2023-2024学年必修二第十三章立体几何初步章节测试题(含答案).docx

2023-2024学年必修二第十三章立体几何初步章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1、己知异面直线。力分别为平面,的垂线,直线加满足Wa,加a尸，机三（）A.与力相交,且交线与帆平行B.与夕相交,且交线与根垂直C.与平行M与平行D.与平行,“与尸垂直2、在底面半径为1的圆柱。01中，过旋转轴。Oi作圆柱的轴截面A8CZ其中母线AB=2fE是3C的中点，尸是AB的中点，则（）A.AE=CF14C与政是共面直线B.AECFtAC与E尸是共面直线C.AE=CF1AC与EF是异面直线D.AECFfAC与E尸是异面直线3、已知某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆,且该圆锥的体积为3,则尸=（）a2b3c23D.34、已知一个圆锥的母线长为2,其侧面积为2兀,则该圆锥的体积为（）A.叵B.C.-D.335、今年入夏以来,南方多省市出现高温少雨天气,持续的干旱天气导致多地湖泊及水库水位下降.已知某水库水位为海拔50m时,相应水面的面积为160k11?；水位为海拔41m时,相应水面的面积为140kn将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔50m下降到41m时,减少的水量约为（JiZ«3.7）（）a1.0×10911i3B1.2xl09m3c1.3×109m3D1.4xl09m36、四面体ABCO顶点都在半径为2的球面上,正三角形ABC的面积为空,则四面体4ABCo的体积最大为（）A.也B晅C.友D.典24327、如图,一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内,容器与地面所成的角为30。,液面呈椭圆形,椭圆长轴上的顶点M,N到容器底部的距离分别是12和18,则容器内液体的体积是（）A15B.36兀C.45d48h8、正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体.若连接某正方体的相邻面的中心，就可以得到一个正八面体，已知该正八面体的体积为36,则生成它的正方体的棱长为（）A.8B.6C.4D.39、己知矩形ABCD的顶点都在球心为。的球面上，AB=3,BC=3,且四棱锥0-筋8的体积为46，则球。的表面积为（）A.76B.112C.”叵d2243310、已知在直三棱柱ABC-44G中，EF分别为AG的中点,AA1=2,AB=2BC=32>AC=4,如图所本,若过A,E,F三点的平面作该直三棱柱ABC-AqG的截面,则所得截面的面积为（）aWb15C.25d30二、填空题11、在四棱锥尸A5CD中,底面ABCo是平行四边形,点MN分别为棱CRPC的中点,平面AMN交PB于点孔则Vf印WiCD=12、九章算术中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图,现有一方亭ABCD-EfHG，其中上底面与下底面的面积之比为1：4，=逅ET7，方亭的四2个侧面均为全等的等腰梯形,己知方亭四个侧面的面积之和为12番,则方亭的体积为13、在空间直角坐标系。-孙Z中,点A,B,C,M的坐标分别是（2,0,2）,（2Jo）,（0,4,-1）,（0,见一5）,若AACM四点共面,则加=.14、若甲、乙两个圆柱形容器的容积相等，且甲、乙两个圆柱形的容器内部底面半径的比值为2,则甲、乙两个圆柱形容器内部的高度的比值为.15、已知圆柱的底面积为9兀,侧面积为12,则该圆柱的体积为.16、已知圆锥表面积为6cn,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥底面半径是cm.三、解答题17、在边长为。的正方体ABC。-AMGA上选择四个顶点,然后将它们两两相连,且这四个顶点组成的几何图形为每个面都是等边三角形的四面体,记为四面体.(1)请在给出的正方体中画出该四面体,并证明；(2)设C的中心为0,。关于点。的对称的四面体记为C求与”的公共部分的体积.(注:到各个顶点距离相等的点称为四面体的中心)18、如图，四棱锥尸-A3CQ中，ZP48为正三角形，ABCD为正方形，平面尸A3_L平面ABe。，E、尸分别为AC、BP中点.(1)证明：EF平面PCD；(2)求直线期与平面PAC所成角的正弦值.19、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面BCD是正方形,PA_L底面ABCD,PA=AB=2为AC与8。的交点.(1)证明：或)J_平面PAC.(2)若M为的中点,求三棱锥MOCD的体积.20、如图，在直棱柱ABCz)-QGH中，底面ABCO是边长为2的正方形，N是CG上的一点EC平面FHN.(I)请确定点N的位置；(2)若直线BG与平面厂HN所成的角为W求AE参考答案1、答案：A解析：若与夕平行,由a，。/，/可得We,与条件矛盾,不符合题意,故CQ错误;所以与尸相交,如图所示,作少他,且与直线。相交，设a'6=/,/匚7，则由题意匕_1_/=少1./,故/_1/,同理机_1八因为帆（Za,相仁月,所以ZW/,故A正确.2、答案：D解析：连结5巴CE,如图，易知BC是圆。的直径，所以的_LCE,又因为E是BC的中点，故BE=CE,所以在等腰RtZXBEC中，BC = 2r = 2,则BE噬=£近,因为AB是圆柱Oa的母线，所以AB_L面BCE,又BE,BCU面BCE,故ABYBE9AB±BCf所以在RtZABE中，AE=yAB2+BE2=4÷2=6»在Rtz8R7中，由尸是AB的中点得BF=；AB=1,故CF=>JbF2+BC2=+4=5，所以AECF,可以看到，ACU面ABC,EF,面ABC=/，由异面直线的定义可知，AC与E尸是异面直线.故选：D.3、答案：C解析：令圆锥底面圆半径为产,则2=r,解得rf=-r,2从而圆锥的高z=三方=亭八因此圆锥的体积V=1兀/2='兀?'=3,解得r=2右.33UJ2故选:C4、答案：A解析：设圆锥的底面半径为二高为九母线长为/=2，由r/=2r=2=r=1，则=y2-r2=上，则圆锥的体积为JTCr.=J,7t/X币=2%.333故选:A5、答案：C解析：台体体积公式:V=gMs+S2+6),由题意可得=50-41=9m，S1=160×10002=1.6×108m252=140×10002=1.4×108m2代入计算得V=3X1。8*(3+0.4JiZ卜1.3X1CT11?故选:C.6、答案：B解析：设正三角形BC的边长为SAAN=inN=无/=2Q,迎2344所以=3,由正弦定理，_=2Mr为AABC的外接圆的半径)SinA所以r=5所以球心到平面ABC的距离d=y22-32=1，则四面体体积最大为Vd.bc=SAABC(l+2)=3故选:B7、答案：C解析:如图为圆柱的轴截面图,过M作容器壁的垂线,垂足为F,因为MN平行于地面,故nm/V/7=30。，椭圆长轴上的顶点MtN到容器底部的距离分别是12和18,故N尸=18-12=6,在RtAMFN中,MF=NFXtan30°=2石，即圆柱的底面半径为3，所以容器内液体的体积等于一个底面半径为J,高为(12+18)的圆柱体积的一半,艮口为gxx(0)X 30 = 45兀，故选:C.8、答案：B解析：设正方体棱长为2”，可得正八面体是由两个四棱锥构成,四棱锥的底面为边长为缶的正方形，高为小则正八面体体积为2g(2,0=36,解得=3,2a=6.故选：B.9、答案：A解析：由题可知矩形ABCO所在截面圆的半径即为矩形48Co的对角线长度的一半，因为A3=3,BC=B所以矩形ABCO所在截面圆的半径=五三还t=L由2矩形ABCO的面积S=AB8C=36,设。到平面"CO的距离为/?,所以%t5cq=：Sa8cJz=；x3®=4JJ，解得力=4，所以球。的半径K=J产+川=M,所以球。的表面积S=4兀N=76兀.故选A.10、答案：B解析:延长AFfCC1且AF与CC1相交于G,连接EG,并与B1C1相交于D,连接FD,则四边形在RtAABE中,由A5=2,3E=1,得AE=6.在Rt尸中，由M=2,4/=2,得4尸=2立.因为F为AG的中点,所以由平面几何知识可知,A1F94FGC1.所以AA=GC-FG=AF，即G为AG的中点,所以ag=4又由BEGCy可得AB】EDszGDG，又GCl=2BE，B£=3,所以。G=22在RtaGOG中,由DC1=22zGC1=2,得GD=2L所以GE=33所以在ZXAEG中,有AG=4LgE=36,AE=,即GE2+AE2=AG2,所以AE_LGE.又注意到S=-AGEGsinZAGE,S咖=T/GDGsinNAGE=gx/G4GEsinNAGE=;S则四边形AEDF的面积为ISaaeg=xx3Gx>=厉.故选:B.11、答案：_1或1:1212解析：延长BC,交AM的延长线于点E连接EN并延长,交BP于点E连接AA因为M为Co中点,由三角形相似可得:N=生=LBEAB2即。为BE中点，设PB=NPF因为N是PC中点，1 Iwwr.L_2_121,1.所以pN=PC=PB+BC=PF+BE=PF+PK一一PB22224244=-PF+-PE-PF=-PE+-PF.2 4444因为EME三点共线,所以存在。使得fn=，即PN-PF=aPE-aPF整理得PN=aPE-a-)P以其中+1-=1,所以+人=1,解得：=3,4412ABCD612、答案：变3解析：由题意得等设M=2,则AxX,小辰过点E,F在平面ABFE内分别作EM工AB，FN_LAB,垂足分别为点M,N,EF在等腰梯形ABFE中,因为EF/ABEMLABFNA.AB,则四边形MNFE为矩形,所以MV=£F，EM=RV,则脑V=族=21，因为AE=BF，EM=FN，NAME=BNF=900,½o_FF所以RtZXAME也RtZBNF,所以AM=BN=一三=x,2在RtABNF中,由勾股定理得FN=yBF2-BN2=f5x,所以等腰梯形ABFE的面积为S=笥"6r=3&2=3有,所以=l.所以七万=2x=2,A3=4x=4,方亭的高力=_i=2,故方亭的体积为:xx(s+S下+7)=；x2x(4+16+府)=三.故答案为:史313、答案：6解析:由题意,得AB=(0,1,2),AC=(-2,4,3),AM=(-2,肛7),又A,B,C,M四点共面,则存在x,yR,使得AM=xAB÷yAC,-2=-2yIX=2即（一2,八一7）=x（0,l,-2）+y（-2,4,一3）,即W=x+4y,解得（y=1,-7=-2x-3y所以m=6故答案为:6.14、答案：-4解析：由圆柱形容器的容积V=2,得=二,所以甲、乙两个圆柱形容器内部的r高度的比值为O丫=L415、答案：18兀解析：设圆柱的底面半径为二高为力,由已知可得产=9，.：=3,.2rz=12,z=2.该圆柱的体积为9t2=18r故答案为：18公16、答案：2解析：设圆锥的底面半径为心母线长为/,因为圆锥的表面积为67tcm2，所1以r+r2=6,即+r=6，又圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以兀/=2r,即/二2r，所以r=>2(cm)故答案为：拒.17>答案：(1)见解析-a36解析：(1)如图,取4,B,C,。四点并顺次连接四点，构成四面体ABCR,设正方体A8CO-ABGA的边长为,则该四面体的每一条边长为缶，所以证得四面体Q为正四面体；(2)连接5R,A1C交于点。，则。为正方体ABCo-A与GA的中心,所以。到正方体ABCO的各个顶点的距离相等，故。为四面体。的中心，可得A关于。的对称点为C1,与关于。的对称点为D,C关于0的对称点为A1,。关于0的对称点为B,如图所示,得到四面体O为ABCQ,A-B,CDl=VABCD-AiBlClDiB-ACB4×××a2×a=a,J乙。设。1,。2,。3分别为CA,CB1,C。的中点，所以以共A-BxCDxC-O1O2O3=匕-即冷一匕/S=3匕一4S二18、(1)答案：见解析解析：连接3。，ABC。是正方形，E是AC的中点，E是3。的中点，口是BP的中点，.EFHPD,EFZ平面PCO,PDu平面.EF平面PCD.(2)答案：叵7解析：建立如图所示空间直角坐标系。-型，设AB=2,则8(0,1,0),P(3,),A(O,-1,O),C(0,l,2),BP=(3,-l,),P=(3,l,),AC=(0,2,2),设平面PAC的法向量=(x,y,z),则氐+y=°,取=-不得=(I,-66)，设BP与平面PAC所成角为,贝(Sine=cos(BP9nj=.19、答案：(1)见解析！3解析：(1)证明：PAl底面A8CO,BDJlPA-底面ABCO是正方形，BDlAC-PA,ACu平面PACR4'AC=A,.BDI平面PAC.(2)。为AC与8。的交点，.。为AC与30的中点，SMg=$2x2=1.M为P。的中点,.点M到平面OCD的距离为工PA=1.2vm-ocd=ocD×=32320、答案：(1)点N为CG的中点(2)AE=2或2如图，连接EG与"尸相交于点。，平面CEG、平面FHN=ON,ONU平面FHN,ECe平面FHMEC平面FHMECIION,0为正方形七/6”的对角线的交点，.。/=。”，OE=OG,OE=OG,ECHON,:.GN=NC,点N为CG的中点；(2)设AE=2Mx>0),如图，连接OM记RV和BG的交点为T,过点G作ON的垂线，垂足为P,连接尸。四边形EFGH为正方形，。为对角线的交点，.FH10GtFN=JFG+GN?，HN=NHG2+GM，FG=HG，：.FN=HN,：FN=HN,OH=OF,:.ONLFH,FH-LOGfONlFH,OG,QNU平面OGMOGON=O,.7,平面OGN,FJ_平面OGN,GPU平面OGN,:.FH工GP,GPLON,GP-LFHfFHfONU平面FHN,FHQN=O,.G尸J_平面尸.G?_L平面FHN,：.直线BG与平面股W所成的角的平面角为NGTP,.NGTP=,3在正方形由G”中，由EG = 2,可得OG =:EG = 2/在 RtAOGN 中，QN = JOG2 +GV2 =2+x2 » 有 PG =；x20 = &.OG×GN 2x六匕 七f=CZ = n，在长方力ON 2+2BCGF,由3/=2GN,BFHGN,有BT=2GT,可得TG=g3G=gj4+4f=IJI+f,SinZGTP =GT32x石_又由NGTP=2J(r÷l)(.r2+2)解得工=1或X=&，故他=2或2