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微积分公式与定积分计算练习附加三角函数公式一、根本导数公式(c)'=°尢T(sinxY =cosxzj. (cosx) =-sinx' ,(tanxY =sec2 x(6)(cotxy=-csc2x(SeCX) =SeCX tanx(CSCJV) =-CSCX-COtX(ax =axn a(10) )(11)(InM ="I(arcsinxY =(1 E(arccos xY =f2=(14)口(arctanxy=-7Q产 8")T(17)12yx二、导数的四那么运算法那么(w± v) =uf ±v,(wv) =u,v + uv,UV-UV-2 V三、高阶导数的运算法那么m(x)±v(x)h=u(x)h±v(x)h(0x + A)"" ="(")(0r+Z?)w(x)-v(x)(n)=汽&g) (X)V(Q(X)Jt=O四、根本初等函数的Ii阶导数公式(小加sin(r+) =(4)a" sin ax + b + n I 2 Jcos(ax + Z?)( 0(5)=an cos ax-b + n-I 2 Jax+b(6)=(-oj¾ax + b)五、微分公式与微分运算法那么d(c)=0dx)=x,-dx(sinx)=cosXdX.,.¢/(cosx)=-sinxd(4)'7”(tanx)=sec2xdxd(cotx)=-esc2xdxd(secX)=SeCXtanxdxzoJ(escx)="escxcotxdxo)z(9)O=%Qo/S)=，d(Iogj)=一dxd(arcsinx)(IZ)Xlna(3)d(arctan=二dx(15)I7l+f六、微分运算法那么diu±v)=du±dvd(wv)=vdu+udv七、根本积分公式J-+cJanadx,d(nx)=-dxIdxd(arccosX)=Idx7(14)7Jfarccotx)=-dx06)V)1+Ydcu)=cdu,(vdu-udvI"v2+c=InIxl+cA+1(3)jx11sin=-cosx+<?JCoSJaZr=sinx+c-dx=sec2xdx=tanx+c(8)JCOSXJ-=fcsc2xdx=-cotx+cJSiIrXJdx=arctanx+c(IO)Jl+Zdx=arcsinx+c(l!)j1z八、补充积分公式ta11zZr=-lncosx+csecxdx=Insecx+tanx+ccotxdx=Insinx+cescXdX=InICSCX-COtxI+cr1I.x-a-不CbC=In+cjx-a2ax+a.xdx=arcsin+ca±a2dx=nx+c九、以下常用凑微分公式积分型换元公式fax+b)dx=-fax+blax+b)u=ax+bJ7(y卜U=Xp(lnx)g公=J(lnx*(lnx)w=lnxfexexdx=fex)dex)u=exu=ax/(sinx)cosxdx=(sinx)d(sinx)M=sinx/(cosx)si11=-/(CoSx)(cosx)u=cosX/(tanx)sec2=(tanx)(tanx)u=tanx/(cotx)csc2xdx=/(cotx)d(cotx)U=COtX/(arctanx)1,公二j/(arcsnx)d(arcsnx)u=arctanxJ/(arcsinx)-pJ=tfr=(arcsinx)J(arcsinx)Jl-x2Ju=arcsinx十、分部积分法公式形如JA令=亡，dv=eaxdx形如卜Sin入dr令=",dv=sinxdx形如JA°。SX心令=/，dv=cosxdx形如卜arctanxcx,令=arctanx,dv=x,dx形如JXInxdx,令=In%dv=xndxzoxrz,feaxsinxdxeaxcosxdx.u=eaxsinxcosx形如J,J令"&,ua,3人均可。十一、第二换元积分法中的三角换元公式(I)Ja2=asint(2)J4>+fx=tan,(3Nx?-a2x=asect【特殊角的三角函数值】sinO=O.1sin=62(5)si114=0cosO=lCOS工=立62(3)(4)Ccos-=02(5)COSTT=TtanO=O3tan=63tanrtan2不存在(5)tan%=OCOtO不存在cotrcot3(4)八cot-=02(5)Cot乃不存在十二、重要公式Iimx0sinx2Iim(I+x=ex')inyfa(a>o)=00IimMr=I“TOO,.Iimarctanx=-(6)Iimarctanx=-x-Iimarccotx=OX00Iimarccotx=;TXTYIimex=0x-(10)Iimex=x+Iimxx=1(11)on=tn(12)十三、SinXIimaxn+axxny+'n-,÷÷n>m(系数不为O的情况)以下常用等价无穷小关系(X0)tanXXarcsnx1-cosxarctanxxr2ln(l+x)xex-xax-xna十四、三角函数公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+8)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=tanA+tanBCOl(A+8)=1-tanAtanBcotAcotB-1Ian(A-5)=tanA-tanBcotB+cotAcot(A-B)=1+tanAtanBcotAcotB+1cotB-cotAsin 2A = 2 sin Acos Acos2A=cos2A-sin2A=I-2sin2A=2cos2A-Il-tan2A.Al-cosAAsm=42、I22A/1-cosAsinAAtan=4/=cot-211+cosA1+cosA22tanAl-cosA1-cosA1÷cosAsinA.a+ba-bsina+snb=2sincos22,Ca+ba-bcosa÷cosb=2coscos.Ca+b.a-bsinsinO=2cossinfC.a+b.a-bcosa-cosp=-2sinsinsin asinb = - g cos ( + b)- cos ( - Z7) sin a cos 人=g sin (+Z?) + sin-Z?)sin(o+b)tan+tan?=-CoSacosZ?CoSaCoSb=gcos(+Z?)+CoSZ?)CoSaSin力=gsin(+Z?)sin(Z7)_a2tan-2sina=-142a1+tan2l-tan2cosa=-I21+tan2tana2tan-2l-tan2222s»rx+cosX=Isec2x-tan2X=CSC2X-COt2X=Itanxcotx=lsecxcosx=CyCXsinX=Isnxtan x =COSXCOSXcotx=sinx十五、几种常见的微分方程1=()g(y)工()g(y)公+人()g2(y)力=Odx方p（力=Oa）y=eWj°（“加+c:ax解为：高考定积分应用常见题型大全一.选择题（共21小题）1.（2023福建）如下图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,那么点P恰好取自阴影局部的概率为（）A-14B-I5Cl6D-I72.（2023山东）由曲线y=2,y=x3围成的封闭图形面积为（）A.1B.1C.1D7M三三124312X2,x0,1<3.设f（x）=2一,x（1,2,函数图象与X轴围成封闭区域的面积为（）A-34B.45C.56D.67f24.定积分J1+工）XX的值为（A.9B.3+ln2C.3-l2D.6+ln245.如下图，曲线y=2和曲线y=4围成一个叶形图（阴影局部），其面积是（）CT3D -近22(x+cosx) dx6.2A.7.函数f(x)的定义域为-2,41，且f(4)=f(-2)=1,P(x)为f(x)的导函数，函数y=f(x)的图象如下图，那么平面区域f(2a+b)<1(a>0,b>0)所围成的面积是()8.JoHdx与JdeXdx相比有关系式()A.2B.2o1exdx<o1exdxIo1exdx>o1exdxC.2D.2(o1exdx)2=o1exdxo1exdx=o1e*dxJsinxdx.9.假设a=2A.a<b,b=Ocosxdx,那么a与b的关系是()D.a+b=OB.a>bCa=b10.J0(Jl-(X)dx的值是()a._ib._iC_1D.兀-143432321Zex,x>l11.假设f(x)=I，S为自然对数的底数)，那么jOF(x)dx_()A.1B.1C1D.12÷e2-e2+e2-e2+e-2+e2-e12.f(x)=2-x那么J4if(x)dx二()A.3B.4CD.13.设f(x)=3-Ix-Ib那么(x)dx=()A.7B.8CD.14.积分JaVia2-2dx=()l 2 4aB l7r 22aC 2C . aD . 2az15 .函数t-+l,O<x<l的图象与X轴所围成图形的面积为()A.1/2B.1C.2D.3/2_3兀16 .由函数y=cosx(0x2)的图象与直线X2及y=l所围成的一个封闭图形的面积是(A.4B.3冗C.D.2+1+117 .曲线y=3在点(1,1)处的切线与X轴及直线x=l所围成的三角形的面积为()A.1B.1C.1D.112632y=sin(x-)(020 .曲线44与坐标轴围成的面积是(A.2B2-2C.22k21 .如图，点P(3a,a)是反比例函y=x(k>0)与。O的一个交点，图中阴影局部的面积为10,那么反比例函数的解析式为()B .10C .12y= xD .27y= x高考定积分应用常见题型大全含答案参考答案与试题解析一.选择题（共21小题）1. （2023福建）如下图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P,那么点P恰好取自阴影局部的概率为（）A.1B.1C.1D,14567考点：定积分在求面积中的应用；几何概型.501974专题：计算题.分析"r根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影局部由函数y=x与y=4x围成，由定积分公式，计算可得阴影局部的面积，进而由几何概型公式计算可得答案.解答：解:根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1,221而阴影局部由函数y=x与y=成，其面积为"d=（3x2-201=6,161那么正方形OABC中任取一点P1点P取自阴影局部的概率为I=石；应选C.点评：此题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影局部的面积.2 .(2023山东)由曲线y=2,y=3围成的封闭图形面积为()A.1B.1C.1D.7124312考点：定积分在求面积中的应用.501974专题：计算题.分析：要求曲线y=x尸/围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求JJIy-X3cl即可.解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是1.1，0,0)故积分区间是0,1IXl一工X所求封闭图形的面积为(x2-x3)dx-3412,应选A.点评：此题考查定积分的根底知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积.X2,x0,13 .设f(x)=2-,x(1,2,函数图象与X轴围成封闭区域的面积为()A.3B.4c.5D-64 567考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；定积分在求面积中的应用.501974专题：计算题；数形结合.分析：利用坐标系中作出函数图象的形状，通过定积分的公式，分别对两局部用定积分求出其面积，再把它们相加，即可求出围成的封闭区域曲边图形的面积.解答：解：根据题意作出函数的图象：J2dx+I1-(2-)dx=+(2-)=S=1OZo应选C点评：此题考查分段函数的图象和定积分的运用，考查积分与曲边图形面积的关系，属于中档题.解题关键是找出被积函数的原函数，注意运算的准确性.4 .定积分Jl(2x+q)C”的值为()A.9B.3+ln2C.3-In2D.6+ln24考点：定积分；微积分根本定理；定积分的简单应用.501974专题：计算题.分析：由题设条件，求出被积函数的原函数，然后根据微积分根本定理求出定积分的值即可.解答：2(2x+-)d解：JI*X，X=(x2+lnx|12=22÷ln2-(l2+lnl=3+l2应选B.点评：此题考查求定积分，求解的关键是掌握住定积分的定义及相关函数的导数的求法，属于根底题.5 .如下图，曲线y=2和曲线y=W围成一个叶形图(阴影局部)，其面积是()D22考点：定积分；定积分的简单应用.501974专题：计算题.分析联立由曲线y=和曲线尸巡两个解析式求出交点坐标，然后在(0,1区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可.解答:fy=x2解：联立得I尸4.x=lx=0解得iy=或iy=.设曲线与直线围成的面积为s,_1那么S=O1(Vx-X2dx=3应选：C点评：考查学生求函数交点求法的能力，利用定积分求图形面积的能力.J2n(+cosx)dx6.2=()A.B.2考点：微积分根本定理；定积分的简单应用.501974专题：计算题.分析：1由于F(x)=2×2+sinx为f×)=x+Cosx的一个原函数即F'(x=f(×),根据abf(x)dx=FxF公式即可求出值.解答：1解：.2×2÷+sinx,=x+cosxr2(x+cosx)dx=(22+sinx)2=2.故答案为：2.点评：此题考查学生掌握函数的求导法那么，会求函数的定积分运算，是一道根底题.7.函数f(x)的定义域为-2,4,且f(4)=f(-2)=1,f(x)为f(x)的导函数，函数y=f(x)的图象如下图，那么平面区域f(2a÷b)1(a0,b0)所围成的面积是()考点：定积分的简单应用.501974分析：根据导函数的图象，分析原函数的性质或作出原函数的草图，找出a、b满足的条件，画出平面区域，即可求解.解答：解：由图可知-2,0)上FX0,函数fX在-2,0上单调递减，0,4上FX0,函数fX在0,4上单调递增，故在-2,4±,f(X)的最大值为f(4)=f(-2)=1,-2<2a+b<4a0.f2a+b<1(a0,b0)=Ib>0表示的平面区域如下图：应选B.以及线性规划问题的综合应用，属于高档题.解决时要注点评：此题考查了导数与函数单调性的关系,意数形结合思想应用.8.o,exdx-o,exdx相比有关系式（)A.2B.2o1exdx<o1exdxo1exdx>o1exdxC.2D2(o1exdx)2=.1o1exdxo1exdx=o1exdx考点：定积分的简单应用；定积分.501974专题：计算题.分析：2根据积分所表示的几何意义是以直线×=0tX=I及函数y=e"或y=e"在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需画出函数图象观察面积大小即可.解答：解：J°tdx表示的几何意义是以直线x=0,x=l及函数y=e'在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，22101edx表示的几何意义是以直线x=0fX=I及函数y=ex在图象第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，如图22当0<x<l时，ex×>ex,故有："e*dx>JOHdx应选B.点评：此题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于根底题.SHsinxdx9 .假设a=T,b=JC°sxdx,那么2与b的关系是(A.a<bB.a>bC.a=bD.a+b=O考点：定积分的简单应用.501974专题：计算题.分析：2.八2qJ11sinxdxIK兀a=2=(-Cosx)2=(-COS2-(-cos2J=-cos2si24.6o,b=J0cosxx=sinxI=sinl-sin0=sinlsi57.3o.22JsinxdxJrTr解：:a=2=(-cosx)2=-cos2)-cos2J=-cos2-cosll4.6o=sin24.6°,b=JOcosxdx=SinxIO=sinl-si0=sinlsin57.3o,b>a.应选A.点评：此题考查定积分的应用，是根底题.解题时要认真审题，仔细解答.10 .J0"1-（X-I）2-X2）dx的值是（）A.JT_1B._J_C._1D._K_1T-3T_3T-l2考点：定积分的简单应用.501974专题：计算题.分析：根据积分所表示的几何意义是以L0为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y”?在第一象限的局部坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的局部与X轴和直线x=l围成的图形的面积即可.解答：解；积分所表示的几何意义是以L0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=在第一象限的局部坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的局部与X轴和直线x=l围成的图形的面积之差.即一(也-(X-I)2-2)二五JJdx=NfILN-W故答案选A点评：此题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于根底题«-ex,x>l11 .假设f(X)=1图，x1S为自然对数的底数)，那么JOf(X)dx=()A._1B._1C.1D._12+2-e2+2-e2+e-2+e2-e考点：定积分的简单应用.501974专题：计算题.分析：由于函数为分段函数，故将积分区间分为两局部，进而分别求出相应的积分，即可得到结论.解答：r2u/、1r11r2/x,12I1+(-X)21-2,解：J/(x)dx=；xdx+Sf(-ex)dx=2xO+le；11=2e+e应选C.点评：此题重点考查定积分，解题的关键是将积分区间分为两局部，再分别求出相应的积分.12 .f(x)=2-xb那么J(X)&二()考 点 专 题 分 析 解 答定积分的简单应用. 501974意 题 由由此可求定积分的值.A.3B.4C.D.解：由题意，J?_1f(x)dx=J3(2+x)dx+JQ(2-x)dx=(2x+2)11(2x-x2)1=2-2应选C.此题考查定积分的计算，解题的关键是利用定积分的性质化为两个定积分的和.13 .设fix)=3-x-1|,那么JJf(x)dx=()A.7B.8C.D.考点：定积分的简单应用.501974专题：计算题.分析：J-22f(x)dx=j.223-x-1dx,将f.22(3-x-1)dx转化成.21(2+x)dx+Ji2(4-x)dx.然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可.解答：1解：J-2，xdx=-23-IX-1)d×=/-21(2+x)dx+2(4-xdx=(2x÷2×2J.21+4x1-2x2i2=7应选A.点评：此题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于根底题.14.积分Java2x2()l 2 4aB 122aC . a2D . 2a2考点：定积分的简单应用；定积分.501974专题：计算题.分析I25此题利用定积分的几何意义计算定积分,即求被积函数y=Va-X与X轴所围成的图形的面积,围成的图象是半个圆.解答：ra/2_2j解：根据定积分的几何意义，那么J-a、a-X表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，故Jta斤dx.X兀*相汽兀2应选B.点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、圆的面积等根底知识，考查考查数形结合思想.属于根底题.15 .函数1一x+1,0<x<l的图象与X轴所围成图形的面积为()A.1/2B.1C.2D.3/2考点：定积分在求面积中的应用.501974专题：计算题.分析：根据几何图形用定积分表示出所围成的封闭图形的面积，求出函数fX的积分，求出所求即可.解。TQ(-x+l)d+J°cosxdx解：由题意图象与X轴所围成图形的面积为一.1 2(-2× +'nxOTT_1=2+13=2点评：此题考查定积分在求面积中的应用，求解的关键是正确利用定积分的运算规那么求出定积分的值，此题易因为对两个知识点不熟悉公式用错而导致错误，牢固掌握好根底知识很重要._3兀16 .由函数y=cosx(0x2)的图象与直线5及y=l所围成的一个封闭图形的面积是(A.4B.3兀C.D.2+1+1考点：定积分在求面积中的应用.501974专题：计算题.分析：二3几由题意可知函数y=cosx(0x2的图象与直线X-2及尸1所围成的一个封闭图形可利用3天2定积分进行计算,只要求(0(1-cosx)dx即可.然后根据积分的运算公式进行求解即可.解答：卫L解：由函数y=cosx(0x2)的图象与直线X-2及y=l所围成的一个封闭图形的面积，311,322就是:0(1-COSxdx=(x-Sinxo点评：此题考查余弦函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是两块封闭图形的面积之和就是上部直接积分减去下部积分.17 .曲线y=3在点(1,1)处的切线与X轴及直线X=I所围成的三角形的面积为()A.1B.1C.1D.1*12632考点：定积分在求面积中的应用.501974专题：计算题.分析：欲求所围成的三角形的面积，先求出在点1.1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故要利用导数求出在X=I处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决.解答:解：Vy=X3l.y,=3x2,当x=l时,y，=3得切线的斜率为3,所以k=3；所以曲线在点1,1处的切线方程为：y-l=3×(x-l)1即3x-y-2=0.2令y=o得：X=3,:切线与X轴、直线x=l所围成的三角形的面积为：121S=2×(1-3×=6应选B.点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等根底知识,属于根底题.18 .图中，阴影局部的面积是()A.16B.18C.20D.22考点：定积分在求面积中的应用.501974专题：计算题.分析：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为2,-2，8,4.过2,-2作X轴的垂线把阴影局部分为Si,S2两局部，利用定积分的方法分别求出它们的面积并相加即可得到阴影局部的面积.解答:解：从图象中知抛物线与直线的交点坐标分别为2,-2，8,4.过2,-2)作X轴的垂线把阴影局部分为S，S2两局部，分别求出它们的面积A1，A2：1638所以阴影局部的面积A=Ai+A2=T3-=18应选B.点评：此题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在X轴下方的局部积分为负积分的几何意义强调代数和，属于根底题.考查学生利用定积分求阴影面积的方法的能力.19 .如图中阴影局部的面积是(A.23B.9-23C.32D.3533考定积分在求面积中的应用.501974点：专计算题.题：分求阴影局部的面积，先要对阴影局部进行分割到三个象限内，分别对三局部进行积分求和即可.析：解解：直线y=2x与抛物线y=3-x?解得交点为(-3,-6和1,2)口抛物线y=3-2与X轴负半轴交点-03,0设阴影局部面积为s那么s=JJ(3-X2-2x)d+J5(3-J)d-；l32xd+(3-2)d+23+9-23=O32=332所以阴影局部的面积为下，应选C.点此题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在X轴下方的局部积分为评：负积分的几何意义强调代数和，属于根底题.y=sin(x-(0x-)20 .曲线44与坐标轴围成的面积是()a2b2-2C.2D2-2考点：定积分在求面积中的应用.501974专题：计算题.分析：3兀先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0,积分上限为一丁，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可.解答：解：先根据题意画出图形，371得到积分上限为一丁，积分下限为0y=sin(x-(0x-)曲线44与坐标轴围成的面积是:S=Jo 4./冗、兀3冗/兀、sin)、sin4)dx+444d×2-222-亚围成的面积是2应选D.点评：此题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数.k与。O的一个交点，图中阴影局部的面积为10,那21 .如图，点P(3a,a)是反比例函y=x(k>0)么反比例函数的解析式为(ICI y= XC .12y= XD .27y= X考点：定积分在求面积中的应用.501974专题：计算题；数形结合.分析：1根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影局部的面积等于圆的面积的4即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值.解答：解：设圆的半径是r,根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：14r2=10解得：r=2S记.k丁点P3a,a是反比例函y=xk>0）与。的一个交点.3a2=k且.（3a）2+a、1.a2=I×2102=4.k=3×4=12,12那么反比例函数的解析式是：y=T.应选C.点评：此题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决此题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影局部与圆之间的关系.