必修1-第三章-函数零点.docx

函数零点同一个问题的三种不同表现形式：函数y=U)的零点方程/(X)=O的实数根函数y=)的图象与X轴交点的横坐标函数y=Kr)的零点的个数，即方程Ar)=O实数根的个数，即函数y=x)的图象与X轴交点的个数.考点一：求函数的零点(1)代数法：求方程人X)=O的实数根.可用求根公式或分解因式求解.(2)几何法：与函数y=x)的图象联系起来，图象与X轴的交点的横坐标即为函数的零点.考点二：函数零点的区间判定-零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间(a,b)上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内I至少有一个零点，但不确定个装I【注意：在区间(a,b)上的连续函数，不满足f(a)f(b)<O,这个函数在(a,b)内也有可能有零点】例1：假设2<1)<a那么函数100=仪也)('-1)+1)('0+(乂3)(乂0的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,C)内B.(8,a)和(a,b)内C.(b,C)和(c,+8)内D.(8,a)和(c,+8)内例2：函数八X)=加X：的零点所在的大致区间是()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(e,3)2将各选项中区间的左右端点分别代入外)=1IU-F看其是否满足人。)贝力V0.(2)=ln21V0,人3)=ln3-f>0,.J(2)(3)V0,一般而言只需将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论.例3:函数/(x)=e*+-2的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)例4：设Xo是方程加x+x=4的解，那么Xo属于().A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)例5：函数f(x)=2'，问方程f(x)=0在区间-1,0内是否有解，为什么？因为F(T)=27(-1)2=一夕0,f(0)=2o-02=l>0,而函数/U)=27的图象是连续曲线，所以F(X)在区间-1,0内有零点，即方程fix)=0在区间-1,0内有解.考点三：判断函数零点个数(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点.(2)画出函数y=(x)的图象，判定它与X轴的交点个数，从而判定零点的个数.(3)结合单调性，如果函数在区间(m6)内为单调连续函数，那么此函数在3,)内最多有一个零点。【假设函数在区间(。，力内单调,连续，且y)(b)vd,可判定y="r)在(,b)内有|一个零点】.(4)转化成两个函数图象的交点个数问题：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.例6：二次函数人X)="+加+c(O)中，a、C异号，那么函数的零点个数是()A.0B.1C.2D.不确定【利用(1):解方程】：方程ax2+bx+c=0的判别式/=/一4ac,a、C异号，.*.ac<0,b2-4ac>0t故方程有2个互异实根.函数有2个零点.N+2l3,x0例7：函数x力=“的零点个数为()12+lnjr,x>0A.0B.1C.2D.3【利用(1)；解方程】答案C令f+2-3=0,>=-3或1；.0,”=3；令一2÷lnx=0,ln=2,x=e2>0,故函数/(才)有两个零点.例7：对于函数fCO=V+M+，假设f(a)>0,K吩>0,那么/Cr)在G,方)为()A.一定有零点B.可能有两个零点C.一定有没有零点D.至少有一个零点【利用(2),画函数图像】例8：函数y=(x)的图象是在R上连续不断的曲线，且/(2)>0,那么y=/(x)在区间1,2上().A.没有零点B.有2个零点C.零点个数偶数个D.零点个数为hkeN【利用(2),画函数图像】例9：求函数共幻=2"+lg(x+l)2的零点个数【利用(3),单调性】因为府)=2'+电(1+1)2在(一1,+8)上为连续的单调递增函数，火0)=1+0-2=-KO,y(2)=4+lg3-22.48>0,故兀0=0有且只有一个实根，即函数外)仅有一个零点.【利用(4),将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.】在同一坐标系中作山/Z(X)=22'g(X>=Ig(X+1)的图象，女口图所示，由图象可知"r)=2-2“和g(X>=la(x+1)有且只有一个交点，即.tr)=2*+lg(x+)2与轴有旦只有一个交点，即函数KY)仅有一个等点.方程10"+l2=0解的个数为.画函数y=l(与y=2-的图象，只有一个交点，故方程只有一解.例10:K)是函数r)=2x+jT1的一个零点.假设不£(1,Xo),x2三(x0>÷oo)>那么()A.r)VO,<2)<OB.J(x)<O,x2)>OC.)>0,r2)VOD.fiix)>O,j(x2)>O【利用(3),单调性】y=2'在(1,+8)上是增函数，y=在(1,+8)上是增函数，.fj)=i-X2,÷T在(1,+8)上.是增函数.y=f(x)只有Xo一个零点.*.X1<Xo时，F(Xl)<0X2>Xi时，f(x2)>0.l-应选B.2例11：假设方程In(X+1)=的根在区间(Z,Z+1)(AZ)上,那么的值为()XA.-1B.1C.-1或1D.-1或22【利用(3),单调性】/()=ln(x+l)一一X【利用(4),画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值】例函数/(X)=卜、2，°的零点个数是2-6+1x,>0分段函数零点个数分段处理：【利用1)13)】令f-2=0,解得x=0(舍)或=-五；令2x-6+lnx=0,即InX=2x+6,如图，在x>0的范围内两函数有一个交点，即有一个根.答案：2.函数人X)=的零点个数是In-2+2x,x>0,4x+l,x0例13：函数f(x)=2XIlogX卜1的零点个数为()【利用(4)图象交点的个数即为零点的,个数.】函数f(x)=2xlogx-l的零点即2xlogx-l=0的解,即IIogO$%|=(步的解,作函数g(x)=logxf11力(X)=(9的图由图象可知,两函数共有两个交点,故函数f(x)=2xlogx-l有2个零点.3l-r(>0)例14：/(x)=21A那么方程人幻=2的实数根的个数是()(x2÷4x+3(x<0),考点四根据函数零点的存在情况，求参数的值函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围：假设方程可解，通过解方程即可得出参数的范围；假设方程不易解或不可解，那么将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也表达了数形结合思想的应用.例15：函数x)=3k4,假设在-2,0上存在即使FQb)=0,那么卬的取值范圉是.答案(-8,-1%2例16：函数/(x)=1d一假设关于X的方程")=A有两个不同的实根，那么实数k的取值(x-)x<2范围是,【把方程根的问题，转化为函数图象的交点问题】方程/(X)=A有两个不同的实根，那么y=f(x)与y=k有两个不同交点.作出y=f(x)的图象，可知A(0,l).例17：假设函数f(x)=av-x-a(a>0且a1)有两个零点,那么实数a的取值范围是假设函数段)=e'-2x-在R上有两个零点，那么实数Cl的取值范围是函数f(x)=x2-2x-3-a分别满足以下条件，求实数a的取值范围.(1)函数有两个零点(2)函数有三个零点(3)函数有四个零点(1)假设函数有两个零点，那么a=0或a>4.假设函数有三个零点，那么a=4.(3)函数有四个零点,那么0<a<4.2-1,XV2,例18：函数人x)=<3假设方程4r)-=0有三个不同的实数根，那么实数"的取值范围,G2,ILl是().A.(1,3)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)e2例19：函数x2+2ex+"?-1,g(x)=x+7(x>O).(1)假设y=g(x)-有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)j(x)=O有两个相异实根.考点五与二次函数有关的零点分布解决二次函数的零点问题：如果用求根公式与判别式来做，运算量很大)(1)可利用一元二次方程的求根公式；2可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；工37利用二决函数的图象11t用函数符号,下不等式组.设是实系数一元二次方程+'=。(的两实根，下面为几类常见二次函数零点分布情况需满足于的条件:图象小,均为常数)yX1<x2<mOxzyrn<xi<X2、/WOVxi<m<X2ol/.v*×yxpx2£(机，)W巧nX根的分布(相vv且满足的条件>0b<m2af(fn)>O>0b>m2af(fn)>0fri)<O>0bm<<n2a/(M>0f(n)>0m<xx<n<x2只有一根在(加之间f(m)>0J(P)>0=0bm<<n2a例20：关于X的二次方程2÷2mx÷2w÷1=0./Gw)()<O(D假设方程有两根，其中一根在区间(一1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求机的范围;(2)假设方程两根均在区间(0,1)内，求?的范围例21：二次方程(6-2)/+3加r+l=0的两个根分别属于(.1,0)和(0,2),求小的取值范围.例22：/(x)=2(m+l)x2÷4mx+2rn-1：函数两个零点在原点左右两侧，求实数的取值范围.例23：设关于X的函数/(x)=4x-2Z一伙R),(1)假设函数有零点，求实数b的取值范围；(2)当函数有零点时，讨论零点的个数，并求出函数的零点.例24：函数/(X)=Md-X-I在(0,1)内恰有一个零点，那么实数用的取值范围是(A.(-oo,-2B.(-,2)C.2,÷)D.(2,÷)综合练习1、设/(外=，许Ti"假设关于X的方程/。)+"*)+C=O有三个不同的实数解内，如色，那么,1(X=1).片+考+后等于()21A.5B.2+4C.13D.3+4bcKx)=(g2,X声2,2、设函数lrX=2假设关于X的方程f2()+"()+c=0恰有5个不同的实数解X1、X2、X3、XKX5那么f(X1+X2+X3+X4+X5)等于.3、设方程2T=lg的两个根为阳,，那么()Ax1x2<OBx1x2=1Cxlx2>1DO<x1x2<14、/(x)=I-(X-)(x-6)(vb),m,是/(x)的零点，且加<，那么实数a.b、m、n的大小关系是()A.tn<a<b<nB.a<m<n<bC.a<m<b<nD.m<a<n<b5、对于实数？和i,定义运算“为”：J*)，=卜IT“4，设：且关于】f-dj9a>b的方程为人0=Kr5恰有三个互不相等的实数根XM2，M，那么X/内的取值范围是.【解题指南】根据新定义，得到一个分段的二次函数式，通过图象找出三个实根的具体位置，同时运用根与系数的关系进行求解【解析】当XWo时，2x-lx-l,那么f(x)=(2-l)¾(-l)=(2-l)2-(2-l)(-l)=2x2-x,当x>0时,2-l>-l,那么f(x)=(2x-l)¾-(-l)=(xl)2-(2x-l)(-l)=-2+x.可知当mW(O,')时,f(x)=m(mR)恰有三个互不相等的实数根xbx2,xx1<X2<X3),4其中，X2,X3是方程-x'x-m=。的根，Xi是方程2x2-m=0的一个根，_11+8w4所以4WW=显然，该式随m的增大而减小，因此，11C当机=Om=O时，sXw=G当nt=T时，(不受芍)面=6、一函数f(x)=k>g"x+x-伏。>0,且a。1).当2VaV3VbV4时，函数f(x)的零点x0(,+1),N*,则n=.【思路点拨】由条件易知函数f(x)在(0,+)内为增函数，然后利用函数的零点存在定理求出函数的零点所在区间.【精讲精析】因为函数/(冗)=1OgaX+%一。(2<。<3)在0,+oo)上是增函数，/(2)=logd2+2-Z?<IOgaa+2b=3-b<0,/(3)=logrt3+3-Z?>log</a+3-Z?=4-Z?>0,.,.x0(2,3)即=2.【答案】2