半正多面体MicrosoftWord文档.doc

word用角亏研究半正多面体正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。半正多面体是使用两种或以上的正多边形为面的凸多面体。半正多面体的每个顶点的情况一样。 阿基米德曾研究半正多面体虽然其研究记录已佚，故有人将半正多面体唤作阿基米德立体。公式一欧拉公式这里V、 E 和F分别为正多面体的顶点数 、棱数 和面数 。二角亏公式 对于任意简单凸多面体而言，我们称以该多面体的任意一个顶点为顶的多面角的所有平面角度数之和与360的差为这个顶点多面角的角亏。角亏公式是指对于任意简单凸多面体来说，所有顶点多面角角亏之和等于720.引理（一） 同一个半正多面体的每个顶点多面角的角亏相等。证明：因为半正多面体的每个顶点的情况一样，所以多面体的任意一个顶点为顶的多面角的角亏也相等。以下我们将用表示半正多面体任意一个顶点为顶的多面角的角亏。（二） V720°/证明：由角亏公式得知，所有顶点多面角角亏之和等于720;由引理一得知同一个半正多面体的每个顶点多面角的角亏相等。所以720°/三360°/×d这里的d是指一个顶点为顶多面角的所有平面角的个数。证明：因为半正多面体的每个顶点的情况一样，所以从每个顶点引出的棱数一样；假如一个多面角由d个平面角组成，那么从每个顶点就引出d条棱；又因为两顶点引出的棱AB和BA为同一条棱，所以顶点数×d÷2即360°/×d四360°/×d证明：将引理二和引理三代入欧拉公式V-E+F=2得：720°/-360°/×d+ =2整理得：360°/×d五m=Vnm=Vbn(这里n 是指半正多面体中正多边形的边数；m是指这个半正多面体中一样正n边形的个数; b是指半正多面体的一个多面角中一样角的个数。) 证明：因为半正多面体的每个顶点的情况一样，所以从每个顶点引出的角和角数一样，所以在一个多面角中，当组成它的平面角中，没有一样角时，这个半正多面体的顶点数就与一样角的所有个数一样，而这些一样的角是一样的正多边形的角，所以一样角的所有个数也就是一样的正多边形角的所有个数，所以m=V/n；而当在一个多面角中，当组成它的平面角中，有b个一样角时，一样角的所有个数就为Vb,所以m=Vb/n.探究一由引理 V720°/，360°/×n，360°/×n可以看出半正多面体的顶点数 、棱数和面数都同有关，下面我们就用来研究半正多面体。表格一 正多边形边数内角度数360°490°5108°6120°8135°9140°10144°12150°15156°18160°20162°24°165°30°168°36°170°40°171°45°172°60°174°90°176°120°177°180°178°360179°表格二 半正多面体d组成一个多面角的所有平面角的分别度数V720°/360°/×d360°/×d组成一个多面角所需的正多边形的边数1°3179+60+1207201080362360633179+90+907201080362360444179+60+60+6072014407223603332°3178+60+120360540182180633178+90+90360540182180444178+60+60+603607203621803333°3177+120+60240360122120633177+90+90240360122120443162+135+6024036012220834177+60+60+602404802421203334°3176+120+601802709290633176+90+901802709290444176+60+60+60180360182903335°3160+135+601442167418836°3144+120+901201806210643150+144+6012018062121033156+108+901201806215543174+120+601201806260633174+90+901201806260444174+60+60+60120240122603334144+90+60+60120240122104338°3172+120+60901354745633172+90+90901354745444172+60+60+609018092453339°3156+135+6080120421583舍3171+120+6080120424063舍3171+90+90801204240444171+60+60+6080160824033310°3170+120+60721083836633170+90+90721083836443150+140+60721083812933140+120+9072108389644170+60+60+607214474363334140+90+60+607214474943312°3168+120+6060903230633168+90+9060903230443120+120+1086090326653150+108+9060903212544168+60+60+606012062303334108+90+90+60601206254434120+108+60+60601206265335108+60+60+60+6060150925333315°3150+135+6048722612833120+135+904872268643165+120+6048722624633165+90+9048722624443177+108+6048722612053舍4135+60+60+9048965084334165+60+60+604896502433318°3162+60+1204060222063舍3162+90+9040602220443144+108+9040602210543174+108+604060226053舍4162+60+60+604080422033320°3160+120+6036542018363160+90+9036542018443140+140+603654209933172+108+603654204553舍4160+60+60+603672381833324°3156+120+6030451715363156+90+9030451715443168+108+603045173053舍4156+60+60+603060321533330°3150+60+12024361412363120+120+902436146643150+90+9024361412443162+108+602436142053舍4150+60+60+60244826123334120+90+60+602448266433490+90+90+602448264443590+60+60+60+602460384333336°3108+108+1082030125553144+120+602030121063舍3144+90+9020301210443156+108+602030121553舍3174+90+602030126043舍4144+60+60+602040221033340°3140+120+601827119363140+90+901827119443170+60+901827113634舍4140+60+60+60183620933345°3135+60+120162410836舍3135+90+901624108443165+60+901624102434舍4135+60+60+60163218833360°3120+120+60121886363120+90+90121886443150+60+90121881234舍4120+60+60+601224146333490+90+60+601224144433560+60+60+60+60123020333372°3120+108+6010157653舍3108+90+90101575443168+60+60101573033舍4108+60+60+60102012533390°3120+90+608126643舍390+90+908126444490+60+60+60816104333120°3120+60+60695633舍390+90+606954433160+60+606951833舍460+60+60+6061283333180°60+60+60464333探究二由引理m=V/n( m=Vb/n) 可以看出半正多面体中，组成它的正多边形的个数m同半正多面体的顶点数 以与正多边形的边数n有关，下面我们就用V和n来研究一个半正多面体中，组成它的一样正多边形的个数。表格三 半正多面体中一样正多边形的个数dV720°/组成一个多面角所需的正多边形的边数nm=Vn1°37203606321202403623720360442180108362472036033322402402407222°33601806323012018233601804429090182436018033321201201203623°324012063240801223240120442606012232402083123080122424012033328080802424°31809063230609231809044245459241809033326060601825°3144188381848746°3120106412203062312012103101240623120155482430623120606322040623120604423030624120603332404040122412010433123040401228°3904563215304739045442m=90×2÷4=4547490453332303030929°3801583舍423804063舍4238040442202042480403332m=80×3÷3=808210°37236632122438372364421818383721293682438372964812183847236333224242474472943381824247412°360306321020323603044215153236066510101232360125451215324603033322020206246054431215152062460653310122020625605333312202020209215°348128346162634886468122634824632816263482444212122634812053舍2644884336121616504482433321616165018°3402063舍22340204421010223401054484223406053舍22440203332m=40×3÷3=404220°33618362126203361844299203369934412203364553舍204361833321212123824°330153621051733015442m=30×2÷4=15173303053舍174301533321010103230°324123628414324664446143241244266143242053舍14424123332888264246433468826424444366682652443333688883836°320555123201063舍123201044255123201553舍123206043舍12420103332m=20×3÷3=202240°318936263113189442m=18×2÷4=9113183634舍11418933326662045°316836舍10316844244103162434舍1041683332m=16×3÷3=161860°312636242831264423383121234舍84126333244414412443333441451233332072°310653舍73105442m=10×2÷4=573103033舍741053332m=10×3÷3=101290°38643舍63844422264843332m=8×3÷3=810120°36633舍536443m=6×2÷4=325361833舍546333322228180°4333m=4×3÷3=44 在以上表格中，共探究了103个多面体，其中有20个不符合多面体的特征，予以舍去，还有5个标注号的是正多面体，所以在表格中可以看到78个半正多面体的特征。而这78个半正多面体只是半正多面体的一局部，它们只是用整数平面角构成多面角的半正多面体。在半正多面体中还有用分数平面角来构造多面角的半正多面体的，形如用10个正16边形，32个正5边形，40个正4边形就能构成一个半正多面体。由此半正多面体还有待于进一步探索。8 / 8