2.8圆锥的侧面积（分层练习）（解析版）.docx

第2章对称图形一圆2.8圆锥的侧面积精选练习基础篇一、单选题1 .用一个圆心角为120。，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为（）.A.冗B.2C.3D.4【答案】D【分析】易得扇形的弧长，除以2兀即为圆锥的底面半径，从而可以计算面积.【详解】解：扇形的弧长=与等=4万，180圆锥的底面半径为4÷2=2.，面积为：4,故选：D.【点睛】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长.2 .如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm,扇形的圆心角。为120。，则该圆锥的母线/长为（）.A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 8cm【答案】C【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长结合弧长公式列式求解即可.【详解】解：根据题意得：2rx2 =180解得：/=6,即该圆锥母线/的长为6.故选：C.【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.3 .如图，在正方形ABC。中，以点A为圆心，Ao为半径，画圆弧。B得到扇形。AB（阴影部分），且扇形/）45的面积为4.若扇形DAB正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为（）【答案】A【分析】先利用扇形ZMB的面枳求出扇形的半径，再求出扇形DAB的弧长，由扇形DAB正好是一个圆锥的侧面展开图可以得出圆锥底面圆周长为扇形DAB的弧长，由此可解.【详解】解：设B=R, NA=90。，且扇形DAB的面积为4,：R=4, 扇形OAA的弧长为：2;TRXM=丝=2兀， 扇形ZMB正好是个圆锥的侧面展开图， 该圆锥底面圆周长为扇形ZM8的弧长，设该圆锥的底面圆的半径为r,则2r=2>解得厂=1.故选A.【点睛】本题考查扇形的面积计算、弧长计算，圆锥的侧面展开图等知识点，熟练掌握''圆锥侧面展开所得扇形的弧长为底面圆的周长”是解题的关键.4 .如图，圆锥底面圆半径为7cm,高为24cm,则它侧面展开图的面积是（）【答案】CC. 175 cm2D. 350cm2【分析】先利用勾股定理计算出AC=25cm,由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积.【详解】解：在mAAOC中,AC=72+242=25cm,.'它侧面展开图的面积是,x2r7x25=175;TCm2.2故选：C【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键.5 .如图，斗笠是一种遮挡阳光和蔽雨的编结帽，它可近似看成一个圆锥，己知该斗笠的侧面积为55（cm2,AB是斗笠的母线，长为25cm,A。为斗笠的高，BC为斗笠末端各点所在圆的直径，则OC的值为（）BA. 22B. 23C. 24D. 25【答案】A【分析】根据圆锥的侧面积和母线可得底面圆的周长，进而可得底面圆的半径.【详解】解：侧面积为55(hrcm2,母线长为25cm,：gxx25=550兀解得/=44兀,2*.*2r=44r,.OC=r=22,故选：A.【点睛】本题考查圆锥的计算，根据侧面积和母线得到底面圆的半径是解题关键.6.如图，正六边形AHa陀尸的边长为35,以顶点A为圆心，AB的长为半径画弧，则由图中阴影图形围A.30B,26C*D.®22【答案】B【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长求出底面半径的长，然后利用勾股定理求出圆锥的高.【详解】解：阴影部分圆心角度数为e-2、。=2。,设图中阴影图形围成的圆锥的底面半径为一，则有2仃二胆3叵，180解得r=5，圆锥的高为“3G)-(6)=2»故答案为：B.【点睛】本题考查圆锥的侧面展开图，解决问题的关键是确定圆锥和侧面展开图的对应关系.7.在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径15cm,圆心角120。的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽,如图所示.在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm【答案】C【分析】利用扇形的弧长等于圆锥的底圆周长求解即可.【详解】解：由题意可知：扇形的弧长"=l（brcm180设底面圆半径为，扇形的弧长等于圆锥的底圆周长2r=（解得：r=5cm,故选：C.【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是理解扇形的弧长等于圆锥的底圆周长.8.如图，从一张腰长为90cm,顶角为120。的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形Oa）,用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（）cm.A.15B.30C.45D.30乃【答案】A【分析】作出等腰三角形底边上的高线OE首先根据直角三角形30。所对的直角边等于斜边的一半求出等腰三角形底边上的高线OE的长度,即得到扇形。CO所在的圆的半径凡然后根据弧长公式求出C。的长度，C。的长度即为圆锥底面圆的周长，最后根据周长求出半径即可.【详解】如图，过点。作OE_LA8,垂足为E048为顶角为120。的等腰三角形,ZA=30o,OE=-0=45cm,2120CD=X2乃X45=30;TCm,360设圆锥的底面圆半径为nm,根据题意得,2r=30万，解得r=15,所以该圆锥的底面圆的半径为15cm,故选A.【点睛】本题考查了直角三角形30。所对的直角边等于斜边的一半、扇形的弧长公式、圆的周长公式，准确将扇形的弧长转化为底面圆的周长是解决本题的关键.9.如图，从一个边长为2阳的正六边形ABCDM铁皮上剪出一个扇形CAE,如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（）A. &2B.3D. Grn【答案】B【分析】先求出扇形的半径H与弧长，再利用扇形弧长与所围成的圆锥的底面周长的关系求出圆锥的底面半.AB=BC=CD=DE=Zm,ZABC=ZBCD=ZCDE=120o,180。12o.ZBCA=NDCE=30o,ZACE=180o-30o-30o=60o,2aBM=-BC=Im,AM=>JbC2-BM2=22-l2=311i*AB=BC,BMLAC,AC=2CM=25m,60r-.AE=-×2×2>3=2r,360解得r=3.3故选：B.【点睛】本题考查了正多边形内角和定理，圆、扇形、圆锥的相关计算，掌握扇形所围的圆锥与扇形之间的等量关系是解决本题的关键.二、填空题10.已知圆锥的底面半径长为5,侧面展开后所得的扇形的圆心角为120。，则该圆锥的母线长等于【答案】15【分析】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得.【详解】解：设圆锥的母线长为上由题意得2、5乃二当普，解得：R=5.故答案为：15.【点睛】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解.11.如图，从一块直径是m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90。的扇形，将其围成一个圆锥，圆锥底面圆的半径是m.【答案】74【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求解.【详解】解：连接8C、AO,Y。的直径为m,.半径是正m,2*：AB=ACtOB=OC,.BC±AO,AO=BO=2在RfaA8O中，AB=yjAO2+BO2=Im»：,圆锥底面圆的弧长I=幺穿设圆锥底面圆的半径是/*,则2乃广=4，2.1.r=m,4故答案为：7.4A【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.12.如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2cm,圆锥的母线长为6cm,则侧面展开图的圆心角的度数为°【答案】120【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解.【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2r=2×2=4(cm)设圆心角的度数是n度，则喂£=4万1o()解得=120故答案为：120.【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.13.从一-块直径是2式的圆中剪出一个圆心角为90。的扇形，将减下来的扇形围成一个圆锥，圆锥底面圆的半径是.【答案】0.5#；【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到/3=2,设圆锥的底面圆的半径为八利用弧长公式得到2r=-f然后解方程即可180【详解】解：如图：NBAC=90。,：BC=2丘,VAB=AC,AB2+AC2=BC2,AB=2,设圆锥的底面圆的半径为r,90c½rx2根据题意得2s=架，IoO解得r=0.5,即圆锥的底面圆的半径为0.5.故答案为：0.5【点睛】此题考查了弧长公式，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理，由90度的圆周角所对的弦是直径及勾股定理求出A8的长是解题的关键.14.如图，正六边形ABCOE尸的边长为4,以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC、AE,用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为.【答案】空3【分析】由正六边形ABCDf的边长为4,可得48=8C=4,Z4BC=ZBF=120°,进而求出N84C=3(,NcAE=60。，过8作8”_LAC于”，由等腰三角形的性质和含30。直角三角形的性质得到4"=C"=aC,BH=2.在Rh.ABH中,由勾股定理求得A"=2J,得到AC=4J根据扇形的面积公式可得到阴影部分的面积，即是圆锥的侧面积，最后根据圆锥的侧面积公式求解底面半径即可.【详解】解：正六边形ABCOE尸的边长为4,AB=BC=4,ZABC=NBAF=(6-2)x180。=设。，6：NABC+N8AC+NBCA=180。，ZBAC=(180o-ZABC)=30°,如图，过B作8”_LAC于"，：.AH=CH=AC1BH=-AB=-×4=2f22在RfA87中，AH=Jab2-BH2=42-22=2*AC=27=43,同理可求/必尸二30。，ZCAE=ZBAF-ZBAC-Z.EAF=120°-30°-30°=60°，60乃.(4后360=8;T，,S温桩倜=S型形CAE=8；T,*/S削锥蒯=%”=rAC=ZT,*4J5力T=84,23一，3故答案为：空.3【点睛】本题考查的是正六边形的性质、扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面积，掌握扇形面积公式和圆锥侧面积公式是解题的关键.15.如图，正方形ABCQ的边长为8,以点A为圆心，AO长为半径画圆弧OE得到扇形OAK（阴影部分,点E在对角线AC上）.若扇形OAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径是.【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可.【详解】解：正方形ABCD的边长为8：.AD=AE=8 AC是正方形48Co的对角线：ZEAD=45°.,-45o×-x8, I-"-2乃de180° 圆锥底面周长为C=2z=2乃，解得r=l 该圆锥的底面圆的半径是1故答案为：1【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等.67.如图，菱形ABCO中的边长为应cm,NA=I35。，以点C为圆心的弧所分别与A8、AO相切于点G、H,与BC、Co分别相交于点£、F,用扇形CEF做成圆锥的侧面，则这个圆锥的而是.（结果保留根号）【分析】先连接0G,设CG=R,由三角函数定义求得扇形的半径即圆锥的母线长，根据弧长公式/=鬻180再由2mr=噤,求出底面半径L最后根据勾股定理即可求得圆锥的高.180【详解】如图：连接CG,NC=I35。，.NB=45。，QAB与用相切，CGlAB,在直角ACBG中，CG=BCsin45o=×-=1,即圆锥的母线长是1,2设圆锥底面的半径为，则：2勿=当券，IOV3.r=-.8则圆锥的高力=Jl2-（3尸=苴5.V88故答案为：em.8【点睹】本题考查的是圆锥的计算，先利用直角三角形求出扇形的半径，运用弧长公式计算出弧长，然后根据底面圆的周长等于扇形的弧长求出底面圆的半径.三、解答题17 .如图，从半径为9cm的圆形纸片剪去!圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠）,那么这个圆锥的富为多少？【答案】35cm【分析】设圆锥的底面圆的半径为cm,利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面240X?TXq的周长，扇形的半役等于圆锥的母线K，根据扇形的面积公式得到2=丝*,解得厂=6,然后利用180勾股定理计算这个圆锥的高.【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为cm,根据题意得2加240××9180解得r=6,所以这个圆锥的高=J9?-6?=3/（cm）.【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解题关键是掌握圆锥相关知识.18 .如图，正方形ABCQ的边长为4,以点A为圆心，AO为半径画圆弧小得到扇形。AE（阴影部分，点E在对角线AC上）.若扇形D4E正好是一个圆锥的侧面展开图，求圆锥的底面圆的半径.【答案】T【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可.【详解】解：:正方形ABCZ）的边长为4：AD=AE=AYAC是止方形A8CZ）的对角线：,NEW=45。.45o××4Lr.=de180°，圆锥底面周长为C=2;ZT=乃，解得r=g.该圆锥的底面圆的半径是T【点睛】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等.19 .如图，有一直径是0的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90。的最大扇形ABCA求AB的长；（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径.【答案】（1）1【分析】（1）连接BC,根据90。圆周角所对的弦是直径，可得BC=g,进而勾股定理求得AB的长,（2）根据（1）可得的。=90。，进而根据弧长公式求解即可（1）连接8C,如图O'：NBAC=90。，8C为。的直径，其6C=,*AB=BC=1;2(2)Q××1设所得圆锥的底面圆的半径为，根据题意得2门I,180解得=4.4【点睛】本题考查了90。圆周角所对的弦是直径，弧长公式，掌握以上知识是解题的关键.20.一块四边形A8C。余料如图所示，已知4O8C,AD=2米，AB=20米,以点A为圆心，A。为半径的圆与BC相切于点交AB于点F,用扇形丽围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥底面圆的半径.二BEC3【答案】r=44【分析】连接AE,利用勾股定理得AE=8E,由此即可求出NABE的度数，再先求出扇形的圆心角ND48的度数，再由弧长公式求出弧长，此弧长就是所得圆锥的底面圆的周长，由圆的周长公式即可求得所得圆锥的底面半径.【详解】如图，连接AE,A。为半径的圆与BC相切于点E,AE±BC,AE=AD=I.AEB,VAB=22»AE=2fAE=BE=21NABE=450.,ABE是等腰直角三角形，NBAE=45。，设圆锥底面半径为广，135由题意得Mx2乃x2=236()3解得4【点睛】本题考查了切线的性质、平行线的性质、圆锥的计算，解题的关键是掌握所涉及的知识要点，并能够灵活运用.提升篇1 .已知二。是正六边形ABCZ)EF的外接圆，正六边形ABCDEF的边心距为J,将图中阴影部分的扇形OAC围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为()E/【答案】C【分析】根据边心距求得外接圆的半径为2,根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可.【详解】如图,过点。作OGLAE垂足为G,/正六边形ABCDEF的边心距为3，ZOG=30o,OG=G：.0A=2AG,4GA2-GA2=3.解得GA=I,OA=2,设圆锥的半径为广，根据题意，得2兀尸120：2IoO故选C.【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面积，熟练掌握弧长公式，圆锥的侧面积公式是解题的关键.2 .如图，正方形ABCo中，分别以B,。为圆心，以正方形的边长10为半径画弧，形成树叶型（阴影部分）图案.树叶图案的周长为IOrt;树叶图案的面积为50-25；若用扇形B4C围成圆锥，则这个圆锥底面半径为2.5；若用扇形84C围成圆锥，则这个圆锥的高为56；上述结论正确的有【答案】#【分析】根据正方形的性质，弧长公式，扇形面积公式，勾股定理计算即可.【详解】Y四边形ABC。是正方形，：.ZZ>ZB=90o,弧长为:90rxl0180=5，树叶图案的周长为10; 结论是正确的；阴影的面积为2(如需-gxl0l0)=50r-100, 结论是错误的；iol,4z-90xx10UC根据题屈，得=5兀=2r,IOv解得x2.5, 结论是正确的；根据题意，得锥高=JlO二(J=屏， 结论是错误的；故答案为：.【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，弧长公式，圆锥的计算，熟练掌握扇形面积，弧长公式,圆锥的计算是解题的关键.3.如图，已知扇形AoB的圆心角为120。，半径OA为9cm.(1)求扇形AOB的弧长和扇形面积；(2)若把扇形纸片4。8卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH.【答案】(1)6；TCm,27-cm260Cm【分析】(I)根据弧长公式和扇形面积公式求解即可；(2)先求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求解即可.(1)解：由题意得扇形A的弧长=%。；：*9=6；TCm,S晶形AOB=27;TCm?；(2)解：如图所示，A”为底面圆的半径，OA为母线长，由题意可得OA=9cm,AH=3cm,2；OH=SAi-AH2=62cmOAAQ-*/2【点睛】本题主要考杳了求扇形面积，求弧长，求圆锥的高，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握弧长公式和扇形面积公式.4.如图，在。中，=43,AD是。的直径，AD_LBC于尸，ZA=30°(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形08C围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.【答案】(1)与万【分析】(I)先利用同弧(或等弧)所对的圆周角等于所对的圆心角的一半和垂径定理，求出扇形的圆心角为120。，在HA48尸中根据勾股定理可求出半径的长，利用扇形的面积公式即可求解；(2)直接根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得圆锥的底面圆的半径.(1)解：连接ACA：AD.LBC,A。是直径,AZ）垂直平分BC：.AB=AC,BF=FC,BD=CDZBAC=2ZBAD=60o,：,NBOC=2/BAC=120°.VBF=Afi=23,A/=JA分一5卢=«46P-(2亚2=6.：OB2=BF2+OF2：,(23)2+(6-OB)2=OB2.OB=4.c_120-4216Q瓶=Fr=丁(2)解：设圆锥的底面圆的半径为r,则周长为2r,3【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式和圆锥的侧面展开图与底面周长之间的关系.本题还涉及到圆中的一些性质，如垂径定理等.5.如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2）,制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中AB=AC,AD_L3C将扇形£4尸围成圆锥时，AE.AF恰好重合，已知这种加工材料的顶角NBAC=90.（1）求图2中圆锥底面圆直径EO与母线AD长的比值；（2）若圆锥底面圆的直径E。为5cm,求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积.（结果保留兀）【答案】（1）1：2（2）（100-25）cm2【分析】（1）根据弧E尸的两种求法，可得结论.（2）根据加影=；8CAD-S扇形祈求解即可.（1）由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得:八LnADDE=180“"=223180DE=-AD,EO与母线A。长之比为1:22AD=2DE=l()(cm)加%='BCAD-S扇形W= -×10×20-290 102360= (IOO-25;T)Cm2答：加工材料剩余部分的面积为（IOo-25万）c【点睹】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.6.如图，等腰三角形48C中，当顶角NA的大小确定时，它的对边（即底边8C）与邻边（即腰"或AC）zZA的对边(底边)BC的比值也就确定，我们把这个比值记作T（八）,即T（八）=/4的弥、，瞰二二,，如T(60。)=1.N¾J邻或(月幻Aii(1)理解巩固：T(90°)=,T(120°)=；(2)学以致用：如图2,圆锥的母线长为9,底面直径PQ=8,一只蚂蚁从P点这沿着圆锥的侧面爬行到点。.求圆锥侧面展开图的扇形圆心角的数：求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0l).(参考数据：T(160o)1.97,T(80o)1.29,T(40o)0.68)【答案】,3(2)160。；11.61.【分析】(I)根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可；(2)根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角;根据T（八）的定义解答即可.【详解】解：(1)如图1,NA=90。，AB=AC,则条应：T(90o)=,如图2,NA=I20。，AB=AC1作AD_L8C于O,则NB40=60。,：.BD=BAB,2：.BC=Wab,T(120°)=6故答案为：y/2J3;(2)Y圆锥的底面直径PQ=8,圆锥的底面周长为8,即侧面展开图扇形的弧长为8,设扇形的圆心角为。,rtln-×9C则一"二舐，解得："=160,圆锥侧面展开图的扇形圆心角为160。；.160c½2=80°,：.T(80o)1.29,蚂蚁爬行的最短路径长为1.29×911,61.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、圆锥的侧面展开图、弧长公式等，熟练掌握以上知识点是解此题的关键.