GE=BE=OB-OE=4-a,.*.DE=GZ)+GE=4+4-a=8-a,在RlZSOOE中，根据勾股定理得，0序+。2=。七2,即a2+42=(8-a)2,解得。=3,JOE=3,点E在X轴的正半轴上，AE(3,0)：(3)如下图，分别连接BM、MF.BF,TE尸是折痕，E/垂直平分BM,：ME=BE,MF=BF,设ME=5E=m,CF=n,且加>0,>0,则OE=OB-BE=4-m,DF=CD-CF=4-n,OM=X,点8的对应点M始终落在边0。上(M不与点O,。重合),：.DM=OD-OM=4-x(0<x<4),在Rl£>Mr中，根据勾股定理得，OM2+。戌=ME2,即2+(4-in)2=?2,解得W=XU',O在Rl£>M尸和RlZCBF中，BF2=BCz+CF2tTMF=BF,：,DgD卢=Bd+CF2,：,(4-x)2+(4-n)2=42+2,解得=%2-8x+168即 CF=n=x2-8x+168'YS=S四边形BEFC=*(CF+BE)BC,即S和X的关系式为：S=2-2x+8(0<x<4).8.【解答】(1)证明：Y四边形A88是平行四边形，：.AB=CD,BC=AD,ZB=ZADCt将aABC沿Ae翻折至4A8'C,：AB'=AB,B'C=BC,ZAB'C=NB,AB,=CD,B'C=AD,ZAB'C=NAz)C,在ZA8'。和aCAD中，AB,=CDAB,C=ADCfBfC=ADAB,CCAD(SAS),ZACB'=ZCAD,设A。、B'C相交于E,AE=CE,ACE是等腰三角形，即AAB'C与团488重叠部分的图形是等腰三角形;YB'C=AD,AE=CE,：.B'E=DE,:NCB'D=ZADB1,VZAEC=ZB'ED,ZACB,=ZCAD,ZADB,=ZDAC,：.B'D/AC；在平行四边形ABCO中，ZB=30o,将aABC沿AC翻折至4A6'C,ZAB,C=30°,V ZABr0=75°,ZCBf0=45°,TB'D/AC,：.ZACB'=ZCB,0=45°,V ZACB=ZACB,ZACB=45o:作AGj_8C于G,：.AG=CG,V ZB=30o,AG=3,.CG=3,BG=>AB2-AG2=1,BC=BG+CG=图2/ZB=30o,ZAB'C=30o,CG=,C=g,B,G=-C=C=,*AB,=AB=23,AG=23-苧二亭设AE=CE=X,则EG=Xtvcgg2=ce2,1、)z3V3、>、()2+(X)2=x2,22解得等，AAE=竽.9.【解答】(1)证明：四边形A8CQ,四边形。石尸G是正方形,：.AD=DC,DG=DE,NAOC=NGoE=90°, 四边形AOGM,：AM=DG,AM/DG, NMAO+NAz)G=I80°,AM=DE, ZADG+ZCDE=S0o, ZMAD=ZCDEf在AMQA和AECQ中，AM=DEMAD=乙EDC,AD=DC，AMDA冬AECD(SAS)i(2)解：如图1中，延长MD交CE于点 ：DM=CE,NADM=NDCE, ZADM+ZCDJ=90o,：,/DCE+/CDJ=90°,ZDJC=90o,设PM=Po=CQ=QE=x,QJ=y,DJ2=CD1-CJ2=DE1-EJ2t*.r?-(X+y)2=n2-(X-y)2,.*.X)j=(渥-/P),:S区PQD=xy=g("J-2)；(3)解：连接NQ,MN,BM,BN.图2.四边形CZ)EN是平行四边形，CQ=EQ,.Q,Q,N共线，DQ=QN,：DP=PM,：.PQ=,.tDECN,:NDCN+NCDE=180°,VZADC=ZGDE=90o,ZADG+ZCDE=180°,/.ZADG=NoCMVZBA=360o-90o-NM4。=360°-90o-(180o-ZADG)=90o+ZADG=90o+ZDCN=ZBCN,YCN=DE=DG=AM,AB=BC/.BAM八BCN(SAS),：.BM=BN,ZABM=ZCBn,NMBN=NABC=90°,:MN=立BN,VBC=ZM,CN=DE=n,：BNWBC+CN=m+n,8N的最大值为?+，1MN的最大值为(加+)，.2,PQ的最大值为(n+n).