(完整版)常见分布的期望和方差.docx

常见分布的期望和方差分布类型概率密度函数期望方差0-1分布B(1,p)Ppq二项分布B(n,p)pi=PX=i=Cinpiqni(g=l-p),(i=l,2,.)np曜Pq泊松分布P()Vp.=pX=i=eA(/=0,1,2,3.)z!均匀分布U(a,b)f(X)=1匚邺(X)=L等b-ar”a+b2(12正态分布N(,)k./(x)=e(o<x<+oo,>0)2rcr2指数分布E(入)£/、jU>0f()=0,x01I1%力?分布，Z2WX,X?,.X相互独立，且都服从标准正态分布NoD2=X12+%2+x11HIn1分布，t(n)YXN(OJ)Y-x2(n)t=-i=师O告5>2)n-2概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算：/(x)=P(Xx)=(3二良)。2、随机变量函数的概率密度：X是服从某种分布的随机变量，求y=(X)的概率密度：f(y)=fxu<y)h,(y)>(参见P6672)3、分布函数F(X,y)=F(N,u)d4小具有以下基本性质：J-OOJ-<o(1)、是变量X,y的非降函数；、0F(x,j)l,对于任意固定的X,y有：尸(-00,y)=F(X-OO)=O;、"x,y)关于X右连续，关于y右连续;、对于任意的(Xl,凹),(出,必)，2y有下述不等式成立:F(X2，)一厂(X，必)一F(X2,y)+产(x>J)4、一个重要的分布函数：77(x,y)=二(工+ arctan)(工+ arctan)的概率密度为：/(x,y)= 22 232xyF(X, y)=2(x2+4)(y2+9)5、二维随机变量的边缘分布：x()=J+"f(,y)力边缘概率密度：Jr人(y)=J(,y)公FX(X)=F(x,+oo)=Ff(u,y)dydu边缘分布函数：J：二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。4(y)=F(÷,y)=匚f(xyv)dxdv6、随机变量的独立性：若F(My)=FXa)4(y)则称随机变量X,Y相互独立。简称X与Y独立。7、两个独立随机变量之和的概率密度：yz(z)=j'(x)4(z-jv)公=。人("/x(z-y)力其中Z=X+Y8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即Z=X+初N(al+b21a2;+b2)t.9、期望的性质：(3)、E(X+Y)=E(X)+E(Y);、若X,Y相互独立，则E(Xy)=E(X)E(Y)。10、方差：D(X)=E(X2)-(ECX)2o若X，Y不相关，则O(X+Y)=O(X)+O(Y),否则O(X+Y)=O(X)+O(Y)+2Cou(X,y),D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)11、协方差：Cov(X9Y)=El(X-E(X)(Y-E(Y),若X,Y独立，则GoWX,Y)=0,此时称：X与Y不相关。12、相关系数：PXY=可(X，？=C"Xjy)一,pr1,当且仅当X与Y存在线性关系时QXJ=1,且PXy=1t勺山。；(X)(K)5(X)5(y)1xrlIEXYIT当b<0。13、k阶原点矩：va=E(Xa),k阶中心矩：4=仇(X-E(X)力。-1 17,所以IimPI - ve = L n- -。 n 14、切比雪夫不等式：PX-E(X)e或PX-E(X,<el-竿9。贝努利大数定律：赠jP£=1。15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因尸汽X,=116、独立同分布序列的中心极限定理：(1)、当n充分大时，独立同分布的随机变量之和Zn=fX,的分布近似于正态分布NSZ=I(2)、对于X,X,.X的平均值又支工,有E原)=之E(XJ=吧=4,D(X)=-YD(Xi)=-=-f即独立同分布的随机1111rnrrrn变量的均值当n充分大时，近似服从正态分布N(a)on(3)、由上可知：IimPa<Znb()-(a)>Pa<Znb(b)-(a),>17、棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，P是事件A发生的概率，则对任意X,IimPW0m-nP<x5Aw(1)、当n充分大时，m近似服从正态分布，N(np,npq)°(2)、当n充分大时，”近似服从正态分布，N(p,生)。nn18、参数的矩估计和似然估计：(参见P200)19、正态总体参数的区间估计：所估参数条件估计函数置信区间/已知认=f-Wa-T=>f+%f=人未知Sx-ta(n-i)=yx+ta(n-l)-=7"T"2未知2(n-)S2X二2QzT)/Za(W-I),Z2(-l)122从一2226=6未知二(工一5)一(MI-2)Iftin2/V1+H2其中$271÷H2-1(x-y)±ta(勺+2-2)s+一7VnIn272从，2未知22r-OO$2rSl/52,Sl/$2Fa(n1-l,n2-l)rFa(nl-l9n2-l)-12220、关于正态总值均值及方差的假设检验，参见P243和P248。