北京大学2014年高等代数与解析几何考研真题及解答.docx
北京大学2014年高等代数与解析几何试题及解答北京大学2014年全国硕士研究生招生考试高代解几试题及解答微信公众号：数学十五少2019.04.192013L-/（三）«=11(x-02+20Mj(Z)在QM内可约叫？说明理由.I-I2 .设/.N都是n阶矩阵.n2.如果MNMN为零矩阵，那么NMNM是否也一定是零矩阵?说明理由.3 .除单位矩阵,是否有别的n阶Hermit矩阵M满足4ft+23+M=IEn!说明理由.-I.U是”维线性空间.线性变换A的以小多项式的次数是“.证明(1)存在向依大使得.Aa，.-l½V的组燧；(2)任何与A可交换的线性变换可表小为A的多项式.5 .V是所行n阶乂矩降纲成的段性空间.求证MN-NM,TV为V的空间,并求这个空间的维数.6 .对于欧式空间V中对称找性变换,若VC匕那行(c,4M)()成工并且当且仅当C=O时等号成立,则称4为“正的”.证明(1)若线性变换A是正的,WM可逆;(2)若线性变换6是正的,一6他正的，l-AI是正的;(3)对正的线性变换A总存在正的线性变换BJCMA=积.7 .求的叶双曲面，+，f=1的相垂比的火母线的交点的轨迹.工J-5肝8 .保型变换yl=J5-Iy可以希作绕小动曲线旋转一个他度&而得到.，122.*L-j5IJL*.(I)求不动r(线的方向向战：(2)求旋转角0.9 .点A(al,a2,ai),8®也&)隹在线-竽-:上的投影点为Ai，Bi.求Ai,Bi的坐标以及两点间的距离.(原越l如0。皆为八体数字，现己记不清,用字母代竹之)的形式,则命题得证.最后需要说明的命题可以通过对阶数做数学归纳法来证明.详细证明可以参考+博芳与石生明编的北大第四版高等代数辅导与习题解答第412页题34.注此题包含了王粤芳与石生明修if的北大第四版高等代数总习题中的第32,33,34题，页码为424.425.6.设门,”£”为V的一维标准IE交基，并且4(门,£2.,或)=(4,C,.,M)A由于4是对称的,从而A是对称矩阵.对于VaV,可设C=HIEl+¾c+W.=(f,cn)x,从而(,4)=xAx.由A是iE的可以得到A是正定矩阵.反之，若一个线性变换在任前:标准正交基卜的融降为正定矩阵,则该性变换为正的.(1)IE定矩阵A是可逆矩阵,从而线性变换A可电(2)设B在标准正交基eue2q卜的矩阵为B,因为A是正定矩阵，于是存在实可逆矩阵P使的PAP=E.此时PTBP是正定矩阵,故存在正交矩阵Q,使得QPDPQ=<lmgA1,2,.A,t,%>OJ=1,2,.n.又(PQ)TA(PQ)=QTEQ=E、故A-S合同于diagl-,l-A2.，1-(M.因为A-B正定.故OVl<IJ=1,2.，n.注意到("Q)IoT(PQ)-,)T=<liaRll,1/A2.，l,(尸Q)TAT(PQ)T)T=£故B-A-l合同于diagl-l,l2-1ln-1,结合l1-1>0,i=1,2,，n.知B-1-A1正定,从而Bl-A-l是正的.(3)在在正交矩阵U使得UAU=dingA1.A2.，Am=dingvg,，=D2,于是A=UDU1UDirr(UDlT)2,而且UDUT为正定矩阵.从而存在正的线性变换b.使得<=*7.因为小叶双曲曲同族的直母线异曲，所以两条龙拽要力直相交只僚是异族式母线.设两条面线的方程分别为v1(打3"G+Diu4(!-§叼G+5于是两条在线的方向向最分别为(-4安1),(一,也V£1).两条直beacabJbeacab/线的交点为"“心+，小炉3,J"2-W2).山W线.也故ai(v-m)(«2-Vj)46久“”Wi%+e2(u+.=0.综合上而的结果可以得到：交点满足方程；,则E-=(A-1)(A2-A÷1),因为特征的=1对应的个特征向Ift为nc",故不动力线的力响向瞅为kM(“ × rj) (ft × n)|(« × n)(6 X n).k # 0.闪为该变换将«注原的中矩阵的JI体数字不清也打中的矩阵是我造的.相反的何题见丘锥兴老新的解析几何第：版第143页第7tt.9.设Ai的坐标为(2f-,2-6,3f),M(2t-a-«,2f-b-a2,3t-3)(2.2.3)-0f2+2b+"+2<+,“由此可以行到小的坐标,类似地得到BI的坐标Jd后就可弹出l,).1./(x)(£Q(x)内不可约.若/(T)在明中可约,则它能分解为两个次数都大于1的整系数多项式的乘枳,设为/(工)=g()WM,于是g(k)h(k)=2014,k=1.22013.g(k),h(k)应当全是正整数或者全是负整数.否则与/(0无实Ift矛盾.我们可以假设g（八）d(*)全是正整数，因为如果不是这样，可以通过把g(E),h(c)都乘以-1得到.又2014=2X19X53.因此将2014表小为两个正整数的乘枳只育8种不同的表小方法.由抽加憔理知.在gk)的8个可能取值中至少有一个出现的次数大于等于华>251.设这个数为L则有(X-,)(x-a2).(x-u2s2)g(x)-/.其中nl,a2，a2为1.2.2013中互不相同的数.因为g(a?)-1-0,于是36W12.,2013.使得g(b)-/0.此时有(6-at)(6-aa).(fe-OMa)Ig®而Ige)-IlV2014,Ie-al)(b-a2).(b-a22)(126!)2>2014,矛盾.注上述证明的灵播来自道经典的题目：设。1.2,"“是个互不相同的整数.证明/(Z)=立/一“,)2+1在QIxJ中不可为.NMNM不一定为0.当MNMN=O时,定仃NMNMNM=O.嘤使NMNM0,则M先假O1O1OOO1O设NM=OO1.为了使NM为前面那个矩阵,可取N=O1O,A/=OO1,此时将有OOOOOOOOOOMN OO1OOO.MNMN»0.OO命题不成史的根本原因足矩阵乘法不淌足交换律.按照上述解题思路,我们可以举出&NNNMNM*O的例子,对矩阵个数更多的情况也可以举出相应的例子.3.不存在不夷电位矩阵的Hermit矩阵涉足题中条件.(x)三4x»÷2r,+x-7=(x-l)(4x4+4x3+6ra+6+7)-(a-l)(x2(2x+I)2+&r2+6r+7)=*©(*)只有一个文根T=I.而Hormit矩阵的特征但都为实效从而特征值均为1,又因为Hennit矩阵一定可以相似对角化,从而必定为欣位矩阵.1(I)线性变换的最小多项式整除它的零化多项式，故xm-1不是A的零化多项式,从而Anl'O一3a匕使得An-la0.此时将有Aa.,Anla线性无关，结合V的维数为n,故得到V的ffi三.(2)设<6=BA,6c=0a+A>+3公令/(*)=际+瓦工+Arn.xn-l1则6(c,4>.tw-,rt)=(a.BAa,BA,-la) (Ba,ABa.,An-la) (/(4)以人/()。，.4I/6)C)(f（八）ol,/（八）Aa,./(人认"名) /(4)(。./。,.*-Ie)注此题。I：粤芳和与生明修IT的北大第四版高等代数总习题中的第35,37题类似,页码为425.5.令U=-NMIM,NV.W=4Vtr（八）=0则UUW.可注意到Eij=EhEij-EtiEthEii-Eu三EaEuEuEli1<<Jn,BPV的空间W的组准属fU.因此若U为V的将行n2-l<dindimIV-11-I.从而dimU,M-LF-说明U是V的孑空间U是非空的级分并且对数集封闭,只需再说明U中元索对加法封闭就证明了U是个子空网,乂因为U中任意两个兀米相加的结梁为个班为。的拉阵.若能说明选为O的矩阵能表小为VN-NA/"/.NwV
