2023-2024学年选择性必修二第六章空间向量与立体几何章节测试题(含答案).docx

2023-2024学年选择性必修二第六章空间向量与立体几何章节测试题学校：姓名：班级：考号：一、选择题1、如图,在正三棱柱ABC-A-G中，若AB=BB=2,则点C到直线ABl的距离为()2、空间中有三点P(LO,0),知(1,2,0)”014)则点/到直线加的距离为()A芈B.乎C.22D.23、如图,在平行六面体45Co-AgCQ中,设A3=,AO=6A41=3，则与向量Q乃相4、如图,平行六面体A3CD-A4CQ中,石为CC中点.设AB=。，Ao=b，AAI=C、,用基底4,c表示向量AE，则AE=()CIC.a+-b+c为BC的中点,则MN =()25、如图,在四面体OABC中,0A=a,08=B,0C=c点M在OA上,且满足om=3MA，N13.1r21r1r121n31,1a.一b+-co.«+cab+-ca+-b+-c2423222324226、已知四边形ABCO,AB=BD=DA=2,BC=CD=母,现将班沿5。折起,设二面角。的平面角8二,"，则直线AB与C。所成角的余弦值的取值范66围是()7、.在空间直角坐标系中，已知A(l,2,-3),B(-3,5,-3),C(3,2,-3),则AASC的面积为()A.lB.2C.3D.48、如图，在棱长为2的正方体ABC。-AgG。中，E为3C的中点，点P在线段AE上运动，则点尸到直线Ca的距离的最小值为（）A.也5B65D诬109、如图，在三棱锥OA5C中，ZAOB=ZAOC=60o,OA=OB=OC,BC=Goa,则异面直线。8与AC所成角的大小是（）A.30oB.60oC.90oD.120o10、已知等腰直角三角形ABC,A8=4C,点。为BC边上的中点,沿A。折起平面A8D使得ZBDC=二,则异面直线AB与OC所成角的余弦值为()3A一显B.4433也C.-D.-二、填空题11在正方体ABC。-A1BGR中,E,F分别为棱A。,4G的中点，则异面直线AE与。尸所成角的正弦值为.12、已知点P(T,2,直线/过点A(IJl),且/的一个方向向量为/=(0,L-I)则点尸到直线I的距离为.13、已知向量=(2,3,-1),A=(-42),若“与人的夹角为钝角,则实数，的取值范围为14、已知直线/经过点A(-1,0),且其一个方向向量为=(1,2),则直线/的方程为15、已知直线/的一个方向向量为/W=(1,7,T),若点P(T为直线/外一点，A(4,l,-2)为直线/上一点，则点尸到直线/的距离为.16、如图所示，在长方体ABCO-AgCQl中，AB=4fBC=CCI=20M是的中点，N是MG的中点，若异面直线AN与CM所成的角为8,距离为4则dsin=，三、解答题17、如图,在四棱锥PA3CZ)中,平面P3C_L平面ABCQ,底面48CD是矩形,。,E分别是BCyPA的中点,平面经过点0,。,E与棱PB交于点F.P（I）试用所学知识确定/在棱PB上的位置；（2）若尸B=PC=6,BC=2AB=2求）与平面PCO所成角的正弦值.18、四棱柱ABcD-A1BGA的所有棱长都等于4,ZABC=60°,平面AAGC，平面ABCD,NAAC=60。.（1）证明：DB1,；（2）在直线CG上是否存在点P,使B尸/平面OAG?若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.19、如图，在多面体ABCDE/中，平面4）£尸_L平面ABC。，四边形Ar）石厂为正方形，四边形ABCo为梯形，且AD6C,ZXABD是边长为1的等边三角形，BC=3.（1）求证：AF1BD；（2）线段BO上是否存在点M使得直线CEL平面AFN?若存在，求出空的值；BD若不存在，请说明理由.20、如图，在直三棱柱ABCaqG中，AC=BC=国AB=AAI=2,M为棱AB的中点，N是AC的中点.(1)证明：MNH平面BeGBl；(2)求直线AC与平面始MN所成角的正弦值.参考答案1、答案：B解析：取AC的中点。,则80_L4C，80=6以。为原点,08,0C的方向分别为X,y轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(O,-1,0),与(3,0,2),C(U,0)所以A旦二(6,1,2),CA=(O,-2,0)CA-AB1?万所以Ci在A8；上的投影的长度为'_l=*,AB1222故点C到直线A片的距离d =2、答案：A解析：PM=(0,2,0),MN=(TTJ乙则PMMN=_2JpM=2JmN=3PM-MN24则IMM22ll2(PMMNY所以点P到直线MN的距离为PMiLVlUMNu故选：A.3、答案：C解析：因为。8=484£>|=48(4。+"),所以D=a-b-c-故选：C.4、答案：B解析：AE=AC+CE=AB-AD+-AA.=a-i-b+-c.212故选：B.5、答案：D解析：如图,连接OMN是BC的中点,.ON=LoBJC,223.OM=3M,OM=2-OA,4113Q11.MN=ON-OM=-OB+-OC-OA=-d-i-b+-c-224422故选：D.6、答案：D解析：如图，取的中点。，连接A。，C0,AB=BD=DA=2,BC=CD=V,:.OCA-BD,OAA,BD,且OC=1,OA=B.NAOC是二面角A-BO-C的平面角，以。为坐标原点，0D,。所在直线分别为X轴，y轴，过点。作平面38的垂线为Z轴，建立空间直角坐标系，则8(-1,(),0),C(0,l,(),D(1,O,(),/.CD=(1,-1,0).h二面角A-BD-C的平面角。 56 6:.ZAOC=B,:.A(0,3cos6>,3sin6>),.BA=(1,y3cos,y/3sin),设48与CQ所成的角为a,则 CoS aBACD-13AlIC0Il-Q cos 2忘-r7n兀5l.33又6£一,.cos,6622/.1-5/3cosO於故直线AB与。所成角的余弦值的取值范围是0,7、答案：C解析：解法一：由A(l,2,-3),B(-3,5,-3),C(3,2,-3),得AB=(-4,3,0),AC=(2,0,0),BC=(6,-3,0),所以A8=J(-4>+3?+0=5,IACl=2,IBCI=62÷(-3)2+0=35，由余弦定理，得CoSA=竺三贮二=一3,所以SinA=3,所以BC的面积为IABAC55-ABACsmA=3.2解法二：由A(l,2,-3),B(-3,5,-3),C(3,2,-3),得A8=(-4,3,0),AC=(2,0,0),所以IABI=J(Y)?+32+0=5,IACI=2,故点C到直线AB的距离J=JlACI2则A4BC的面积为YAB25ABd=3.8、答案：A解析：以。为原点，DA,DC,DA分别为X轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则E(l,2,0),D1(0,0,2),C(0,2,0),C1(0,2,2),.EDl=(-1,-2,2),CC1=(0,0,2),CE=(1,0,0).解法一：设异面直线CG与EQ的公垂线段的方向向量为=(X,y,z),则J_CG，uCC1=2z=0,人r11BP令X=I,则y=，z=0,u.ED1=-x-2y+2z=0,2.异面直线AE与Ca之间的距离d="C史=T=L=：=拽J1+-+0V4点P在线段OlE上运动，:点P到直线Ce的距离的最小值为平.解法二：设P(X,yz),=(-22),0,l,则-1=,X=1A,(xl,y 2, z) = (A,1 2, 2)，所以y-2=-24,即y=2-24,所以z=22,z=24,P(I4,224,2/1),又C(0,2,0),/.CP=(1-2,-2,2),.点尸到直线CG的距离JCP-CC1Il/1Y425ICPJ12=>(l-2)+(-2)=y52-2+=+§,当且仅当；I=；时，4皿=手，点P到直线CG的距离的最小值为平故选A.9、答案：B解析：,OA=OB=OCfBC=®OA,:.NBOC=90。.,OA=OCfZAoC=60。，AC=OA.>COBAC=OB(OC-OA)=OBOC-OBOA=-OBOA=-OAif:.COS。反 AC)OB AC 1OBAC 2.<O,AQ=120o,.异面直线OB与AC所成角的大小为60°.10、答案：B解析：已知等腰直角三角形ABC点D是BC中点,则ADlBC沿着AD翻折平面ADB可得ZBDC=60°，所以Ao_L3£>，AO_LOC又BDDC=D,BD,DCu平面BCD,所以Az>_L平面BCD不妨设4?=0,则BD=DC=I,以AD，DB，DC为基底的空间向量，所以AB=A则A8OC=(AO+O8)OC=QOC+D8OC=0+lxlg=g所以cos(被Qe)=咎与=*=也，/ABDC近×14因为ABQC是异面直线,所以异面直线ABQC的余弦值为立.4故选：B.11、答案：-3解析：如图所示,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A(2,0,2),E(LO,0),F(1,2,2),£)(),(),(),则A2=2)，DF=(1,2,2),AiE,D户_一1一4_好AiEDF533所以AE与D厂所成角的正弦值为23故答案为:2.312、答案：3&2解析：易知PA=(2,-1,0),所以点P到直线/的距离为13、答案：(-oo,-6)J6,与、解析:由v0n(2,3,-l)(Tj,2)v0n-8+3f-2v0=zv号;由CIIIbn=>Z=6«23-1综上<W且f3故答案为：(-8,-6)16,5.14、答案：2x-y+2=0解析：因为直线/的一个方向向量为=(1,2),则直线的斜率k=2,又直线过点A(-1,O),故所求直线方程为y=2(x+l),即2x-y+2=0.故答案为：2x-y+2=0.15、答案：11解析：由题知p4=(5,0,7),tn=(1,71,-1),.,.cos<n, PA)=“PA5+13mPA2626.sin(n,PA)=N又.尸AI=A,.点P到直线I的距离为IPAsin<m,PA)=26×16、答案：-5解析：建立空间直角坐标系。-冷z,如图所示:则A(2,0,0),C(0,4,0),M(2,4,2),2vf,4,-所以S2JA7V=f-,4,LCM=(,0,五)，22所以AMCM=O,即AN_LCM,所以。=乌.2设与4N,CM都垂直的一个向量为"=(x,y,l), W即V nCM =0,一浮分+ *0, 2x + >/2 = 0,又 AC = (-2,4,0),近_45T-54所以dsin。=.517、答案：(1)见解析在3解析：(1)过尸作直线/与BC平行,延长OE与/交于点G,连接OGQG与PB的交点即为点F.因为底面ABCD是矩形,。是BC的中点，所以AD/BC，且AD=IOB-又1/BC，所以lAD，因为E是以的中点,可得PG=AO,则尸G=208,所以比=24斤故尸在棱PB的靠近B的三等分点处.(2)因为尸B=Pe,。是BC的中点,所以Po_L8C，又平面尸8C_L平面ABC。,平面PBC平面ABCD=BC,POU平面PBC,所以PoL平面ABCD.取AO中点Q连接。,易知。,OC。尸两两相互垂直，如图,分别以OQQCQP为XJ,z轴建立空间直角坐标系,则AaT,B(0,-l,0),C(0J,0),O(l,l,0),P(0,0词,AO=(0,2,0),8=(1,0,0),CP=(O设平面PCD的法向量为m=(%Xz>则,30,即可，令wCP=0,一y+j2z=0,则y=,所以m=(,l)设石户与平面PeO所成角为。,则sin=cos（EF,tri）=曰TWJ=，1 1帧胴I多币3所以EF与平面PCo所成角的正弦值为立.318、答案：（1）证明见解析（2）点P在GC的延长线上且使CP=CC的位置解析：（1）证明：设B力交AC于点O,则LAC,连接A0.在/½O中，AAJ=4,Ao=2,ZAIAO=60。，.AiO2=A+AO2-2AA1AOcos60°=12,AO2+AiO2=AA12,AiO±AO,又平面AA1C1C1平面ABCD,平面AX1C1C）平面ABCD=AOf.AoJ底面ABCD以。为坐标原点，OB,OCtOA所在直线分别为X轴，），轴，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(O,-2,0),BQ瓜0,0),C(0,2,0),D(-23,0,0),41(0,0,23)，C1(0,4,23),.BD=(-43,0,0),AA1=(O,2,23),/.AA1BD=O,.DBJLAA(2)假设在直线CG上存在点尸，使5尸平面f>4G设CP=4CG(4wR),y,z),则(X,y2,z)="0,2,26),P(O,2+2,23),.BP=(-23,2+2,23).易得AG=(0,40),d4=(23,0,23)设平面ACQ的一个法向量为n=(ayb,c),、n-DAl=0,23r+23c=0,令以=1,贝J7=0,c=-l,a=(1,0,-1).BP平面OAG,:.nBP=Of.-23-22=0,解得;I=-I,即点P在C1C的延长线上且使CP=C1C的位置.19、答案：(1)证明见解析(2)所以不存在点M使得直线CE_L平面4FN解析：(1)证明：因为四边形AD律为正方形，所以A又平面ADEF，平面48CO,且平面AOE/"平面438=A力，所以AF_L平面ABCD.又3。U平面A8CD,所以AFJ(2)线段3£上不存在点M使得直线CE_L平面AFN.理由如下：取AO的中点。，EF的中点K,连接03,OK,因为回£为等边三角形，所以。Lor),在正方形ADE/中，OK工OD,又平面尸J_平面A5CO,平面ADE户1平面ABCo=AO,所以05J_平面ADEE,所以08_LOK,所以。8,OD,OK两两互相垂直，以。为原点，OB,OD,OK所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,如图所示，,3,0，eH4 f(o-I4所以如goAF = (0,0,1) , EC =(3 5设 N(X1,y,0), BN =九BD , 20,l,所以BN =y1=；4,V%,斗iT-T所以AN =2桔吗。.设平面AFN的一个法向量为=(x,y,z),“AN=0,AN=0,丽Ja-3然+因+9所以«22Jk22/z=0,x=-2+-,则y=立4一也，2222由1”1113O3A所以=X+,0.2222）因为CE_L平面ARV,所以EC/，1+1%_旦所以22=9,此方程无解，T2 2所以不存在点N,使得直线CEL平面4FN.20、答案：（1）证明见解析（2）-9解析：（1）证明：连接CM,过点M作MEA1A,交Aq于点E,因为AC=BC=小,M为棱AB的中点，所以CM_LAB,因为三棱柱ABC-AlBiCi为直三棱柱，所以MEt"L平面ABC,又BM,CMU平面A3C,所以MEjMEi.CM,故M8,MC,ME两两互相垂直，以M为坐标原点，MB,MC,ME所在直线分别为X轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为43=AA1=2,所以BW=A=l,由勾股定理，得CM=JBCJBM?=2,所以例(0,0,0),4(1,0,2),8(1,0,0),C(0,2,0),B1(1,0,2),N卜;,1,1则8(j=(-l,2,0),=(0,0,2),MN=(-g,l,lj,设平面BCC1B1的一个法向量为m=(x,y9z),则SCj+2y=0,mBBl=2z=0,令y=1,则X=2,z=0,所以"=(2,1,0),因为MN=T+l+0=0,所以MNLm,因为MNc平面3CG4，所以MN平面BCGBL(2)由(1)得，AC=(1,2,-2),MB1=(1,0,2),MN=(-g,1,1设平面B1MN的一个法向量为=(也c),WJnMM=+2c=0,i'MN=-a+h+c=0,2令c=1,则a=-2,Z?=-2,所以=(-2,-2,1),设直线AC与平面4MN所成的角为，则sin9=cos(n,砌舄1×(-2)+2×(-2)+(-2)×1_8Jl+4+4x"+4+19'故直线AC与平面BMN所成角的正弦值为I.