专题05 解三角形（角平分线问题问题）(典型例题+题型归类练)（解析版）.docx

角平分线专题05解三角形（角平分线问题问题）（典型例题+题型归类练）一、必备秘籍如图，在A3C中，Ao平分N84C,角A,B,C所对的边分别为，b,核心技巧L内角平分线定理:丝=生或丝=处BDDCACDC核心技巧2：等面积法（使用频率最高）SMBC=SMBD+Sdczz>-ABxAC×sinA=AB×ADxsin-+-ACxADxsin-核心技巧3：边与面积的比值:ABAC核心技巧4：角互补:ZADB+ZADC=4=CoSZAoB+cosZADC=0在皿中有：BUa*aaOIl-y/E)A÷DC-AC在ADC中有：cosZADC=2DA×DC二、典型例题例题L如图，已知4）是AC中的C的角平分线，交BC边于点AD用正弦定理证明，-BDDC(2)若NBAC=I20。，AB=29AC=I,求AO的长.第(2)问思路点拨：本小题已知HC=I20。，AB=2,AC=I,求心的长.可利用第(1)问结论解答过程:用坦Aa亡血BAi-AC2-BC2h22+12-BC22ABAC2×2×1根据余弦定理，COSZ.BAC=,即sl20=利用第(1)问结论»八、IABDB.DB2727由(1)知就=而,而=T得S=可'Bn=;AD=X在A4皿与A4DC中，根据余弦定理得，GV",一且“。2z+炉一(亍)2s60=cos60=2xl2x229解得3=x=:,即4。的长为4【答案】(D证明见解析；(2)%：(1)VAO是NBAC的角平分线，/BAO=NCA。根据正弦定理，在ABE中,SinZBAD sinZADBBD - BA,在AQC中,SinZDAC SinZADCDC - ACV sin ZADB = sin( - ZADC) = sin Z.ADC sin ZBAD SinZADBDBsin ZDAC DCsin ZADCAC "BC二戊(2)根据余弦定理,1,即COSN助cJ”+解-L2ABAC得BC=耳又BC=N喂吃解得8邛,如咨设则在乎与AB。中,+l22+r2(2近)2根据余弦定理得，。且。T亍)cos60=cos60=2xl2x229解得A。=X=W,即的长为宗3J例题2.在中，内角48,。所对的边分别为4也。且海18=加由卜+三).(1)求角4的大小;若A=3,AB=2,/B4C的内角平分线交BC于点O,求AO.第(2)问思路点拨：由(D知/=：,求角平分线3长，可优先考虑面积公式解答过程:由(D知/=*,由角平分线面积公式LeC=S,加+S皿=>-AB-ACsinABAC=-ABADsinZBAD+-ADACinZDAC代入数据计算a1z4兀ICjx7C1._x«Tl：.AD = . 4×3×1×sn-=×3×ADxsrn-+×ADxlxsm-,232626【答案】(I)5;(2)挛.34(1).sin8=6sin(A+g),由正弦定理得SinASinB=SinBSin(A+1),.,si11B0,.,.sin=sin4+Lsin=sinA+即，sinA=cosA,'tanA=>5,A(0,),.A=223(N):SAABC=SAABD+SaADC，.-AB-ACSinZBAC=-AB-ADsnZBAD+-AD-ACSinZDACt222.-×3×Ixsin-=-×3×ADxsin-+-×ADxlxsin-,/.AD=2326264例题3.在“8C中，A6=3,BC=4,线段BO是ZB的角平分线，且S”的=6.求S.【答案】8；解(1)Q8。平分ZABC.ZABD=ZDBc乙ABDABBDsinZABDdq2A8_3SdBCD-BDBCsinZDBCBC42s4A.KD-3AaABDA例题4.在“IBC中，。是BC的中点，B,AC=2,AD=-.2(1)4ABC的面积为.(2)若AE为NBAC的角平分线，E在线段BC上，则AE的长度为.解:(1)由题意，QO是BC的中点，.AD=(+AC),.JAD2=-(AB+AC)2=(2+ACI2+2AB-AC)3即力严4+2gg解得福将T.:.cosZBAC=ABACBACy,0<ZBAC<r9.BAC=t.Shc=-AB-CsinZBAC=-××2×-=-30伙2222（2）由题意，由（1）可知，ZfiAE=ZCAE=IzBAC=P由工=+Sj"可得-ABAEsn-+-ACAEsin-=-ABACsn-9即且AE+立AE=立，从而232323422AE=-.3例题5.在AABC中，AM是/刖C的角平分线，且交班?于M.已知AM=2J,BM=2,MC=3,则AC=；思路点拨：在AXBC中，4M是皿C的角平分线，且交SC于M.已知NM=26,皿=2,MC=3,涉及到角平分线，又SM=ZMC=3,可利用也=幺,得到电,4。的关系CMAC1237【答案】36解答过程:由4M是WC的角平分线，又BM=2,MC=3,得也=坐=2,设"=2m,则NC=3mCMAC3：利用角互补关系（不适合面积公式）之因为+4MC=t,则cOSZZ44B=-COSS4利用余弦定理代入得:21-2164加83,整理得30w2=90>解得m=75或JW=-73（舍）.所以4C=3>由角平分线的性质知：ABiAC=BM:MC=23f若A8=2肛AC=3?,因为ZAMB÷ZAMC=9则cosZAMB=-cosZAMC,所以21-W16-4m21239整理得30w2=90,解得=6或-6（舍）所以AC=3J故答案为：33三、题型归类练1.三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.请你认真思考，用三角形内角平分线定理解决问题:线，AB=3,AC=4,BC=S,则Ap=()A.2B.日C.他777【答案】D如下图所示，过点加作OEJ.AP,垂足为点E,ZT5C在IBC中，A=3,AC=4,BC=5,UWAB2+AC2=BC2,因为ZBAC的角平分线交ZR4C于点8C,则ZBAD=45。，根据内角平分线定理可得条=若=,BD=Ibc=A,-XZlz*/BDBC557DE在用AOE中，ZAa=90,NZME=45,SinNDAE=而,已知AABC中，AZ)为角平分D,诬7ZBAC=90,.AD=q及.sin457故选：D.2.在中，角At8,C的对边分别为a,btcf已知，(4+b)(sinA-sin5)=c(sinC+sin8),若角4的内角平分线A。的长为2,则4h+c的最小值为()A.10B.12C.16D.18【答案】D解：因为(。+6)(SinA-sinB)=C(SinC+sinB),所以(+b)(-b)=c(c+b),gpa2=b2+c2+bc,由余弦定理易得COSA=-又OVAV4A=.3.AD平分角A,aZBAD=ZCAD=60°.IIlSaAbC=SAABD+SdACD»得Lbcsin120。=JC40sin60°+!40sin600,222即bc=2(b+c),即*=；,bc2:.4+c=2-(4+c)=25+-j2(5+2×2)=18,当且仅当c=2MI寸等号成立，即4/?+C的最小值为18.故选：D.3.在AABC中，内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,若qsin4=csinC+e-c)sinB,角A的角平分线交SC于点。，且AZ)=2J,c=3b,则的值为()C.3D,也3【答案】D因为“sinA=csinC+S-C)Sin8,由正弦定理得：a2=c2+b2-bc则c?+从一/=从，由余弦定理可得：CoSA=C+b_匕=包_=L.o<a<,所以A=f,由2bc2bc2371JT1TFs.bc=s.bd+s,cd有彳MSin三=彳CAOSinz+彳。AOsi工，得仍=勿+3，251o2oQ因为c=3b,所以劝J昉，.6>0,C=劝=8,由余弦定理可得TTlT-/7匚64648万a=c+b-IcbcosA=./64+=.Y933故选：D.AD2 + CD2 - AC22ADCDcos(-ZADC) =BD2+ CD2-BC2IBD CD4 .在2LC中，CD是ZACB的角平分线且通=4而,Af>I=，若ICDI=3,则NCDA=,.ABC的面积为.【答案】V64在C中，C。是ZACe的角平分线，且48=44),则有：“-ACCDsinZACDc-ADCDsinZADCa.1ACOO.rnOAD1._=j=甘区2=丁/=-,令C4=1,则BCBCCDsinZBCDSJiCDBDCDsin(-ZADC)BD3CB=3t,在AHCD与2X8CD中，由余弦定理得：CosZADC=因此'*+号等=°'得"4'即有c°sNC"=需=乎，解得/84=(,ABC的面积为S=4Sj0c=4g3>x=6.故答案为：645 .在中，ZA=60NA的角平分线与8。边相交于O.月。=竽，3C=7,则AB边的长度为一.【答案】2或3#3或2由题意得S“加=!ABX4Oxsin30=Laax延=述A8,24510SJCD=-C×AD×sin30。ACXM=述4C，A245101 F)SRic=一A8xAC×sin60=AB×AC»2 4由SAABC=SdABD+acd，可得(AB+AC)=AB×AC»104所以A8+AC=2a3xAC,6又由余弦定理，AB2+AC2-ABxAC=I,可得(A8+AC)?-3ABxAC=7,所以生(A8xAC)2-3A8xAC=7,解得ABXAe=6,36又由AB+AC = 5,可得AB=2(AB=3“O或彳"OAC=3AC=2故答案为：2或36.已知AABC的内角A,AC所对的边分别为mb,c,tanB+tanC-3tanBtanC+3=0.求角A的大小；(2)若防=2反，AO=2,且AO平分NBAC,求ZkABC的面积.注：三角形的内角平分线定理：在APQR中，点M在边QR上，且PM为NQPR的内角平分线，有丝=空【答案】(1)£(2)地32(I)M¾tan+tanC-3tantanC÷3=0,故一邪=,1-tanBtanC所以一币=tan(8+C)即tanA=G,而A为三角形内角，故A=。.(2)因为丽=2反1,所以8Z)=2DC,因为AD为角平分线，故/B4£)=NC4£)=30。且空=丝=2即AB=2AC,ACDC由余弦定理可得BD1=BA2+4-4×BAx-=BA2+4-23BA，2且。>=CA2+4-4xCAx*=CA?+4-2辰½所以4C*+4-43CA=4(CA2+4-2辰A),解得CA=G故BA=2L所以三角形的面积为LBAXCA=L2JxJx3=空.22227 .记“8C的内角A,8,C的对边分别为4,4c,已知cos?C-cos?A+(sinA+sin)sinB=0.求C；(2)若。，为方程f-i+2O=O的两个实数根，且C的角平分线交48于点Q,求CD.【答案】(I)C=,;(2)2.(1)依题意，1一sin?C-l+sin?A+sinAsinB+sin2B=O»Wsin2A+sin2B-sin2C=-sinAsinB,在中，由正弦定理得：a2+b2-c2=-cb,由余弦定理得：cosC=a'+bc2ab22Jrl10<C<,解得C=,2Jr所以C=胃.(2)依题意，a+h=O,H=20,而8是OBC的角平分线，则SAAa,+S.°=Sj比，即L"8sin工+,aCDsin工=，他Sin生，整理得(a+b)CD=",解得CD=-=2,232323a+b所以CD=2.8 .已知AABC中，内角A、B、C的对边分别为、b、c,BQ为NABC的角平分线.B求证：AD:AB=CDiCB；若皮>=2且c=2a=6,求4A8C的面积.【答案】证明见解析吨2(1)由题意可得SinNADB=Sin("一ZBOC)=SinN的，因为8。为NABC的角平分线，贝IZABD=CBD,ADABsin NABD sin NADBl AD sin ZABD EWfcICo sin NCBD,则一=,同理可得一=AB SinZAOBCB sin ABDC因此=,UIjAD'.AB=CD:CB.ABCB(2)设ZBD=NCBD=,则ZABC=2,因为S揖bc=SCiABD+SaCBD,即-acsin2=c-BDsin+-a-BDsin,又5£>=2且c=2=6,可得sin2e=sin6=2sin6cos6,因为0<26<乃，则0<。<三，则2sin6>0,8s6>0,可得CoSe=。=二23rif-r.如C_1qa3-932oc2229 .已知AABC中，a,h,c分别为内角A,8,C的对边，且为SinA=(2Z?+C)Sin3+(2r+Z?)SinC.求角A的大小；设点。为的C上一点，A。是4BC的角平分线，且AD=2,。=3,求“IBC的面积.【答案】(1)”(2)也32在AABC中，由正弦定理及2asin4=(2Z?+C)Sin8+(2c+/?)SinC得：a2-b2-bc=c2.由余弦定理得CosA=0+-"=-,2bc2又OVAV兀，所以A=与TT(2)AD是4A8C的角平分线，ZBD=ZDAC=-,3-93由SAABC=SJBD+SqD可得gcsin与=TCX4。XSinl+g人XAoXSinl因为6=3,AD=2,即有3c=2c+6,。=6,=/?csinA=×3×6×A八DL2210.已知“8C的内角A,B,C的对边分别是mb,c,点。在BC边上，Ao是角平分线,sin2C÷sin2+sinCsinB=sin2A,且的面积为26.UlUUUU(1)求A的大小及ABAC的值；(2)若c=4,求Bo的长.【答案】(I)A=I20°,而恁=-4生】3(1)W：在中，sin2C+sin2+sinCsinB=sin2A,由正弦定理得/+6+A=。?，由余弦定理可得CoSA=L'Zf：=一L2cb2X.,A(O,),.A=I20o,.Sbc=icZ?sinZBAC=cZ?sin120o=23,'-cb×-=2y3y解得力c=8,22UuDUliDIIIlIII*UllUI(1、.AAC=ACcosl20o=c>l-1=-4:(2)解：c=4,由(1)得尻=8,.b=2,.A。是角平分线，二ZCAD=ZBAD=60o,故SAABC=SiDC+SAADB=IACAOSin60。+LABAOsin600=Ao=2#，解得-iZtOV4AZIXXVX-*Ztrzo?44。=一，34在”£)中，AB=4,AD=-,ZmB=60。，由余弦定理得必=A82+AZ)2-2A6ADcOSNZ)A6=16+与-2x4XgXT=半，.BD=也.311 .在AABC中，角A,B,。所对的边分别是4,b,c,A。为NBAC的角平分线，已知c=2且"十°2一/=(>2CoSA>c,AD=三小求ABC的面积；24【答案】1(1)由余弦定理得：a2+c2-Z>2=2accos所以/+(?一/=(,-2cosa)反可化为：2accosB=(G-2c。SAbc，即acosB+bcosA=；b.由正弦定理得：SinAcosB+SinBcojA=-sinA,所以Sin(A+8)=§sin8因为A+3+C=乃，所以A+8=%一C,所以SinA+B=sin乃一C=SinC,即SinC=gsinB.由正弦定理得：c=-b.因为c=2,所以b=6.在AABC中，AO为NMC的角平分线，所以段=绘=3,不妨设BoXCO=3，.BDAB2设NAOB=。,则NADC二"一依"+=2由余弦定理可得：CoSei2+g"B2J5J2ADBDC652×-f-r5所以边长=4=亚5由余弦定理可得：cos A =AB2+ AC2-BC22ABAC22+62-重、l 5 j2×2×63 ,旦 A(0), 5解：在中,由正弦定理得sin ZAMBCM在ZXACM中，由正弦定理得.二 sin Z.CAMbsin ZAMC所以SinA=JI-COS2A=11424所以ABC的面积为一。CSinA=-X6x2X-=一.225512 .在a48C中，角A、B、C所对的边分别为。、b、ct=5,b=l,C=&，点M是BC上的点.（1）若AM是。的角平分线，求器的值;CM（2）若AM是BC边上的中线，求AM的长.【答案】（1）2;（2）pA由条件知，NB4M=NC4M,SinZAAfB=SinZAMC,.BMcrr所以K7=W=.CMb(2)因为CoSNAMB=-8sNWC,所以由余弦定理得所以，AM=y2(b2+c2)-a2=.13 .已知“IBC中，角A,B,C所对的边分别为小力，c,点。在4C边上，8。为NABC的角平分线.产=不.若BD = b,求CoSNABC的大小.【答案】(1)2(2)工Saabc 3 (I)V-c = ", 0AD LS1LBCBDSmNCBD “ 1.屋班，即2:型S Aabd 2-!-A. BDsin ZDfiA AB 22由正弦定理可得BDSinCBC AB BD sin Z.BDC Sin NBDA sin A. Z.BDC + Z.BDA = , :. BCsin C = AB sin Asin C sinAAB BC(2)v=,AD=2CD,即AO=2"CO=L匕'ABD233设A5=2x,则8C=x;/BDC+/BDA=Tr,2b2,b+x9.b2b32b3b2IF.,.cosNABC=x2+4x2-b25x2-b22x2x4x23744