2021年小升初奥数排列组合问题.docx

小升初奥数一排列组合问题一、排列组合应用【例1】小新、阿呆等七个同窗照像，分别求出在下列条件下有多少种站法?（1）七个人排成一排;（2）七个人排成一排，小新必要站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必要有一人站在中间.（4）七个人排成一排，小新、阿呆必要都站在两边.（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。【解析】（1）Pi=5040（种）。7（2）只需排别的6个人站剩余6个位置.Pe=720（种）.6（3）先拟定中间位置站谁，冉排剩余6个位置.2XP6=i440（种）.6（4）先排两边，再排剩余5个位置，其中两边小新和阿呆还可以互换位置.2R=240（种）.5（5）先排两边，从除小新、阿呆之外5个人中选2人，再排剩余5个人，RxR=2400（种）.55（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相似.当前排成两排，不论先后排各有几种人，7个位置还是各不相似，因此本题实质就是7个元素全排列.Pi=5040（种）.7（7）可以分为两类状况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种状况是对等，因此只规定出其中一种排法数，再乘以2即可.4X3XP5X2=2880（种）.排队问题，普通先考虑特殊5状况再去全排列。【例2】某管理员忘掉了自己小保险柜密码数字，只记得是由四个非。数码构成，且四个数码之和是9,那么保证打开保险柜至少要试几次?【解析】四个非0数码之和等于9组合有1,1,1,6:1,1,2,5:1,1,3,4:1,2,2,4:1,2,3,3:2,2,2,3六种。第一种中，可以构成多少个密码呢？只要考虑6位置就可以了，6可以任意选取4个位置中一种，别的位置放1,共有4种选取;第二种中，先考虑放2,有4种选取，再考虑5位置，可以有3种选取，剩余位置放1,共有4X3=12（种）选取同样办法，可以得出第三、四、五种都各有12种选取.最后一种，与第一种情形相似，3位置有4种选取，别的位置放2,共有4种选取.综上所述，由加法原理，一共可以构成4+12+12+12+12+4=56（个）不同四位数，即保证能打开保险柜至少要试56次.【例3】一种电子表在6时24分30秒时显示为6:24：30,那么从8时到9时这段时间里，此表5个数字都不相似时刻一共有多少个？【解析】设AiBC是满足题意时刻，有A为8,B、D应从0,1,2,3,4,5这6个数字中选取两个不同DE数字，因此有尸2种选法，而。、E应从剩余7个数字中选取两个不同数字，因此有P2种选法，因67此共有尸2×P2=1260种选法。67从8时到9时这段时间里，此表5个数字都不相似时刻一共有1260个。【例4】4名男生，5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同排法：（1）甲不在中间也不在两端；甲、乙两人必要排在两端；男、女生分别排在一起；（4）男女相间.【解析】（1）先排甲，9个位置除了中间和两端之外6个位置都可以，有6种选取，剩余8个人随意排，也就是8个元素全排列问题，有A=8x7x6x5x4x3x2x1=40320（种）选取.由乘法原理,8共有6X40320=241920（种）排法.（2）甲、乙先排，有P2=2l=2（种）排法；剩余7个人随意排，有20=7x6x5x4x3x2x1=5040（种）排法.由乘法原理，共有25040=10080（种）排法.7（3）分别把男生、女生当作一种整体进行排列，有P2=2l=2（种）不同排列办法，再分别对男生、2女生内部进行排列，分别是4个元素与5个元素全排列问题，分别有Pi=4×3×2×1=24（种）和Ps=5×4×3×2×1=120（种）排法.由乘法原理，共有2x24x120=5760（种）排法.（4）先排4名男生，有P4=4x3x2x1=24（种）排法，再把5名女生排到5个空档中，有R=5x4x3x2x1=120（种）排法.由乘法原理，一共有24x120=2880（种）排法。5【例5】一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目.求：（1）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同安排节目顺序？当规定每2个舞蹈节目之间至少安排I个演唱节目时，一共有多少不同安排节目顺序？【解析】（1）先将4个舞蹈节目当作1个节目，与6个演唱节目一起排，则是7个元素全排列问题，有P7=7!=7x6x5x4x3x2x1=5040（种）办法.第二步再排4个舞蹈节目，也就是4个舞蹈节7目全排列问题，P*=4!=4×3×2×1=24（种）办法.4依照乘法原理，一共有504OX24=120960（种）办法.（2）一方面将6个演唱节目排成一列（如下图中“”），是6个元素全排列问题，一共有R=6!=6X5X4X3X2l=720（种）办法.6×××××××第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或2个演唱节目之间（即上图中“X”位置），这相称于从7个“X”中选4个来排，一共有R=7x654=840（种）办法.7依照乘法原理，一共有720×840=604800（W办法。【例6】从1,2,，8中任取3个数构成无重复数字三位数，共有多少个？（只规定列式）从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同选法？（3）3位同窗坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？（4）8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同停放办法？8种不同菜籽，任选3种种在不同土质三块土地上，有多少种不同种法？【解析】按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出3个往上排，有P3种.8（2）3种职务3个位置，从8位候选人（8个元素）任取3位往上排，有白种.8（3）3位同窗当作是三个位置，任取8个座位号（8个元素）中3个往上排（座号找人），每拟定一种号码即相应一种坐法，有P3种.8（4）3个坐位排号1,2,3三个位置，从8人中任取3个往上排（人找座位），有P3种.（5）3列火车编为1,2,3号，从8股车道中任取3股往上排，共有Ps种.8土地编1,2,3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有P3种。8【例7】某校举办男生乒乓球比赛，比赛提成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛48名选手提成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生前2名共16人再提成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生4个第I名进行2场半决赛和2场决赛，拟定1至4名名次.问：整个赛程一共希要进行多少场比赛？【解析】第一阶段中，每个小组内部6个人每2人要赛一场，组内赛C2=经=15场，共8个小组，有62×14x315x8=120场；第二阶段中，每个小组内部4人中每2人赛一场，组内赛C2=6场，共4个小-»2×1组，有6x4=24场；第三阶段赛2+2=4场.依照加法原理，整个赛程一共有120+24+4=148场比赛。【例8】8个人站队，冬冬必要站在小悦和阿奇中间（不一定相邻），小蕙和大智不能相邻，小光和大亮必要相邻，满足规定站法一共有多少种？【解析】冬冬要站在小悦和阿奇中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间位置就一定要留给冬冬，而两边位置可以任意地分派给小悦和阿奇.小慧和大智不能相邻互补事件是小慧和大智必要相邻小光和火亮必要相邻，则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件站法总数为：GXP2X。XP2XP3=3360（种）72423同步满足第一、三个条件，满足小慧和大智必要相邻站法总数为：O×P2×P2×P2×P2=960（种）62322因而同步满足三个条件站法总数为：3360-960=2400（种）。例9某池塘中有48、C三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3个成人和2个小朋友要分乘这些游船，为安全起见，有小朋友乘坐游船上必要至少有个成人陪伴，那么她们3人乘坐这三支游船所有安全乘船办法共有多少种？【解析】由于有小朋友乘坐游船上必要至少有1个成人陪伴，因此小朋友不能乘坐。船.（1）若这5人都不乘坐C船，则正好坐满4、3两船，若两个小朋友在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必要有1个成人，有O=3种办法；若两个小朋友不在同一条船上，即分别在A、8两船上，则8船上有1个小朋友和1个成人，1个小朋友有。=2种选取，1个成人有。=3种选取，因此有2x3=6种办法.故5人都不乘坐C船有3+6=9种安全办法；(2)若这5人中有1人乘坐C船，这个人必然是个成人，有。=3种选取.别的2个成人与2个小朋友，3若两个小朋友在同一条船上，只能在A船上，此时A船上还必要有1个成人，有。=2种办法，因2此此时有3x2=6种办法；若两个小朋友不在同一条船上，那么8船上有1个小朋友和1个成人，此时1个小朋友和1个成人均有Ci=2种选取，因此此种状况下有3x2x2=12种办法；故5人中有1人2乘坐C船有6+12=18种安全办法.因此，共有9+18=27种安全乘法.【例10】从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下，分别有多少种选法？恰有3名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必要入选；某两名女生，某两名男生不能同步入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人。【解析】恰有3名女生入选，阐明男生有5人入选，应为。3xC5=14112种；8IO规定至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合规定.运用包括与排除办法，从所有也许选法中减去不符合规定状况：Ce-Cs-C7×Ci=43758；1810108(3)4人必要入选，则从剩余14人中再选出此外4人，有Cl=100l种：14从所有选法C8种中减去这4个人同步入选CI种：1814Ce-C=43758-1001=42757.1814分三类状况：4人无人入选：4人仅有1人入选；4人中有2人入选，共：C«+C1×C7+C2xC6=34749。MHM【例11】在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，别的2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6人构成安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同选人方案？【解析】按具备双项技术学生分类：5×4×3(1)两人都不选派，有C3=10(种)选派办法；53×2x1两人中选派1人，有2种选法.而针对此人任务又分两类：5x4若此人要安装电脑，则还需2人安装电脑，有。='=10(种)选法，而此外会安装音响设备352×1人全选派上，只有1种选法.由乘法原理，有IOXI=IO(种)选法;Qy9若此人安装音响设备，则还需从3人中选2人安装音响设备，有C?=4=3（种）选法，需从5人32×1中选3人安装电脑，有C：,=JL，=io（种）选法.由乘法原理，有3x10=30（种）选法.a3×2×1依照加法原理，有10+30=40（种）选法；综上所述，一共有2x40=80（种）选派办法.（3）两人全派，针对两人任务可分类讨论如下：两人全安装电脑，则还需要从5人中选1人安装电脑，此外会安装音响设备3人全选上安装音响设备，有5x1=5（种）选派方案；两人一种安装电脑，一种安装音响设备，有OX。=5x43x2=6o（种）选派方案:532×12×15×4×3两人全安装音响设备，有3C3=3×=30（种）选派方案.53x2x1依照加法原理，共有5+60+30=95（种）选派方案.综合以上所述，符合条件方案一共有10+80+95=185（种）.【例12】有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，此外两名英语、日语都精通.从中找出8人，使她们构成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同步工作.问这样分派名单共可以开出多少张？【解析】针对两名英语、日语都精通人员（如下称多面手）参照状况提成三类：（1）多面手不参加，则需从5名英语翻译员中选出4人，有C4=O=5种选取，需从4名日语翻译员55中选出4人，有1种选取.由乘法原理，有5x1=5种选取.（2）多面手中有一人入选，有2种选取，而选出这个人又有参加英文或日文翻译两种也许：5X4×3如果参加英文翻译，则需从5名英语潮译员中再选出3人，有C3=CC,=IO种选取,需从4名53×2×1日语翻译员中选出4人，有1种选取.由乘法原理，有2x10x1=20种选取；如果参加日文翻译，则需从5名英语翻译员中选出4人，有。=。=5种选取，需从4名日语翻55译员中再选出3名，有C3=4种选取.由乘法原理，有2x5x4=40种选取.依照加法原理，44多面手中有一人入选，有20+40=60种选取.（3）多面手中两人均入选，相应一种选取，但此时又分三种状况：两人都译英文；两人都译日文；两人各译一种语种.状况中，还需从5名英语翻译员中选出2人，有C2=妇=10种选取.需从4名日语翻译员中52x1选4人，1种选取.由乘法原理，有IXloXl=IO种选取.状况中，需从5名英语翻译员中选出4人，有C4=c=5种选取.还需从4名日语翻译员中选554×3出2人，有C2=6种选取.依照乘法原理，共有1x5x6=30种选取.42×1状况中，两人各译一种语种，有两种安排即两种选取.剩余需从5名英语翻译员中选出3人，5×4×3有C3=C、=Io种选取,需从4名日语翻译员中选出3人，有C3=G=4种选取.由乘法原理，有12x10x4=80种选取.依照加法原理，多面手中两人均入选，一共有10+30+80=120种选取.综上所述，由加法原理，这样分派名单共可以开出5+60+120=185张.二、几何计数【例13下图中共有一个正方形。【解析】每个4x4正方形中有：边长为1正方形有42个；边长为2正方形有32个；边长为3正方形有22个；边长为4正方形有12个；总共有42+32+22+12=30（个）正方形.既有5个4x4正方形，它们重叠某些是4个2x2正方形.因而，图中正方形个数是30x5-5x4=130。【例14在图中（单位：厘米）：一共有几种长方形?247所有这些长方形面积和是多少？3【解析】一共有(4+3+2+1)(4+3+2+1)=100(个)长方形;所求和是5+12+8+1+(5+12)+(12+8)÷(8+1)+(5+12+8)÷(12+8+1)+(5+12+8+1)×2+4+7+3+(2+4)+(4+7)+(7+3)+(2+4+7)+(4+7+3)+(2+4+7+3)=144×86=12384(平方厘米)。【例15】由20个边长为1小正方形拼成一种4x5长方形中有一格有图中具有所有长方形(含正方形)共有个，它们面积总和是。(第六届走美决赛试题)含一列内所有也许长方形有：(六种)= 360 。因此总共长方形有6x8=48个，面积总和为(1+2+2+3+3+4+4+5)(1+2+2+3+3+4)【巩固】图中共有多少个三角形？【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形个数相等.尖向上三角形又可分为6类(1)最大三角形1个(即ZkABC),(2)第二大三角形有3个(3)第三大三角形有6个(4)第四大三角形有10个(5)第五大三角形有15个(6)最小三角形有24个因此尖向上三角形共有1+3+6+10+15+24=59(个)图中共有三角形2X59=118(个)。【例16】一种圆上有12个点A1，A2,A3,A11,A12.以它们为顶点连三角形，使每个点正好是一种三角形顶点，且各个三角形边都不相交.问共有多少种不同连法?4所在三角彩余下点数314Ag314je31*1【解析】咱们采用递推办法./如果圆上只有3个点，那么只有一种连法.Il如果圆上有6个点，除Al点所在三角彩三顶点外，剩余三个点一定只能在4所在三角形一条边所相应圆弧上，表1给出这时有也许连法OIll如果圆上有9个点，考虑A所在三角形.此时，别的6个点也许分布在:人所在三角形一种边所对弧上；也也许三个点在一种边所相应弧上，另三个点在另一边所对弧上.在表2中用“+”号表达它们分布在不同边所对弧.如果是情形，则由II,这六个点有三种连法：4所在三角形余下点数科数/小一63彳出心63634 Az4343144463 31/出3 + 3I如果是情形，则由，每三个点都只能有一种连法.表2共有12种连法.IV最后考虑圆周上有12个点.同样考虑A种在三角形，剩余9个点分布有三种也许:9个点都在同一段弧上：有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上;每三个点在AI所在三角形一条边相应弧上.得到表3.«3.4,所在三角形余下点数种数4出心9124出4口91244429123 + 63Ai6 + 33血儿3÷633 + 633 + 636 + 3341 As49J + 3 + 31共有 12X3+3X6+1 =55 种.因此当圆周上有12个点时，满足题意连法有55种。课后练习：练习1.如图，其中每条线段都是水平或竖直，边界上各条线段长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米.求图中长方形个数，以及所有长方形面积和。【解析】运用长方形计数公式：横边上共有条线段，纵边上共有机条线段，则图中共有长方形(平行四边形)W个，因此有(4+3+2+1)X(4+3+2+1)=100,这些长方形面积和为：(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)X(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)=124X86=10664o练习2.有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同吃法？【解析】初看本题似乎觉得较好入手，例如可以按天数进行分类枚举：1天吃完有1种办法，这天吃10块；2天吃完有9种办法，IO=I+9=2+8=9+1;当枚举到3天吃完时，状况就有点错综复杂了，叫人无所适从因此咱们必要换一种角度来思考.不妨从详细例子入手来分析，例如这10块摊分4天吃完：第1天吃2块；第2天吃3块；第3天吃1块；第4天吃4块.咱们可以将10个“O”代表10粒糖，把10个“O”排成一排，“O”之间共有9个空位，若相邻两块糖是分在两天吃，就在其间画一条竖线(如下图).OO100OIO100OO例如上图就表达“第1天吃2块：第2天吃3块；第3天吃1块：第4天吃4块.”这样一来，每一种吃糖办法就相应着一种“在9个空位中插入若干个'办法"，规定有多少个不同吃法，就是规定在这9个空位中插入若干个“|”办法数。由于每个空位均有画'与“不画i,两种也许：O1O1OlOlOlOlOlOlOlOI每个空位均有画“|”与不画“|”两种也许依照乘法原理，在这9个空位中画若干个“|”办法数有：222×2=29=512,这也就阐明吃9完10颗糖共有512种不同吃法。练习3.用3根等长火柴可以摆成一种等边三角形.如图用这样等边三角形拼合成一种更大等边三角形.如果这个大等边三角形每边由20根火柴构成，那么一共要用多少根火柴？【解析】把大等边三角形分为“20”层分别计算火柴根数:最上一层只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3X2=6根：从上向下数第二层用了3X3=9根；从上向下数第二层用了3X20=60根；因此总共要用火柴3X(1+2+3+20)=630。练习4.如图所示，用长短相似火柴棍摆成3X1996方格网，其中每个小方格边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【解析】横放需1996X4根，竖放需1997X3根共需1996×4+1997X3=13975根。练习5.编号为1、2、3、4四把椅子，摆成一种圆圈。既有甲、乙、丙、丁四人去坐，规定甲、乙两人必要坐在相邻座位上，一共有多少种坐法？（长沙市奥林匹克代表队集训试题）解析：如右图，四把椅子排成一种圆圈。当甲坐在号位时，乙只能坐在或号位上，则共有4种排法；同理，当甲分别坐在、号位上时，各有4种排法。因此，一共有16种排列法。练习6.从1至9这九个数字中挑出六个不同数填在下图六个圆圈中，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出种不同挑法来。（挑出数字相似，而排列顺序不同都只算一种）（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）解析：在1至9这九个自然数中，奇数有1、3、5、7、9五个，偶数有2、4、6、8四个。要使排列之后，每相邻两个数字之和为质数，则必要奇数与偶数间隔排列，也就是每次取3个奇数和3个偶数。从五个奇数中，取3个数共有10种办法;从四个偶数中，取3个数共有4种办法。但并不是每一种3个奇数和3个偶数都可以排成符合规定排列。经检查，共有26种排法。