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    初中几何证明题五大经典含答案.doc

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    初中几何证明题五大经典含答案.doc

    -经典题一1、:如图,O是半圆的圆心,C、E是圆上的两点,CDAB,EFAB,EGCO求证:CDGF初二证明:过点G作GHAB于H,连接OEEGCO,EFABEGO=90°,EFO=90°EGO+EFO=°E、G、O、F四点共圆GEO=HFGEGO=FHG=90°EGOFHG=GHAB,CDABGHCDEO=COCD=GF2、:如图,P是形ABCD部的一点,PADPDA15°。 求证:PBC是正三角形初二证明:作正三角形ADM,连接MPMAD=60°,PAD=15°MAP=MAD+PAD=75°BAD=90°,PAD=15°BAP=BAD-PAD=90°-15°=75°BAP=MAPMA=BA,AP=APMAPBAPBPA=MPA,MP=BP同理CPD=MPD,MP=CPPADPDA15°PA=PD,BAP=CDP=75°BA=CDBAPCDPBPA=CPDBPA=MPA,CPD=MPDMPA=MPD=75°BPC=360°-75°×4=60°MP=BP,MP=CP BP=CP BPC是正三角形3、:如图,在四边形ABCD中,ADBC,M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交MN于E、F求证:DENF证明:连接AC,取AC的中点G,连接NG、MG=DN,CG=DGGNAD,GN=ADDEN=GNMAM=BM,AG=CGGMBC,GM=BCF=GMNAD=BCGN=GMGMN=GNMDEN=F经典题二1、:ABC中,H为垂心各边高线的交点,O为外心,且OMBC于M1求证:AH2OM;2假设BAC600,求证:AHAO初二证明:1延长AD交圆于F,连接BF,过点O作OGAD于GOGAFAG=FG=F=ACB又ADBC,BEACBHD+DBH=90°ACB+DBH=90°ACB=BHDF=BHDBH=BF又ADBCDH=DFAH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2GH+DH=2GD又ADBC,OMBC,OGAD四边形OMDG是矩形OM=GD AH=2OM2连接OB、OCBAC=60BOC=120°OB=OC,OMBCBOM=BOC=60°OBM=30°BO=2OM由1知AH=2OMAH=BO=AO2、设MN是圆O外一条直线,过O作OAMN于A,自A引圆的两条割线交圆O于B、C及D、E,连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P.求证:APAQ 证明:作点E关于AG的对称点F,连接AF、CF、QFAGPQ PAG=QAG=90°又GAE=GAF PAG+GAE=QAG+GAF即PAE=QAFE、F、C、D四点共圆AEF+FCQ=°EFAG,PQAGEFPQPAF=AFEAF=AEAFE=AEF在AEP和AFQ中 AFQ=AEP AF=AE QAF=PAEAEPAFQAP=AQAEF=PAFPAF+QAF=°FCQ=QAFF、C、A、Q四点共圆AFQ=ACQ又AEP=ACQAFQ=AEP3、设MN是圆O的弦,过MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交MN于P、Q求证:APAQ初二证明:作OFCD于F,OGBE于G,连接OP、OQ、OA、AF、AGC、D、B、E四点共圆B=D,E=CABEADCABGADFAGB=AFDAGE=AFCAM=AN,OAMN又OGBE,OAQ+OGQ=°O、A、Q、E四点共圆AOQ=AGE同理AOP=AFCAOQ=AOP又OAQ=OAP=90°,OA=OAOAQOAPAP=AQ4、如图,分别以ABC的AB和AC为一边,在ABC的外侧作形ABFG和形ACDE,点O是DF的中点,OPBC求证:BC=2OP初二证明:分别过F、A、D作直线BC的垂线,垂足分别是L、M、NOF=OD,DNOPFLPN=PLOP是梯形DFLN的中位线DN+FL=2OPABFG是形ABM+FBL=90°又BFL+FBL=90°ABM=BFL又FLB=BMA=90°,BF=ABBFLABMFL=BM同理AMCDCM=DNBM+=FL+DNBC=FL+DN=2OP经典题三1、如图,四边形ABCD为形,DEAC,AEAC,AE与CD相交于F求证:CECF初二证明:连接BD交AC于O。过点E作EGAC于GABCD是形BDAC又EGACBDEG又DEACODEG是平行四边形又COD=90°ODEG是矩形EG=OD=BD=AC=AEEAG=30°AC=AEACE=AEC=75°又AFD=90°-15°=75°CFE=AFD=75°=AECCE=CF2、如图,四边形ABCD为形,DEAC,且CECA,直线EC交DA延长线于F求证:AEAF初二证明:连接BD,过点E作EGAC于GABCD是形BDAC,又EGACCAE=CEA=GCE=15°在AFC中F =180°-FAC-ACF =180°-FAC-GCE=180°-135°-30°=15°F=CEAAE=AFBDEG又DEACODEG是平行四边形又COD=90°ODEG是矩形EG = OD =BD=AC=CEGCE=30°AC=EC3、设P是形ABCD一边BC上的任一点,PFAP,CF平分DCE求证:PAPF初二证明:过点F作FGCE于G,FHCD于HCDCG HCGF是矩形HCF=GCF FH=FGHCGF是形设AB=*,BP=y,CG=zz:y=*-y+z:*化简得*-y·y=*-y·z*-y0y=z即BP=FGABPPGFCG=GFAPFPAPB+FPG=90°APB+BAP=90°FPG=BAP又FGP=PBAFGPPBAFG:PB=PG:AB4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于B、D求证:ABDC,BCAD初三 证明:过点E作EKBD,分别交AC、AF于M、K,取EF的中点H,连接OH、MH、ECEH=FHEM=KMEKBDOB=OD又AO=CO四边形ABCD的对角线互相平分ABCD是平行四边形AB=DC,BC=ADOHEF,PHO=90°又PCOC,POC=90°P、C、H、O四点共圆HCO=HPO又EKBD,HPO=HEKHCM=HEMH、C、E、M四点共圆ECM=EHM又ECM=EFAEHM=EFAHMACEH=FH经典题(四)1、:ABC是正三角形,P是三角形一点,PA3,PB4,PC5求APB的度数初二解:将ABP绕点B顺时针方向旋转60°得BCQ,连接PQ则BPQ是正三角形BQP=60°,PQ=PB=3在PQC中,PQ=4,CQ=AP=3,PC=5PQC是直角三角形PQC=90°BQC=BQP+PQC=60°+90°=150°APB=BQC=150°2、设P是平行四边形ABCD部的一点,且PBAPDA求证:PABPCB初二证明:过点P作AD的平行线,过点A作PD的平行线,两平行线相交于点E,连接BEPEAD,AEPDADPE是平行四边形PE=AD,又ABCD是平行四边形AD=BCPE=BC又ADP=ABPAEP=ABPA、E、B、P四点共圆BEP=PABPAB=PCB又PEAD,ADBCPEBCBCPE是平行四边形BEP=PCBADPE是平行四边形ADP=AEP3、设ABCD为圆接凸四边形,求证:AB·CDAD·BCAC·BD初三证明:在BD上去一点E,使BCE=ACD=CAD=CBDBECADCAD·BC=BE·ACBCE=ACDBCE+ACE=ACD+ACE即BCA=ECD+得AB·CD+ AD·BC =DE·AC+ BE·AC =DE+BE·AC =BD·AC=,BAC=BDCBACEDCAB·CD=DE·AC4、平行四边形ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且PAECF求证:DPADPC初二证明:过点D作DGAE于G,作DHFC于H,连接DF、DESADE=AE·DG,SFDC=FC·DH又SADE= SFDC=SABCDAE·DG=FC·DH又AE=CFDG=DH点D在APC的角平分线上DPADPC经典题五1、设P是边长为1的正ABC任一点,LPAPBPC, 求证:L2证明:1将BPC绕B点顺时针旋转60°的BEF,连接PE,BP=BE,PBE=60°PBE是正三角形。PE=PB 又EF=PCL=PA+PB+PC=PA+PE+EF当PA、PE、EF在一条直线上的时候,L=PA+PE+EF的值最小如图在ABF中,ABP=120°AF=L=PA+PB+PC2过点P作BC的平行线分别交AB、AC于D、G则ADG是正三角形ADP=AGP,AG=DGAPDAGPAPDADPADPA又BD+PDPB CG+PGPC+得AD+BD+CG+PD+PGPA+PB+PCAB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=LAB=AC=1L2由12可知:L22、:P是边长为1的形ABCD的一点,求PAPBPC的最小值解:将BCP绕点B顺时针旋转60°得BEF,连接PE,则BPE是正三角形PE=PBPAPBPC=PA+PE+EF要使PAPBPC最小,则PA、PE、EF应该在一条直线上如图此时AF= PA+PE+EF过点F作FGAB的延长线于G则GBF=°-ABF=°-150°=30°GF=,BG=AF=PAPBPC的最小值是3、P为形ABCD的一点,并且PAa,PB2a,PC3a,求形的边长证明:将ABP绕点B顺时针旋转90°得BCQ,连接PQ则BPQ是等腰直角三角形,PQ=PB=×2a=2a又QC=AP=aQP2+QC2=(2a)2+a2=9a2=PC2PQC是直角三角形BQC=135°BC2=BQ2+CQ2-2BQ·CQ·cosBQC=PB2+PA2-2PB·PAcos135° =4a2+a2-2×2a×a×(-)解得BC=形的边长为4、如图,ABC中,ABCACB80°,D、E分别是AB、AC上的点,DCA30°,EBA20°,求BED的度数解:在AB上取一点F,使BCF=60°,CF交BE于G,连接EF、DGABC=80°,ABE=20°,EBC=60°,又BCG=60°BCG是正三角形 BG=BCACB=80°,BCG=60°FCA=20°EBA=FCA又A=A,AB=ACABEACF AE=AFAFE=AEF=°-A=80°又ABC=80°=AFEEFBCEFG=BCG=60°EFG是等边三角形EF=EG,FEG=EGF=EFG=60°ACB=80°,DCA=30°BCD=50°BDC=°-BCD-ABC=°-50°-80°=50°BCD=BDCBC=BD前已证BG=BCBD=BGBGD=BDG=°-ABE=80°FGD=°-BGD-EGF=°-80°-60°=40°又DFG=°-AFE-EFG=°-80°-60°=40°FGD=DFGDF=DG又EF=EG,DE=DEEFDEGDBED=FED=FEG=×60°=30°5、如图,ABC接于O,且AB为O的直径,ACB的平分线交O于点D,过点D作O的切线PD交CA的延长线于点P,过点A作AECD于点E,过点B作BFCD于点F,假设AC=6,BC=8,求线段PD的长。解:ACD=BCD =AD=BDAB为O的直径 ADB=90°ABD是等腰直角三角形ACB=90°,AC=6,BC=8 AB=10AD=AB·cosDAB=10×=5又AECD,ACD=45°ACE是等腰直角三角形 CE=AE=AC·cosCAE=6×=3在ADE中,DE2=AD2-AE2DE2=DE=CD=CE+DE=3+=PDA=PCD,P=P PDAPCD PC=PD,PA=PD PC=PA+ACPD=PD+6 解得PD=. z.

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