专题04 解三角形（中线问题）(典型例题+题型归类练)（解析版）.docx

专题04解三角形（中线问题）（典型例题+题型归类练）一、必备秘籍1、向量化（三角形中线问题）如图在A5C中，O为CB的中点，2而=ZC+而（此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）2、角互补ZADC+ZADB=Tr=CoSZADC+cosZADB=0二、典型例题例题1.如图，在A5C中，已知A8=2,AC=6无，NBAC=45。,BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P.求NBA/的正弦值；所以BM=CM=5C=I5.2在“IBM中，由余弦定理，得COSNBMA二BA12+AM2-AB22BMAMAM?+913Af在AACM中，由余弦定理，得CoSNCMA=C丁U="-二52,2CMAM13AMNBMA与NeMA互补，则COSN8MA+cosNCMA=O,解得AM=5,在,中由余弦定理，得二笔黑泮1"因为NBAMe（O所以SinNBAM=Jlcos?NBAM=|.解法2、由题意可得，AAC=AB×AC×cos45o=12,UUir1UU11in®,由/为边BC上的中线，则AM=5（A8+AC）,两边同时平方得，M2=-AB2+-C2+-ABAC=25,故|丽|二5,44211因为“为BC边中点，则的面积为“8C面积的1,所以LABXAMXsinNBAM=-×-A5×ACxsin/BAC,222J×2×5×sinNBAM=JXLX2x6应XSin45。，2223化简得，sinNB4M=g.例题2.在zAC中，内角a，B»C所对的边分别为4,匕，c，已知。=2.Z?=>5,c=1.(1)求SinASinB,sinC中的最大值；(2)求Ac边上的中线长.第(2)问思路点拨：本题涉及三角形中线问题，可以考虑中线向量化，也可以考虑角互补的技巧.:本题提供中线向量化方法【答案】最大值为sin8=4g(1).y5>y2>1,故有b>0>c=sinB>sinA>sinC,由余弦定理可得COSB=逑臼二=,2×2×12又BW(0,乃),.B=,故sinB=立.421(2)设AC边上的中线为8。，则8O=a(5A+8C),.(2BD)2=(BA+BC)2=c2+a2+2cacosB=I2+()2+2×l×>×cos-=1,4I丽|=4，即AC边上的中线长为52N例题3.在IBC中，内角A8,C的对边分别是,b,c,且SinAYnB='SinCa+b(I)求角4的大小：(2)若/)=6,且八C边上的中线长为4,求zWC的面积.第(2)问思路点拨：本题涉及三角形中线问题，可以考虑中线向量化，也可以考虑角互补的技巧.；本题提供角互补方法由(1)gg设的中点为必由余弦定理得CoS皿=咒盥COSZBDC=+B,由乙的+Ns。=%可得CoSN4DB=-8SNBDC2BDCD【答案】(I)B=三(2)毡32(1)由正弦定理得土a=史三，化简得/+C?-从=c.ca+b由余弦定理得COSB="+c-=L,fIac2由5e(0,乃可得8=：(2)设AC的中点为。，山A”一工田/AiBD2+AD2-AB2BD2+CD2-BC2由余弦定理得cosZADB=,cosZ.BDC=,2BDAD2BDCDItlZADB+/BDC=%可得COSZADB=-cosZBDC,hBD2+AD2-AB2BD2+CD2-BC2,l42+32-c242+32-a2=Jj=2BDD2BDCD2×4×32×4×3所以"¢2=50.乂/+c2-Z=c,b=6,所以c=14,所以S=LaCSinB="!-×14×-=2222三、题型归类练1 .已知ABC的内角AB,C对的边分别为。也c,c=2,cosC+3sinC=b+2.求A；若BC边上的中线A为6，求b.【答案】"弋(2)6=2(1)由cosC+VJsinC=Zj+2,c=2,得acosC+QsinC一C=O由正弦定理可得SinACoSC+>5sinAsinC-Sin8-sinC=0sinAcosC+5/3sinAsinC-sin(A+C)-sinC=0sinAcosC+53sinAsinC-sinACOSC-CoSASineSinC=O近SinASinC-COSASinC-SinC=O.C(0,乃)，.sinC0,0 J5sinA - CoSA = 1,02sin(A-) = 166,汽A6(2)因为AM为3C边上的中线,UUir1ULHULHI、所以4M.("+AC),所以赤2=；(而+=A2+2BAC+AC2j,所以(扃T22 +2x2Z?cosy+ >2 1,即3=1+卜2+京解得6=2或4(舍去).b=22 .已知函数/(x)=SinXcos(x-)-*R).求的最小正周期和最大值：(2)设的三边a、b、C所对的角分别为/、8、C,且/(苧)=3，b=3,48边上的中7线长为5,求的面积.【答案】(l)T=,最大值为g.(2)S=6jJ/(x)=SinXcost一看卜；=SinX(等COSX+gsinx=sin2x-os2x=lsinf2l2I6)故T=W=，当=+2At,即x=；+E,kZ时有最大值为;.2623z/图=颉(。用=；,即Sin(Cq)=1,Ce(O,),故C=”边上的中线长CO=,CD=(C4+C),故I西2=；#+函2=；(伊M词2+2两国二?，故9+23-g)=49,解得a=8或。=一5(舍去)，S=L力SinC=×3×8×-=6-73222R_ro3 .在三角形ABC中，有sii?号上+SinBsinC=1.(1)求角4(2)设Co是AB边上的中线，若NA8C=45o,AC=2,求中线CD的长.【答案】60。:(2)样(1)由已知，化简得lc°SP-C)+SinBsinC=2,241-cosBcosC-sinBsinC.n.3+smBsmC=,24整理得cos5cosC-sin8sinC=-,2即CoS(8+C)=-；,由于0<B+Cv;r,则6+C=与，所以A=60.ACsinA_3_/7(2)由题意得.sinT乂CoSNACB=CoS75=所以I前=(CA+C)2=4+6+2×2×6x62j=4-y,所以国=n154.在C中，AD是BC边的中线，ZBAC=120且A84C=-.(1)求dBC的面积；(2)若AB=5,求Ao的长.【答案】(1)身叵：(2)叵.42【详解】(1)VABAC=ABACsl20=-iABAC=-y,则画1码=15,.S诙=T网国SinN班C=TXl5xg苧；(2)由AB=5得AC=3,延长AO到E,使AD=OE,连接由平面向量加法的平行四边形法则可得2而=AE=AB+AC所以，4AD=(AB+AC=AB2+2ABC+AC2=25-5+9=9,.AD=,即AO的长吟.5 .在0/48C中，内角A，4,C所对的边分别为a,b,c,«cosC+ccosA=csinB,48边上中线长为立.2(1)求角G(2)若。=2,求a48C的面积.【答案】(I)C=I或C="；(2)巫或班.3322解(1)因为6rcosC+ccosA=2,csinB,由正弦定理知，sinAcosC+sinCcosA=sinCsinB.BPsin(A+C)=-sinCsin»sinB=sinCsinB,又sin80,所以SinC=1,即SinC=,32在酎8C中，所以C=?或C=,.(2)记。是45边上中线，MJCD=(CA+CB).I同=Y瓦+/)2户、宿：2直画=%当C=工时，有从+4+给=7,解得，6=1(负值舍去)，3此时0J8C的面积SAAeC=CBCA-sinC=:当C=笄时，有b、4-2b=7,解得，b=3(负值舍去)，此时BJBC的面积SJBC=CAsinC=挛；综上，0/IBC的面积为丑或空.226 .已知,b,c是zLBC三内角A6,C的对边，且处CoSC+c=%.(1)求角8的大小；(2)若b=2,且的面积为且，求2“IBC周长；力。边的中线BD的长度.【答案】；(2)2+I5":01.解：(1)由正弦定理：2sin8cosC+sinC=2sinA,.SinA=sin(乃-A)=sin(B+C)=sincosC+CosCsinB,/.sinC=2cosBsinC,X,.'C(O,),sinC0,.cosB=-,2又.4e(0,万)，所以4=g；(2)由余弦定理：b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-c=4(1),由三角形面积公式：S=acsinB=鼠至>即OC=2(2),242由(1)(2)a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-6=4,所以+c=Ji6,三角形周长为：2+标；在ABDoBCD中分别使用余弦定理：力2fC a2+b2=6c2=24y设Co = X,贝U在AC。中，由余弦定理得，CZ)2+a02-2CZ)AOcosNCDA = AC?,BP +1 - 2xcos s ZCDA = b2 ；在 BCD 中，由余弦定理得，CD2 + BD2 -2CD BDcosZCDB = BC2.即 x2 +1 - 2xcos cos Z.CDB = / ：乂 cos Z.CDA+cos Z.CDB = O, + 得，2f + 2 = 2+2,故W=,所以0) = JiT.因此，中线。的长度JTT .=BD2+-2BD-cosZADB(3)42,2/a2=BD2+-2D-cosZCDB(4)42又因为ZADB+ZCDB=,cosNADB+cosNCDB=0.2(3)+(4)=fl2+c2-=6-2=42所以BD=戊7.在48C中，角A,B,C的对边分别是“，b,c,且为sin8=5ctanC.(1)求上的值；c(2)记边AB的中点为O,若AB=2,求中线8的长度.【答案】(1)6：(2)H.CSinGO/jA=5r(1)由题设条件可得：2sin8=5c半，BfJa2+h2-c2cosC-