2023年一次函数知识点及其典型例题.docx

一次函数基本概念1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题:在匀速运动公式S=U/中,V表达速度,/表达时间,s表达在时间/内所走的路程,则变量是,常量是。在圆的周长公式C=2r,变量是_，常量是.2、函数：一般的，在一个变化过程中，假如有两个变量X和y,并且对于X的每一个拟定的值,y都有唯一拟定的值与其相应，那么我们就把X称为自变量,把y称为因变量，y是X的函数。*判断Y是否为X的函数,只要看X取值拟定的时候,Y是否有唯一拟定的值与之相应例题:下列函数y=ny=2xT（3）y=F（l,）（4）y=21-3x（5）y=J1中,是一次函数的有（）（八）4个（B）3个（C）2个（D）1个3、函数的图像一般来说,对于一个函数，假如把自变量与函数的每对相应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.4、函数解析式:用品有表达自变量的字母的代数式表达因变量的式子叫做解析式。5、描点法画函数图形的一般环节第一步:列表（表中给出一些自变量的值及其相应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值相应的各点）；第三步:连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。6、函数的表达方法列表法:一目了然，使用起来方便,但列出的相应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的相应规律。解析式法:简朴明了，可以准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表达。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。7、正比例函数及性质一般地,形如y=kx（k是常数,k/）的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx（k不为零）k不为零X指数为1b取零当k>0时，直线y:kx通过三、一象限,从左向右上升，即随X的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx通过二、四象限,从左向右下降，即随X增大y反而减小.（1）解析式:y=kx（k是常数，k0）必过点：（0,0）、（bk）（3）走向：k0时，图像通过一、三象限；kV0时，图像通过二、四象限（4）增减性:k>0,y随X的增大而增大；k<0,y随X增大而减小（5）倾斜度：|k；越大，越接近y轴；Ikl越小,越接近X轴例题:.正比例函数y=（3m+5）x,当m时，J，随X的增大而增大.若y=x+2-3b是正比例函数，则8的值是（）2 23A.0B.-C.一一D.一一3 32.函数产（21）X,y随X增大而减小，则2的范围是（）A.k<OB>lC.k<D.k<东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数X（个）之间的函数关系式是平行四边形相邻的两边长为小X周长是30,则y与4的函数关系式是.8、一次函数及性质一般地,形如y=kx+b（k,b是常数和），那么y叫做X的一次函数.当b=0时，y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）k不为零X指数为1b取任意实数一次函数y=kx+b的图象是通过(0,b)和(-2,0)两点的一条直线，我们称它为k直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kX平移Ib个单位长度得到.(当b>0时,向上平移；当bVO时，向下平移)(1)解析式:y=kx+b(k、b是常数,k0)(2)必过点：(0,b)和(-2,0)k(3)走向：k>0,图象通过第一、三象限;k<0,图象通过第二、四象限b>0,图象通过第一、二象限；bV0,图象通过第三、四象限f&>ok>oO直线通过第一、二、三象限O直线通过第一、三、四象限b>0p<0(k<0任<0O直线通过第一、二、四象限O直线通过第二、三、四象b>0修<0限(4)增减性：k>O,y随X的增大而增大;k<0,y随X增大而减小.(5)倾斜度：Ikl越大,图象越接近于y轴；：k|越小，图象越接近于X轴.(6)图像的平移：当b0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位.例题：若关于*的函数J=(+1)JrT是一次函数,则m=,.函数y=+6与产bx+的图象在同一坐标系内的大体位置对的的是()将直线y=3x向下平移5个单位，得到直线；将直线尸-工一5向上平移5个单位,得到直线.若直线y=一4+。和直线y=xjt-b的交点坐标为(m,8),则a+b=.已知函数y=3x+l,当自变量增长m时，相应的函数值增长()A.3n+1B . 3mD.3w-19、一次函数y=kx+b的图象的画法.根据几何知识：通过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线，即两点拟定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下：是先选取它4。）与两坐标轴的交点：（O,b）,Xk人即横坐标或纵坐标为0的点.若TWV0,>0,则一次函数y=mx-Fn的图象不通过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移Ibl个单位长度而得到（当bX）时,向上平移;当b<0时，向下平移）.11、直线y=%x+b与y=k2x+b2的位置关系（1）两直线平行：k=k2且thb2两直线相交：k.k2（3）两直线重合：匕=卜2且5=6212、用待定系数法拟定函数解析式的一般环节:（1）根据已知条件写出具有待定系数的函数关系式;（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.13、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax÷b=O（a,b为常数,a0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相称于已知直线y=ax+b拟定它与X轴的交点的横坐标的值.14、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<O（a,b为常数,aW0）的形式,所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.15、一次函数与二元一次方程组（D以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数+bb的图象相同.（2）二元一次方程组"'+"'HG的解可以看作是两个一次函数y=-旦x+La1x-b1y-c1bbx和y=-x+S的图象交点.b2b2函数次 函 数y=kx +b (k0)y-4x+M*>0)y-*x÷6<*<0>一次函数和正比例函数的图象和性质性质(1)当k>0时，y随X的噌大而噌大，图象必过第一、三象限；当b>0时,过第一、二、三象限；当b=0时，只过第一、三象限；当bVO时,过第一、三、四冢限.(2)当kVO时，y随X的噌大而够小，图象必、过第二、四象限.当b>0时,过第一、二、四象限；当b=0时，只过第二、四象限；当bVO时,过第二、三、四家限图象过原点.(1)当k>0,y随X的增大而噌大,图象必过第一、三象限；(2)当kVO时，y随X的噌大而诚小，图象必过第二、四象限题型一、点的坐标方法:X轴上的点纵坐标为0,y轴上的点横坐标为0;若两个点关于X轴对称，则他们的横坐标相同,纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，则它们的纵坐标相同,横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称,则它们的横坐标互为相反数,纵坐标也互为相反数；1、若点A(m,n)在第二象限,则点(Iml,-n)在第象限；2、若点P(2a-l,2-3b)是第二象限的点，则a,b的范围为3、已知A(4,b),B(a,-2),若A,B关于X轴对称,则a=,b=；若A,B关于y轴对称,则a=,b=;若若A,B关于原点对称，则a=,b=；4、若点M(l-x,l-y)在第二象限，那么点N(1-X,y-1)关于原点的对称点在第象限。题型二、关于点的距离的问题方法:点到X轴的距离用纵坐标的绝对值表达,点到y轴的距离用横坐标的绝对值表达；任意两点A(XA,力),B(,)的距离为J(XA-4)2+(以一/)2；若ABX轴，则A(xa,O),B(XB，0)的距离为IS-x/；若ABy轴，则4(0,力),WO,y)的距离为以一词；点A(XA,%)到原点之间的距离为JX：+y：1、点B(2,2)到X轴的距离是倒y轴的距离是；2、点C(0,-5)到X轴的距离是；到y轴的距离是;到原点的距离是;3、点D(a,b)到X轴的距离是；到y轴的距离是；到原点的距离是;(4、己知点P(3,0),Q(-2,0)则PQ=,已知点M0,-,7V0,一一,则MI2)I2)Q=;E(2,-1),F(2,-8),WJEF两点之间的距离是汜知点G(2,-3)、H(3,4),则G、H两点之间的距离是；5、两点(3,-4)、(5,a)间的距离是2,则a的值为;6、己知点A(0,2)、B(-3,2)、C(a,b),若C点在X轴上,且NACB=90°,则C点坐标为.题型三、一次函数与正比例函数的辨认方法：若y=kx+b(k,b是常数，k0),那么y叫做X的一次函数，特别的,当b=0时，一次函数就成为y=kx(k是常数，kW0),这时，y叫做x的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b,这时，y叫做常函数。A与B成正比例U>A=kB(kO)1、当k时，y=(Z-3)f+2-3是一次函数；2、当m时,y=(，-3)一m+以一5是一次函数；3、当m时,y=(n-4)x2m+l+4x5是一次函数；4、2y-3与3x+l成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为:题型四、函数图像及其性质方法：函数图象性质通过象限变化规律y=kx+b（k、b为常数，且kN0）k>0b>0b=0b<0k<0b>0b=0b<0一次函数y=kx+b(k0)中k、b的意义：k(称为斜率)表达直线y=kx+b(k0)的倾斜限度；b(称为截距)表达直线y=kx+b(k0)与y轴交点的,也表达直线在y轴上的同一平面内，不重合的两直线y=k. X +b,系：当 时,两直线平行。当 时，两直线相交。轴上同一点。特殊直线方程：X轴： 直线与X轴平行的直线一、三象限角平分线(kO)与 y =k2 X + b 2 ( k 20)的位置关当 时，两直线垂直。当 时,两直线交于yY轴：直线与Y轴平行的直线二、四象限角平分线1、对于函数y=5X+6,y的值随X值的减小而。2、对于函数,=L2,y的值随X值的而增大。233、一次函数y=(6-3)x+(2n-4)不通过第三象限，则m、n的范围是,4、直线y=(6-3)x+(2n-4)不通过第三象限，则m、n的范围是。5、已知直线y=kx+b通过第一、二、四象限，那么直线y=-bx+k通过第象限。6、无论m为什么值，直线y=X+2m与直线y=-x+4的交点不也许在第象限。7、己知一次函数V=(1-2w)x+(3w-1)(1)当m取何值时，y随X的增大而减小？(2)当m取何值时，函数的图象过原点？题型五、待定系数法求解析式方法：依据两个独立的条件拟定k,b的值,即可求解出一次函数y=kx+b(kWO)的解析式。已知是直线或一次函数可以设y=kx+b(kW0)；若点在直线上,则可以将点的坐标代入解析式构建方程。1、若函数y=3x+b通过点(2,-6),求函数的解析式。2、直线y=kx+b的图像通过A（3,4）和点B（2,7）,3、如图1表达一辆汽车油箱里剩余油量y（升）与行驶时间'（小时）之间的关系.求油箱里所剩油y（升）与行驶时间爪小时）之间的函数关系式,并且拟定自变量X的取值范围。4、一次函数的图像与y=2X-5平行且与X轴交于点（-2,0）求解析式。5、若一次函数y=kx+b的自变量X的取值范围是-2WxW6,相应的函数值的范围是-1Iy9,求此函数的解析式。6已知直线y=kX÷b与直线y=3x+7关于y轴对称,求k、b的值。7、已知直线y=kx+b与直线y=-3X+7关于X轴对称,求k、b的值。8、已知直线y=kx+b与直线y=3x+7关于原点对称，求k、b的值。题型六、平移方法：直线y=kx+b与y轴交点为（O,b）,直线平移则直线上的点（0,b）也会同样的平移，平移不改变斜率k,则将平移后的点代入解析式求出b即可。直线y=kx+b向左平移2向上平移3<=>y=k（x+2）+b+3;（“左加右减,上加下减”）。1 .直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线o2 .直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线3 .直线y=2X向右平移2个单位得到直线234 .直线y=-x+2向左平移2个单位得到直线5 .直线y=2x+l向上平移4个单位得到直线6 .直线y=3X+5向下平移6个单位得到直线7 .直线），=LX向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线o38 .直线y=-二x+1向下平移2个单位,再向左平移1个单位得到直线o49 .过点（2,-3）且平行于直线y=2x的直线是。10 .过点（2,-3）且平行于直线y=-3x+l的直线是.11 .把函数y=3x+l的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位,可得到的图像表达的函数是：12 .直线m:y=2x÷2是直线n向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n上，则a=；题型七、交点问题及直线围成的面积问题方法：两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；复杂图形“外补内割”即:往外补成规则图形,或分割成规则图形（三角形）；往往选择坐标轴上的线段作为底,底所对的顶点的坐标拟定高;1、直线通过(1,2)、(-3,4)两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。2、己知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A(3,4),且OA=OB(1) 求两个函数的解析式；(2)求aAOB的面积;3、已知直线m通过两点(1,6)、(-3,2),它和X轴、y轴的交点式B、A,直线n过点(2,-2),且与y轴交点的纵坐标是一3,它和X轴、y轴的交点是D、C；(1)分别写出两条直线解析式，并画草图;(2) 计算四边形ABCD的面积；(3) 若直线AB与DC交于点E,求BCE的面积。4、如图，A、B分别是X轴上位于原点左右两侧的点，点P(2,p)在第一象限,直线PA交y轴于点C(0,2),直线PB交y轴于点D,ZXAOP的面积为6;(1) 求aCOP的面积；(2) 求点A的坐标及P的值；(3) 若BOP与aDOP的面积相等，求直线BD的函数解析式。5、已知:乙：y=2x+.通过点(3,2),它与X轴，y轴分别交于点B、A,直线公y=日+3通过点(2,-2),且与y轴交于点C(0,3),它与X轴交于点D(1)求直线'1，4的解析式；(2)若直线,1与,2交于点P,求SMap：SMCO的值。6.如图，已知点A(2,4),B(-2,2),C(4,0),求aABC的面积。