第十九讲向量应用.docx

第十九讲平面向量的应用【要点梳理】1 .向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题.(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：aba=b(bO)<=>X1V2X2V1=O.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质a.Lb<ab=OOJq*+劝也=。.(3)求夹角问题，利用夹角公式c°s"=74芦MS为a与b的夹角).2 .平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，这是力与位移S的数量积.即W=FS=IPIklCOSe3 .平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.【基础自测】1 .平面上0,A,8三点不共线，设为=,=8,则4OAS的面积等于()A.2-(«-)2B.2+()2CAzMFl肝一(a/)2D.2ft2+()22 .一质点受到平面上的三个力B,F2,尸£单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知尸,尸2成120。角，且尸尸2的大小分别为1和2,则尸I与尸3所成的角为.3 .河水的流速为2ms,一艘小船想以垂直于河岸方向IOmZS的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为.4 .己知A、8是以C为圆心，半径为小的圆上的两点，A=5,则Ab为等于()5 553A.2B，2C.OD.-5-5.已知向量的夹角为苏旦ImI=小，=2,在aABC中，AB=m-n,AC=m-3n,。为BC边的中点，则IAl)I等于()A.1B.2C.3D.4例理讲解题型一应用平面向量的几何意义解题【例11平面上的两个向量而，为满足=4,=4且以J_励，4+匕2=4.向量=x+yOB(x,yR),且如果点M为线段的中点，求证：MP(x÷y题型二平面向量在物理计算题中的应用【例2】如图所示，已知力尸与水平方向的夹角为30。(斜向上)，户的大小为50N,尸拉着一个重80N的木块在摩擦因数"=0.02的水平平面上运动了20m,问尸、摩擦力/所做的功分别为多少？题型三平面向量与三角函数的交汇【例3】已知在锐角中，两向量p=(22SinA,COSA+sinA),¢=(sin-cosA,I+sinA),且P与g是共线向量.(1)求A的大小；I.BC=O 且懑JMBllAclAB + AC4B IACl(2)求函数y=2si+cosg网)取最大值时，B的大小.在aABC中，已知向量Q与启满足1.则AABC为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形2 .已知"=2",仍|#0且关于X的方程f+-Q协=0有两相等实根，则向量。与方的夹角是()A.?B.?C.?D.空3 .已知P是aABC所在平面内一点，若无之或+而,其中2R,则点P一定在()A.Z4BC的内部B.AC边所在直线上C.48边所在直线上D.8C边所在直线上4 .在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若MAb=函反'=L那么C5 .已知在平面直角坐标系中，。(0,0),M(l,l),JV(OJ)f。(2,3),动点P(My)满足不等式0W3mWl,0W3>痂Wl,则Z=而历的最大值为.6 .已知向量=(cosx,sinx),b=(-cosx,CoSx),c=(1,0).(1)若求向量。与C的夹角；(2)当X士，制时，求函数段)=2b+l的最大值，并求此时X的值.