小学奥数-余数问题-完整版题型训练.docx
数论问题之余数问题目强余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理(加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理)，及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。三大余数定理：1、余数的加法定理a与b的和除以C的余数，等于a,b分别除以C的余数之和，或这个和除以C的余数。例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2、余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23X16除以5的余数等于3X1=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23X19除以5的余数等于3X4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a三b(modm),左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b,模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同，则a,b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a三b(modm),那么一定有ab=mk,k是整数，即m|(ab)三、弃九法原理而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。模块一、带余除法的定义和性质例1、两数相除，商4余8,被除数、除数、商数、余数四数之和等于415,则被除数是例2、【弃9法】20080808除以9的余数是多少？模块二、三大余数定理的应用1、1余数的加法定理】4个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为101、126、173、193.规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以3所得的余数.请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？2、1余数的加法定理】商店里有六箱货物，分别重15,16,18,19,20,31千克，两个顾客买走了其中的五箱.已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是千克.2.1余数的乘法定理】某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件.月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个.请问：最后一包有多少个零件？6、【周期性】（1）220°3除以7的余数是（）（2） 2003?除以7的余数是（）（3） 223与2003?的和除以7的余数是7、【周期性】90个数排成一排，除了两头的两个数，每个数的3倍恰好等于它两边两个数的和，己知最左边的几个数是：0,1,3,8,21那么最右边的一个数除以6的余数是多少？【巩固】斐波纳契数列：1,1,2,3,5,8,13,21,这串数的第2019个数除以3的余数是多少？7、【同余定理】有一个大于1的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数.8、【同余定理】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.9、【同余定理】一个大于1的数去除290,235,200时，得余数分别为a,+2,a+5,则这个自然数是多少？10.【中国剩余定理】100多名小朋友站成一列，从第一人开始依次按1,2,3,，11的顺序循环报数，最后一名同学报的数是9；如果按L2,3,13的顺序循环报数，那么最后一名同学报的数是11.请问：一共有多少名小朋友？11、【中国剩余定理】有5000多根牙签，按以下6种规格分成小包：如果10根一包，最后还剩9根；如果9根一包，最后还剩8根；如果依次以8、7、6、5根为一包，最后分别剩7、6、5、4根.原来一共有牙签多少根？12、【中国剩余定理】刘叔叔养了400多只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只.请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？13、【中国剩余定理】一个大于10的数，除以3余1,除以5余2,除以11余4,满足条件的最小的自然数是多少？14、【中国剩余定理】有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是多少？课后作业：1、两数相除，商15余6,被除数、除数、商数、余数四数之和等于139,则被除数是2、一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个，年终将这些零件按19个一包的规格打包，最后一包不够19个.请问：最后一包有多少个零件？3、自然数2272-l的个位数字是多少?67个24、20181818除以9的余数是多少？除以8和25的余数分别是多少？5、有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.6、一个大于1的数去除290,235,200时，得余数分别为a,a+2,a+5,则这个自然数是多少？7、买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班？8、刘叔叔养了接近300只兔子，如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只；如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有4只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只.请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？9、22项+20082除以7的余数是多少？10、名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买成语大词典.一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本.这种成语大词典的定价是元，IK有三个连续的自然数，它们从小到大依次是5、7、9的倍数，这三个连续自然数最小是多少？12、一个三位数被5除余3,被6除余4,被7除余5,这样的三位数中最小的一个是多少,最大的一个是多少？13、2019个数排成一排，除了两头的两个数，每个数的3倍恰好等于它两边两个数的和，已知最右边的几个数是：0,1,3,8,21一个数除以6的余数是多少？14、如图，在一个圆孔上有几十个孔（不到100个），小明像跳棋那样从A孔除法沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈后能够跳回A孔，他先试着每隔2个孔跳一步，结果只能跳到B孔，他又试着每隔4个孔跳一步，也只能够跳道B孔，最后他每隔6个孔跳一步,正好回到A孔，问：这个圆圈上共有多少个孔？15、把自然数A所有的因数两两求和，又得到若干个自然数，在这些自然数中，最小的是3,最大的是2250,求A16、把462名学生分成人数相等的若干组参加课外活动小组，每组人数在12到20人之间,求每组人数及分成的组数。17、老师在黑板上写出了两个数：1980和231,叫同学们上来依次做同样的操作：擦掉较大的数，写上两个数的差。经过若干次操作以后，黑板上剩下了两个相同的数，这个相同的数是多少？18、大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印。求圆形花圃的周长。19、两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,试求这两个数的差。
