3.3对数函数y=logax的图像和性质（解析版）.docx

3.3对数函数y=logax的图像和性质1.对数函数的概念：一般地，形如y=Iog">0且。声D的函数叫对数函数.2.对数函数y=logx（a>0且。1）的图像和性质。y=Ioga4a>la<图像L0,)性质（1）定义域：（0,F8）（2）值域：R（3）图像过定点：（1,0）（4）在（0,-8）上是增函数（1）定义域：（0,+8）（2）值域：R（3）图像过定点：（1,0）（4）在（0,+）上是减函数3.指对数函数性质比较图象特征函数性质共性向X轴正负方向无限延伸函数的定义域为R函数图象都在X轴上方函数的值域为R+图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点（0,1）过定点（0,1）0<a<l自左向右看，图象逐渐下降减函数在第一象限内的图象纵坐标都小于1当x>0时,0<y<l;在第二象限内的图象纵坐标都大于1当x<0时,y>l图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；a>l自左向右看，图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x>0时,y>l;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x<0时,0<y<l图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；题型一：对数函数的图像1.作出以下函数的大致图像，并指出它的单调区间和奇偶性.(1)y=log,(r);(2)'=7og;(3)=los.,222【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【分析】根据函数解析式，由对数函数的性质求定义域区间，画出其大致图象，进而判断单调区间和奇偶性.【详解】(1)由)'=°gd一幻知：定义域为(F,0),图象如下:2且为非奇非偶函数.由知：定义域为(。收)，图象如下:.由图知：函数在(0,+8)上单调递增，且为非奇非偶函数.(3)由y=°gJ知：定义域为(f,o)U(o,+8),图象如下:.由图知：函数在(-8,0)上单调递增，在(0,+上单调递减，且偶函数.2 .设。与人为实数，”>(),。工1.已知函数F=log,(x+加的图象如图所示，求。与人的值.【分析】由图象可知，函数图象过点(-2,0),(0,2),将点的坐标代入函数中，可得关于。力的方程组，从而可求出。，力的值【详解】由图象可知,函数y=iog<+可的图象过点(-2,0),(0,2),所以O=Iog”(-2+6),且2=log),由O=Iog(-2+3，得一2+=1,解得b=3,则2=log,3,得。=6，所以=3，b=33 .在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图像，并指出它们之间的关系.V=IogsX;片四J5(3)y=5r.【答案】(1)答案见解析答案见解析答案见解析【分析】根据指数函数和对数函数的解析式画出对应的图象，利用数学结合的思想即可得出函数之间的关系.(1)如图所示：如图所示，函数y=iogs与函数R)gg”的图像关于X轴对称；如图所示，函数y=i0g5与函数y=5'的图像关于直线y=对称.【分析】判断出力是偶函数，结合可选出答案.【详解】由已知可得函数的定义域为小,/(-X)=-=fM,e+ee+e所以/(X)是偶函数，函数图像关于丁轴对称，可排除A,B；可排除D.故选：C2.函数/(x)=eM+l的图像大致为()【答案】A【分析】当x>0时，根据函数的极值可以排除C、D,当x<0时，根据函数的单调性可以排除B,从而得到结果.【详解】当x>O时，/(x)=x÷-,在X=I处取得最小值，排除C、D,X当XVo时，/(X)=L-X为减函数，X故选:A.3(多选).在同一坐标系中，函数)，=(尸与y=logilM>0,且。01)的图象可能是()【答案】BD【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.【详解】当>l时，丁=定义域为R,且在R上单调递减，y=bg,d定义域为(0,+),且在(0,+8)上单调递增，D符合；当0<vl时，y=G'定义域为R,且在R上单调递增,)二10g.X定义域为(0,+8)，且在(0,+)上单调递减，B符合.故选：BD.题型三：根据对数函数图像判断参数范围1.已知函数/(x)=log.(x-A)(a>0且l,。，人为常数)的图象如图，则下列结论正C. OVaV1, b<1B. 。>0, -1 <Z?<0D.0<a<l,一IVhVO【答案】D【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【详解】因为函数/(x)=lQga(Ab)为减函数,所以OVaVl又因为函数图象与X轴的交点在正半轴，所以x=l+b>O,即b>-l又因为函数图象与丁轴有交点，所以b<0,所以T<6v0,故选：DB. c>b>aC. c>a>bC的大小关系是()D.a>c>b【答案】D【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小.【详解】y=OgaV的图象在(0,+o°)上是上升的，所以底数>l,函数y=logZ?x,y=Iogcx的图象在(0,+«>)上都是下降的，因此Zbc(0,1),又易知c>，故>c>Z?.故选：D.3 .已知函数Ar)=Ina+)的图象不经过第四象限，则。的取值范围是()A.(0,1)B.(0,+)C.(0,1D.1,+8)【答案】D【分析】根据对数函数的图象结合图象平移变换可得.【详解】/U)的图象是由Y=Inx的图象向左平移。个单位所得.y=lnx的图象过(LO)点，函数为增函数，因此l.故选：D.二、多选题4 .已知函数g(x)=log"(x+A)(>0且QHl)的图象如下所示.函数，(力=(Z-I)一一片的图象上有两个不同的点A(y),(x2,y2),则()B. f(x)在R上是奇函数C. /(X)在R上是单调递增函数D.当x0时，2(x)(2x)【答案】BCD【分析】对于A结合对数型函数图像相关知识求解;对于B运用定义法判断是否在R上是奇函数；对于C运用定义法判断函数单调性；对于D通过作差法并对式子变形即可判断.【详解】对于A,由图像可知，函数g(x)=log,G+A)(>0且4")在(-2,+00)上单调递增，所以a>l,因为g(x)经过(TO),所以g(T)=log"(T+*)=0,所以°=7+0k=2,故A错误.对于B,f(x)=ax-axf定义域R关于原点对称，f(-力=。一'-/=-(x),所以f(力在R上是奇函数，故B正确.对于C,对于fa)="。，由题意不妨令>小cRgcR，贝U6小)十一巾TMm+等,因为x1>x2,x1,x2/?,a>t所以再+町+1>0,优曰2>0,外-优2>0,即/(%)>/(电)，所以力在R上是单调递增函数，故C正确.对于D,2/(刈_/(2力=2(/_才>(储力=2(/_)_(/_武)”+)=(优_/)(2_优_)J=丫2a'-aJ=YaJ)ST2=卡+DST)3,因为>,壮0,所以I")ax)crxa2tx+l>O,(-l)3O,>O,所以Y"+W'T)o,当且仅当X=O时等号成立，即当a2xx0时，2(x)(2x)成立，故D正确.故选：BCD题型四：对数函数图像过定点问题1 .函数/(X)=logrtXAa>。且"1)的图象所过定点的坐标为.【答案】(LO)【分析】由对数函数的性质求解，【详解】由题意得/=0,"X)的图象过定点(1，。)，故答案为：(1,0)2 .函数y=k>g,+l)+l(>l)必过定点.【答案】(0,1)【分析】根据对数函数的性质，令X=O即可确定定点.【详解】由对数的性质知：当=0时y=logj+i=i,所以函数必过定点(0,1).故答案为：(0,1)3 .己知>()且l,若函数/(另=45+"与江力=108,(4-1)+4的图象经过同一个定点,jlJn+n=.【答案】1【分析】由Iog“1=0可得出函数g(x)所过定点，再由°=l可得出血的值，得出答案.【详解】函数江"=1吗,(工-1)+4的图象经过定点(2,4)所以/(力="+”'+的图象也过定点(2,4),即"2)=诡"+=4则用=-2,=3,所以6+=1故答案为：1题型五：对数函数图像的应用1 .己知函数/(力=1陶,(工+3的图象如图，则彷=.【答案】8【分析】由图像可得：/(x)过点(TO)和(0,2),代入解得纵b.【详解】由图像可得：/(x)=(x+b)过点(TO)和(0,2),则有：Py,I),解得f二：ogwZ>=2a=2cb=S.故答案为：8.2 .lg>logiw(0<m<l,0<n<l),则？(填或”>).32【答案】<【分析】结合y=log乂=,og”的图象确定正确结论.32【详解】画出y=log/丁=log”的图象如下图所示：32通过观察这两个函数在区间(0,1)上的图象可知，要使iogy>iog；，则需，<.故答案为：<3.函数/Q)=log2*+l)+2的图像是把函数y=k>g2X的图像先向平移个单位，再向上移动2个单位.【答案】左1【分析】根据自变量加减左右移，函数值上加下减的平移原则，即可得到答案；【详解】Vog2xlog2(x+l),图象向左平移1个单位，log2(+l)log2(+l)+2,图象向上平移2个单位,故答案为：左，1题型六：对数函数单调性1 .下列函数中，在区间(0,y)上单调递减的是()A.y=Iog2XB.y=2rC.y=y+1D.y=x3【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.【详解】A选项：函数y=iog2”的定义域为(0,+g),且在(o,y)上单调递增，A选项错误;B选项：函数y=2=g)的定义域为R,且在R上单调递减，B选项正确；C选项：函数y=77T的定义域为T,go),且在卜1,转)上单调递增，C选项错误;D选项：函数y=的定义域为R,且在R上单调递增，D选项错误；故选：B.2 .已知1%(/+1)<叫.(2)，则实数0的取值范围是.【答案】(0,1)【分析】对。进行分类讨论，结合对数函数的单调性求得。的取值范围.【详解】当O<<时，y=10g°在(0,+8)上递减，a2+>2,6-2+1=(-i)2>0恒成立当>I时，y=IogaX在(0,+8)上递增,a2+<2a,a2-2a+=a-)2VO无解.综上所述，的取值范围是(0).故答案为：(OJ)3 .已知oga2>log",则底数。的取值范围为.【答案】(l,*o)【分析】根据对数函数底数范围和对数函数单调性即可判断的范围.【详解】若OVaV1,则log,2<log,J,不符题意；若则Iog“2>10乳1,符合题意；综上，a>l.故答案为：(l,÷0°).题型七：对数型复合函数单调性1 .己知函数/(x)=log2(-Y-4x+5),则函数/()的单调递增区间为()A.(o,-2)B.(-5,-2)C.(-2,1)D.(-2,+)【答案】B【分析】求出给定函数的定义域，再利用复合函数单调性求解作答.【详解】函数/(幻=1。区(-/-44+5)有意义，贝j-f-4x+5>0,解得5VXV1,即函数/3的定义域为(-5,1),函数"=_/_4x+5在(-5,-2)上单调递增，在(一2,1)上单调递减，而函数y=log2在(0，+8)上单调递增，因此函数/(x)在(-5,-2)上单调递增，在(-2,1)上单调递减，所以函数/U)的单调递增区间为(-5,-2).故选：B2 .若力=晚2任-依+6)在区间-2,2)上是减函数，则实数。的取值范围为()A.4,5B.(4,5C.4,5)D.5,+)【答案】A【分析】由对数型复合函数的定义域和单调性，结合二次函数性质，列不等式组即可得解.【详解】Sg(x)=X2-ax+6f由题意得：ger)=-v+6>0在1-2,2)上恒成立，且由复合函数单调性“同增异减”原则可知：函数8(工)=必一"+6在-2,2)上单调递减，-2则有，2,解得：4a5.g0故选：A3.函数/(x)=ln(x2+4x-21)的单调递减区间是.【答案】SL7)【分析】根据复合函数的单调规律来判断.【详解】要使/(x)=In(X2+4x-21)有意义，则炉+4,解得X<-7或x>3,/(x)=ln(+4x-21)(-,-7)u(3,+),z=x2+4x-21,x(jo,-7)<j(3,+),则y=ln，因为y=ln在定义域上单调递增；4=W+4x-2Lx4-,-7)53,÷)的增区间为(3,+),减区间为(-,-7),所以根据复合函数的单调性可得/(x)=ln(Y+4x-21)的递减区间为(-,-7)故答案为：(-,-7)题型八：对数函数单调性应用1 .BlO=21ne=lni,c=10lge,则O,bfC的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a【答案】C【分析】根据对数函数的单调性即可判断.【详解】a=21ne=lne2=2,=ln10,.e2>11),.a>b,.C=IOlsc=e,.c>a>b.故选：C.2 .已知e是自然对数的底数，函数f(x)=e-e',实数也满足不等式/例-2M+/(2-)>0,则下列结论正确的是()A.eff,>2ewB.若>一1,贝J>2w+1mC.ln(w-H)>0D.,w2022>2022【答案】ABC【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质得到+利用不等式的性质即可一一判断.【详解】力的定义域为R,/(-x)=ev-e-jf=-(x),所以“X)是奇函数.因为y=e=,y=-e，在R上都单调递减，所以f(x)在R上是减函数.又/(3-2m)+(2-)>0,则/(3-26)>一/(2-)，gp(3-2m)>y(n-2),所以3n-2"z<-2,BP/Tt>/7+1.因为y=e'在R上是增函数，所以e>e"+>2e",故A正确；因为>T,所以+lnm(n+)-n(m+)tn-n所以-7=Z=-T_八>°，故B正确；m+lmmym+)n(n+l)因为y=lnx在(0,+e)上是增函数，所以ln(L)>lnl,即ln(m-)>0,故C正确；取m=1,=一3,满足相>+1,但m2022>°22不成立，故D错误.故选:ABC.3 .已知/(X)=八"二"+2&："(a。,。")是R上的减函数，则。的取值范围是.logdx,x>l1n【答案】【分析】根据一次函数和对数函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式,求解即可.【详解】根据题意可得：5-l<0,0<a<l,且5al+2z0,解得eTT故答案为：题型九：对数函数的最值1 .已知函数'=°g;",当xe,时，函数的最大值比最小值大%则实数4=.【答案】4【分析】根据对数函数的单调性求出函数的最大值和最小值，结合题意列出等式，计算即可.【详解】因为y=°g/在(0，+8)上是严格减函数，所以logrog3=4,即>o且=(14,解得=4.故答案为：42 .设函数/W=og在区间。，2上的最大值与最小值之差为g,则=.【答案】4【分析】由题意可得og(2)TogM=从而可求出。的值【详解】因为>l,所以/(X)=IOgar在m2上递增，所以IOga(2a)IOgaa=3,即IOga2=；,所以=4.答案：42a-ax<43 .已知函数x)=<'一，若/力存在最小值，则实数。的取值范围是.log2x,x4【答案】(y),-2【分析】根据分段函数的解析式讨论X的取值范围，再利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】当x<4时，力=2'-。的取值范围是(一416-。)，当x4时，/(x)log24=2,若/(x)存在最小值，则-2,解得2»即实数的取值范围是(-8,-2.故答案为：(，-2.题型十：根据对数函数的最值求参数1.函数yTog.X在2,3上最大值比最小值大1,则=-32【答案】:或彳1.J【解析】根据题意，分别讨论4>l和0<<l两种情况，根据对数函数单调性，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为函数y=logflX在2,3上最大值比最小值大I,当>时，函数y=log.X单调递增,3 3x-ymin=1gw3-Iogu2=Iogu-=1,解得。=5，符合题意；当0va<l时，函数y=10gtlX单调递减，4 2%il-)'min=log02-log"3=logq=l,解得4=§，符合题意；5 2即a=,或a=§.32故答案为：9或彳.【点睛】本题主要考查由对数函数最值之间的关系求参数，熟记对数函数单调性即可，属于基础题型.2 .已知函数/O)为函数y='(>l)的反函数，且八外在区间。,2句上的最大值与最小值之差为L则。的值为.【答案】2【分析】由题意知：/(乃二1。8"”且在5,2上单调递增，由此即可列出等式，解出答案.【详解】因为f(x)为函数,，=优的反函数，所以/()=iog,又a>l,所以/(幻=Iog“x在42可上单调递增，所以当X出,羽时/(x)min=f(a)=Iogrt=1,f(x)ma=f(2a)=Iogrr伽)，由题意，log(2a)-l=l,所以log<2a)=2,a2=2a,解得。=2或=O(舍去).故答案为：2.3 .已知函数/(#=1呜(4'+1)-；乂求证：log4(4*+1)=Iogil(1+4*)；(2)若函数y=(x)的图象与直线y=gx+没有交点，求实数。的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)0.【分析】(I)根据对数的运算性质进行证明即可；(2)由两个函数图象没有交点转化为方程无实数解，利用构造函数法，根据函数的单调性进行求解即可.4x+1Iog4(4r+D-v=Iog4(4x+1)-Iog44a=Iog4=Iog4(1+4'r)；4若函数y=f()的图象与直线y=g+4没有交点，则方程1呜(4'+1)-9=无实数解，即方程1呜(4*+1)-X=。无实数解.x+1令g(x)=Iog4(4v÷1)-X=Iog4=log4(l+4v),4则g(x)在R上是单调减函数，又l+4>l,所以g")>0,因为函数g(x)的图象与直线产无交点O；题型十一：对数函数最值与不等式综合应用1 .设X,y是实数，则"Ovxvl,且OVyVI"是"logzX+log?”。”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先判断“Ovxvl,且0<y<l"能否推出"log2x+log2J<0;再判断log2X+log2y<0能否推出“0VXV1,且OVyV1，利用充分条件和必要条件的定义即可判断.【详解】若"Ovxvl,且0<yvl",贝JO<W<1,Iog2x+Iog2y=Iog2xy<Iog21=0,所以"Ovxvl,且0<y<l"是"1%工+1。82丁<。充分条件；log2x+log2y<0,则log2x+log2、=IogzDVlogzl=O,可得°<个'<1,但得不出“Ovxvl,且0<y<l",如X=77，y=2可得log2X+log2y<O,所以log2X+log2y<0得不出"Ovxvl,且OVyV1”,所以"Ovxvl,且0<y<l"是"Iog2r+log2y<0充分不必要条件；故选：A能正确判断条件能【点睛】关键点点睛：本题的关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义，否推出结论，结论能否推出条件.使得/(X)NgH),2 .已知/(x)=M(X2+1),g(x)=6)-?，若对«0,3,31,2,则实数力的取值范围为()1 ,+00 4(11(1111A.I-,-B.I-,-C.-,+ID.【答案】D【分析】根据给定条件求出函数f()的最小值，g(幻的最小值即可列式求解.【详解】函数/(x)=In(X2+l)在0,3上单调递增，则有/(x)min=(0)=0,又g*)=6)-加在1,2上单调递减，则有g(x)min=g=；-小，因为“w0,3,r2l,2,使得/6)(占)，于是得;m0,解得m2,所以实数，"的取值范围是5,+8).故选：D3.若关于X的不等式9'-IOgN2(>0且。工1)在(,g上恒成立，贝心的取值范围为【答案】；，1)【分析】依题意，令MX)=Iog"-歹+2,则g(x)卷,0,对。分情况讨论，结合单调性即可求解.【详解】解：不等式9'7ogW2,在XW(OT时恒成立=log-9'+20,令MX)=Iog/-9A+2,1e(0,gMX)L之0,当>l时，=logfl-3+2<0,不满足题意;当OVaV1,此时（X）在（,g内单调递减，W(x)L=入0=log"；4+2O,.logfl-2=l,.44<1,2故答案为: