2023年七下整式乘法与因式分解知识点归纳小结.docx
七下第九章整式乘法与因式分解知识点归纳小结知识点归纳：一、塞的运算：1、同底数幕的乘法法则：优"att=4w+(肛都是正整数)同底数累相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：(a+Z?)2(a+Z?)3=(a+bY2、塞的乘方法则：=优”根,都是正整数)事的乘方，底数不变，指数相乘。i(-35)2=3,°哥的乘方法则可以逆用：即anm=("")"=anSn如：46=(42)3=(43)23、积的乘方法则：心)=优/(是正整数)。积的乘方,等于各因数乘方的积。如：(-2x3z)5=(-2)5(x3)5(y2)5z5=-325y,0z54、同底数募的除法法则：÷"=(0,孙都是正整数，且mA)同底数箱相除,底数不变,指数相减。如：("F÷(")=("U=/5、多项式按字母的升(降)器排列：xi-2x2y2+xy-2y3-1按元的升鼎排列：按X的降昂排列：按y的升幕排列:按y的降事排列：例.已知W+-1=0,求3+2*+3的值.二、单项式、多项式的乘法运算：6、单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里具有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。如：一2y3z3孙=(3xy)2(-2x/)=?(-a2b)3(a2b)2=?7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即n(a+/?+(?)=ma+mb+me(m,a,b,c都是单项式)。如:2x(2x-3y)-3y(x+y)=。8、多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。9、合并同类项:把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.例如：3。一=;a2+a2=；34+5Z?-2+8b=3x2y-2xy+xy2-4x2y+2x3+10孙-2x3=10、平方差公式：(。+。)(。-力=/一从注意平方差公式展开只有两项公式特性:左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。选如：(x+y-z)(x-y+z)=IIn完全平方公式：(a±。)2="±2Z?+/完全平方公式的口诀：首平方+尾平方，首尾2倍在中央，符号跟着2倍走,系数计算不能忘。例如:(2a+5b)2=；(X-3y)2=例(1)-=2y求的值。(2)(x+y)2=16,(x-y)2=4,求Xy的XX值。公式的变形使用：(1)a2+h2=(a+b)2-2ab=(a+h)2-2ab;(a-b)2=(6Z+Z?)2-4ab,(-Z>)2=-(«+/>)2=(a+h)2；(-a+b)2=-(a-b)2=(a-b)2,b-a=(a-b)(2)三项式的完全平方公式：(a+/?+。)？=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc三、因式分解的常用方法.1、提公因式法(1)会找多项式中的公因式；公因式的构成一般情况下有三部分:系数一各项系数的最大公约数；字母一一各项具有的相同字母;指数一一相同字母的最低次数；(2)提公因式法的环节：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并拟定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致,这一点可用来检查是否漏项.(3)注意点:提取公因式后各因式应当是最简形式，即分解到“底”；假如多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“一”号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是:把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：平方差公式：a2-b2=(a÷b)(ab)完全平方公式：a2+2ab÷b2=(a÷b)2a2-2ab+b2=(a-b)2*在学习过程中，学会运用整体思考问题的数学思想方法和实际运用意识。如:对于任意自然数n,5+7)2(5)2都能被24整除。3.若x2÷2(m-3)x+16是完全平方式,则m的值等于()A.3。B.-5。C.7.。2.7或-13 .配方法：分解因式2+6x-16说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解.当然,本题尚有其它方法，请大家实验.4 .十字相乘法：(1).£+(p+g)x+夕型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是:(1)二次项系数是1;(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和.X2+(p+q)x+pq=X1+px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+P)(X+q)因此,Y+(p+g)x+pq=(x÷p)(x+q)运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式.，例1.把下列各式因式分解：(1)X2-7x+6»*>2)X2+13x+36说明：此例可以看出,常数项为正数时，应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同.。例2.把下列各式因式分解：(l)x2+Sx24Oggx22x15说明:此例可以看出,常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同.例3.把下列各式因式分解：Hl)X2+xy-6y2<2)(x2+x)2-8(x2+x)+12分析:把f+个一6丁2当作X的二次三项式，这时常数项是-6y2,一次项系数是丁，把-6/分解成3y与-2y的积,而3y+(-2y)=y,正好是一次项系数.(2)由换元思想,只要把f+整体看作一个字母,可不必写出，只当作分解二次三项式cr8。+12.派5.一般二次三项式G?+bx+r型的因式分解大家知道,(4%+。1)(2%+。2)=42工2+(4Q÷a2c)x÷cc2反过来,就得到：aia2x2+(alc2+a2ci)x+c1c2=(1x+c1)(a2x+c2)我们发现，二次项系数Q分解成q%，常数项C分解成c£，把q,g,JC2写成%1,这里按斜线交叉相乘,再相加，就得到4G+wq,假如它正好等于双？+法+。的a2c2一次项系数力，那么ax2+6x+c就可以分解成(4x+q)m2x+C2),其中q,C位于上一行,出,。2位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.必须注意，分解因数及十字相乘都有多种也许情况，所以往往要通过多次尝试，才干拟定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.例4.把下列各式因式分解：(1)12x25x2»W2)5x2÷6xySy2说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是I时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数，用减法“凑”,看是否符合一次项系数，否则用加法'凑"冼"凑''绝对值,然后调整,添加正、负号.6、分组分解法： + 8 + " + lab-c b a c-2a，+ bi-AD= b ,花园中建有一条矩形道路例题：1如图，矩形花园ABCD中,AB=,LMQP及一条平行四边形道路RSTK,若LM=RS=C,则花园中可绿化部分的面积为()A.hc-b+c+b2B. a1+ab-bc-acC. ab-bc-ac+c2D. b2-bc-a2-ab2.通过计算几何图形的面积可表达一些代数恒等式，右.图可表达的代数恒等式是().(ab)2=a22ab+b2B.(a+b)2=a2+1ab+b2abC.2a(a+b)=2a2+2abD.(a+bab)=a2b23计算(1)3(x2xy)+x(2y+2x)(2)(x-3)(x+3)(x2-9)(3)(+4)(-4)-(«-1)2(4)(x-2y+3)(JV+2y-3)3.先化简，再求值：(3x+2)(3x-2)-5x(x-l)-(2/一I-,其中4二-34 已知 a?-3a+1=0.求 + >Cl2 H-和 I Cl的值.5.若m2÷2nn+2n2-6+9=0,求m和的值.解：*.*mijr-1tn+2n'6+9=0.m2+2mn÷2÷?76n÷9=0.,.(7+n)2+(w-3)2=0.*.m+n=0,/7-3=0m=3t=36.问题(1)已知AABC的三边长小儿。都是正整数,且满足万+/一666+l8+3-C请问“8C是什么形状？
