专题07 解三角形（面积问题（含定值最值范围问题））(典型例题+题型归类练)（解析版）.docx

专题07解三角形（面积问题（含定值，最值，范围问题）（典型例题+题型归类练）一、必备秘籍基本公式1、正弦定理及其变形=-=2?（R为三角形外接圆半径）sinAsinBsinC（1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（边化角公式）（2）sinA=,sinB=,sinC=（角化边公式）2R2R2Ra:b:c=sinAisinBisinC基本公式2、余弦定理及其推论a2=b2+c2-2hccosAC、222dq+c-b2=a2+c2-2accosB=>CoSB=2acc2=a2+b2-2abcosC。2+力2_2cosC=2ab基本公式3、常用的三角形面积公式（1） Smbc=5X底X高；（2） Sbc=absinC=bcsinA=casinB（两边夹一角）；核心秘籍1、基本不等式而三c+2"核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）利用正弦定理”=2HSinA,b=2RsinB,代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.二、典型例题角度1：求三角形面积(定值问题)例题L(2022陕西省安康中学高二期末(理)在“Be中，(2b-6c)cosA=GaCOSC.(1)求NA的大小；(2)若C=J,a=2,求的面积.【答案】NA=J(2)6O(1)解：因为(2b-6c)cosA=GcosC,由正弦定理可得2sin6cosA-bSinCCoSA=QSinACOSC,即2sinBcosA=百(sinAcosC+cosAsinC)=>3sm(A+C)=>3sinB,又在“IBC中，SinBwO,所以COSA=且，e(0,),所以4=勺；26(2)解：由余弦定理得CoSA=史士4，即F+3b=立,2bc2h2解得6=2,所以c=2jj,又SinA=所以S=Ucsin4=L2x2GXL=6：.222角度2：求三角形面积（最值问题，优先推荐基本不等式）例题2.（2022青海海东市第一中学模拟预测（文）在aA8C中，角A8,C的对边分别为4,Zc,a2-b2+bc=ccosB.（D求角4,若加inA=VJsinB,求面积的最大值.【答案】（I）A = ?(1)由/一6+1bc=ccos8,可得+«_Lbc,+c2-a2=bc»则22ac2CoSA=Xd2bc2由于0<Av,所以4=三.（2）由加inA=若sinB,可得sinB=GsinB,XsinB>O,则=6,则a2=b2+c2-2ccosA=b2+c2-bc2bc-be，（当且仅当力=C时等号成立），则於3,（当且仅当方=C=G时等号成立），则Sf=gbcsinAg3等=手，即“IBC面积的最大值为空.4角度3：求三角形面积（范围问题，优先推荐正弦定理化角）例题3.（2022黑龙江哈师大附中高一期中）在锐角中，内角A,8,C的对边分别为","c,向量；=（,c）,n=（acosA,b-a）,满足正/而.（1）求角C的值：（2）若c=L求aA8C的面积的取值范围.【答案】(I)C=A(2)日,手(l).mw>*c(h-a)=cacosA,t：a>0,.,.b-a=ccosA,由正弦定理得sinCcosA=Sin8-gSinA=sin(A+Q-sinA,可得SinCCoSA=SinACOsC+cosAsinC-BSin4,即SinACOSC=BSin4,1JTItlsinAHO,可得CoSC=由C(0,4),可得C=.(2)因为c=5,C=5，A+8=8=-A,a_bCg由止弦定理得SinAsinBsinCt，sin一3/.a=2sinA,b=2sin5,C1.e,ABC=s11y=亨ab=y3sinA-sinB=>3sinAsin(-A)=>3sinA(cosA+sinA)=sinAcosA+sin2A22223 .o3AA小有CA兀、6=sm2Acos2A+-=sn(2A)+二一»4 44264t,.TtC2万.TtTi.it.锐角aABC,/.O<A<,0<A<-f.-<A<-t2326271_.71_.TV5TT1.7,j,.<2<，：.<2A<,-<si(24)1*3 66626,33.%M.<sm(2A)，4 262便迈bce例题4.(2022浙江瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习)aA8C中，角A,B,C所对的边Irr/A+C分别为"he,已知/n=(<?,/?),/?=IsinAsin求8;(2)若aA8C为锐角三角形，且。=2有，求的面积的取值范围.【答案】(1)8=(2)罟,6/Irr(1)解：由题意，向量?=(,/?),=sin4,sinA+C因为而/3,可得sin=bsinA,241rr又由正弦定理得SinAsin-=sinBsin,2A4-C因为A(O,r),所以SinA>0,所以Sin-二Sin3,即sin=sin=巨=cos-,所以2sin-cos-=cos-,22222可得 cos3(2sing_l) = 0又因为3w(0,r),所以5 = (.a b c _2币=b . C解：由(1)结合正弦定理= 可得sin4 . SinC，SinA sn sinesin 3所以c _ 2>3sinC _ 2>3sin(A + B) _ *V5sinA +女OSASinAsinASinA= LCSinB =二3 j3sinA + 3cosA 9 13>/3=+,2 SinA2 tanA 2又由为锐角三角形，且B = ?,0< A<- 2n 2r t 0<A< 32因为y = tanx在x 6,2单调递增,所以 tanA > , 3所以手<S.a8c<6G,即SA三、题型归类练cosC-2cossin C1（2022全国模拟预测）在ABC中，角4,8,C的对边分别为a也c,tan8=a<b.求角B；若=3,b=7,。为AC边的中点，求ABCO的面积.【答案】（I）B=M（2）”338CoSC2cosA(1)由tan8=:,tanBsinC=cosC-2cosA,两边同乘cos8得sinCsinBsinC=CosBcosC-2COSACoS8,cos(+C)=2cosAcosB,BJcosA=2cosAcosB.因为vb,所以A为锐角，CoSAHO,所以COS5=-g.又因为B(0),所以8=彳.在“IBC中，由余弦定理COS8=/+L'=-,即9+丁49_,故：+3,40=0,2ac26c2解得c=5或c=-8舍).故SA8CO=SAABC=；x；x3x5xsin?=.ZZ3o2. (2022湖南长沙一中高一阶段练习)在AABC中，AB=LAC=2,B-C=手求IanC的值：求AABC的面积S.【答案】(1)立(2)地514由正弦定理知驾=空=2,得sin8=2sinC,又8-C=4，所以sineAB3c厂.吟.小工6小2snC=snC÷=SinC+cosC,I3J22所以CoSC=-SinC,从而tan。=3.35(2)由(1)知CoSC=-SinC,代入si/c+cMc=I得SinC=立LCOSC=里，因为31414A=-B-C=-2C,3所以S=ABACsinA=sinf-2C=-cos2C-sin2C2(3J223J1 53,3>Tx14-8-14-=(cos2C-sin2C)-SinCcosC=3. (2022北京市第三十五中学高一阶段练习)在锐角aA8C中，角ARC所对的边分别为a,b,c,已知4=J,Jsin3+J5sinA=*2(1)求角A的大小；(2)求的面积.【答案】(l)g色34解：由正弦定理YT=工，乂=6,b=J,所以在=巫，所以SinB=立警，sinAsinBSinAsinB3XsinB+3sin=,所以衣&!M+in=,即SinA=立，2322又0A彳，所以A=；23解：由(1)可得sin8=立警=也，又。B；,所以8=f,3224所以SinC=Sin(4+8)=sin+.-sincos+cossin3434-23l-6÷-X十X22224gr-pic1,.,I/7/T#+&-Vs+3Jyr以S.nr?SInC=×3×2X=:“BC22444. (2022甘肃高台县第一中学高二阶段练习(理)在中，角A,B,C的对边分别为小b,c,且=b(sinC+cosC).(1)求3：若b=l,求面积的最大值.【答案】(1)：(2)上史44(1)因为。=MSinC+cosC),由正弦定理得SinA=Sin(8+C)=sin8sinC+sinBCoSCt整理得sinCcosB=sinBsinC,因为SinC>0,所以sin8=cosB,即tanB=l,由3为三角形内角得8=；4由余弦定理得，b2=a2+c2-2accosB=a2+c2->2ac(2-2)ac,当且仅当二c时取等号，解得acg2,A8C面积S=L/csinB=立ac"近,所以aA8C面积的最大值匕.24445. (2022辽宁建平县实验中学高一阶段练习)已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cosC(6rcosB+Z?cosA)=c.求C；(2)若c=",求ABC面积的最大值.【答案】(I)C=2；(2)硬34由2cosC(cos8+bCoSA)=c,可得2cosC(sinAcosB+sinBCOSA)=sinC即2cosCsin(A+3)=2cosCsinC=sinC,又SinC>0,则CoSC=；,又0<C<,则C=方(2)aABC中，c-Jl,C=-则由余弦定理可得7=/+从一C仍，即7+ab=a2+b2则7+H2,(当且仅当二b时等号成立)解之得H7(当且仅当=b=7时等号成立)则SAABC加inC=岑H>乎(当且仅当=b=c="时等号成立)，即a4BC面积的最大值为友46. (2022福建三明一中模拟预测)己知的内角A,B,。所对的边分别为小b,c,且c=2Z?-2«cosC.求角A；(2)若M为3C的中点，AM=5求4ABC面积的最大值.【答案】A=(2)J解法一：因为C=乃CoSC,由正弦定理得：si11C=2sinB-2sinAcosC,所以SinC=2sin(A+C)-2sinAcosC=2sinACOSC+2COSASinC2Sin4cosC=2cosAsinC,因为SinC0,所以2cosA=1,cosA=,2为OVAv,所以Ag解法二：因为c=2h-2cosC,由余弦定理得：c=2力一24"+"-2,Iab整理得反=从十°2一a2=b2+c2-bc,又由余弦定理得/=b2+C2-2bccosA所以2cosA=1,cosA=L2因为OvAv,所以A4.(2)解法一：因为M为BC的中点,所以丽7(而+祝)，2所以询2=l(AB2+2AB.AC+AC2j,即3=；卜+/+2bccos?),即H+d=12-bc,而从+/N2bc,所以12-加2c即秘4,当且仅当力=c=2时等号成立所以ZkABC的面积为SgBC=UCSin×4×J3.zoc222V即的面积的最大值为5.解法二：设8M=MC=m,在"UW中，由余弦定理得c2=3+-2x6xcosNAMB,在ZXACW中，由余弦定理得从=3+，-2x6XCOSNAMC,因为ZAMB+ZAMC=,所以cosZAMB+cosZAMC=0所以+式得/+¢2=6+262.在aA8C中，由余弦定理得4m2=b2+c2-2×bccosA,而A=4m2=b2+c2-bc,联立得：2b2+2c2-12=b2+c2-bc,b1+c2=2-bc,而从+/4c,所以12-庆;2次，即6c4,当且仅当h=c=2时等号成立.所以aA8C的面积为SABCCSinAJX4X等'.即的面积的最大值为57. (2022河北邯郸高一期中)已知锐角AABC的内角A,B,C的对边分别为,b,cCSin Asin= bsinCsin(B + C).求良(2)若=2,求AABC面积的取值范围.【答案】?A+C(1)解：根据题意CSinAsin=bsinCsin(8+C),由正弦定理得sinCsinASin卓2=SinBSinCsin(+C),因为根据题意A+8+C=r,所以B+C=-A,所以Sin(B+C)=sinA,4+C故sinCsinAsin=sinBsinCsinA,由0<A<2，0<C<,故SinA>0,sinC>0,22消去sin A ,Sin C,得 Sin = sinB.0<<,故=8而根据题意A+3+C=r,所以6.r2(2)解：因为“IBC是锐角三角形，由(1)知5=5，A+5+C=%得到4+。=§乃,0<A<-sin A sin Co2，解得gvA<g.乂由正弦定理f.2.620<A<由：用,形面枳公式行：c 1 1Ac = 2acs,n=2.八Osinc . , I 2 sin C .一 sin 8 = 。sin B =2 sinAsin A.2 12sincos3 tan A 331H2 tan A 2.2.2.sincosA-cossinA=323SinA又因<A<g,tanA>-,故且<3一!一+走<26，棋叵"博寿，62322tan22由故Sjsc的取值范围是（书,26./8. （2022黑龙江哈尔滨三中高一阶段练习）在“IBC中，角A,B,C的对边分别是4,b,ct满足力sin4=asin（8+W）设q=3,c=2,过8作8。垂直AC于点。，点E为线段8。的中点，求诙丽的值；若为锐角三角形，c=2,求“LBC面积的取值范围.【答案】（1）,；（2）（4,2布.ZoZ,办SinA=°sin(8+)由正弦定理得:sinBSinA=SinASinlB+-|=-sinAsinB+-2-sinAcosB,I3)22nAcosB=0,因为Ac（0,兀），所以SinA0,1h所以一SinB-CosB=Ot即tan8=6,22因为8(0,c),所以B=1,因为=3,c=2,由余弦定理得：b2=a2+C22ac,cos=9÷4-6=7因为6>0，所以力=-Jl.Hrh>1D退具叶Sd*Bc=B=×3×2×-=y-,所以30=空3=挛=空I,AC77因为点E为线段8。的中点，所以BE=誓,由题意得：EA=ED+DA=BE+DA所以丽丽=炉(瓶+方)=炉2+o=2.(2)由(1)知：8=,又c=2,由正弦定理得：sinASinCSin(A+制，所以“2sinA2sinA_1.37-7sinA+COSA1+22tanA因为为锐角三角形，所以C=-Ae(,-3I2,解得：Ae2IJ301ABC面积为S=5acsin8=；aw-y,23/故面积的取值范围是住,2。.9. (2022四川绵阳高一期中)在“IBC中，内角AB,C的对边分别为“,2tanBhtanA+tanBc求角A的大小；若是锐角三角形，b=2,求“IBC面积的取值范围.【答案】(I)A号(2)(,23).(1)解：由2 (an Btan A + tan B=2得C2sinBcosASirLACOSB + CoSASinBsinB sinC2cosA_1卬Sin(A+8)sinC,又 Sin(A + B) = sin C ,所以COSA=12因为OvAv；r,故A=g.(2)解：Sbc=-bcsinA=-ca八DL22由正弦定理知："工2叫F巫sinBSinBtanB0<B<-2因为aABC是锐角三角形，所以；0<C=-B<-32所以62于是tan8>日，则1VCV4.故与<Sjbc<2瓜