导数计算电路.docx

下面介绍一种导数计算电路相关资料见：链接:https:DarLbaidU.comsIDnNJZS3ZrdBVZPIb8uODq?DWd=56kc提取码:56kc链接:https:Ddn.baidu.ComslsYAtiPTGKYOixhqGNqYWYq?DWd=84VD提取码:84ypl导数计算电路Jhttps:WWWsbTmBHfS2aRs微云文件分享:导数计算下我地址:https:SharhttDs"sSWnol5o36zv?DaSSWord=b7a4#导数计算电路访问码:b7a4推导过程参见微积概要国立中山大学学院院长何衍睿，李铭槃，苗文绥，合编,1935年版，商务印书馆出版，3.简单函数之引数m1.x之引数(其一)首设m为正整数，则依二项式定理得，mmmm-12m-2mm(x+h)-xx+mhx+m(m-l)hx2+.+h-xhh即mm(x+h)-xm-1m-2m-1=mx+m(m-l)hx/2+.+hhmmm-1mm-1当h趋近于零，(x+h)-xh之极限为mx,故X之引数为mx(其二)次设m为正分数pq,就中p,q为正整数，令p/qp/q(x+h)=X,x=A,则，p/qp/q(x+h)-xX-aX-A1hhhq-1q-2q-1X+AX+A当h趋近于零，p/qp/qppX-A(x+h)-xp-1=之极限为PX(因P为正整数).hh又X之极限为A,故q-1q-2q-lP(q-l)qX+AX+A之极限为qA=q×由是，p/qp/qP-I(x+h)-xpxpp-1hP-PqqP×mm-1而X之引数仍为mx(其三)更设m为负有理数，令m=-u,则U为正有理数。而,mm-(x+h)-X(x+h)-Xl(x+h)-lxhhh即，mm(x+h)-X(x+h)-X1hhX(x+h)当h趋近于零，mm(x+h)-XU-1之极限为HX(因口为正有理数),hu而(x+h)之极限为X,故mm-1(x+h)-X-x-l之极限为=-xh2m-1mm-1是亦mx也。综上所述，如m为有理数，则X之引数为mxm如X为无理数，则当x>0时，X为X之函数，其引数与前所得者无异，将于第5节第5目求之。X2.a之引数，兹求,x+hxxha-aa*a-1hhh于h趋近于零时极限。a之极限为1(见第一章第2节第9目)。h令a=l+a,并以Iog表e底之对数，则hloga=log(l+a)zWh=log(l+a)logaz故hXa-1Xaa*=aIogahog(l+a)当h趋近于零，则a亦趋近于零，而og(l+a)之极限为1遂知a之引数为,XaaIoga=logeaxx特端一一a=e,e之引数为e.3.ogX之引数alog(x+h)-logXaa1x+h1hIoghhaxhax令hx=a,即h=ax,则有log(x+h)-logXaa1111/a=-log(1+3)=log(l+a)hXaa×aVa当h趋近于零，a亦趋近于零，而(l+a)之极限为e,故1/alog(l+a)之极限为xa11loge=xa×loge此乃logX之引数也。特端a=e,logx之引数为Vxza4.cosx之引数cos(×+h)-cosx2sin(h2)sin(x+h2)hh以h/2替代sin(h2),则上式右边化为-Sin(X+h)，而其极限为-Sinx,故COSX之引数为-SinX5.sinx之引数sin(x+h)-sinx2sin(h2)cos(x+h2)hh以h/2替代sin(h2),则上式右边化为COSX,即是sinx之引数也。6 .tanx之引数tan(x+h)-tanx1sin(x+h)sinxhhcos(x+h)cosx1sin(x+h)cosx-sinxcos(x+h)hcosxcos(x+h)sinh1hcosxcos(x+h)2因sinh/h之极限为1,而CoS(X+h)之极限为cosx,故tan×之引数为Vcos×7 .反函数之引数，定理一一设y=f(x)与x=4>(y)互为反函数，如第一章第1节第2目所定者，又设XN为X与y之对应值，当X=X时，如函数f(x)有异于零之引数F(X)，0000如函数f(x)有异于零之引数f(×),盖因，0y=f(×L×='(y)，0000故与X以增量h,y即有增量k与之对应。00合于y+k=f(×+h),及X+h=(y+k),OO00遂得(y+k)+(y)h00kf(x+h)-f(x)00当h趋近于零时，上式右边之极限为lf'(x),而k亦同时趋近于零，以y为X之连续函数故也。由是h趋近于零时，(y+k)+(y)00=之极限力”)等于Vf,(),无论X为间隔(a,b)内之任何值,k若f(x)恒有不为零之引数f(x),则,'(y)=Vf(×),如以y'表f(x),x'表4>'(y),即可将上式书为x'=Vy'或y'=Vx'XyyXxy下列数目用本定理以求反三角函数(InVerSeTrigenomotrioFUnCtiOn)之引数。8 .arccosx之引数由y=arccosx之关系，即有X=CoSy,故x'=-siny,而，Yy'=lx'=-lsinyy今因,siny=l-cosy就中£代表±1,其号与Siny之号相同，遂得y'=此乃arccosx之引数也。上列所得之结果，可明之如次，任与X一值X,则y之对应值为2kn±z,就中k为整数，0而Z为等于arccosx之任一值，故y之引数=±z之引数，此引数视Siny之号而定。0若设y在区间2k兀,(2k+l)町内，且令X在间隔(-1,+1)内。则任与一值x,即得一值y与之对应，并以一值为限。反言之任与一值y,亦得一值X与之对应，并以一值为限。在此条件y与X互为反函数。9 .arcsinx之引数y'=V×'=lcosy=/1-siny=/1-xXyJJ就中代表±1,其号与cosy之号相同。此结果可做前目解释之。又arcsinx之引数与arccosx之引数有相同之绝对值，此刻直接证明，盖令u=arccosx,v=arcsinx,则X=COSU,x=sinv,而,cosu=sinv,即有COSU=COS(n/2-v),故，u=2k兀±(n2-v)=a±v(a表常数)，可见u'=±v'10 .arctanx之引数由y=arctanx,得x=tany而222y'=Vx'=Cosy=V(l+tany)=l(l+x)2故arctan×之引数为1/(l+×),已与X值X,则y之值为kn+z,就中k为整数。而Z表arctanx之任一值，00此各值k”+z不通过常数之差，故y之引数相同。4.函数之函数之引数设U为V之函数，其关系以UE(X)表之，又设y为U之函数，其关系则以y=6(u)表之，任与一值X,即得一值U与之对应，而此值U亦有对应之值y,故任与一值X,可得一值y与之对应,即y与X之函数,该函数名为函数之函数(FUntiOnFUnCtiOn).2.引数之求法设U对于X有引数u',而y对于U有引数y',则y对于X有引数y'=y'*u'XUXUX盖令X=X时，u=u,y=y,000而X=X+x时，u=u+u,y=y+½u0,即有000AyAyAu=(1)AxAuAx兹就X=X时u'之值(u')异于零与否，分究如次。0XX0(其一)设(u')#0,则当IAxI小于一正数a时，Au异于零，故可应用式得y'=yXUX(其二)设(u')=0,今与X以一列趋近于零之数值，即得为零或不为零之对应增量八u,X0如Au异于零，则可应用式而有式之结果。如Au等于零，则y随之为零，而八yx以零为极限。故无论在何情形，公式y'=y'*u'恒能成立XUX3.例设sety=cos3x,试求y'令u=3x,贝!jy=cosuz而y'=y'u'=-sinu*3=-3sinu=-3sin3xXUXsinx设y=a,试求y'XXusinx令SinX=U,则y=a,而y'=y'*u'=a8loga*cos×=a*loga*cosxXUX4.推广做第2目之推理可得结果如下：设u=f(×)zv=(u)zw=(v),y=g(w),且U对于X之引数为u',XV对于U之引数为V',W对于V之引数为W',UVW对于V之引数为W',y对于W之引数为y',VW则y对于X之引数为y'*w'*v'*u'WVUX例一设4/y=/arcsin(×)试求y'.令U=Xa,v=arcsinu,y=vX贝IL=yy'1 -芈11=4/半V9-xarcsin（x）（£=±1,其号与COSV之号相同）V5.u之引数V设U,V为X之函数，其引数为U',V',今求y=U对于X之引数。V v*logu由y=u,得logy=v*logu,即y=eZZ如令z=v*Iogu,则y=e»而y之引数y'=e*z'（z'表Z对于X之引数）.vlogu但z'=v'logu+v*u'u,故y'=e（v'logu_v*u'/u）即V v-1y'=uv'logu+vuu'mm-1特端如u=x,v=m（m表常数），则X之数为mx（参阅第3节第1目）。V由此可见y=u之引数为下列两引数之和：（其一）数u为常数所得之引数（参阅第3节第2目）.（其二）设v为常数所得之引数（参阅本目之特端）计算积分的Sinxcosx型积分公式由上面推论得到cos×=sinx+csin'x=cosxsinx设t=cosx,根据公式：Vv-1y'=uv'logu+vuu'所以，sinxsinxsinx-1(cos×)'=cosx*cosx*log(cosx)+sinxcosx(-sinx)(sint)'=cost*t'sinxsinxsinx-1=cos(cost)*cosx*cosx*log(cosx)+sinxcos×(-sinx)cosx(sint)'j55=5cosxsinxsinxsinx-1fCOSXQCOS(COSt)*cos×*cos×*log(cosx)+sinxcosx(-sin×)sinxsinxsinxsinx-1fCoSXQCOScos(cosx)*cosx*cos×*log(cos×)+sinxcos×(-sinx)根据莱布尼兹公式nI(n)(n)(n-i)()()(-l)n(n-l)(n-i)y=(uv)=Cuv=uv+nuv'+uv''+.1*2i=0nn(n-l).(n-i+l)(n-i)(i)(n).+UV+.+UVl*2.i所以，nInI(n)(n)(n-i)(i)y=(uv)=Cuv=Ci=0ni=0nnIsinx(n-i)sinxsinx-1(i)KCcos(cost)cos×*cos×*log(cos×)+sin×cos×(-sin×)i=0nsinxsinxsinx-1ccos(cos t)''cos x*cos×*log(cosx)+sinxcosx(-sinx)i=03由上面推论得到fsinx=-cosx+ccos'x=-sinxCOSX设t=sinx,根据公式：Vv-1y'=uv'logu+vuu'所以,CosxCosxsinx-1(sinx)'=sinx*(-sinx)*log(sinx)+cosxsinxcosx(cost)'=(-sint)*t'sinxsinxsinx-1=-sin(sint)sin(sinx)*(-sinx)*log(sinx)+cosxsinxcosxjsinx(cost)'5¾5-sin×COSXCOSXcosx-1fsin×-sin(sint)Jsin(sinx)*(-sinx)*log(sinx)+cos×sinxcosxCOSXCOSXCOSXcosx-1fsin×-sinsin(sin×)(sin(sin×)*(-sinx)*log(sin×)+cosxsinxcosx根据莱布尼兹公式nI(n)(n)(n-i)()()(-l)n(n-l)(n-2)y=(uv)=Cuv=uv+nuv'+uv''+.1*2i=0nn(n-l).(n-i+l)(n-i)(i)(n).+UV+.+UVl*2.i所以，(n)(n)Y =(UV)c(n-i) (i)u vccosx(n-i)cosxcosx-1(i)-sin(sin×)sin(sin×)*(-sin×)*log(sinx)+cos×sin×cos×i=0n1COSXCOSXcosx-1C-sin(sinx)''sin(sinx)*(-sinx)*log(sinx)+cosxsinxcosx37.第n引数2例m例设f(x)=×m-1m-2f'(x)=mxzf''(x)=m(m-l)xm-3f'''(x)=m(m-l)(m-2)x(IV)m-3f(x)=m(m-l)(m-2)(m-3)×故，(n)m-5f(x)=m(m-l)(m-2)(m-3)(m-4)x如m为正整数，则第m+1之引数与其后各引数为零。例二设f(x)=cosx,则,f'(x)=-sinx=cos(x+R2),'(x)=-cos(x+2r2),故，(n)m-5f(x)=cos(x+nn2)同理，SinX之第n引数为Sin(X+nn/2),例三设有m次多项式，f(×)=Am-1x1m-1x+Am-1m+.+A(x+h)+Am-1m今与X以增量h,试就h之方指数之递增以展出f(x+h),因,m-1m-2f(x+h)=A(x+h)+A(x+h)O1(P)f (×)P广言之，h之系数为m-pA*m(m-l).(m-p+l)xOn-p-1A*m(m-l).(m-p+l)x1p!p!p!遂得所求之展式如下：(m)(×)m!2P(P)mf(x+h)=f(x)+hf(×)+hf'(x)2!+.+hf(x)p!+.+h3.Leibniz公式设y=uv,u与V表X之函数，求y之第一引数，得dydudv=v+udxdxdx再求y之第二第三引数。得，222332dydudu=V+3332dxdxdx故设n=2,n=3至n=n时，则有nnn-1dydudu(1)=v+nnnn-1dxdxdxdvdu+3dxdxdvn(n-l)+23dvdv+u23dxdxn-22dudv22dxdxn(n-l).(n-p+2)dudv+.+n-p+1P-I(P-1)!dxdxn-pPnn(n-l).(n-p+1)dudvd,+.+Un-pPp!dxdxdxn-p+1P-I今证y之第n÷l引数可以n+1是(1)式之n而得之，由式得,n+1n+1ndydududv(2)=v+(n+1)*n+1n+1ndxdxdxdxn-p+1Pn(n-l).(n-p+2)dudvn-p+1P(P-1)!dxdxn-pp-1n+1n(n-l).(n-p+1)dudvdv+.+Un-pp-1n+1p!dxdxdx令，p(n+l)n.(n+l-p+l)C=n-1p!p-1n(n-l).(n-p+2)C=n-1p!pn(n-l).(n-p+1)C=n-1p!则，P-I=C=Cn-1nn而(2)式公项n-p+1duP dx,即式可写为n-p+1dxP之系数为Cn+1故无论除n为何正整数，（1）式恒能成立，且式之右边除首尾两项有一因数U或V夕卜,其余各项，n-pPdudun-p dxP dx之系数与（a+b）展式之系数相同。（1）式名为Leibniz公式例1,y=a,(a)'=aIga,COSXsinxvcos×求函数y=a的导数，设y=a,v=sinx,因为,XXX(a)=aIga =a /logCOSXCOSXCOSX-I(sinx)'=sinx*(-sinx)*log(sinx)+cosxsinxcosx所以，VCOSXCOSX-Iy'=y'*v'=alga*sinx*(-sinx)*log(sin×)+cosxsinxcosxxvxCOSXsinxcosxcosx=alga*sinx*(-sinx)*log(sinx)+cosxsinxcosxQaIga所以，COSXsinxcosxcosx-1faNalga*sin×*(-sinx)*log(sin×)+cos×sinxcosx根据莱布尼兹公式nI(n)(n)(n-i)(i)(n)(-l)11(-1)(-2)y=(uv)=Cuv=uv+nuv'+uv''+.1*2i=0nn(n-l).(n-i+l)(n-i)(i)(n).+UV+.+UVl*2.i所以,nI(n)(n)(n-i)(i)y=(uv)=Cuvx (n-i) cosxcosx-1 (i)sin L C anIcosxIga*sinx*(-sinx)*log(sinx)+cosxsinxcosxn1cosxsin×cosxcosx-1£C【alga'*sin×*(-sinx)*log(sin×)+cosxsinxcosx例2,m-1my=xz(x)'=mx,sinmcosm求函数y=x的导数VCOSX设y=×,v=sinmVv-1(X)'=v×,sinxsinxsinx-1(cosx)'=cosx*cos×*log(cosx)+sinxcosx(-sinx)所以，vsinmsinm-1y'=y'*v'=vxcosm*cosm*log(cosm)+sinmcosm(-sinm)xvxsinmsinmcosmsinxsinx-1=cosm*xcosm*cosm*log(cosm)+sinmcosm(-sinm)sinmsinmcosm-1cosm*×m-155三mx所以,sinmmsinmcosmsinxsinx-1JXQcosm*xcosm*cosm*log(cosm)+sinmcosm(-sinm)根据莱布尼兹公式nI(n)(n)(n-i)(Oy=(uv)=CuvnIsinmsinmcosm(n-i)sinxsinx-1(i)Ccosm*xcosm*cosm*log(cosm)+sinmcosm(-sinm)n1sinmsinmcosmsinxsinx-1jaC-cosm*x''cosm*cosm*log(cosm)+sinmcosm(-sinm)i=03可参见高等教育出版社菲赫金哥尔茨著1953年版微积分教程第二卷第二分册莱伯尼兹公式L莱伯尼兹公式我们在前一段开始时曾指出求导数的几个简单法则I及11可以直接移用到任意阶导数的情形。但处理关于乘积的导数的法则In却较为费事。法则IIlIIl可见求导数的几个简单法则假定u,v是X的函数，且各自有值到n阶为止的各阶导数；我们将证明这时它们的乘积y=uv亦有n阶导数，并将求出它的表达式。应用法则HI逐次微分这乘积；我们就求出：y=uv+uv,y=uv+2uv+uvN=Uv+3uv+3uv+uv,很容易看出导出一切这些公式的规律：它们的右边使我们想起二项式的各次辕23u+v,(u+v),(U+V).的展开式，只把U7V的各次哥换成对应阶的导数罢了。(0)(0)若在所得的公式内把UzV写成U,V,其间的相似性就更为完全。推广这一规律到任意的n的情形，即得普遍的公式。(n)(n)ni(n-i)(i)y=(uv)=CuV=i=0n(n)(n-l)n(n-l)(n-2)n(n-l).(n-i+l)(n-i)(i)(n)=uv+nuv'+uv''+.+uV+uv1*2l*2.i注：记号E表示同一类型的诸项的总和。当这些项都依赖着一个标数，而这个标数是在确定界限内变动着时，这些界限就就必须(在下面及在上面)指示出来。例如na=a+a.+ai=0i01nn1111=1+.+等等k=0k要证明它的正确性，可再运用数学归纳法。假设对于某一n值上式是对的。若函数U,v的(n+l)阶导数也存在，则可以依X将上式再微分一次：我们就得：(n+l)ni(n-i)(i)y=CuVr=i=0nni(n-i+l)(i)ni(n-i)(i+l)=CuV+CuVi=0ni=0n今将合并在最后两个总和内含函数u,V的同阶导数的各个乘积(很容易看出，在每一个乘积内，导数的阶的总和始终是等于n+l)(n-i+l)(0)0乘积UV仅包含在第一个总和内(在i=0时);在这总和内，它的系数是C=1n(O)(n-i+l)n完全与此相同，uV仅包含在第二个总和内(有序号i=n的项)，它的系数是C=In(n+l-k)(k)包含在这两个总和内的其他的一切乘积，它们的形式是UV,并且IWkWn。每一个这种乘积，在第一个总和内能遇到(有序号i=k的项)，在第二个总和内亦能遇到(有kk-1序号i=k-l的项)。对应的系数和是C+Ckk-1k大家都已经知道，C+C=Cnn这样，最后求出n+1(n+l)0(n-0+1)(0)nk(n-k+l)(k)n-1k(n-k)(k+l)n(n-n)(n+1)y=CuV+CUV+CUV+CUVnk=!Lnk=0nn(n+l)0(n-0+1)(0)nk(n-k+l)(k)nk-1(n-k+l)(k)n(n-n)(n+1)y=CuV+CUV+CUV+CUVk=lnk=0n(n+l)(n+l)(O)nk(n+l)-k(k)(O)(n+l)y=uv+Cuv+uvk=ln+1n+1k(n+l)-k(k)(O)(n+1)=LCUv+uvk=ln+1因为On+1C=C=n+1n+1(n+1)我们已经得到y的表达式，它完全类似于表达式(1)(仅n换成n+1),这样就证明了公式(1)对于一切自然数值n的正确性。己建立的公式(1),称为莱伯尼兹公式。在推求n阶导数的普遍式时，它经常是有用处的。需指出对于许多因子的连乘积y=uv.t的n阶导数，也可以建立这样的公式；它与多项式的鼎(u+v+.+t)的展开式相类似。118)例题2(50)1)用莱伯尼兹公式(1)求(X*cosx)的导数。令2v=xzu=cosax那时(k)ku=a*cos(a+k)2IVVv'=2x,v''=2,v'''=v=v.=0这样，在公式(1)内除去首三项外，其余各项都等于零，于是我们就得到(50)2505049(uv)=x*a*cos(ax+50*)+*2x*a*cos(ax+49*)+21250*4948*2*a*cos(ax+48*)1*224822=a (2450-aX)cos ax-100 ax*sin ax2)同到任意导数的普遍公式7),现在我们就能够由莱伯尼兹公式直接得出函数axy=e*sinbx的n阶导数的普遍式：(n)axnn(n-l)n-22n(n-l)(n-2)n-221*2*3y=e(sinb×(a-ab+.)+cosbx(nab-ab+.)1*23)求函数y=arcsinx的(n+l)阶导数的表达式。首先，我们有y'=(n)+n(于是依莱伯尼兹公式(n+l)n(n-l)(n-2)1(n-3)1+ ( ) (- )''' + 今若应用在任意导数的普遍公式内的2)所得的公式去求的各阶导数，就得结果(n+l)(2n-l)H(2n-3)!l!Y=1n/2nn-121+x(l+x)(l+x)(l-×)n(n-l)(2n-5)!3!+*+.n-221*2(1+x)(l-x)4)求函数y=arctgX在X=O时的各阶导数的数值。因为12y'=故，y'*(l+×)=121+x在这等式两端取n阶导数(应用莱伯尼兹公式)：2(n+l)(n)(n-1)(1+x)y+2nx*y+n(n-l)*y=0在此处令x=0,若以添加下标0来表示在X=O时的导数值，则得(n+l)(n-1)y=-n(n-l)*y00在X=O时，导数2xy'=022(i+×)即y''=00由己求出的关系式易见恒有(2m)y=00至于奇阶导数，就有递推公式：(2m+l)(2m-l)y=-(2m-l)*2m*y00注意y'=1022y'''=-(l+×)×0由数学归纳法可得，由此就得(2m+l)mV=(-1)(2m)!O这一结果也可以从任意阶导数的普遍公式116.8)中得到4a)求函数y=arcctgX在X=O时的各阶导数的数值。因为12y'三故，"y'*(l+×)=121+x在这等式两端取n阶导数(应用莱伯尼兹公式)：2(n+l)(n)(n-l)(1+x)y+2nx*y+n(n-l)*y=0在此处令x=0,若以添加下标0来表示在X=O时的导数值，则得(n+l)(n-l)y=-n(n-l)*y00在X=O时，导数2xy''=022(l-x)即y''=00由己求出的关系式易见恒有(2m)y=00至于奇阶导数，就有递推公式：(2m+l)(2m-l)y=-(2m-l)*2m*y00注意y'=1022y'''=-(l+×)×0由数学归纳法可得，由此就得(2m+l)mV=(-1)(2m)!0这一结果也可以从任意阶导数的普遍公式116.8a）中得到5）对函数y=arcsinX也一样。提示：应用莱伯尼兹公式于关系式:y'=arcsin'Xy'=y'(i-y'd-×2(I-X)*y -2x*y =2 (l-×)*y''-x*y'=O2(l-x)*y''-2x*y'=-x*y'2(n)(n-l)(l-x)*y-x*y=0答案：(2m)Y=z0m-12=(-1)(2m-l)(2m-l)m-1222或y=(-1)*1*3.(2m-l)(2m-l)222y=1*3.(2m-l)=(2m-l)H要从3）的普遍式内得出这一结果，却没有这样简单。5a）对函数y=arccosx也一样。提示：应用莱伯尼兹公式于关系式:y'=arccos'X1y=ry'7l-×=-12I2y'(l-×)=-×/1-x'J2-2x(1-x)*y'-2×*y'=厂1-x2(1-x)*y''-3x*y'=02(1-x)*y''-2x*y'=x*y'2(n)(n-l)(1-x)*y-3×*y=0答案：(2m)Y=0/0(2m-l)m-1222m-12或y=(-1)*1*3.(2m-l)=(-1)(2m-3)11(2m-l)2222y=3*5.(2m-3)=(2m-3)11要从3)的普遍式内得出这一结果，却没有这样简单。6卜勒尚达多项式。最后我们考察以勒尚达(AM.Legendre)命名的重要多项式，它由下列等式n2nd(×-DX(x)=C(n=l,2,3,)nnndx来定义，其中常系数C的值可看情形根据怎样能够方便的原则而给定。n首先要证明：(n次)多项式X(X)有n个不同的实根，这些根都在；与+1之间。n为了方便起见，暂设C=12nn不难看出，多项式(X-1)=(×-l)(x+l)和它的n-1个相继各阶导数在x=±l时变为零。于是根据洛尔定理，它的一阶导数也将有根在；与+1之间；这样一直到n-1阶导数，它除了有根；与+1外，还有n-l个根介于其间。再对这导数应用一次洛尔定理，便得到所要证的结论。仍令系数C=1,我们来确定多项式X(X)在x=±l时的数值。把朝X -1)看成仅+1)乘(X-I) n nn d (x-l)1X (x)=(x+l)* +C的积，依莱布尼兹公式可以写成;n d(x+l)dxnd×n-1 nd (x-l)+.+ n-1d×n nd (x+l) I* (-i)ndx因为从第二项起的各项都含因式x-l,它们在x=l时都等于0,所以显然有:X(1)=2*n!n类似地可得：nnX(-1)=(-1)*2*n!若在定义勒尚达多项式X(X)的一般公式中设2*n!则得到特别常见的多项式，今后我们将把这多项式记为P(X)其特征是在点X=I和X=-I处取值P(I)=IzP(-1)=(-1)用莱伯尼兹公式很易进一步证明勒尚达多项式X(X)满足下列关系式：2(x-1)X''+2x*X,-n(n+l)X=Onnn它在这类的多项式的理论中担任着重要角色。实际上，令2n2n-1y=(×-1),就有y'=2nx*(×-1),于是2(x-l)*y'=2nx*y今在最后的等式的两端各取(n+l)阶导数；依莱伯尼兹公式，2(n+2)(n+l)n(n+l)(n)(n+l)(n)(x-l)y+(n+l)*2x*y+*2*y=2nx*y+(n+l)*2n*y2由此2(n+2)(n+l)(n)(x-l)y+2x*y-n(n+l)y=0再以C乘之，就得到所要证明的关系式。7)求函数y=arcsinX在×=0时的各阶导数的数值。因为设/2-y'*(i-)=t在这等式两端取n阶导数(应用莱伯尼兹公式)：/(n)(n)yV(I-X)=tI2(n+l)I2(n)/T(n-1)l(l-x)y+nf(l-x)'*y+n(n-l)(sJ1-x)''*y=O因为(n+l)(n-l)2(l-x )'在此处令X=0,若以添加下标。来表示在X=O时的导数值，则得(n-l)=n(n-l)yO在X=O时，导数-312Ty'=-(i-×)2-322=x*(l-x)即y''=O0由己求出的关系式易见恒有(2m)y=00至于奇阶导数，就有递推公式：(2m+l)(2m-l)y=(2m-l)*2m*y00注意y'=10由此就得(2m+l)m+1Y=(-1)(2m)!0这一结果也可以从任意阶导数的普遍公式116.8)中得到7a)求函数y=arccosx在x=0时的各阶导数的数值。因为1-x1-x在这等式两端取n阶导数(应用莱伯尼兹公式)：/丁(n)(n)-yj(LX)=tI2(n+l)I2(n)2(n-l)l-(I-X)y-n(l-x)'*y-n(n-l(y1-x)''*y=0因为I2(1-X)'x/(1-X)'=,在此处令x=0,若以添加下标