函数压轴题型专题5函数嵌套问题.docx

题型5函数嵌套1 .已知函数/(x)=(2-l)e1设关于X的方程/(幻何")=°(mR)有个不同的实数解，则的所e有可能的值为()A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6【解析】解：fx)=ex(2x-)+)+(x2-X-)ex=ex(x2+x-2),.当尤<-2或x>l时，,(x)>0,当一2VXVl时，,(x)<O,.(x)在(-oo,-2)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，在(1,心)上单调递增，/(x)的极大值为/(-2)=W,/(x)的极小值为/(1)=-e.C作出/(x)的函数图象如图所示：f2(x)-mf(x)=-(w?),f2(x)-mf(x)-=0fee=w2+>0,e令/(x)=r则，则秘2=*.不妨设乙<0VG，e(1)若fv-e,则0<r,<?,此时/(x)=q无解，/Cr)=/2有三解；C(2)若e,则/,=?,此时/(x)=4有一解，/(x)=j有两解；e(3)若一ev%v,则%>身，此时/(x)=4有两解，/(x)=%有一解；一e综上，尸(K)-加以幻=2有三个不同的实数解.e实数？的取值范围为()+m-l=O恰好有4个不相等的实数根,B.(0,吟)【解析】解：化简可得/(x) = 立x.0e殳x<0X7当QO时，,.0,当0<x<；时，,(x)>0,当x>g时，,(x)<0,1_当x<0时，八幻=2日2故当X=g时，函数/(X)有极大值cx>f-xx-l+2x<0,/(x)为减函数,作出函数/(x)对应的图象如图：函数/(x)在。+)上有一个最大值为/(1)=浮设t=f(x),当C叵时，方程=f(x)有1个解,2e当，=叵时，方程/=Cv)有2个解,2e当0<f<江时，方程，=/*)有3个解，2e当f=0时，方程f=(x)有1个解，当，<0时，方程m=(x)有0个解，则方程/2(1)-呵'(x)+w-l=O等价为t2-mt+m-=0,等价为方程/一向+小一1=。-1*一(用一1)=0有两个不同的根，=1,或，=2-1,当，=1时，方程f=(x)有1个解，要使关于X的方程尸(X)-?f(x)+7-I=O恰好有4个不相等的实数根,则r=加一1(0,咚?)，即0<加一1<叵，Ml<n<-+1,2eIeD则机的取值范围是(1,)A. (-4,-2)B. (-4,-22)C. (-3,-2)D. (3, 25/2)【解析】解：令/(x)=r,则方程2()+v()+2=0=方程/+6+2=0.IvTx>0如图是函数/(3)=/,的图象，根据图象可得:-X2x+l,用，0方程尸(外+妙+2=o有8个相异实根O方程/+加+2=0.有两个不等实数解0，t2且6,2(1,2).可得a=2-8>0l2+M+2>022+2h+2>0=>-3<<-22.4.已知函数f(x)=-X2+2x,>O-w(x+l),x<O的方程2()-2tXx)+-l=0(wR)有四个相异的实数根，则的取值范围是()A. (-,O)B.1,+00)C.(-,0)J2,+00)D.(-00,0)51,+8)【解析】解：函数/(x)=1-r+2x,">°的图象如图：-ln(x+x<0方程，2*)-24(幻+-1=03£穴)有四个相异的实数根，必须f(x)由两个解，一个/(x)>l,一个/(%)w(0,1),或者f(x)t(0,1),另一个F(XK0,2(x)-2afM÷a-l=0(a?),可得fM=a±2-a+l,当白>l时，67+2-+1>1,-a2-a+l(O,I).满足题意.当=l时，a+ja2a+=2,aya2-a+=0,不满足题意.考察选项可知，。正确；故选：O.3x-3,;,O5.InX+1X,x>0,若关于X的方程尸(幻一炉(幻一1=0恰好有6个不相等的实根，则实数m的取值范围是()A.(2,+1)ec(-；，钟)2e+eB.(-2,0)50,-+1)d(-P°)5。,黑)【解析】解：当芭,0时,/(x)=3x-x3,则,(x)=3-3x2=3(1-X)(I+x),令/'(%)=。得：Jv=-I,.当x(o,T)时，,(x)<0,/(X)单调递减：当Xt(T,0)时，,(x)>0,f(x)单调递增，JL/(-1)=-2,/(0)=0,当x>0时，/(幻=±+蛆里，则/(X)=Iz土+4，显然/'(1)=0,exXexJr，当XW(0,1)时，,(x)>0,/")单调递增；当Xea,+co)时，V)<0,/(x)单调递减，且/(1)=-+1,e故函数/*)的大致图象如图所示：，令f=/(x),则关于X的方程尸(x)-inf(x)-1=0化为关于f的方程户一""一1=0,=2+4>。，.方程一""一1二0有两个不相等的实根，设为人t2t由韦达定理得：1+z2=/W,l2=1<0,不妨设4>0,2<0,关于X的方程/2")一时(X)T=O恰好有6个不相等的实根，二由函数f(x)的图象可知：Ov%vl+,，-2<r2<0,设g(f)=尸一皿一1 ,则,g(-2)>0 g(0)<0d + -)>032+1解得：VmVF2e +e*=O有五个不同实根，则m的值是()【解析】解：画出函数/(x)的图象，如图所示:当/()=l时，有三个根，把/(X)=I代入方程/2(%)-(加+l)/(x)+2，/=O得，l-(m+l)+2m2=0,解得：机二0或L,2当?=0时，方程/2(工)一(加+)/*)+2/=0为/2(幻一/(©=0,所以*)=o或1,所以有五个根，1a11当W=时，方程/2()T6+i)()+2=0为尸(幻一1)+:=0,所以w=或方，所以有7个根，舍去，综上所求，M=O时，方程尸(x)-(m+l)/(x)+2?2=o有五个不同实根，故选：C.7 .已知函数/(%)=x+2)x,0,方程产。)_h(X)=O(其中q(0,2)的实根个数为，所有这些实根x-2,x>0的和为q,则、q的值分别为()A.6,4B,4,6C.4,OD.6,O【解析】解：f2(x)-af(x)=0t：./(x)=O,f(x)-a.作出f(x)的函数图象如图所示：由图象可知/(幻=0有两解，/(x)="有四解.:.p=6.由图象可知/(幻=0的两解为x=-2,x=2t/(x)=的四个解中，较小的两个关于直线X=-2对称，较大的两个关于直线x=2对称,.'.(7=0.故选：O.8 .已知函数g(x)=(x+l)”(x+l)的图象在点(/-1,g(-1)处的切线与直线x+6y+1=0垂直(e=2.71828是自然对数的底数)，函数/(x)满足4。)+以工-1)一=。，若关于X的方程f2(x)-bf(x)+c=O(htcR,且c<0)在区间Le上恰有3个不同的实数解，则实数b的取值范围是(e)A.(1,+2B-+2,e2-2eeC.e2-2,-+e2D.(2，+四ee【解析】解：函数g(x)=(x+l)加(X+1)的导数为g<x)=4(x+l)+a,可得g(x)图象在点(e?-1,g(e2-1)处的切线斜率为3。,由切线与直线x+6y+1=0垂直，可得3a=6,解得=2,g()=2(x+1)(x+1),(x)+(x-1)-3=0,可得f(x)=x2-24X,导数为r(x)=2x二=2(XT)U+1),XX当x>l时，,(x)>0,F(X)递增：当OVXVl时，,(x)<0,/(X)递减.即有X=I处/(x)取得最小值1.则/")在Le的图象如右：e若关于X的方程2()-/()+c=0S,ceRf且c<0)在区间已起上恰有3个不同的实数解，e可令，=/(%),则产一切+c=o,(1)可得1的范围是1,/一2,方程(1)判别式为从一4c>0,必有两不同的实数解,设为乙，t2,l+r2=b,可得4=1,1<%2+=,e即l<b-L,2+-V,e解得2<氏3+4,e又2+丁V%,e2-2,1</2»»2+,则3H7<+12=氏/+-y,ee由求并可得2e2+rte故选：O.9.已知函数/()=二，x(-l,+oo)x+1若关于X的方程/2（的+川/（幻|+26+ 3 = 0有三个不同的实数解,则小的取值范围是（）4D. 0)【解析】解：/(x) = l + , y=(x), Xe(T,+co)的图象如下:x + 1设Ifa)I=f，则If(X)F+m"(x)+2m+3=0有三个不同的实数解，即为/+m+2zw+3=。有两个根,QQ3F=O时，代入/+/川+2川+3=0得加二一一,即一一1=0,另一根为一只有一个交点，舍去222一个在(0,1)上，一个在1,+oo)上时，设h(t)=t2+mt+2m+33解得一三 V町,2(0)=2rn+3>0(l)=1+2m+30故选：C.210.已知函数/*)=£,若关于X的方程"(x)f+W(x)+m-I=O恰有3个不同的实数解，则实数？的取ex值范围是()1 44A.(0,2)B.(1,2)C.1-,1D(1y,l)eee-【解析】解：函数/a)=上的导数为/“)=与工，exex当OVXV2时，r(x)>0,/(x)递增；当刀>2或XVO时，f,(x)<O,f(x)递减，可得/(x)在=0处取得极小值0,在x=2处取得极大值三<1,作出y=/()的图象，设t=/(),关于JV的方程2(x)+mf(x)+zw-l=O,即为产+，川+加一1=0,解得f=-l或r=l-w,当T=T时，/()=T无实根；4由题意可得当f=l-mw(O,S),e4解得17=?或m=1,e4所以7(17,1)故选：D.11.已知函数/(X)=二T,若关于X的方程"(X)F+何()+*l=O恰有3个不同的实数解，则实数机的取值集合是()A.(-co,2)D(2,+oo)B.(2-,+00)C.(2,2)e【解析】解：由题意r(x)=±M.,(x)=-=o,解得X=1；exex且%>1时，fx)<O,XVl时，z(x)>0,所以/(幻在(-oo,l)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,在X=I处取极大值=1一1.假设m=2,则/+2f+=o.解得f=,即/(X)=-I.根据/(x)图象，很明显此时只有一个解，故帆=2不符合题意，由此排除8选项：假设m=3,则产+3/+2=0,解得4=2,t2=-1.即/(力=一2,或f(x)=T根据/(X)图象，很明显此时方程只有两个解,故帆二3不符合题意，由此排除A选项.假设帆=2_2时，则/+(2_1»+1_1=0,解得r2=-leeee即U)=-l(x)=l-l,根据/(x)的图象，很明显此时方程只有两个根,故"2二2-,不符合题意，由此排除。e故选：C.12.已知函数/(x)=*+l,g(x)=个)1,0且8(1)=0则关于X的方程g(g(n=o实x-2x+a,x>0根个数的判断正确的是()A.当，<一2时，方程g(g(x)-f)-l=O没有相异实根B.当一l+,<f<0或f=-2时，方程g(g(x)-f)-l=O有1个相异实根eC.D.当l<f<l+g时，方程g(g(x)T)-l=0有2个相异实根当T<f<T+J或Ovf,1或f=l+1时，方程g(g(x)-f)-l=O有4个相异实根ee【解析】解：当x,0时，f()=+l=+l=-ex+,因为g(1)=0,所以1-2+。=0,所以g(x)=-xex+1,天,0X2-2x+l,x>0>图象如图所示:当K,0时，-x.0,e'>0,则-x/+1.1,当且仅当X=O时等号成立，g()在(-oo,-l)上是增加的，在(-1,0)上是减少的：当x>0时，/(x)在(0,1)上是减少的，在(l,+)上是增加的,故g(x).g(-I)=O恒成立.故g(x)在(YO,-1)上是增加的，在上是减少的，在(1,+oo)上是增加的.令m=g(x)-Z,则g(m)-l=0,解得：M=O或m=2,当机二O即g(x)-f=O时，gM=t,当f<-2时，g(x)<-2f无解，当，九二2即g(x)-f=2时，g(%)=2+r,当，<一2时，g(x)<O,无解，故方程g(g(x)-l=O没有相异实根，故A正确；当f=-2时，由A可知：g(x)=O,解得X=1,当一1+!</<0时，2+r(l+f,2),ee由上可知/(幻在X=T时取得极大值为g(-l)=l+-,e结合图象可知，此时y=2+1与g(x)有且仅有一个交点，故8正确：当l<f<l+,时，g(x)=f或g(x)=2+f,e若g(x)=f,结合图象可知g(x)与y=，有三个不同的交点，若g(x)=2+z,2+r(3,3+-),e此时g(x)与y=z有一个交点，故方程g(g(x)-l=0有4个相异实根，故C错误；当T<rv-"时，g(x)=2+r(l,"),ee由C可知此时有三个不等实根，当OVhl时，g(x)=f或g(x)=2+f,当g(x)=f时，由图可知有两个不等实根,当g(x)=2+z时，由图可知有一个实根，当Z=I+-时，以4)=，或8(%)=2+1,e当g()=f时，由图可知有两个不等实根，当g(x)=2+/时，由图可知有一个实根，故此时方程g(g(x)-f)-I=O共有9个不等实根,故O错误.lnx,x.13.已知函数/(x)=x,则函数g(x)=(X)+1)的零点是若力(X)=/(/(x)+l)+m有两个1，x<l2零点x1,x2,则+期的最小值是.Inx,x.1【解析】解：g()=(x)+l),f(X)=tX,1,x<l2当无.1时，加r.0,/(x)÷l.l,则/(/。)+1)二历(MX+1),当XVl时，l-1+l>l,W(+D=w(2-1).lnlnx+1),x.lg(x)=f(x)+l)=cx、,z(2),x<1f1k<i令g(x)=O,则，'或，X,w(7x+l)=0(2-)=0解得X=L故函数g(x)=f(x)+1)的零点是1;由上可知，/(/U)+1)=/(x)+1),(X)=/(/(X)+1)+机有两个零点%,X2»即/(/(x)+1)=Tn有两根，也就是/(x)+l=e1/(x)=e-m-l有两根$,X2,不妨设XVX2,当x.l时，lnx,=e-m-f当x<l时，1一直="'"一1,2t=em->-,则2Inx2=t,x2=el,l-=Z,x1=2-2tf:.xl+x2=e,+2-2tf/>g,设(t)=e,+2-2tff>；,则"-2,可得当w(g,/“)时，"(f)<0,当fW(lnt,+oo)时，,(t)>O,则(t)的最小值为刈加2)=4-2加2.玉+W的最小值是42ln2.故答案为：1;4-22.lnxix.AX,若/(X)=/(/(x)+l)+m有两个零点N,占，则x/2的取值范围七”(-00,7?)【解析】解：当X.1时,fM=lnx.Of则/(x)+L.l,/(/W+1)=n(x)+1),r13当XVl时，/(x)=->-,则F(X)+1>5,'f(fM+D=n(x)+1),综上可知，尸(X)=f(f(x)+1)+w=ln(f(x)+1)+Zw,令尸(X)=0,得/(x)+l="m,依题意，/(幻="析一1有两个根N,x2,不妨设不<，当x.l时，g=e-f,当x<l时，l-=em-,令,=W1JInx2=t,x2=,l-=x1=2-2/,axlx2=(2-2f)>g,i殳g(r)=et(2-2t),t；，则g'(f)=-2te,<0,.g«)在d,+)上单调递减，2g(f)<g(J=五，.XW的取值范围为(-°。，G).故答案为：(7。,右).ex-7，X,215.已知函数f=e(其中e为自然对数的底数)，若关于X的方程U*)一3。"(用|+2/=0恰4x-8_,x>25x有5个相异的实根，则实数a的取值范围为JUlj.*).【解析】解：当&2时，令r)=竺=0,解得=,eA所以当以1时，,(x)>0,则/*)单调递增，当掇Ik2时，,(x)<0,则/(x)单调递减，4rR4R4当x>2时，/(幻="三=2一2单调递增，JL()O,-)5x55x5作出函数/(x)的图象如图：(1)当=0时，方程整理得/2(X)=0,只有2个根，不满足条件;(2)若>0,则当f(x)<O时，方程整理得2()+34(x)+2fl2=()+2"(x)+=0,则/(x)=-2<0,/(x)=-<0,此时各有1解，故当/(x)>0时，方程整理得2(x)-3af(x)+2a1=f(x)-2af(x)-a=O,/(x)=20有1解同时/(X)=。有2解，即需2=l,a=-,因为/(2)=->i,故此时满足题2eel意；或/(X)=2有2解同时/(x)="有1解，则需=0,由(1)可知不成立；或f(x)=2。有3解同时f(x)="有。解，根据图象不存在此种情况，2->124或/(x)=2有0解同时/(x)=有3解，«'b4,解得±,v-,-tya<-e5Ie5故42,)(3)若<0,显然当/(x)>0时，/(x)=24和/(x)=a均无解，当/(x)v。时，/(x)=2。和F(X)=。无解，不符合题意.综上：”的范围是gj2,1)故答案为Juf,1)q2q116.已知函数/(x)=(I+,若关于X的方程/(x)+(r)=0恰有四个不同的解，则实数的取2lnx-6xyx>0值范围是_(-2,0)_.【解析】解：已知定义在(一8,O)D(0,+)上的函数/(x)=<"+L”<°,2lnx-6x,x>0若*)+(-x)=0在定义域上有四个不同的解等价于y=3x2+1关于原点对称的函数y=-3x2÷-l与函数f(x)=2lnx-6x(x>0)的图象有两个交点，XX联立可得2加-6不+3/-g+1=0有两个解，Xa=2xlnx-6x2+3x,+x,x>0,可设g(j=2xr-62+33+x,x>O,g'(x)=3+2/Ul2x+9f,g(x)=2+18x-12.28-12=0,可得g,(x)在(0,共)递增，XVx由g'(1)=O,可得OVXVl时，g,(x)<O,g(x)递减；x>l时，g,(x)>O,g(x)递增,即g(x)在X=I处取得极小值且为-2,作出y=g(x)的图象，可得一2v<0时，2nr-6x+3-且+1=0有两个解,X故答案为：(一2,0).r4-1rO,',若关于X的方程2()-4(x)=0恰有5个不同的实数解，则"的取x-2x+l,x>0值范围是_(0,1)f2W-af(x)=/(x)(x)-a)=0,/./(x)=O/(X)=a;/(x)=O有两个不同的解，故/(x)=a有三个不同的解，故w(0,1):故答案为：(0,1).18 .已知函数/(x)=%x-l-3x+3.(1)求函数f(x)的零点；(2)若关于X的方程尸")一*)+=0(加、"R)恰有5个不同的实数解，求实数小的取值范围.【解析】解:(1)由题得f。) = XIX-Il-3x+3 =x 2x + 3, (x < 1) X2 -4x + 3,(x.l)当x<l时，令/(x)=0,得=-3或x=l(舍)；当X.时，令/(x)=0,得X=I或=3,.函数f(x)的零点是一3,1,3；(2)作出函数/(x)=xx-1|3工+3=1-2"+3,(”<1)的大致图象，如图：X-4x÷3,(x.J)令/=(x),若关于X的方程U*)一时(幻+=0恰有5个不同的实数解,解法一：则函数g(z)=产-+的零点分布情况如下:g(T)=0l+n+=0当4=T,Ge(T，4)时,则-g(4)>0,得,16-4m+>0,故？(-2,3)-1<-<4,m-1<<42a25(4)=016-4i+=0当4=4,”(T，4)时,Mg(T)>0,得1+w+n>0,故(3,8).btn-1<<4-1<<42a2综上所述，实数机的取值范围为m(-2,3)D(3,8):解法二：则方程J=O的根的情况如下：当f=T,t2(-l,4),由G=T得l+n+九=0,则方程产一加一(m+D=o,即”+-D=0,故J=m+1e(-1,4),所以7(-2,3);当=4,t2(-1,4)0t»由I】=4得164/%+=0,则方程一""+4(加-4)=0,即(E4)(/一根+4)=0,故G=zw-4(T,4),所以n(3,8).综上所述，实数6的取值范围为m(-2,3)U(3,8).19 .已知函数/(%)=而(%-看)一28§29+1/£/?.(1)求函数/")的最小正周期及单调递增区间；(2)若关于X的方程4/(力一时(X)+1=0在xw(*4)内有实数解，求实数Wi的取值范围.【解析】解：(1)f(x)=sin(-X-)-2cos2x+1=sin-.cos-cossin-cos-x=-sinx-cos-x=-J3sin(-x-).(3分)46846464242443.函数/(x)的最小正周期为8.(4分)4>2k-x-2k+-,ArZ,求得8攵一2副c8Z+W,kez,故函数的单调递增区间为2432332108-,8+y,keZ(6分)(2)设/=(x),x(,4),.x-(0,-),.(x)(0,3,3433.方程45一加+1=0在/£(0,6内有实数解，即当，£(0,6时方程有实数解.(10分),4f+L.4当且仅当T=,时取等号，."7.4,(8分)故实数m的取值范围是4,+oo).(12分)t220 .已知函数g(x)对一切实数X,yeR都有g(x+y)-g(y)=x(x+2y-2)成立，且g(1)=0,h(x)=g(x+)+bx+c(b1c?),f(x)=.X(I)求g(0)的值和g(x)的解析式；(II)记函数力(X)在-1,1上的最大值为M,最小值为?.若M-办,4,当6>0时，求b的最大值；(III)若关于X的方程/(|2、-1|)+-3攵=0有三个不同的实数解，求实数女的取值范围.12-11【解析】解：(I)令X=1,y=0得g(1)-g(0)=-l,g(1)=0,.g(0)=l,令y=0得g(x)-g(0)=Mx-2),即g(x)=V-2x+l.(II)(x)=+)+bx+c=x2+bx+c.当一2<,即b>2时，M-m=h(1)-h(-l)=2b>4,与题设矛盾2当一L,-2<ob寸，即0<”,2时，M-m=h(1)一/?(一2)=(2+if”4恒成立,222综上可知当0<b,2时，b的最大值为2.(3)当X=O时，2'-1=0则X=O不是方程的根，方程)(|2*-1|)+|2：“一3%=0可化为:2x-l2-(2÷3)2r-l+(l÷2)=0,2r-l0,令2*-l=f,则方程化为2-(2+3)r+(l+2)=0,(r>0),方程/(2'-1)+P134-1=0有三个不同的实数解,.由V2*-l的图象知,r2-(2+3)r+(l+2)=0,(r>0),有两个根乙、t2f且OVflVlVG或OVfJV1,G=I.W己h(t)=t2-(2+3k)t+(1+2k),(0)=2Z:+1>0(1)=-<O(0)=2+l>0力(I)=-A=O,此时左无解,3&+2.0<<12综上实数&的取值范围是(0,T8).