第一章 空间向量与立体几何综合提升检测卷.docx

第一章空间向量与立体几何综合提升检测卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知空间向量=(2x+l,3x,0),人=(l,y,y-3),(其中*、yR),如果b，则工+>'=()1 .1B.2C.-2D.-I【答案】B【分析】根据空间向量共线的性质进行求解即可.【详解】因为2x+=fy=3所以有4=4hn3x=y4=X+y=2,0(y-3)I故选：B2 .已知A(0,1,1),B(-l,1,1),C(l,0,0),则平面ABC的一个法向量为()A.(0,1,-1)B.(-1,0,I)C.(1,1,1)D.(-1,0,0)【答案】A【分析】由坐标得平面48C上两个不共线的向量，设法向量坐标，列方程解出坐标.【详解】由题A8=(T,0,0),AC=(1,-1,-1),设平面ABC的一个法向量为=(My,z),可得ABn = OAC2=o'-x = 0 x-y-z=O选项A中向量(OJ-I)合题意.故选：A.3 .在正四面体4PBC中，过点A作平面PBC的垂线，垂足为。点，点M满足AM=4Q,则尸M=()4A.-PA-PB+-PCB.-PA+-PB+-PC4444441 31113C.-PA+-PB+-PCD.-PAPB+-PC444444【答案】B【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解.【详解】由题知，在正四面体A-PBC中，因为AQ_L平面P8C,所以。是aPBC的中心，连接PQ,则PQ=g(P8+PC),3所以PM=PA+AM=PA+-AQ41321/111=-PA+-×-×-(PB+PC)=-PA+-PB+-PC.4432、f444故选：B4.己知正方体A8C。-ASCIA,棱长为1,E,尸分别为棱A8,CG的中点，则()A.直线AA与直线Ef共面B.AE不垂直于AFC.直线AE与直线BF的所成角为60°D.三棱锥C1-4。尸的体积为【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，A选项，假设直线AQl与直线所共面，由面面平行的性质得到AE/RF,由AE/GA推出矛盾，A错误；B选项，计算出E4歹二。得到两直线垂直；C选项，利用空间向量夹角余弦公式计算；D选项，利用等体积法求解三棱锥的体积.【详解】如图，以。为原点，以D4,DC，。所在直线分别为,y,Z建立空间直角坐标系，则O(0,0,0),A(I9OtO)fB(LLO),C(0J,0),D1(0,0,1),A(LOQ),B1(1,1,1),C1(0,1,1),£0；。)3,3对于A,假设直线AP与直线E尸 平面平面。CGA，平面AEFAI平面A84A=AE,平面OCGA）平面ABqA=A尸,：.AEHD.F,/AE/ClDi,AC1D1/D1F,矛盾, 直线AA与直线E尸不共面，A错误;对于B,AE=（o，1）AF=f-l,l1 1EAF=0+-=0,；AiElF,：.AxElAFfB错误,对于C,设直线AE与直线M所成的角为巴c错误,对于D,.AT>,平面OCG乌，,vCl-ADF=vA-ClDF=§SGQFAQ=XgXIXl=5,D正确.故选：D.5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于小点E、尸分别是8C、A。的中点，则AEA尸的值为（）A.a1B.ci2C.-cD.a1244【答案】C【分析】根据向量的线性运算运算律可得AEAF=J（48AZ>+ACAO）,在根据数显积的定义求其值.4【详解】由题意，48,AD和AUA之间夹角均为60。，结合平面向最线性运算有AE-AF=-(AI3+AC)-AD221.-=-(ABAD+ACAD)4=-(a2cos60+a2cos60)=«244故选：C6.如图，在正方体48C。ASGA中,。为体对角线BQ上一点，且。P = 2P4,则异面直线AA和CP所成角的余弦值为（）【答案】A【分析】以点。为坐标原点，OA、DC、OA所在直线分别为X、y、Z轴建立空间直角坐标系，设正方体ABCO-AMGa的棱长为3,利用空间向量法可求得异面直线AA和CP所成角的余弦值.【洋解】以点。为坐标原点DA.DC、OA所在:宜线分别为X、y、Z轴建立如卜图所示的空间直角坐标系，设正方体ABC力-ABCR的棱长为3,则A。,。,。)、A(0,0,3)、C(O,3,0)、O(O,0,0)、4(3,3,3),AA=(-3,0,3),所以，CoS(A5；,Ci=AD1 CPHPi因此，异面直线AA和CP所成角的余弦值为0.故选：A.TTH4 117.己知正方体A8CE>-AGR的棱长为2,E、尸分别为上底面力/CA和侧面CoAG的中心，则点。到平面AEr的距离为()【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法得出点。到平面AM的距离.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系A(0,0,0),E(l,1,2),户(1,2,1),0(0,2,0),AE=(LI,2),AF=(1,2,1),40=(0,2,0)AEn=x+y+2z=0，令z=-l,n=(3,-1,-1)AFn=x+2y+z=0则点D到平面AEF的距离为-AdT故选：A218点A在线段BC上（不含端点），。为直线8C外一点，且满足0-=则立法+国的的最小值为（）D.【答案】D再利用基本不等式'T'的妙用即可得解.【分析】根据平面向量共线定理推论可得+3=l且>0>0,【详解】因为OA-03-2力Oe=0，所以OA="O8+%C，又点A在线段BC匕（不含端点），所以+3=l,且>O,b>O,则2+。+2+»=5,212121所以=-77F7；=F“k3+4ba+3b2(a+2b)+a(a+2b)+b2+a+b= (2 + a + 2 + 2Z>)2212+a2+2b1 4 I 2(2 + ) I 2(2+ 2) 52 + 2b 2 + a/2(2+ ) 2(2+ 2份N- 4 + Za I5 V 2 + 2b 2 + a2(2 + fl) 2(2 + 2) 当且仅当 2 + 2b - 2 + 4a + 2b = l7即:时,b = -4等号成立,21F3 + 4b a + 3bQ 的最小值为会故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分。C. A,-AD+B,D, = 0B. AA:-AB + B,C = BD,9 .如图，E,尸分别是长方体ABCD-AEC。的棱48,Co的中点，化简下列结果正确的是()D.AB+CF=AF【答案】AB【分析】根据空间向量线性运算的性质逐一判断即可.【详解】A：AA,-CB=AA,+AD=AD,因此本选项正确；B：AA,-AB+B'C=BA,+A,D,=BD'，因此本选项正确；C：AB,-AD+B,D,=AD,-AD=DD,0因此本选项不正确;D：AB+CF=AB-EB=AEAF因此本选项不正确，故选：AB10 .己知空间向量1=(-2,-l,l),6=(3,4,5),则下列结论正确的是()A. lab/aC. aJ_(5a + 4)B,5=3D°在)上的投影向量的长度为日【答案】BD【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影向量的长度即可解决.【详解】对于A,由题得次+5=(-1,2,7),4 = (-2,-1,1),而今2 7 - -1 1故A不正确;对于B,因为|=#,|切=5五，所以5同=GM,故B正确;对于C,因为G(5a+4)=(_2,_l,l>(2,l,25)=0w0,故C不正确；XJ-T-D,因为。在A上的投影向量的长度为卜cos(a,b=辟=相=孝，故D正确;故选：BD.11.如图，在棱长为1的正方体AsGA中，。是棱QA上的动点，则下列说法正确的是()A.不存在点。，使得GQ/ACB.存在点。，使得GQL1CC.对于任意点Q,。到AC的距离的取值范围为曰,手D.对于任意点Q,ACQ都是钝角三角形【答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得.【详解】由题知，在正方体ABC。-AqGR中，Q是棱。A上的动点，建M以A为原点,分别以AB，AO，AA的方向为X轴、y轴、Z轴的正方向的空间直角坐标系A-孙z.所以A(0,0,1)，c(l,l,),G(IJl),设Q(0,1m),其中0l,所以GQ=(T，。，。-1)，AC=(U-I),1=2当CQ=；MlC时，即(ToM-I)=7(1,1,-1),所以0=2,显然方程组无解，a-I=-A所以不存在几使得G0=X41C,即不存在点Q，使得GQA。，故A项正确；当GQ4C=+o+-=。时，解得。=0，故B项正确；因为AQ=(O，1，。-1)，其中o,所以点。到AC的距离为AQACl + (一)2曹I故C项正确;因为C = (l,O,-4), QA=(O,T,l-),其中0<l,所以 CoS(QC,04)QCQAIQqlQAl y + a2 y+(-a)2 1 + 2 J1 + (1-)o所以三角形为ACQ直角三角形或钝角三角形，故D项错误.故选：ABC12.如图，在平行六面体48C。-ASGA中，以顶点A为端点的三条棱长都为1,且NzMB = NDAA=N841= 60。，则下列说法中正确的有（）D C.B / 予 /A. BD1 =AAi+AD-ABB. BD1 =2C. AC1 ± BDD.直线8。与AC所成角的余弦值为立【答案】ACD【分析】选项A,由空间向量的线性运算法则，即可判断；选项B,将Ba=A<+4）-M两边平方，再结合数依枳的运修法则，即可得解：选项C,计算aCM=O,得解；选项D,先计算可得4bR=1,再由8s(叫,A。=向炭P即可解得.【详解】选项A,BD1=I3A+AD+DD1=AAi+AD-AB,即正确；选项B,BD：=(1+D-)2=11?÷AD2+1ABp+2AA,AD-2AA,AB-2ADAB=l+l+l+2×l×l×cos60o-2×l×l×cos60o-2×l×l×cos60o=2,则,Hi=，即错误；选项c,ac1bd=(ab+ad+a41)(ad-ab)=ABAD-AB2+AD2-ADAB+A41AD-AA1AB=O即选项C正确；选项D,ACBDi=(AAI+AD-AB)(AB+4。)=AVA5+A4,A。+AO48+AO?-痴一A8AD=2×1×1×cos60°=1AC2=(B+Aoy=AB2+AD2+2×AB×AD=AB+AD2+2×AB×AZ)×cos60°=l2+l2+2×l×=3,解得IAq=G/d八AZABQAC16所以C网叫Aq=阿同=Fr丁，即D正确.故选：ACD.三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13 .如图，在正方体A8CQ-A4GA中，EF分别为AaOA的中点，若EF=XDA+yDC+zDR,则【分析】根据向量的分解和基底的定义求解.【详解】因为EF=EA+AD+DF=DAgDC+；DA,所以“=_1,=一；,2=；,所以+），+2=_+；=_1.故答案为:-L14 .“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线MN与平面ABC。所成角的正弦值为.【答案】逅6【分析】将多面体放置于正方体中,借助正方体分析多面体的结构,由此求解出出线必V与平面ABCz）所成角的正弦值.【详解】如图所示:将多面体放置于正方体中,连接MU设MC的中点为E,连接EEb.D因为M,C分别为中点，所以MC/NF、且ME=NF=；MC,则四边形MEFN为平行四边形，所以MN/IEF,所以在线MN与平面ABeQ所成角即为百线EF与平面ABCQ所成角,又MCJ_平面48CZ所以直线EF与平面ABC£所成角即为NEFC设正方体的棱长为2.则EC=LCE=22+i2=6ef=JEC'cf2=6.所以 SinNERr =EC _ 6EF466即直线MN与平面48CD所成角的正弦值为亚6故答案为:好615 .己知正方体ABC。-A4GA，P是线段8。上的一点.若正方体的各个顶点中，恰有两个顶点M,N满IBPl足MP_LAP,NPiAP,则此时同油的值为【答案】2或T【分析】以。坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1,BP=ABDi,利用向他垂宜的坐标表示TIbpI构造构造关于；L的方程，从而满足垂直关系的顶点个数，从而得到满足题意的4的取值，进而得到漏的值.【详解】以。为坐标原点，oa,oc.or正方向为,y,z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(LO,0),B(1,1,0),C(0,l,0),O(0,0,0),A(l,0,l),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1),设BP=ABDl=(-l,-lJ)=(-2,-2,),0l,.AP=AB+BP=(0,l,0)+(-,)=(-,1-,):P=,+BP=(0,L-l)+(-,-,2)=(-,l-,-l):B；?=B；B+BP=(O,O,-l)+(-2,-A,A)=(-A,-A,A-l)；C1P=C1B+P=(l,0,-l)+(-,-2,2)=(l-,-l):D1P=D1B+P=(lJ,-l)+(-,)=(l-l-l-l):CP=CT+P=(l,O,O)+(-)=(l->l):ZP=D+BP=(1,1,0)+(-2,-,)=(l-,1-,)：.1PAP=22+(l-)2+2(-l)=32-32+l：B1PP=2-(l-)+2(-l)=32-22;C1PP=-(1-)-(1-)+(-1)=32-3:D1P-AP=-(1-)+(1-)2+(-1)=322-4+l；BPAP=2-(l-2)+2=32-;CPAP=-(1-)-2(1-)+2=32-2DPAP=-(l-2)+(l-)2+2=322-3+l;令3万一34+1=0,方程无解，即AP，。P与AP不垂直;2令3万2/1=0,解得：4=0或A=,当Z=O时，此时8与P重合，BiPAP=CiP-AP=CPAP=O,即与P_LAP,C1P±AP,CPLAP,不合题意；2当；1=§时，BiPAP=CPAP=O,即8/_LAP.CP工AP,满足题意；2IbpI此时BP=的，.涡=2；令3丸23/1=0，解得：4=0或/1=1；由知：2=0不合题意；当；1=1时，此时2与P重合，MC1P-AP=O,即有且仅有GP_LAP,不合题意;令342-44+1=0，解得：=l11g=;由知：丸=1不合题意；1 .当4=§时，DPAP=BPAP=0,即AP_L4P,BPVAP,满足题意；1 IbpIi此时即严，.血BP1综上所述：涡=2或（故答案为：2或;.16.己知空间直角坐标系XQy中，过点P（AO,%，zo）且一个法向量为m=（。也C）的平面的方程为<7(x-A)+Zj(y-yo)+c(z-zo)=O,过点尸1,%4)且方向向量为=(,匕卬)(tmvw)的直线/的方程为士=匕比=L用以上知识解决下面问题：已知平面。的方程为x-2y+3z+3=0,直线/是两个平面UVW2x-y+2=0与-2z+l=0的交线，则直线/与平面。所成角的正弦值为.【答案】近14分析根据题目信息可得平面。的法向量为6=(1,-2,3),再利用两平面的交戊与两法向Q都垂直可求得直线/的方向向量为=(2,4,1),即可计算出直线/与平面。所成角的正弦值为器.【详解】平面夕的方程为12y+3z+3=O,所以平面。的法向量为m=(l,-2,3),二：取*)平面2x-y+2=0与平面-2z+l=0的法向量分别为肛=(2,T,0),g=(1。-2),设直线/的方向向量为3=(%,y°,z°),贝W""1"),即,nm2=0设直线/与平面所成的角为6,则SinJ=Icosn,=td=二L=络1'71m-n14×2114故答案为：叵14四.解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.如图，平行六面体ABCo-AgGR的底面是菱形，且NGCB=NG。=NBCo=6°,CD=CCi=2.求AG的长；(2)求异面直线CA1与DC1所成的角.【答案】(I)AG=2直(2)90o.【分析】(1)因为CD,C8,CC三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量AG,(2)求出两条直线CALjoG的方向向导，用向量夹角余弦公式即可.【详解】设冷工，CB=b=:，M，反。构成空间的一个基底.因为AG=CG-(CO+CB)=c-k+)，所以AC=AC：=卜_(+明-2-2-2=c+a+b2ac-2Jyc+2ah=12-2×2×2×cos60o=8,所以AG=2(2)又CAl=4+8+C，DCl=C-a,所以CADC1=(+8+c)(c-)2-2=ca+bc-ab=OCAiIDCl异面直线CA1DC1所成的角为90。.平方即求得模长.PA = I, PB =应,18.如图，在四棱锥尸一ABCf)中，BDiPC,四边形ABCO是菱形，NABC=60。，AB=E是棱尸。上的中点.(I)求三棱锥C-BDE'的体积；(2)求平面QAB与平面ACE夹角的余弦值.【答案】(1)噂Q)斗【分析】（1）证明尸AJ_平面A8CO,由匕Sa=%.c初计算三棱锥C8。石的体积；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值.【详解】（1）因为四边形ABa）是菱形，所以瓦）_LAC.又BD上PC,ACPCU平面PAC,且AC尸C=C,所以皿）工平面PAe因为PAu平面PAC,所以或_LRV因为AB=PA=LPB=JJ,所以尸B?=AB2+r42,所以他,么.因为A8,8Ou平面ABCQ,MABBD=B,所以¼_L平面ABCD因为E是棱上的中点，所以E到平面ABCD的距离=PA=,四边形ABCz）是菱形，NABC=60，AB=PAl,则ACBD中，NBCD=I20,BC=CD=I,Scn=-BCCD-sinZBCD=.CBD24½-BDE=VECBD=-SMBD4=X立XL=3一三棱锥加厉的体积为立.C-tfUt,C-Cdl/3ALbD匕3422424（2）取棱。£的中点尸，连接AF,则有AfJ_8,因为AB/CD,则A_LAB.A3,AF,A尸两两垂直，故以A为原点，分别以AB,ARAP的方向为MV，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.因AB=L则A(0,0,0),C,y,0,Dy,0,P(0,0j).l/7(Pi(-1因E是棱0D上的中点，则E了，?，5，AC=子半,0,AE=丁,芋耳-.AC/+业=Or9?设平面AeE的法向量为=(,y,z),则z2,/AE=-+-+-=0442令X=抠,则y=T,z=G,得办=(6-,G).平面PAB的一个法向量为初=（0,1,0）.设平面PAB与平面ACE的夹角为O,则c3"砌=需邛故平面PAB9平面ACE夹角的余弦值为立719.已知四棱锥产一ABCD中，附_1_平面48CD,ABLADyADIBC1AB=AD=2BC=2,E为尸。中点.（2）设平面EAC与平面QAC的夹角为45。，求三棱锥E-ACD的体积.【答案】（1）证明见解析延15【分析】（I）方法一：利用线面平行的判定定理直接证明；方法二：利用空间向量的坐标运算证明线线垂直即可证明；（2）方法一：利用二面角的定义以及三棱锥的定义求解；方法二：利用空间向量的坐标运算求出三棱锥的高，进而求体积.【详解】（I）证明：取RA中点尸,连所,所，E是PD中点EFAD且E7=g4O,又VBC/ADflBC=-AD-BCHEF且BC=EF,2四边形BC£尸为平行四边形，CEIlBF、又.CE<Z平面R43,好U平面¼3,平面¼8(2)取Ao中点G,连EG,过G作G”_LAC交AC于“，连EH、 ；E,G分别是尸RA。中点，,EG/PA,又TPA，平面ABCz). EGJ平面ABCD、ACU平面ABCD、：.EGlAC,又<AC工HG,HGlEG=G,HG,EGu平面EGH, ACJ"平面EG"，"Eu平面EG/7, .AClHE,NEHG是平面EAC与平面2%C的夹角的平面角.：NEHG=45。.AB=2,BC=1,.tanZ.CAB=,2 .tanZHAG=tan(-/CAB)=!=2,/.sinZHAG=-2tanZCAB5GH=AG×sinZGAH=×-=-i:.EG=HG=-.555.v"c_1251oo.45½-cd=t××5cd=×-×-×2×2=-解法二：(1) %JL平面ABCZ),AB_LAD,.EU18,A。两两垂直，以AA所在在线为X轴，以A。所在直线为丁轴，以AP所在在线为Z轴,建立空间直角坐标系.设AP=2/,则有A(0,0,0),8(2,0,0),C(2,l,0),"020),尸(0,02),E(0,1"),UUI则CE=(-2,0,。，又¾L平面ABC。，4)U平面4BC。，所以A4_LA。，又.AO"LA848I尸A=A48,24<=平面24,ULUUAOJ平面R4B，AD=(0,2Q)是平面BAB的一个法向量，UUtlIlLaICHUULI'AT>CE=-2×0+0×2+r×0=0,:.ADLCE>又.CEU平面R43,CE平面Q4&(2) QA_L平面48CO,平面Aa)的一个法向量能=(0,0,1),rEBIUUU设平面EAC的一个法向量为n=(Xj,z),AC=(2,1,0),AE=(Ojj),ACn=Of2x+y=0则有<八，A£n=Oy+zt=O不妨设z=2,则X=F,y=-2,即：=(f,_2r,2),k222425cos45=,；=>/=>/=.2IxJ-+4-+455E到平面ABCD的距离力=，=2叵.5.v_1,c_1251oo,4>/fco=XXS3o)=§xXx2x2=-.20.如图，在多面体ABa)E中，ABC,ZkBO一Cf)石都是边长为2的等边三角形，平面ABC工平面BCQ,平面C0EJ_平面Ba).(1)判断A,B,D,E四点是否共面，并说明理由；(2)在工ABC中，试在边BC的中线上确定一点Q,使得OQL平面BCE.【答案】(I)A,B,。，E四点共面，理由见解析(2)Q为OA中点【分析】(1)取BC的中点0,取CO的中点H,连接即，以。为坐标原点，建立的空间H角坐标系，设E(aybyc),由HK=QA,求得E得到向;NBE='得出5E=+,即可得到A,B,D，E四点共面;(2)设OQ=NOA=(0ZO,),得到DQ=(&,0,J),根据OQJ平面8CE,列出方程，求得4=J即可求解.【详解】（1）答案：A8,RE四点共面.证明：取BC的中点。，连接AO,DO,取C。的中点"，连接E4,则在等边三角形AOCE中，EH±CD,又因为平面OCE_L平面BCD,所以£/7_L平面BCD,同理，得A。，平面BCQ,Do_L平面ABC,所以04,OB,。两两垂直，且EH/OA,以。为坐标原点，OA,OB,0。所在宜线分别为X轴，5轴，Z轴建立的空间出角坐标系O-gz,如图所示，I1设上(4,b,c),由"=OA,即a,b+Q,c-=(6,),/解flJ=VJ,=-;，C=*,所以E(G,-g,孝，所以BE=点一看日又由B4=(5,TO),BD=(0,-1,所以3E=B4+g4r>,所以BE,BA80共面，因为A为公共点，所以A,B,D，E四点共面.(2)解：设OQ=/IOA=(,0,0),故£>Q=(&,0,6),31若。Q_L平面BCE,贝JDQBE=O,113-=0,解得4=§,所以。为04中点时，DQ1平面BCE.21.在四棱锥P-ABCO中，已知侧面PC。为正三角形，底面ABCO为直角梯形，BCDtZADC=90u,AB=AD=2>f8=4,点M,N分别在线段AB,Po上，且"z=W=2.BMPN(1)求证：PM/平面ACM若点尸到平面A8CD的距离为2,求直线AC和平面¾8所成角交的正弦值.【答案】(1)证明见解析半【分析】(I)连接M。，交AC于点石，连接NE,根据平行线分线段成比例可证得NE尸M,由线面平行的判定定理可证得结论.(2)取8的中点，连接PF,MF,作尸OJ_M尸，垂足为。，利用线面垂直的判定可证得CDJL平面PRW,Pol平面ABa),以。为坐标原点，OM,0G,OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，得到所需各点的坐标，利用线面角的向量法可求得结果.【详解】(I)连接M0,交AC于点E,连接NE,AM DN C - “ 25cAM ME 1=2 . . 口得 AM = - AB = 2 , AB / /CD， - >=MBNP3CD DE 2"=2, ME,DN 'NP = 2, .-.NEffPM , ME又NEU平面ACN,PM(Z平面ACN,.PM”平面ACN；(2)取CO的中点F,连接尸尸，MF,VPOLMF,垂足为。,侧面Pa)为正三角形，.p7lcz),AM=DF=2,AM/OF,四边形AMP。为平行四边形，.ADR0,又NAZ)C=90o,.CO_LFM,又PFFM=F,PF,fMu平面/7明/,8人平面/¥加，POU平面PEW,.8J,PO,又POj_EM,CDf'FM=F,DC，fMu平面A88,.尸Ol.平面A8C。，作OGaCD,交.BC千点、G,则OGj.BV/,以。为坐标原点，OM,0G,OP为坐标轴建立如图所示的空间门.角坐标系,点P至IJ平面A8CZ)的距离为OP = 2y2，则 P(0, 0, 2 )，C(-2, 2, O), A(l , -2, 0), 3(1, 1, 0),AC = (-3 , -4, 0), AP = (-1, 2, 2壶),BQ = (T , -1, 2®设平面P45的一个法向量为=*,>，z),APnBPF=-X + 2y + 2 VJz = 0=-X - y + 2>2 z = 0令z = l,解得x = 2, y=。，平面Q4B的一个法向量为德二(200,1),设直线AC和平面PAB所成角为6,l1ACn6222则SIn6=|cos<AC,">1=r=,IACMI9+16×8+l5直线AC和平面PAB所成角的正弦值逑.522.如图,在三棱锥A中,侧面AEZAS是全等的直角三角形,4)是公共的斜边,且A£>=J,8。=CO=I,另一个侧面A8C是正三角形.求证:Az)15C;(2)求二面角B-AC-O的大小；(3)在直线AC上是否存在一点尸,使FD与平面3CQ成30角？若存在,确定F的位置;若不存在,说明理由.【答案】(1)证明见解析0、限(2)arccos3“号土争或樽m【分析】(1)取5C中点E,连接AE,。邑通过证明BCI平面AOE,进而证明A。_ZBu以E为原点建立空间直角坐标系,通过长度找到A点坐标,求出平面切C和平面ACQ的法向量,求出法向量夹角的余弦值的绝对值,即二面角B-AC-O的大小的余弦值的绝对值,求出其角即可；根据点尸百线AC匕设出点尸的坐标,根据FO与平面BCQ成30角,求出具体尸点的坐标即可.【详解】(I)证明:取3。中点E,连接AE,DE,如图所示：.二川。是正三角形，AB=ACE为BC中点，AElBC,BD=CD.E为BC中点,.DElBCtAEOE=E,AEu平面AZ)E.DEu平面AOE,BCI平面ADE,.ADJ.8C得证.(2)由知BCI平面ADEBCU平面8QZ.平面AoEI平面BCDDElBC,以E为原点,8方向为X轴,ED方向为V轴,过七作垂直于平面BCD的线为Z轴建立如图所示宜角坐标系,AD=Ebd=CD=I,:.AB=AC=BC=RAE=旦、DE=立22则B-4,。,。)C号,0,0、D,*,不妨设A(O,y,z),ad=Eac=02解得产丁,z=lA,率1.BC=(2,0,0),B=孝-争设平面BAC法向代为=(x,y,z),BC=OiBA=O立x=0即应近.、Xy+z=O22取y=2,则为=(0,2,0).设平面AC。法向所为%=(馆，4).CD=(冬与0、AD=(,2,-l)n2CD=O"n2AD=022n叫22,y2n-q=O取二L则n2=(l,l,)网i'H¾卜会邛*二面角B-AC-O的大小为arccos(3)尸是AC上一点,设F(X,y,z),:.AC=-.-,F=xyy+-,z-222AF=AAC孝2殍一".。户4亭，一0一。/=亭，一亭，*4一日一4由(2)可知,平面BCD的法向吊:为%=(0,0,1),FQ与平面Ba)成30角,/.cosn3,DF=aDFHm1=cos601=2,22-4+1=0,m叮平面8C。成30角.