27最短路径问题教案.docx

最短路径问题一、教学目标（一）知识与技能：通过对最短路径的探素，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.（二）过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径的思想方法.（三）情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心.二、教学重点、难点重点：应用所学知识解决最短路径问题.难点：选择合理的方法解决问题.三、教学过程引言以前我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”及“造桥选址问题”.问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位 将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边/饮马，然后到B地.牧马人到河边什么地方饮马，可使所走的路径最短？4C+C8 = 304 33如图，点A,B分别是直线I异侧的两个点，如何在/上找到一个点C,使得点C到点A、点B的距离的和最短？连接AB,与直线/相交于一点，根据“两点之间，线段最短”可知这个交点即为所求.现在，要解决的问题是：点A,B分别是直线I同侧的两个点，如何在/上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？如图，作出点B关于/的对称点S,利用轴对称的性质，可以得到CB=CB.这样，问题就转化为：当点C在/的什么位置时，AC与CB，的和最小？在连接A,B，两点的线中，线段AB，最短.因此，线段AB与直线/的交点C的位置即为所求.你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？证明：如图，在直线/上任取一点C（与点C不重合），连接AO,BCBC.由轴对称的性质知，BC=BeBU=BC.：AC+BC=AC+B,C=AB,AC+BOAU+BC在AABC中，AByAG+BC：.AC+BC<AC,+BC*即AC+BC最短.问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）我们可以把河的两岸看成两条平行线。和儿N为直线。上的一个动点，MN垂直于直线儿交直线于点M,这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线的什么位置时，AM+N+NB最小？由于河岸宽度是固定的，因此当AM+MB最小时，AM+MN+NB最小.这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+、B最小？能否通过图形的变化（轴对称、平移等），把右图的情况转化为左图的情况？如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N,点A移动到点T,则AA=IN,AM+NB=A'N+NB.这样问题就转化为：当点N在直线的什么位置时，A+NB最小？在连接A，B两点线中，线段A，B最短.因此，线段HB与直线人的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN,所得路径AMNB是最短的.你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线方上另外任意取一点V,过N作N解_Lm垂足为W,连接AM',AMNrB,证明AM+MN+、BVAM'+M'N'+N'B.证明：如图，由平移的性质可知：AM=AMAw=A'N',MN=MT在AABN'中，A'BVA'N'+N'B：A'N+NBVAM'+N'B：AM+NB<AM,+NzBAM+MN+NB<AM,+M,N,+N,B归纳在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值.在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题.体会在解决问题中与他人合作的重要性.体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识.