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微积分第2版第2章极限与连续习题祥解习题2.1（八）1.观察下列数列怎,(5) = (-ln;当ZlfoO时，极限是否存在，如存在，请写出其极限值.解当8时，极限为|;极限为0；极限不存在;极限为1；极限不存在;极限不存在.(2)当一>OO时,(3)当一8时,(4)当一8时,(5)当一8时,(6)当一8时,2.对于数列5=1,2,)，给定(1)£=0.1,(2)£=0.01,n+1(3)£=0.001时，分别取怎样的N,才能使当>N时，不等式|乙一1|<£成立？并利用极限的定义证明此数列的极限为1.解要使卜“一II=1=!<£=o.i,只要+>=10,>9,故取1m1+1n+0.1N=9即可.(2)要使风一1|=1=-<=0.01»只要+1>=100»>99,故1"17?+177+10.01N=99即可.(3)要使Ixn-11=1=-<=0.001,只要+1>-=1000，n>999>I1n+10.001故取N=999即可.对于任意给定的£>0,要使比一1|=1=-<>即+1>L,n>-1.n+1取正整数N=-1,则当>N时，恒有1=/一IV£,故lim一J+1flo0n+1习题2.1(B)1 .用数列极限的定义证明下列极限：(1) Iim14-=O；(2)Iim"=Lon+1-R3«+13证明（1）对于任意给定的£>0,要使不等式xn-a2-<l + (T)z + 12成立，只需>一成立.取N =2,则当>N时，恒有所以 IimI+(T)" =0./1Too（2）对于任意给定的£>0,要使不等式成立，只需>-成立.取N=-!-,则当>N时，恒有n1<.3+13所以Iimzz-=-.n303+l32 .利用数列极限的定义证明：lim（、加TT-«）=0.Jt-KC证明对于任意给定的£>0,要使不等式"口（所向一成立，只需成立.取N=-4+1,则当N时，恒有_£_(>h+T-V11)-0<.所以Iim(J"+1-«)=0.n3 .若数列xz,有界，且IimyZI=0,证明IimXrIy=0.证明因为数列怎有界，所以存在M>0,对所有的乙都有同M,对于任意给定的£>0,要使不等式氏”一OHXMVAJ<e成立，只需<二，又因为IimyJ=O,所以对于给定的，=±>0,存在N,则当">NM28M时，恒有yn<=-l7lM取K=max,N，则当>k时，恒有氏小呜所以IimxhyZl=0.11-KO4 .对于数列xm),若x2a-1a(k),x2ka(k),证明：xm«(?).证明因为X2J->4(%->8),所以V£>(),肪>0,当%>勺时，有-4Vg；又因为。(200)，所以对上述£>0，32>0»当攵>%2时，有|积一。|<£.记K=HBX占&，取N=2K,则当>N时，若n=2k-l,则左>K+g>Z,得氏一4=员1一<£，若=22，则Z>K22,得上一汗=卜2%一&<£.从而只要>N,就有x4<£,WIimx,=a.习题22（八）.对下图中函数f(),求下列极限，如极限不存在，说明理由.ylW() 1'1 1) Iim f(x) ； (2) Iim f(x) ； (3) Iim f(x). x-2x-1x0解(1) Iim f(x)=O; (2) Iim f() = -l ；.v-2Xf-I(3)lim(x)不存在，因为了()jf(0+).2 .对下图中所示函数/*),下列陈述中哪些是对的,哪些是错的？(1) IimF(X)不存在; Iimf(x) = 0： lim(x) = l;(4) limf(x) = 0 ；(5) Iimf(X)不存在: xl(6)对每个XoE(T)，Iim /*)存在.解 错，因为lim(x)存在与否，与/(0)的值无关.(2)对，因为/(0-) = /(0+) = 0.(3)错，因为lim(x)的值与/(O)的值无关.x0(4)错，/(l+0) = 0, /(I-O) = -I,故lim(jc)不存在.xl对，因为/(l + 0)f(l-0).(6)对.3.用极限定义证明：X2 4(1) lim(2x-l) = 1 ；(2) Iim= -4 ；IXT-2 + 2(3)Iim生2=2；(4)Iim半=0.18XT+oyJ证明(1)对于任意给定的£>0,要使不等式(x)-=(2x-l)-l=2x-l<成立，只需x-l<成立.取K=,则当0<上一1卜5时，恒有(2x-l)-l<.所以lim(2x-l)=1.XTI(2)对于任意给定的£>0,要使不等式-=-(-|"一露+2)÷4=x÷2<人I/II4I乙成立，只需取b=£即可.则当OVk+2|时，恒有x?4-(-4)<.x+2M4所以Iim-=-4.x-2+2(3)对于任意给定的£>0,要使不等式(x)-A=-2=t<33成立，只需一成立.取M=一,则当W>M时，恒有2x+3C2<.X，.2x+3C所以Iim=2.18X(4)对于任意给定的£>0,要使不等式I”、.sinx八1W-Al=L_0<<xx成立，只需x>F成立.取M=F,则当x>M时，恒有U习题2.2(B)1.当x2时，/(x)=x24,问3等于多少，使当卜一2|<5(x)-4<0.l?解由于x->2,x-20,不妨设卜一2|匕即l<x<3要使卜2-4=(+2)(X-2)<5x-2<0.001,只要x.2<l=0.0002,取5=0.0002,则当0<上一2|<6时，就有(x)-4v0.001.9 V2 +12 .当Xf 8时，/(x) = ±-222 ,问X等于多少，使当国>X时， X +31(x)-2 <0.01?解 因为|/(幻一2| = |当9一2|二35<.要使签，一2 <0.()1 ,只要4<0.01» SP>105 ,取X=IOJL 则当同>X 时，就有Ifa)-2V0.0L3 .讨论x0时，X-1,(1) f(x) =< 0, x + l,解由于下列函数的极限是否存在.x<0x = 0 ；%>0(2) f(x)sinx, -<x<0%, 0<xvlIim 于QC)= Iim(X-I) = -I,xOx0Iimf(x)=lim(x+l)=1,xO4xO4Iimf(x)Iimf(x).x0-x0*所以Iim/(x)不存在.(2)由于Iimf(x)=IimSinX=O,Iim/(x)=Iimx=0.x0x0x04x*故Iimf(x)=Iim/(x).所以Iimf(X)=0.x0x0*x0<nF蛤I,、3+ll+4.设函数/(X)=3，求：5-3x(1) Iim f(x) ；(2)吧/；(4)Iim f(x)；X>-00Iim F(X) .A2小.、1.X+X1.4xC解hm/(x)=IlmLi-LT=Iim=2.XfmXTx5x-3x<*x-2x(2) Iimf(x)=lim¾=Iim5%-3国XT-OC8x4Iimf(x)=Iim=川：1=Iim-=2.-+-to÷5x-3xo+2x/八£，、1.次+因1.2x1(4) Iimf(x)=Iimi-=Iim=3.ro-5x-3x-to-8x4r2-lr>2(5) 函数/(幻=",问当。取何值时，函数/(x)在Xf2时的极限存2x-aX<2在.解因为lim(x)=lim(2x+)=4+,x2-x2Iimf(X)=Iim(x2+1)=5.x2rxr由极限存在的条件，有Iimf(X)=Iim/(x),得=l.x2-xt习题2.3（八）1 .下列变量在何种情况下为无穷小，又在何种情况下为无穷大？1 X-I(1) ;(2)-T-;(3)In(X-I).I-XX-I解(1)由于Iim=O,故Xf8时，变量为无穷小.由于Iim=8,Xf30I-X1-x,I-X故Xg变量占为无穷大. 1r 1 1(2)由于IimF=0 ,故x->8时，变量为无穷小.由于Iim-= ,XToO x -1X -1XfT X -1r 1故XT时，变量F为无穷大.X-I(3)由于IimIn(X-I) = 0,故x2时，变量为In(X-I)无穷小. x2由于 Iim ln(x-l) = + ,或 Iimln(x-l) =- ,X-HX>xl+故X+或Xf广时变量In(X-I)为无穷大.2.根据定义证明:y = x-l为当xl时的无穷小;_ sinx为当X8时的无穷小X(1)因为所以V£>0,取S=£,则当o<k-<s时，就有I . I I(x-i)-o即尸1为当1-1时的无穷小.(2)因为COSXoJ,所以V£o,取X = L 则当国x时，恒有N£COSX一OV £ ,y=£2吐为当工8时的无穷小.X3.求下列极限.sinx(1) IimXTg XQ)Iim2 i -5x + 6(3)Hm =T -2解(1)因为SinJr是有界函数,X->8时，一为无穷小.所以X,.sinx.Iim=0.XTg(2)当x2时，x+1有界，f-5%+6为无穷小.所以lim=.22-5x+6z1.x-4(x+2)(x-2)(3) Iim=Iim=lm(x+2)=4.x2-2-t2-212习题23(B)1 .举例说明，两个无穷小的商不一定是无穷小；无穷小与无穷大的积不一定是无穷小.2_i解(D如lim(x-l)=O,Iim(X2-I)=O,但Iim=Iimer+1)=2.不是无穷小.rl.vIxl-XTl例如Iim(X-I)=0,Iim=,XTlxl厂1但是Iim(X-I)I=Iim:I=Iim!=不是无穷小.XTlx-1Ix-1XfX+122.函数y=XCOSX在(-8,+8)内是否有界？这个函数是否为X>+8时的无穷大？解因为VM>0,总有Xoe(M,+),使得COSXO=1,从而y=/cosx°=0>M,所以，函数y=XCOSX在(一8,+8)内无界.又存在No>°,VX>0,总有(XF8),cosx0=O,从而y=x0Cosx0=OVN0,所以，函数y=Xcosx不是当xf+oo时的无穷大.1+2X3.根据定义证明：函数)，=一为当KfO时的无穷大.问X应当满足什么条件，能X使仅|>IO4?证明因为 1±Z = 1+2L-2,X X X1 + 2X要使士MX只要92M国<一.所以vm>o,取b=一，当o<-o<b时，就有匕2>m,即函11M+2M+211IX1+2X数y二'上为当x()时的无穷大.X令M=IO4,取6=!一，当Oek一o<二一时，就能使112>k)4IO4+211IO4+2X习题2.4（八）1 .简要回答下列问题.(1)若数列%收敛，而数列%发散，则数列氏土"及数列七为是否收敛？若数列后,yt均发散，则数列i±yj及数列当然是否发散？解数列%±y,发散.如果怎±然收敛，那么Xl=X一区一券）或州=（£十%）一天也收敛数列k"不一定收敛例如：数列X” =L收敛，”=（T）发散，怎券=（_1）”_1收敛；又数列Z=L收敛，稣=2发散，/尤二发散.n2 2）工±然及数列xy“不一定发散.3 .求下列函数的极限.(5)1. 4x3 - 2x ÷ XIim；：v0 3x + 2xQ)(4)x2 - 3x ÷ 2Iim .XTI X - 4x + 3Iim.t+(J2 +X-);(6) Iimx>(2x-3)2°(3x+2)3°(2x + 1)5°Iim F+2“XTg X -x+1(8) Iim ftO(x + )2 -X2(1) Iim.t04x3 - 2x2 + X3x2+2x= lim422x + M ro 3x+22XTIX2-4+3I(X-I)(X-3)Xf(X-3)2HmJ2x+131n(J2x+13)(J2x+1+3)(Jx-2+,2)IJX-2-0-'XTI - +l(x-2-2)(x-2÷2)(2x÷l÷3)2(x-2 + >) 22yJ2,x +1 + 3=Hm吐/笆巫=Hm(-4)(2x+l+3)I(4)IimUX2+x-x)=Iim÷0oX+0,X=Iim-=J=-yX2+X+X51+l+12IimXTIu-XI-X(6)Iimxoc(2x-3)20(3x+2)3°(2x+I)-JC= lim(2x + ) = 2x.02"+3" m2,+i +3,+1(JA? +1 +)(2) Iim/；-°n6+l(3) Iim(JM +1 - /?2 -1)； n1 -2"1 - 41 - 2I-3z,+1 - 9+1 - 3+,./+2r7(7) Iim：=Iim-rccX-x+a001,117+XX1. (x+)-X2.X2+2xh+h(8) Iim-=Iimohoh3.求下列极限.(5)Iim+2"+3” 则TI335(2h-1)(2zi+1)1.=Iim-=,+,9A?图(3)(72+i+)2Iim也算旦=Iim乙=Iim6+l-Cn6+ln1+1OO=0.=4.Iim(Jn2+1-Jn2-1)=Iim/1>cJn2+1+2-1I-,有T41÷1÷1÷.÷±(2-l)(2n+l)2<2«-12«+11+H3(4)Iim"T8.111+-+39(5)由于(2-1)(2 + 1)12n+ 11 、2 +L11+1-32-3111111FFH3352n-i于是+Iim(2-1)(2+I)J1.If1=Iim-1-ncc212w÷l2习题2.4(B)X2+ax+hL设理Er=2,求常数”的值.解因为limr,+v+b=2,推得/+r+b含有因式X2,否则与已知矛盾.x22-2设f-ax+b=(x-2)(x-c),得b=2c,=-(2+c).x2+cc+h又因为Iim-x->22-2=Iimd)c)=limX-C-2(-2)(X+1)TX+13得C=Y,从而得到=2,Z?=-8.2.设 Iimxx2-l)-ax+h=-5,求常数a,人的值.X-I；解因为Iimxx2Ix-ax+b=IimI(-a)x2+(a-b)x-byx-1推得-a=0a+b=-5得=1,b=-6.3x+2,x0,3 .设/(x)=f+,OeX,分别讨论O及1的极限是否存在.解(1)由于Iim/(X)=lim(3x+2)=2,Iim/(x)=Iim(x2+1)=1.0XO-0'XT(T由于Iimf(x)Iimf(x),所以Iim/(x)不存在.xO0'.vO由于Iim/(x)=Iim(X2+1)=2,xxIim/(x)=Iim-=2,x.vXIim/(x)=Iimf(x)=Iim/(x)=2，rxrXf所以lim(x)存在.4 .设IimF(X)存在，且/(x)=x2+2xlim/(x),求Iimf(x)和/(x).rl.vlXTl解设Iim/(x)=A,则/(x)=+2Ar,于是xlA=Iimf(x)=lim(x2+2Ax)=1+2A,lXTl得A=-I,f(x)=x2-2x.习题2.5（八）1.求下列极限:Iimtan2x°sin5xIim-=o,11-COSX,.2arcsinx(3) Iim-O32(5)Iim-；XTo.2Xsm3(4)(6)YIimTsin(xO)；x2mIimx0tanX-sin_tan2x221.tan2x1.2x2解(1)Iim=Iim华卜=一0sin5x05,sm5x5(3)令 arcsinx = f，V5xi.2arcsinx,.2t2则hm=Iim=-XTo33sin/3.XCHSlH/八rxV2.X1.2"(4) Iimzsin=Iimxsin=Iimx-=xnoo2"n-><x>X2"wXTr*I3(5) Iim-=Iim=9.XTo.2XXTo.2Xsmsmfc33(6)1. tan X-sin XIimXTOXSinxsnx.z、1.cosr1.sn(l-cosx)lmc=hm-t0X0XCOSX1.sinx1.(I-Cosx)1八n=IimIim=1x0=0.XTOx0COSX2.求下列极限：Zn+5(2) Iim 811 + (1)Iim1+-n30Vn)IimAXr2x-l<2x+3j(6)lim(l+cos)3sve'x-2I +5+ nJ1 Iim 1IXr 叫(1 + 2 Sina ；Iim=IimX00l+JX*>IYl1+j2x+3=t，则Iim.roo2x-lY2x+3>=Iim1+xx>I2x+3lim(l+f),2=Hm(1+tylim(l+/)f00f0(4)Iimx02-xVIim.v0(5)(6)3.设Iim解Iimxrx+l()()l< x-5ec» 求c.，戈+10OlYXI %-5 )= Iim 1÷at5xox-5e2°,2= e' , c = 2012.1l.2sin-Iim0lim(1+2sinx)x=ex*°x=e20lim(l+cosx)3secx=lim(l+cosx)c°fc*=e习题2.5(B) ijn2 sin H(2) Iim-“ + 1i.利用极限存在准则，计算下列各题.Iim+r+n 1< -=>n" n(1+11)(+)1 1)由于7-7<T+TT÷*,÷(+)“Tr(1+h)2(h+)2又因为Iim-=O,IimJ=O,由夹逼准则，有rtxnnx(j+11)Iim+7+7=0.*tv(1+7?)(+)CEqi1C士百7sin几n3,.rl.n3八(2)因为一IVSIn<1,所以有<<,此时Iim=0,+1+1n+1isn+Iim=0,由夹逼准则，有Iim几SinJ=0.nT=0n+1“->8n+12 .利用极限存在准则证明：数列J,2÷2,V2+2+2,的极限存在，并求出该极限.解归纳证明这个数列是严格单调增加的，并以2为上界.显然Jv+&2,假设那么a"="2+,Vj2+a=4+1，可见数列是单调增加的.从应2,见2,可推出。的=j2+%vm=2,所以数列以2为上界.由准则II知，此数列是收敛数列，记极限为由在递推公式。用=j2+q两边取极限Hm%=j2+limz，ooVn即=JG,解之得4=2.3 .某企业计划发行公司债券，规定以年利率6.5%的连续复利计算利息，10年后每份债券一次偿还本息Iooo元，问发行时每份债券的价格应定为多少元？解设发行时每份债券的价格应定为4元，则1000=0e65°,x,°=AZ65,所以&=1000522.05（元）.4 .设本金为P兀，年利率为八若一年分期，存期，年，若以复利方式结算，则本金与利息之和是多少？现某人将P=IOoO兀存入某银行，年利率为r=0.06,/=2：请按利、季度、月利及连续复利等结算方式计算本利和.解按单利计算：本利和为=IooO+1000x0.06x2=1120.00（元）.由复利公式有按季度结算方式计算：=4,利和为+2）=Ioo41+竿）«1126.49（%）,按月结算方式计算：=12,本利和为连续复利结算方式计算：本利和为pe"=1000/1127.49（元）.5 .根据函数极限的定义，证明极限存在的准则I'.证明仅就X飞的情形证明准则，x8的情形类似证明.D£>0,因为Iimg(X)=A,3(l>0,当。卜一与上伞，有Ig(X)4<e,即A-<g(x)<A+f(3)又Iimz(x)=A,对于上面的£>0,3J2>0,当0<卜一Xol<&，有(X)-A<e,A-<h(x)<A+.(4)取S=min含,&,则当OVIX-XolV假设(1)及式(3)、(4)同时成立，从而有A-<g(x)f(x)h(x)<A+，即(x)AlV£.因此，Iim/*)存在，且等于A.习题2.6（八）1.当x0时，下列各函数都是无穷小，试确定哪些是X的高阶无穷小？同阶无穷小？等价无穷小？(1)X当XfI时无穷攸M与无穷小三是否为等价的无穷小?+x；(2)x+sinx;(3)X-SinX；(4)l-cos2x；(5)arctaLx;(6)tan2x.2解(1)因为Iim'+"=lim(x+l)=l,所以Y+是与X等价的无穷小.x0Xx0(2)因为Iim'+ns=Hml1+-j=1÷1=2,所以x+sinx是与X同价的无穷小.XTOXXTOlX)11 C-sn XH5 l-s2x . 2(4)因 为 Iim= Iim -x0 X.r0 X(3)因为Iim-WL=HmI-W=0,所以X-SinX是比X高价的无穷小.XToXolXJZnV=Iim xO-一-sinx=0,所以I-CoS2x是比X高I2X)价的无穷小.(5)因为IimarCtan'=Hm'=1,所以arctanx是与X等价的无穷小.x0Xx0X(6)因为Iim9四=Iim生=2,所以tan2x是与不同价的无穷小.xOXXToX1-x解Iim-=Iim上立二L故土三与1-6等价.XTlI-xXTII+X1+x3 .当Xfl时，无穷小1一%与下列无穷小是否同阶，是否等价?解(1)由于=更+沪D=Iim厂:=XfI-XI(l-)( x 11. xIim = Iim -+x+l)x,(x2÷v+l)3故Ir与1-丘同阶但不等价.由于Iim2(-yx)1-x= Iim7= = IXTl 1 + x故l-x与2（1-五）等价.4 .利用等价无穷小代换原理求下列极限.(1),.arctan 3xIimXTO sin 2xIim s'n' (加,正数)；J。(sin x)ne L -1Iim- x0 1 - cos X(4) -1 lim- XTo x + 3x(5),. arcsin(x-l)2Iim (x-l)ln(2x-l)(6),.tan x-sin xIim；XTO In(l+x3)Iim . 2x -0l + + x2 -I(8)2x + 3x2 -5x3 Iim.XTO 4x + 2 tan x.arctan 3x(1) Iimr0 sin 2x.3x 3= Iim=XTo 2xIim Sm V，=Iim-= 0 (sin x)n -v0 xn0,1,8,tn < n(4)Iim=°x+3 3(5)Iim xlarcsin(x-1)2(x-l)ln(2x-l)=IimlU-D2(x-l)(2x-2) 2e"r-1x2Iim-=lim-r=2.x0I-COSXKToXT7X.X1. tan x-sin x 1. tan x(l-cos x) 1. o 1(6) Iim = Iim；= Iim f=.a0 ln(l + x3) XTo ln(l÷x3) -r0 x3 2Iim 2 v z°l + x + f -1二 Iim 二 = 4XTo X+X(8)1. 2x + 3x2 -5x3IimXTo 4 + 2 tan x= Iim x02+3x-5.o Ctanx4 + 2lim(2 + 3x-5x2) X-»0Iimf 4x2+2-KTokX1.I.证明当XfO时，有如下结论:(1) arctan x - x(3) > + xsinx -1 - x2: 2习题2.6(B)(2) secx-1 - x2: 2(4) 1 + x2 -l-x2证明 令，=arctanx ,贝 IJX = tan/,当 x>0 时,t0.于是Hm .r0arctan ,r=lim = IimC°SZ = 1, 故arctanxx. o tan t sin t(2)因为Iim0secx-1所以，secx-1 -j_ 22X2 .=Iim01COSX _j_ 2 2X1. 1-cosx Iim-=t0 12X COSX2Iim , 0 12L ；2XX COSX 2(3)因为Iim x0y + xsinx-1-X 2=Iim-XTO -X2xsin X2 (V1 + xsin X+ 1)=IimJ=a。x(l2sinx+ xsinx + l)所以，V1 + xsi % 1 X2. 2(4)因为Iimx0l÷x2 -l-x2=Iim.r0,/ 2：, = Iim -2 =x (V1 ÷ ÷ yj , ) -*° yj + x + X所以Jl+f-Jl-225 .证明无穷小的等价关系具有卜列性质:(1) (自反性)；(2)若a0,则?(对称性)；(3)若J,7y,则(传递性).证明(1)因为Iimq=I,所以.a(2)因为,即Iimq=1,所以Iim2=1,即/0.a(3)因为y,即Iimq=1,Iim=1,所以Ya/a.Iim=Iim=IimIiin=1/Y)Y6 .当x0时，变量(1+丘2户一1与变量cos:-1为等价无穷小，求常数Z的值.,1解Iim!=lim-2r=-2=l即k=-LXTOcosx-1XTox4,求15(1+cosJr.1.c.zl、.21n(l+cosx)1.2cosxIim2scc.vln(l+cosx)IimIimgv1l2secxTTsx.sx解Iim(1+cosX)=e-=e-=e其中xf时，ln(l+cosx)COSX.1.讨论下列函数的连续性. F(X)= ,Sin X,O 厂，x0 x>0习题2.7(A)-1, F(X) = "1,x<-l-lxl.x>解(1)因为，当x<()时,/(x)=SinX是连续的；当x>0时，/Cr)=/是连续的,由于Iimsinx=O,Iimd=O,/(O)=SinO=O,故/(x)在X=O处连续.XT(TXfO.从而函数/(X)在(-8,+8)内连续.(2)因为f(x)为分函数，当xv-l,-l<x<l,x>l时，函数/a)均是连续的.在x=1处，由于Iim(-1)=-1,Iim丁=1,所以=一1是跳跃间断点；在X=I处,x-XT-I.由于IimX2=1,Iiml=I,且/=1,所以，函数在X=I处连续.xI4综上所述：函数/(X)在区间(_8,-l)U(-l,+8)内连续2.确定常数，b使下列函数连续.ln(l-3jr).”X)二> x + a,x0x>O=bx 2, SinaXXx<Ox = O x>()解(1)当x<0与x>0时，函数/(x)为初等函数，它是连续的.要使函数/(x)在(-oo,+oo)内连续，只需要函数/*)在X=O处连续即可.因为/(0)=e°=l,IimeA=1,Iim(X+)=,所以当时，即有XTO-xQ*Hmf(x)=Iim/(x)=/(0)=1,xOxO*即当a=l时，函数/*)在X=O处连续.故当取=l时，函数/*)在(-8,+8)内连续.(2)当XVo与x>0时，函数/(x)为初等函数，故它是连续的.要使函数/(X)在(一co,+oo)内连续，只需要函数/(x)在X=O处连续即可.因为.£,、.ln(l-3x)1.-3x3IimJ(x)=Iim=Iim=,Xfo-to-bxIO-bxb1.rz、1.sinor1.asinaxIimfx)=Iim=Iim=a.04x0+Xx0+Q由函数/(x)在X=O处连续知，Iim/(x)=Iim/(x)=/(O)=2，xO.vO43即得，a=-=2.b故当4=2,8=一T时，函数/(X)在X=O处连续.也即函数/(X)在(-00,+00)内连续.3.考察下列函数在指定点的连续性.如是间断点,指出其属于哪一类;如是可去间断点,则补充或改变函数的定义使其成为函数的连续点.X21J=-Jr-3x+2(2) y=,X=kr(k=0i±1,±2);sinx(3) y=cos2>X=O：2x-l,x1(4) y=<,X=I.3-x,x>1解(1)因为y=C="一"'+?，函数在x=l,X=2处无定义，所以都x2-3x÷2(x-l)(x-2)是间断点.又因为1.x2-l.(x-l)(x+l)1.x+C1.2-1Iim=Iim=Iim=-2,Iim：=,XTIJr3x+2XTl(X-I)(X-2)XTIX-222-3x+2所以，x=l为第一类间断点(可去间断点)，重新定义，当x=l时，令y=-2,则函数在X=I处连续.x=2为第二类间断点(无穷间断点).(2)函数>=上在=k,伏=0,±1,±2,)处无定义，所以它们都是间断点.sinx因为Iim上=1,故X=O是函数y的第一类间断点(可去间断点).若令y(0)=l,0sin