2023-2024学年人教B版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何单元测试卷(含答案).docx

AL+ Sc 2222023-2024学年人教B版（2019）选择性必修一第一章空间向量与立体几何单元测试卷学校：姓名：班级：考号：一、选择题21、如图,空间四边形。48C中,04=,08=6,OC=c,点M在。4上,且。M=IoA,点N为BC中点,则MN等于（）b.3+L+L32222,1C.a+-bc332221D.一。+一8c332为BC中点,则MN =（）2、如图,空间四边形OABC中,%=。，08=b，OC=2,点M在OA上,且OM=2M4,点NR21,1-3222-1D-a+bc323、已知四面体ABCo的每个顶点都在球。（。为球心）的球面上，445C为等边三角形，AB=BD=2,AD=且ACJ.80,则二面角ACDO的正切值为（）A亚3b66C至3D.叵64、如图,矩形ABCD中,AB=IAD=22,E为边48的中点,将AADE沿直线DE翻折成4。石.在翻折过程中,直线AiC与平面ABCD所成角的正弦值最大为()10-2r6r5-ln5A.o.C.U.46455、在三棱锥尸ABC中，CP,CA,CB两两互相垂直，AC=CB=I,PC=2,建立如图所示的空间直角坐标系，则平面Q钻的法向量可以是()B.(1,2,l)C. (1,1,1)D. (2,-2,1)6、正四面体ABcD的棱长为2,动点P在以BC为直径的球面上，则4P4D的最大值为()A.2B.23C.4D.437、如图，在三棱柱48C-OE产中，G为棱Ao的中点，若BA=a,BC=b,BD=c,则CG=()K.-a+b-cB.-a+b+c2Cl1,C.a+-b+c22n1Llu.-a-b+-c228、在正四面体ABCO中，E,尸分别是AC,Ao的中点，则BC与E/的夹角为（）A.30oB.60oC.120oD.150o9、已知i,j,左是两两垂直的单位向量，若a=2i-j+k,b=i+2j-3k,则q5等于（）A.1B.2C.±3D.-310、如图,在三棱柱ABC-A1BC中,EF分别是BCCG的中点,G为AABC的重心,则GF=（）By/Ayb一""cB121B. AB H AC HAA.332”12ID.-AB AC + -AA.332”121A.ABHAC4AA.332"2 11C.AB+-ACAA3 32二、填空题11、已知直线/经过点A(-1,0且其一个方向向量为"=(1,2,则直线/的方程为12、如图，在三棱柱A3C44G中，AClCG，AClBC,AC=BC=I,ZC1CB=60o,CC=3,点。，七分别在棱AA,CG上，且AD=LCE=2,则二面角的正切值为.13、如图，在正方体48CD-A8GR中，。是AC的中点，点P在线段AG上，若直线。尸与平面AIBG所成的角为°，则COSe的取值范围是.14、如图,在四棱锥P-ABC。中,四边形ABCD是矩形,以上平面ABCD¼=ab=2,4)=6,点。是侧棱P。的中点,点MN分别在边A8/C上,当空间四边形PMND的周长最小时,点。到平面PMN的距离为.t5NC15、在空间四边形ABC。中，若ABCZ)是正三角形，且E为其中心，则AB+-BC-DE-AD=.2216、已知点A(-l,l,-l),平面。经过原点。,且垂直于向量则点A到平面a的距离为.三、解答题17、如图所示，在三棱锥S-ABC中，。为BC的中点，SoJ平面ABC,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，ZBAC=90%求平面&1C与平面SBC夹角的余弦值.18、如图，四棱柱ABC。AMGA中，侧棱AAL底面4BCQ,ABMDC,AB±AD,AD=CD=X9AD=CD=I,E为棱AA的中点.(1)证明4G_LCE；(2)求二面角与-CE-G的正弦值.(3)设点M在线段GE上，且直线AM与平面AORA所成角的正弦值为玄，求线6段AM的长.19、如图,在直三棱柱ABC-AqG中,AC=，ABJBeEF分别为BBl,CA1的中点,且EF_L平面AAGC(1)求AB的长；(2)若AAI=应,求二面角C-AE-A的余弦值.20、如图，在棱长为1的正方体48CD-4BeA中，E,尸分别为。/兀8。的中点,点G在CQ上，且CG=LCO.(1)求证：EF1B1C；(2)求E尸与GG所成角的余弦值.参考答案1、答案：BO011角军析：由题意可得,MN=ON-OM=-(B+OC)OA=一一a+-b+-c.2173322故选：B.2、答案：B解析：因为。M=2MA,点N为3C中点，所以MA=JQA,8N=LbC,32故MN=MA+AB+bN=LoA+ob-oA+'bc321.1(C6Cd2,1(.21,1=a+bci+IOCOB)=ci+bAchaHb4c32、732、)322故选：B.3、答案：A解析：取AC的中点E,连接8石，。石，.A5C为等边三角形，.BEJLAC,AClBD,BEBD=B,；.AC上平面3DE,又DEu平面50。/.AClDE,由题意得，BE=6,AE=DE=CE=I,又BD=Z,DE?+BE?=Bb1,:.BELDEf又A。BE=E,ACfBEu平面A8C,.£应_1平面ABC,又OEu平面ACD,.平面ACDJ_平面ABC,易知DC=垃,则。C2+a02=ac2,故DC为等腰直角三角形，综上，四面体ABCD的球心。为AABC的中心，即点。是上靠近E的三等分点.以E为原点，ED,EC,E8所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设平面OCo的一个法向量为2 = (x,y,z),mCQ = 0,即 m OD = 0,x-y = 0,*z = 0,令X=1,则y=l,z=3,/.m=(1,1,5/3),又平面ACD的一个法向量=(0,0,1),.二面角4-8-0的余弦值为I cos(n, I=mn_>/3_15mn55二面角A-CD-O的正弦值为故二面角A-CD-O的正切值为WL56J.5.53.4、答案：A解析：分别取OEOC的中点0,F,则点A的轨迹是以A/为直径的圆,以OAQE为x,y轴,过。与平面AoE垂直的直线为Z轴建立坐标系，则C(-2,1,0),平面ABCD的其中一个法向量为 =(0,0.1),由 Ao = I ,设 A (COSa,0,Sina),则 CAi =(COSa+ 2,-1,Sina),记直线AC与平面ABCD所成角为sin = W "J = JSiMCA1 n 4cosa + 6l-cos2a 4cosa + 63 设，=cos « + 214 Mn"10-2 4所以直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值最大为 Mg故选：A.5、答案：A解析：由题意，得 A(1,0,0), 8(0J0), P(0,0,2),贝J AB = (T,1,O), AP = (T,0,2),设平面PAB的一个法向量是n = (x, X z),1.l l n AB = Oinrt f-x+y = O,则即17 令X = 1,n-AP = O, -x+2z = 0,y=fZ=-f所以=1,1,故选A.'2I2J6、答案：C解析：如图，设BC的中点为M,连接ME>,以M为原点，建立空间直角坐标系M-xyz，过A作AN，平面BC。于点M则N在线段Mo上，且N为线段上靠近M的三等分点，易得ND=:.AN=yAD2-ND2=,33则A°曰华，,A。=(。，竿，一半，设产(KNZ),则"PM=友广域z+2,33P在以M为球心，1为半径的球面上，.,.X2+y2+z2=1,.0y2+z21,人2326C令yz+2=mt33则直线手y_乎Z+2-m=O与单位圆V+z2=相切时，截距取得最值,令IIl：=1,解得机=O或m=4,ff÷fl.ARAO的最大值为4.7、答案：D解析：CG=CA+AG=CA+-AD=(BA-BC)+-(BD-BA)=(a-b)+-(c-a)=-a-b+-c.222228、答案：C解析：由题意，得EF=LCD,所以2(BC,EF)=(BC,Cm=180o-(CB,CD)=180o-60°=120°.9、答案：D解析：因为i,j,4是两两垂直的单位向量，所以ij=ik=jk=O,2=j2=k2=11所以4b=(2，/+幻«+2/_3无)=2产2产_3欠2=_3.10、答案：A解析:由题意可得:GF=GE+EF=gx；（A3+AC）+；（8C+B4）=ab+ac+（ac-ab+bb1）=-AB+-AC+-BBi3321=-AB+-AC+-AAx.3321故选:A.11、答案：2x-y+2=0解析：因为直线/的一个方向向量为“=(1,2则直线的斜率4=2,又直线过点A(T,0),故所求直线方程为y=2(x+l),即2x-y+2=0.故答案为：2x-y+2=0.2J2i12、答案：一3解析：因为AC_LBC,AClCC1,BCflCC1=C,且SC,CGU平面3CG4，所以AC_L平面8CCM，所以向量Aw为平面BCCM的一个法向量，分别以C4，CB所在直线为X轴，y轴，垂直于平面ABC且过点。的直线为Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-孙z,GX(7 3冉,E(0,l,3), B1 0,不浮2 2ED =9 1 322,EB 二AC = (-2,0,0),设平面与七。的一个法向量为加= (,y,z),贝J<j7n 016 cm ED = 2x yz = 0,22m EB. = y + z = 0,1 22令z = 5 ,贝IJX = 3 , y = -不，所以“=(币,-币,5).设二面角8避-。的大小为 ,易知。为锐角，所以8 Se=I 8s<ac,m=生匈=再=叵, IACllml 4×3?31因此Sin =22731则A(2,0,(),C(),(),0),8(0,2,0),。2；灯山"Sine2扃所以Ian。=COSe313、答案:解析：以。为坐标原点，DAtDC,OA所在直线分别为X轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.Zk设正方体/WCO-ABGA的校长为2,则O(LLO),A(2,0,2),8(2,2,0),C1(0,2,2),所以A8=(0,2,-2),AC=(-2,2,0),设P(,2-a,2)()2),则设平面AiBCl的一个法向量为 = (x,y,z),rll AB = O, tlrl (2y-2z = 0,人 rl.则' 即 令x = l,则n AiCl = 0,2x + 2y = 0,y = l, z = l,所以 = (1,1,1),所以Sine =nOPn-OP3×2×(-l)2+ 222工16y(a-l)2+2因为0<q2,所以 J(a7)2+2,我,即(«-1)2 + 2g3 2 T,V '21即 sin = = × .= J(4-1)+21 "所以 si2 , 9 3所以-siY6羽,又eo身,所以 cos = JI-Sin2 8 14、答案：亥或2卡33解析：要使得空间四边形PMNQ周长最小,只需将平面布8沿AB展开到与平面ABCD共面，延长DC至D使得DC=CD=2,于是点N在线段的垂直平分线上,所Hnd=nd,因为尸。为定值,故当点RMN和。共线时,空间四边形PMNo的周长最小,PA易得APAM ANCly APDD,即得 AMNCPD即2_NJ2+6国访AM"2+2所以AM=LNC=4,8V=6-4=2,以A为坐标原点,AB为X轴4。为y轴,AP为Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则4（0,0,0）,尸（0,0,2）,。（0,6,0）,由题意可得知（1,0,0）,2（2,2,0）,0（0,3,1）,则PM=（1,0,-2）,PN=（2,2,-2）,设 =（x, MZ）是平面PMN的一个法向量,则 JM=O即得. PN=0x-2z=02x+2y-2z=0'令2=1,得工=2,丁=1,=(2,-1,1),P=(0,3,-1)»所以点Q到平面PMN距离d=h1gl二!一3一“二巫.Wl+l+43315答案:0解析：如图，连接AC,BD,取BC的中点R连接OF.BCD是正三角形，且E为其中心，.DE=-DFf313.AB+-BC一一DE-AD=AB+BF-DF+DAAF->,FD+DA=.2216、答案：6解析:由题意,OA=(-1,1,-1),n=(1,-1,1),.0An=-l-=-3Q4-3L所以点A到平面。的距离为d=|3故答案为：6.17、答案：B3解析：因为ASAB与ASAC均为等边三角形，所以&1=S8=SC=AB=AC.连接。4,则。4_LbC.以。为坐标原点，OB,OA,OS所在直线分别为X轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-肛z.设3(1,0,0),则C(T,0,(),A(OJO),S(0,0,1),O(0,0,0),所以M=(OJT),SC=(-1,0,-1),OA=(OJO).设平面SAC的一个法向量为"=(x,y,z),则卜SA=y=0,n'SC-x-z=O,令X=1,则Z=-Ly=-l,所以=(1,一1,一1).易知平面SBC的一个法向量为OA=(0,1,0).所以IeoS。4,I=J=立,33所以平面SAC与平面SBC夹角的余弦值为今18、(1)答案：见解析解析：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得40,0,0),8(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(l,2,l),E(OJO).证明：易得4G=(l,0,T),CE=(-1,1,-1),于是B£CE=O,BG上CE.(2)答案：叵7解析：B1C=(l,-2,-l),设平面用CE的法向量机=(x,y,z),.BICm=Ox-2y-z=O则I,即'7CEm=O-x+y-z=O消去X,得y+2z=0,不妨令z=l,可得一个法向量为根=(-3,-2,1).由(I),bici±ce,又CGJ_隹£,可得用G"L平面CEG，故4G=(1,0,T)为平面CEG的一个法向量.B/rmBC-427于TECOS(W,B1C1)=jj-T7=-f=-7=一一,'/tBxc14×27从而sinWi,BICI)=,故二面角4-CE-G的正弦值为早.(3)答案：2解析：AE=(0,1,0),EC1=(1,1,1).设EM=AEC=(ZZa),O1,有AM=AE+EM=(4,2+1,2).可取AB=(0,0,2)为平面ADD1Ai的一个法向量.设。为直线AM与平面AO2A所成的角，则sin0=|COSAM,AB)=AMAB2212+(+1)2+22×232+2+1于是,"=也,解得=J(4=-J舍去)，322+2+l635.AM=近.19、答案：(I)AB=IL2解析：(I)£F_L面AACG,又ACU面A40G，.E尸_LA。，又歹为AC的中点，.E4=EC,又在RtRtZBEC中,BE=EBr易证得ZAAE经ACBE,故AM=BC.AB=AiBr.AB=BC,又.ABJ.8。，AC=L故AB=1(2)以点4为原点,建立如图所示的空间直角坐标系4-孙Z,由题意可知A(1,0,0),e0,0,孝，C(O,1,)-1,0,丁L1C=(-1,1,72)不妨设加=(,%,ZO)是平面CAE的一个法向量,那么%AE=°,即.inAiC=0忘r0+丁Zo=O2-xo+yo+2zo=O令z0=2,则m=(2,-2,2).又BICl_L面AgB4,故4C；=(OJO)是平面AqzM的一个法向量.设为二面角C-AE-H所成平面角,则COSa=c_2_1,7.B1C122,即二面角C-AE-A的余弦值为20、(1)答案：证明见解析解析：以。点为原点，DAfDC,On的方向分别为X,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系,(1<11则E0,0,-,F-,-,0,B1(1,1,1),C(0,l,0),乙)122J2J所以EF=B,C=(-1,O,-1).I(1因为E尸4。=x(-l)+0+一一×(-l)=0,212所以EFJ_旦。.(2)答案：17C1(0,1,1),则GG=(O,；)，所以丽斯=。+汨TXlI而邛,函卜平,所以CoS(EEGCJ=E产=厂QL=-叵，'/IMIlGy31117TX丁所以E与GCl所成角的余弦值为叵.17