必修四《第二章-平面向量》小结与复习.docx
必修4第二章平面向量平面向量章节复习【学习目标】1 .理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量（共线向量）、相反向量、相等向量、两向量的夹角等概念；2 .了解平面向量根本定理；3 .向量的加法的平行四边形法那么（共起点）和三角形法那么（首尾相接4 .了解向量形式的三角形不等式：IlZ-Il±WlZ+5|（试问：取等号的条件是什么？）和向量形式的平行四边形定理:2（a2+2）=-2+I2;5 .了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）；6 .向量的坐标概念和坐标表示法；7 .向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）；8 .数量积（点乘或内积）的概念，ab=aIiICoSe=xx2+yy?注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”。【复习回忆】向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以学习中应引起足够的重视.数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直、平行、共线、共点。【课堂导学】一、典例分析例L0为aABC内部一点，NAOB=I50°,NBOC=90°,设冰二£,OB=,OC=C,且Ial=2,I5|=1,Ic|=3,用与否表示C导学提示：运用向量的坐标表示以及平面向量的根本定理尝试解决问题。例2.（1）假设3、3、Z为任意向量，mR,那么以下等式不二足成立的是（三«-a*三*三三*A.3+6）+c=q+S+c）B.a+b）c=ac+bc一T*-C.in（a+h=ma+mbD.（ab）C=a（b，d）（2）设"、3、Z是任意的非零平面向量,且相互不共线,那么(4b)c(co)b=O。gIVla(8c)a(ca)b不与。垂直(3a+2b)(3a-2b)=9|不一4|切中,是真命题的有()A.B.C.D.®下面5个命题：3=()2=232aJ_(5c),那么cdcab=0,那么Ia+b-a-b|ob=0,那么或5=6,其中真命题是()A0BCD例3.两单位向量d与的夹角为120°,假设c=2-。,d=3h-,试求C与2的夹角余弦。例4、向量中一些常用的重要结论：(1)-Ba±+5,特别地，当£、同向或有04+B=4+5a-b=a-b；当。、Z?反向或有OOla-b=+b11。1-IhII=Ia+M；当。、人不共线Oilal-|6|<|4±切<|4|+|回(这些和实数比拟类似).(2)在ABC中，假设A(XQJi(X2，%)，C(不，%)，那么其重心的坐标为G(X+/+%,/+23+%,)如假设/ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),那么I33)JABC的重心的坐标为PG制(PA+P8+PC)oG为ABC的重心，特别地PA+PB+PC=OoP为ABC的重心；PAP8=P8PC=PCpAOP为A3C的垂心；向量-型+&L)(40)所在直线过AABC的内心(是NBAC的角平分线所在直线)；IABlACIABlPC+1BClPA+CAPB=6<>PMBC的内心；(3)向量PAP8、PC中三终点A、B、。共线。存在实数。、使得PA=PB+SPC且+£=1.如平面直角坐标系中，0为坐标原点，两点A(3,l),3(-1,3),假设点C满足况=4加+4加，其中4,4£兄且4+=1,那么点C在直线AB±o点评：理解这些重要结论，有助于掌握向量的相关概念及其应用。二、随堂训练L同=2,问=1,ab=i,那么向量。在方方向上的投影是()A.,B.1C.D.1222 .在直角坐标系XOy中，分别是与X轴，y轴平行的单位向量，假设直角三角形ABC中,AB=-2F+7,AC=k+3jf那么Z的可能值有()A.1个B.2个C.3个.D.4个3 .假设向量。与的夹角为120。,且|£|=1,仍=2,c=+B,那么有()A.cLaB.clbC.cllbD.cl!a4 .如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一-起，假设AD=AB+kAC,那么；l+A=()CaA.l+2B.2-2C.2.D.2+2/5 .在RfZXABC中，NBCA=90。,CA=CB=1,P为AB边上的点，且AP=ZlA8,假设CP48尸4尸8,那么/l的取值范围是()a- 1P112-JlB. -4【课后稳固】1.下面5个命题中正确的有()_a二b=ac=bc；ac=bc=a=b；。(b+c)-ab+ac；abc)=(a3)C;=.abA.B.C.®D.2 .以下命题中，正确命题的个数为()假设)与否是非零向量，且与共线时，那么Z与各必与Z或B中之一方向相同；假设1为单位向量，且e那么=aIe。*aa=a3假设。与各共线，。与C共线，那么C与共线；假设平面内四点A.B.C.D,必有R+丽二史+疝A.1B.2C.3D.43 .把函数y=e"的图像按向量a=(2,3)平移，得到y=f(x)的图像，那么AX)=(A.ex3+2B.er+3-2C.ev2+3D.er+2-34 .假设非零向量0,满足+同=网，那么（）A.2>2+iB.2<2+C.2>a+2iD.2<a+25 .向量a、b>cKa+b+c=O,=3,Z?=4,c=5.设与b的夹角为4，b与C的夹角为，与C的夹角为打，那么它们的大小关系是（）A.x<1<yB.x<3<2C.2<3<D.3<2<x6 .W=-21=1,那么2+Sl=.7 .以下5个命题中正确的选项是.对于实数p,q和向量4,假设P"=q"那么P=q对于向量。与否，假设Iaa=bb那么。二各对于两个单位向量与3,假设Z+1=2那么H对于两个单位向量与九假设kH,那么。二否8 .为相互垂直的单位向量,假设向量/le；+e；与e；+；le；的夹角等于60°,那么实数=.9 .设所（-4,3）,左2）,那么2a-!"ab=.210.平面向量，,5,2满足IeI=Iae=be=2,a-b=2t那么的最小值为.11.设q与2与是两个单位向量，其夹角为60°,试求向量=2q+e2=3q+%的夹角。12.在AOAB的0A,OB上分别有一点P,Q,OP：PA=1：2,0Q：QB=3：2,连结AQ,BP交于R,假设OA=,OB=b,(I)用。与b表示OR.（三）假设I。I=1,I。I=2,。与E夹角为60°,过R作RH_LAB于H,用a与B表示。H.参考答案:例1.解：如图建立平面直角坐标系xoy,其中：，j是单位正交量，那么B(0,那，C-3,0),设A(x,y),那么条件知x=2CoS(150°-90°),y=-2sin(150o-90o),WA(1,-3),也就是二；一B=j,c=-3i所以-3=3后B+cI即C=3B例2.解：答案：D；因为(B)c=0Bcosec,而(Vc)K各ccos6;而C方向与。方向不一定同向。(2)答案：D平面向量的数量积不满足结合律。故假；由向量的减法运算可知|"|、b,a一方恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为工c)a-(ca)bc=tbc)ac(ca)bc=0,所以垂直.故假；(3a+2B)(34-2)=9aa-4b1=9川2-4向2成立。故真。(3)Bo例3.解：由题意，同=W=1,且6与匕的夹角为120°,所以，力=同WCoSI20°=g,c2=C-C=(2d-b)'(2a-b)=42-4ab+b2=7,.c=V7,同理可得.M=Jiio171791182而Gd=(2d-b)(3%-4)=74m一3户_2印=_号,设。为d与2的夹角，17那么CoS夕=-l-,=2713点评：掌握求两个向量的夹角的方法与步骤。二、随堂训练1. D 2. B 3. A4. A 5. B课后稳固：1.D2.A3.C.4.C5.B- = -33 -T7la÷lb.62(II)根据(I), = -t知R为BP的中点.如图2(2),由条件知aOAB为直角三角形，NOAB=90° ,11.解：Va=2e+e2,.*.a a ÷1 b.2=a2=(2e+e2)2=4e2+4ee2+e22=7,a=V7。7同理得IbI=J7。又ab=(2e1+e2)(-3e+22,)=-6e2+ee2+2e22=,2_7cos=L2=.-L/,=120°I。卜I67×7212。R既是AQ的分点，又是BR的分点，由此可利用平面向量根本定理，用a与b表示OR.然后在解决(I)的根底上，简捷地解决(II)13解析(I)OP-a,OQ-二b.如图(1),35VBP-ga-b设BR-AbP=入(a-b)AOROB*BR=b+(Lab)3=a+(1-)b(1)333VAQ-b-a,设ARrAQ=U(a+b)5533AOROAtAR=a+(-a+-b)=(1-)a+b(2)55比拟(1)与(2)的对应系数得：2+3/=31=>2=于是OR5"3=52RH±AB,故RH0A,为AB的中点，,OH=L(OAIOB)2
