11-3二项分布与正态分布-2024.docx

11.3二项分布与正态分布基础篇考点一条件概率、相互独立事件及二项分布、全概率公式考向一相互独立事件、二项分布1. （2018课标l11,8,5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,。（X）=2.4,P（X=4）P（X=6）,则%（）A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案B2. （2015课标I,4,5分）投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为06且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为（）A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案A3. （2023届江苏常州一中检测,7）袋子里装有形状、大小完全相同的4个小球,球上分别标有数字1,2,3,4,从中有放回地随机取两次,每次取1个球,力表示事件”第一次取出的球上数字是1”，8表示事件“第二次取出的球上数字是2"，C表示事件“两次取出的球上数字之和是5"，表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算,则可以得出（）A.B与。相互独立B.A与。相互独立C.B与C相互独立DCV。相互独立答案C4. （多选）（2023届哈尔滨七十三中月考,9）一个质地均匀的正四面体表面上分别标有数字1,2,3,4,抛掷该正四面体两次,记事件A为“第一次向下的数字为偶数”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（）A.P（八）=jB.事件A和事件B互为对立事件CP（BIA）=ID.事件A和事件8相互独立答案CD5. （多选）（2023届浙江“山水联盟”联考,9）若P与P（B）则（）A.若4,B为互斥事件,则P（A+8）=4OB.P（A+B）76C.若A,5相互独立,则P（AB）=ID.若P（BA）=1,则4,8相互独立答案AD6. （多选）（2022山东质量检测，11）抛掷一枚质地均匀的骰子,观察向上的面出现的点数,在下列事件中与事件”出现的点数为偶数”相互独立的事件为（）A.”出现的点数为奇数”B.”出现的点数大于2”C.”出现的点数小于4”D.”出现的点数小于3”答案BD7. （2021新高考I,8,5分）有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件”第一次取出的球的数字是,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8"，丁表示事件”两次取出的球的数字之和是7"，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立答案B8.（2022全国乙理，10,5分）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为P“2,P3,且P3>P2>P>O.记该棋手连胜两盘的概率为p,则（）A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B.该棋手在第二盘与甲比赛,P最大C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大答案D9. （2022山东济宁一中开学考试，14）已知随机变量则P（g）=,Oe）=.（用数字作答）10. （2015广东，13,5分）已知随机变量X服从二项分布若E（X）=30,D（X）=20,则P=答案J11. （2020天津，13,5分）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为T和点假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.答案I12. （2020课标1,19,12分）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛,丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为去（1）求甲连胜四场的概率；求需要进行第五场比赛的概率；求丙最终获胜的概率.解析甲连胜四场的概率为白.（2）根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况：甲连胜四场的概率为L乙连胜四场的概率为L丙上场后连胜三场的概率为之.所IOIo8以需要进行第五场比赛的概率为1二-2-5=W丙最终获胜,有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜的概率为:；比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为白16oO因此丙最终获胜的概率为:+=13.（2023届江苏百校联考，19）近年来,师范专业是高考考生填报志愿的热门专业.某高中随机调查了本校2022年参加高考的90位文科考生首选志愿（第一个院校专业组的第一个专业）填报情况,经统计,首选志愿填报与性别情况如表：（单位:人）首选志愿为师范专业首选志愿为非师范专业女性2535男性525根据小概率值=0.05的独立性检验,能否认为首选志愿为师范专业与性别有关？(2)用样本估计总体,用本次调研中首选志愿样本的频率代替首选志愿的概率,从2022年全国文科考生中随机抽取3人,设被抽取的3人中首选志愿为师范专业的人数为X,求Z2=5.625>3.841=xo.o5,X的分布列、数学期望E(X)和方差。(X).a0.150.100.050.0250.0100.0050.001Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附：/二nad-bc)2(Q+b)(c+d)(+c)(b+d)n=a+b+c+d.解析(1)零假设为从：首选志愿为师范专业与性别无关.根据题表中数据可得90X(25X25-35X5)260×30×30×60根据小概率值=0.05的独立性检验,推断HO不成立,即认为首选志愿为师范专业与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.05.某个考生首选志愿为师范专业的概率P啜=X的所有可能取值为0,1,2,3,X-(3,).P(X=O)=(Iy=弟P(X=I)=己X"针.P(X=2)=CjXg)2×=P(X=3)=g)3=X的分布列为X0123P8421279927E()=3×=l,D(X)=3××(1-)=考向二条件概率、全概率公式1 .（2023届广东普宁华美实验学校月考,3）从5名男生2名女生中任选3人参加学校组织的“喜迎二十大,奋进新征程”的演讲比赛,则在男生甲被选中的条件下，男生乙和女生丙至少一人被选中的概率是（）A.-B.-C.-D.-2 753答案C2. （2022广东清远阳山中学月考,5）根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为,下雨的概率为/既吹东风又下雨的概率为白则在吹东风的条件下下雨的概率为JLUOVOV（）A.-B.-C.2D.951111答案A3. （2022长沙市明德中学二模,4）学校从高一3名男数学老师和3名女数学老师中选派4人,承担本次模拟考试数学阅卷任务,则在选派的4人中至少有2名男老师的条件下,有2名女老师的概率为（）a4d33n12A.-B.-C.-D.-54525答案B4. （2023届湖北应城第一高级中学热身考试，14）两批同种规格的产品,第一批占30%,次品率为5%;第二批占70%,次品率为4%,将两批产品混合,从混合产品中任取1件,则取到这件产品是合格品的概率为.答案0.9575. （2023届辽宁鞍山质量监测，15）根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下的效果:若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P（AIC）=09P（Ze）=0.9.现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.01,即P（C）=O.01,则P（CIA）=答案6. （2023届辽宁渤海大学附中月考,14）某考生回答一道四选一的考题,假设他知道正确答案的概率为0.5,知道正确答案时,答对的概率为1（X）%,而不知道正确答案时猜对的概率为0.25,那么他答对题目的概率为.答案0.6257. （2023届福建漳州质检,20）漳州某地准备建造一个以水仙花为主题的公园.在建园期间,甲、乙、丙三个工作队负责采摘及雕刻水仙花球茎.雕刻时会损坏部分水仙花球茎,假设水仙花球茎损坏后便不能使用，无损坏的全部使用.已知甲、乙、丙工作队所采摘的水仙花球茎分别占采摘总量的25%,35%,40%,甲、乙、丙工作队采摘的水仙花球茎的使用率分别为0.8,0.6,0.75I水仙花球茎的使用率=1三三(1)从采摘的水仙花球茎中有放回地随机抽取三次,每次抽取一颗,记甲工作队采摘的水仙花球茎被抽取到的次数为以求随机变量。的分布列及期望；已知采摘的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用,求它是由丙工作队所采摘的概率.解析(1)在采摘的水仙花球茎中,任取一颗是由甲工作队采摘的概率是:.依题意,。的所有取值为0,1,2,3,且所以p()=cQ)kQ)3&=0,1,2,3,即P(Qo)£,Pd=I)=刍P=2)=P(勺3)=64646464所以。的分布列为0123272791P64646464所以E©=3x；=*用AhA2,A3分别表示水仙花球茎由甲，乙,丙工作队采摘,B表示采摘的水仙花球茎经雕刻后能使用，则P(Ai)=0.25,P(A2)=0.35,P(A3)=0.4,且P(BA)=0.8,P(BIA2)=0.6,P(BA3)=0.75,P(B)=P(BAi)+P(BA2)+P(BA3)=P(A)P(BAi)+P(A2)P(BA2)+P(A3)P(BA3)=0.25x0.8+0.35x0.6+0.4x0.75=0.71,所以P(48)=生生曳=PM®/)=丝=双P(B)P(B)0.7171即采摘出的某颗水仙花球茎经雕刻后能使用,它是由丙工作队所采摘的概率为菖.考点二正态分布1.(2023届广东东莞四中月考,4)某地组织普通高中数学竞赛.初赛共有20000名学生参赛,统计得考试成绩X(满分150分)服从正态分布N(IIO,100).考试成绩140分及以上者可以进入决赛.本次考试可以进入决赛的人数大约为()附:PQ-KXSM+o)=0.6827,P(-2<X<z+2)=0.9545,P(-3<X<+3)=0.9973A.27答案AB.52C.456D.132. (2011湖北,5,5分)已知随机变量。服从正态分布N2),且PeV4)=0.8,则P(0<<2)=A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2答案C3. (2021新高考11,7,5分)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,/)，则下列结论中不正确的是()A。越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D.该物理量一次测量结果落在(9910.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等答案D4. (2015山东,8,5分)已知某批零件的长度误差(单位:亳米)服从正态分布NS,3今，从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量。月因大正态分布NQ,2)厕P(-<<+)=6S.26%lP(-2<<÷2)=95.44%)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案B5. (2022新高考II,13,5分)已知随机变量X服从正态分布N(2,居)，且P(2<X2.5)=0.36,则P(X>2.5)=.答案0.14月A舒考法一条彳牛概率的求法1.(2023届湖北应城第一高级中学热身考试,6)将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往，,三个村庄进行义诊,每个村庄至少派1名医生,A表示事件“医生甲派往村庄”；8表示事件“医生乙派往村庄”；C表示事件“医生乙派往村庄”，则()A.事件A与8相互独立B.事件A与C相互独立CP(3A)磊D.P(ClA)=答案D2.（2023届广州仲元中学月考,7）为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼.某校一篮球运动员进行投篮练习.如果他前一球投进则后一球投进的概率为"如果他前一球投不进则后一球投进的概率为:若他第1球投进的概率为则他第2球投进的概率为44（）A.-B.-C.-D.-481616答案B3.（多选）（2022湖北开学考，10）已知P（八）=I,尸（瓦4）=1,尸画彳）,则下列结论正确的是（）A.P（A）=aB.P（BA）=-34C.P（B）=D.P（AIB）答案AD4.（多选）（2022广东阶段练，10）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件A、B存在如下关系:P（A=P*,;.某高校有甲、乙两家餐厅,王同学第一天去甲、乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.6;如果第一天去乙餐厅,那么第二天去甲餐厅的概率为0.5,则王同学（）A.第二天去甲餐厅的概率为0.54B.第二天去乙餐厅的概率为0.44C.第二天去了甲餐厅,则第一天去乙餐厅的概率为3D.第二天去了乙餐厅,则第一天去甲餐厅的概率为T答案AC5. （2023届安徽十校联考,15）现有5名同学站成一排拍毕业照留念,在“甲不站最左边,乙不站最右边”的前提下,丙站最左边的概率为.答案6. （2022新高考I,20,12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，5表示事件“选到的人患有该疾病”，黯与摆续的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程BA)BA)度的一项度量指标,记该指标为R.G)证明:桂翳耀；Gi)利用该调杳数据,给出P(AB),P(F)的估计值,并利用的结果给出R的估计值.附.a=nCad-bc)2(+b)(c+d)(+c)(b+d)'P(¾O0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解析由题中数据可知心="嘿黑鬻*=24>6635,所以有99%的把握认为患IUUX1UUUAOV该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.证明：因为代侬2.迺=迪9&U应=3晅P(FA)P(BIA)P（八）P(BA)Pa)P(BA)P(BA)P(BA)oP(A8)P(彳厉)_P(AB)P(B)P(N百)P(万)_P(AB)P伍亘)1.P(AB')P(,AB')P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(AB')P(AB'),Gi)由题表中数据可知P(AIB)=孤=P(AF)=P(ZB)=,P(M亘)=孤=9方29所以党g舞十胪考法二重伯努利试验及二项分布问题的求解方法1.（2022山东质量检测,5）现有3道四选一的单选题,学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路,有思路的题答对的概率为0.8,没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为025,若每题答对得5分,不答或答错得0分,则李明这3道题得分的期望为（）a93d37r39n211A.B.-C.-D.104420答案B2. （2023届湖北“宜荆荆恩”起点考,8）一个袋子中装有形状、大小完全相同的4个小球,其中2个黑球,2个白球.第一步:从袋子里随机取出2个球,将取出的白球涂黑后放回袋中,取出的黑球直接放回袋中;第二步:再从袋子里随机取出2个球,记第二步取出的2个球中白球的个数为X,则E（X）=（）5 321A.B.CAD.；6 432答案D3 .（多选）（2022山东济宁一中开学考，11）某单位举行建党100周年党史知识竞赛,在必答题环节共设置了5道题,每道题答对得20分,答错扣10分（每道题都必须回答,但相互不影响）.设某选手每道题答对的概率均为条其必答题环节的总得分为X,则（）A.该选手恰好答对2道题的概率为TB.E（X）=50Co(X)哼D.P(X>60)嗡答案BD4 .（多选）（2022福建莆田一中模拟,9）甲、乙两位同学做纸牌游戏（纸牌除了颜色有不同,没有其他任何区别），他们手里先各持4张牌,其中甲手里有2张黑牌,2张红牌，乙手里有3张黑牌，1张红牌,现在两人都各自随机地拿出一张牌进行交换,交换后甲、乙手中的红牌数分别为X、匕则（）A.P（X=2）B.P（X=3）=-24CE（X）=E（Y）D.D（X）=D（Y）答案AD5. (2022福州一中三模，15)产品质量检验过程主要包括进货检验(IQC),生产过程检验(IPQC),出货检验(OQe)三个环节.已知某产品IQC单独通过率为*IPQC单独通过率为(0<内1),规定上一类检验不通过则不进入下一类检验,未通过可修复后再检验一次(修复后无需从头检验,通过率不变且每类检验最多两次)，且各类检验间相互独立.若该产品能进入OQC的概率为摄则P=.答案I6. (2017课标II理，13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=.答案1.967. (2022广东清远阳山中学月考，13)随机变量X的概率分布列为X01mP15n310且E(X)=Ll,则D(X)=.答案0.498. (2023届山东高密三中月考，18)某校为了缓解高三学子复习压力,举行“趣味数学”闯关活动,规定每人从10道题中至少随机抽3道回答,至少答对2题即可闯过第一关.某班有5位同学参加闯关活动,假设每位同学都能答对10道题中的6道题,且每位同学能否闯过第一关相互独立.(1)求8同学闯过第一关的概率；(2)求这5位同学闯过第一关的人数X的分布列和数学期望.解析(I)B同学闯过第一关的情况有答对2题和答对3题,故8同学闯过第一关的概率cl+cjcj_2-3-(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,且X服从二项分布，即P(X=O)=S=P(X=DwX©×G)4=果，P(X=2)WX()2×(1)3=也FX(I)3X2T，P(X=4)<×(I)4XG)=墨"5)=0急故X的分布列为X012345P12431024340243802438024332243所以E(X)=OX虫+IX果+2X券+3X果+4x果+5X爵=式或E(X)=5x2=竺)9.(2023届南京雨花台中学调研,20)某企业拥有3条相同的生产线,每条生产线每月至多出现一次故障.各条生产线是否出现故障相互独立,且出现故障的概率均为最(1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；(2)为提高生产效益,该企业决定招聘名维修工人及时对出现故障的生产线进行维修.已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力,且每月固定工资为1万元.此外,统计表明,每月在不出故障的情况下,每条生产线创造12万元的利润;如果出现故障能及时维修,每条生产线创造8万元的利润;如果出现故障不能及时维修,该生产线将不创造利润，以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在=1与=2之中选其一,应选哪个？(实际获利=生产线创造禾IJ润-维修工人工资)解析(1)设3条生产线中出现故障的条数为X,则X5(3(),因此P(X=I)2、24,37 9,(2)当n=时,设该企业每月的实际获利为Ki万元,若X=O,则K1=12×3-1=35;若X=I,则r=12×2+8×l-l=31;若X=2,则r=12×l+8×l+0×l-l=19;若X=3,则Ki=8×l+0×2-1=7,又P(x=。)=CKy(I)3=HX=1)=C1()1(I)2=养P(x=2)=c黑)2(I)1=P(X=3)=Ci)3()0=此时,实际获利Yi的均值E(K1)=35×+31×三+19×+7×=翳(万元).当二2时,设该企业每月的实际获利为匕万元，若X=O,则为=12x3-2=34;若X=I,则K2=12×2+8×1-2=30;若X=2,则匕=12x1+8x2-2=26;若X=3,则r2=8×2+0×l-2=14.七(丫2)=34、,+30X+26X+14XA=万兀),2727272727因为E（三）VEZ),所以以该企业每月实际获利的期望值为决策依据,在n=与=2之中选其一,应选“2.10. (2023届广西北海一模，19)某校为了了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据(单位:分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中,学生完成数学作业时间的范围是(0,100(单位:分钟).其统计数据分组区间为(0,20),20,40),40,60),60,80),80,100.(1)求直方图中X的值；(2)以直方图中的频率作为概率,从该校学生中任选4人,这4名学生中完成数学作业所需时间少于20分钟的人数记为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)由直方图中小矩形面积之和为1,可得20x+0.025×20+0.0065×20+0.003×2×20=b解得x=0.0125.(2)X的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知,每位学生完成数学作业所需时间少于2。分钟的概率毋则P(X=O)=£=晟,P(X=I)=Qe)©*P(X=2)=C“丁()=P(X=3)=C3Q)3P(X=4)<=所以X的分布列为X01234P812727312566412864256E(X)=42=L411. (2018课标I,2(),12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200ft,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为P(OVp<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为/(p),求/(P)的最大值点po.现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的Po作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验？解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为NP)=p2(1-p)叱因此尸(P)=%2p(l-p),8-18p2(l-p)7=2C20p(l-p)17(I-IOp).令/(P)=O,得产=0.1,当Pe(0,0.1)时,/3>0;当pS.l,1)时，尸(P)V0.所以/(P)的最大值点为PO=OL由知,p=0.1,令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知y(180,0.1),X=20×2+25匕即X=40+25匕所以E(X)=E(40÷25V)=40+25E(y)=490.Gi)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验.考法三正态分布问题的求解方法1 .(2022重庆二模,4)已知某批零件的尺寸X(单位:mm)服从正态分布N(Io,4),其中X8,14的产品为“合格品”，若从这批零件中随机抽取一件,则抽到合格品的概率约为()(附:若XN(,2),贝UP-<X<+)0.6827,P(jw-2<Xw+2)0.9545yP(-3<X+3)0.9973)A.0.3414B.0.4773C.0.512D.0.8186答案D2 .(多选)(2023届重庆南开中学质检,9)已知随机变量XN(1,22),且P(X<O)+P(lX<n)=i,则下列说法正确的是()A.w=2B.m=4C.函数)=x(m-x)的最大值为1D.X的正态曲线关于直线x=2对称答案AC3. (2023届河北河间一中开学考，16)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从生产线上随机抽取10个零件,并测量其尺寸(单位:Cm).根据长期的生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(200,150).现假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的10个零件中尺寸在(187.8,212.2)之外的零件数，则E(X)=.(f15012.2,P(-<X<+)=0.6S27,P(-2<X<+2)=0.9545)答案3.1734. (2023届湖北应城笫一高级中学热身考试,21)数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分,数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展,某学校举行了一次数学建模竞赛活动，已知该竞赛共有60名学生参加,他们成绩的频率分布直方图如图.(1)为了对数据进行分析,将60分以下的成绩定为不合格,60分以上(含60分)的成绩定为合格.为科学评估该校学生数学建模水平,决定利用分层随机抽样的方法从这60名学生中选取10人,然后从这10人中抽取4人参加座谈会.记为抽取的4人中，成绩不合格的人数,求4的分布列和数学期望；(2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布NU/),其中可用样本平均数近似代替,2可用样本方差近似代替(每组数据以区间的中点值作代表)，若本次数学建模竞赛满分为100分,成绩在46分以上的学生均能得到奖励,试估计此次竞赛中得到奖励的人数.(结果根据四舍五入保留到整数位)附:若随机变量XM,2)厕P(-<X+)0.6827Q-2c<Xy+2)0.9545,P(-3<Xw+3)0.9973.解析(1)由题中频率分布直方图和分层随机抽样的方法,可知抽取的10人中合格的人数为(0.01+0.02)x20x10=6,不合格的人数为10-6=4.因此,e的所有可能取值为0,1,2,3,4,p（勺O）=容=巳P（Ul）=警=Mp（勺2）=警=2P（勺3）二警=2P（A0=m=LlO工勺5o4''-"o,5oJ35。1210,故。的分布列为01234P114821374351210所以的数学期望七©=0'吃+1乂+2乂升3'9+4'三=*14217352105(2)由题意可知,"=(30x0.005+50x0.015+70x0.02+90x0.01)x20=64,2=(30-64)2×0.1+(50-64)2×0.3+(70-64)2×0.4+(90-64)2×0.2=324,所以=l8.由X服从正态分布N(,2),得P(64-18<X<64+18)=P(46<X82)0.6827,则P(X>82)=i×(1-0.6827)=0.15865,P(X>46)=0.6827+0.15865=0.84135,60×0.8413550,所以估计此次竞赛中得到奖励的人数为50.5. (2017课标I,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:Cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布NU2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(43。,+3加之外的零件数,求P(Ql)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在("-3氏+3。)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得完=至;；中9.97,咫1=1(%L刃2=&屋年一16元2)sJmt(勺一司2=的(舅*一16元2尸0.212,其中汨为抽取的第i个零件的尺寸,i=l,2,.,16.用样本平均数H作为"的估计值)用样本标准差S作为。的估计值；,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3t+3)之外的数据,用剩下的数据估计和精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(,)，则P(z-3<Z<jw+3)=0.9974.0.9974,60.9592,0080.09.解析(1)抽取的一个零件的尺寸在(-3,+3)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率为0.0026,故X-B(16,0.0026).因此P(X1)=1-尸(X=O)=1-0.9974160.0408.X的数学期望为EX=16x0.0026=0.0416.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(-3°,+3加之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(z-3o,"+3加之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由/9.97,.y0.212,得"的估计值为9.97,的估计值为；=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在G-3,+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(A-3,+3；)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为2x(16x9.97-9.22)=10.02,16因此的估计值为10.02.,=1xf=16×0.2122÷16×9.972l591.134,剔除G-3,+3；)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为2x。591.134-9.222-15×10.022)0.008,因此的估计值为VU而S0.09