恒成立问题题型大全(详解详析).docx

不等式中恒成立问题在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的根本类型：类型1：设/(x)=r2+"+c(0),11)/(冗)>0祗R上恒成立Oa>0且Av。；(2)f(x)<O在XR上恒成立O<O且A<O。类型2：设/(x)=a?+H+c(awO)(1)当 >0时，/(幻>0祗。,尸上恒成立0bVafIa 或，/(a)>0或<0>f(0)>O/()<O在/a1上恒成立OJ/3)<°Wxo(2)当a<0时，/。)>0取。,切上恒成立=,/9)>°l(0>Ob<_b_<b/(%)<0祗£3尸上恒成立。，2<“或严一2一”或，2a>/(a)>0<0W)<0类型3：/(x)>对一切X，恒成立<=>/(x)min>a/(x)<对一切X/恒成立<=>/(x)max>a。类型4：f(x)>g(x)对一切Lr/恒成立=/(x)的图象他(X)的图象的上方或r(x)min>g(x)maxL怛(x)成立问题的解题的根本思路是：根据条件将恒成立问题向根本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质对于一次函数f(x)=Ax+8,x九川有：/w>°恒成立o£)：><°恒成立=!Xo例1：假设不等式2x-l>加(2一D对满足一2机2的所有机都成立，求X的范围。解析：我们可以用改变主元的方法，将m视为主变元，即将元不等式化为：m(x2-l)-(2x-l)<0,；令/(m)=m(%21)一(2元一1)，那么一2n2时，/(机)v恒成立，所以只需-2(x2-1)-(2x-1)<0羽日-1+V71+6、，所以X的氾围是XW(,)O2(x2-1)-(2x-1)<022二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数/(x)=?+zr+c>0伍w0,eR)有：(1)/*)>0在工/?上恒成立。4>0且人<0:(2)/*)<0在/区上恒成立040且A<0例2：假设不等式(加一l)Y+(Zn-I)X+2>0的解集是R,求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m,所以要讨论m-1是否是Oo(1)当m-l=O时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；m->O(2)“一1。0时，只需4,所以，m1,9)O=(w-1)2-8(w-1)<0三、利用函数的最值(或值域)(1)/(x)m对任意X都成立=*)minm;(2)f(x)机对任意X都成立O机A冗)ma。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例3：在AABC中，/(5)=4sin8sin2(?+与+cos28,且|/(8)阳<2恒成立，求实数m的范围。解析：由f(B)=4sinBsin2(+cos2B=2sinB+1,v0<B<sinB(0,l,/(B)(1,3,|/(8)-|<2恒成立，.一27(8)-7<2,即1">/(')-2恒成立，厂.小(1,3m<f(B)+2例4：(1)求使不等式0>sinx-CoSX,x0,%恒成立的实数a的范围。解析：由于函>sinx-CoSX=Jsin(x-2),x-w-K,3C,显然函数有最大值Ji,4/444.a>yflO如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：JTTT(2)求使不等式>sinX-cos%,%(0,)恒成立的实数a的范围。42解析：我们首先要认真比照上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得y=sinX-COSx的最大值取不到也，即a取血也满足条件，所以5°所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫别离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例5：。>0,。;,/。)=尤2一,当工(_1,1)时,有了(乃<%恒成立，求实数a的取值范围。解析：由/(x)=2-<%,得/一%</,在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在X=-I和x=l处相交，那么由F-L=。及(T)2-1=qT得到a分别等于2和0.5,并作22出函数y=2'及y=(g)'的图象，所以，要想使函数-g<'在区间Xe(TJ)中恒成立，只须>=2”在区间工(1,1)对应的图象在丁二/一：在区间Xe(一口)对应图象的上面即可。当时,只有2才能保证，而0<<l时，只有4,才可以，所以2«pl)U(Uo由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处(从相等处)开始形成的。例6：假设当P(m,n)为圆Y+(y-1)2=1上任意一点时，不等式m+"+c0恒成立，那么C的取值范围是()A、-1V2cV21B、V21cV2÷1C、c-2-lD、c2-l解析：由利+c0,可以看作是点P(m,n)在直线x+y+c=0的右侧，而点P(m,n)在圆2+(y-l)2=1上，实质相当于是/+(yT)2=在直线的右侧并与它相离或相切。0+l÷c>0,0+l+c.c2-r应选D。74落之其实在习题中，我们也给出了一种解恒成立问题的方法，即求出不等式的解集后再进行处理。以上介绍了常用的五种解决恒成立问题。其实，对于恒成立问题，有时关键是能否看得出来题就是关于恒成立问题。下面，给出一些练习题，供同学们练习。练习题：1、对任意实数X,不等式sinx+bcosx+c>0(,6,cR)恒成立的充要条件是。c>ya2+b17+V÷Q752、设y=lglg7在(-8，1上有意义，求实数a的取值范围.,+8)。3、当xg,3)fl寸，Log°x<l恒成立，那么实数a的范围是°(0,U3,+)4、不等式：+!+L(a-1)+-对一切大于1的自然数n恒成立，求÷ln+2n+n123实数a的范围。m(i,上乎)恒成立问题的解法“恒成立”问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题.恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质和图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点.一、恒成立问题常见的题型1 .由等式或不等式恒成立求参数的值或取值范围2 .证明不等式恒成立二、解决恒成立问题常用的方法1 .函数性质法(1) 一次函数:给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0),假设y=f(x)在m,n内恒有f(x)>0，那么根据函数的图像(直线)可得上述结论等价于a >0或 ii) « ftri)> 0«<0J5)>'亦可合并成4f(fn)> 0 f(n)>0如图1所示./5)<0同理，假设在孙川内恒有/(x)<0,那么有【例1】(2007年辽宁卷文22)函数/(x)=3-9fCoSa+48XCoS尸+18sir?a,g(x)=,(x),且对任意的实数f均有g(l+ew)O,g(3+sinr)0.(I)求函数F(X)的解析式；(11)假设对任意的相-26,6,三(x)x2-nx-11,求X的取值范围.K解析Il(I)略(II)由(I)/*)=/-9/+2"所以/(幻Y一如一IIOZnr-9d+24丸+11O.令(Zn)=WX-9/+24x+l1,那么/(x)/一ZnX-Il即Mm)0_f(-26)=-26x-9x2+24x+110由于帆e26,6,那么有，I(6)=6x-9x2+24x+110解得一Lxl.3(2)二次函数：给定二次函数y=?+ZV+c(o),假设)，=/(X)大于O恒成立，那么有>O(a>0，如图2所示.(注：/(x)0恒成立o4)<00假设是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.【例2】(2007年江苏卷9)二次函数/(x)=?+法+c的导数为/，*),O)>O,对于任意实数X都有F(X)(),那么工卫的最小值为(),(0)A. 3b IC. 2d IK解析X由题意知A=-4c0=>Z72疝.所以&=史外£=+竺£>1+也=2(当且仅当。=C时取“=”号).*(0)bb2疝一【例3】(2007年重庆卷理13)假设函数/(X)=JF五二二T的定义域为R,那么的取值范围为K解析H函数的定义域为R,即2'Jai一o在H恒成立，也即f-20v-4o恒成立,所以有A=(-2a)2-4(-a)0.解得一10.【例4】(2007年陕西卷理20)设函数)=U,其中。为实数.X2+ax+a(I)假设/(x)的定义域为R,求。的取值范围；（三）当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.K解析X(I)(解法同例3)0<“<4（三）略其它函数：f(x)>0恒成立o(1>0(注：假设了。)的最小值不存在，那么/(x)>0恒成立Of(X)的下界大于0)；/。)<0恒成立。/(03<0(注：假设/(X)的最大值不存在，那么f*)<0恒成立。/(x)的上界小于0).【例5】(2007年山东卷理22)设函数f(x)=x2+hIn(X+1),其中力0.(1)当8>；,判断函数/(x)在定义域上的单调性；(II)求函数f(x)的极值点；(III)证明对任意的正整数，不等式Ind+l)>-4)都成立.nn-nK解析H(I)、（三）略(III)当b=T时，/(x)=x2-ln(x+l).h(x)=-/(x)=-2÷ln(x+1),那么令(X)=3+(xT)2在,x)上恒正,；h(x)在x+l0,+)上单调递增，当X(0,+)时，恒有h(x)>()=0.即当x(0,+oo)时，有d一f+n(+i)>0,in(x+l)>/一元3对任意正整数，取X=L得kld+l)>l-二,nnn2W3例6(2007年重庆卷理20)函数f(x)=ax4Inx+bx4-c(x>0)在X=I处取得极值一3-,其中。、为常数.(1)试确定。、b的值；(II)讨论函数/(%)的单调区间；(III)假设对任意1>0,不等式f(x)-2c2恒成立，求C的取值范围.K解析H(I)、(II)略(ITI)由(II)知，F(X)在无=1处取得极小值/(1)=3-c,此极小值也是最小值.要使f(x)-Ic2(x>0)恒成立，只需一3-c-Ic2.即2-c-30,从而(2c-3)(c+l)0.解得c3或c一l.2所以C的取值范围为(-00,-1U3,+8).2X322【例7】(2007年浙江卷理22)设/(N)=,对任意实数，记g,*)=#x-不.(I)求函数y=f(%)-g85)的单调区间；(II)求证：当X>0时，/(x)g,(x)对任意正实数/成立；有且仅有一个正实数与,使得8()g,(%)对任意正实数t成立R解析(I)略(II)令力=/一8,。)=7%+*>。)，那么'(r)二V-"，当，>0时，由h,(x)=0得R=户.当X(0"3)时，,()<0；当x(户,+8)时，/()>0.所以h(x)在(0,48)内的最小值是h(t3)=0.故当x>0时，f(x)g,(x)对任意正实数f成立.【例8】(2007年福建卷理22)函数/(%)=/-Ax,xR.(I)假设Z=e,试确定函数/(x)的单调区间；(II)假设攵0,且对于任意xR,/(凶)>0恒成立，试确定实数Z的取值范围；(TII)设函数F(X)=F(X)+f(),求证：nFa)尸F(n)>(e,+l+2户(neNt).K解析X(I)、(III)略(11)由/(-x)=可知f(x)是偶函数.于是>O对任意XER成立等价于F(X)>0对任意XO成立由r(x)=e"-%=0得X=Inh当(0,1时，f,(x)=ex-k>-kO(x>O).此时/(x)在0,+co)上单调递增.故/(x)(0)=l>0,符合题意.当&e(l,+8)时，ln%>0.当X变化时f,(x),f(x)的变化情况如下表：X(OAnk)nk(InZ,+8)f'()0+fM单调递减极小值单调递增由此可得，在0,+8)上，f(x)f(nk)=k-knk.依题意，k-knk>O,又Z>l,l<Z<e.综合，得，实数k的取值范围是O<Z<e.【例9】(2007年安徽卷,理18)设。0,f(x)=x-n2x+2anx(x>0).(I)令Rx)=f(x),讨论尸(X)在(0,+8)内的单调性并求极值；(II)求证：当x>l时，恒有x>h-24lnx+l.R解析R(I)略（三）证明:由0知，F(X)的极小值尸(2)=2-21n2+2>0.于是由上表知，对一切X(O,+8),恒有产(X)=J'(x)>O.从而当x0时，恒有/'(x)>(),故/(处在(Q+8)内单调增加.所以当x>l时，/(x)>(l)=0,即X-I-In2+2oInX>0.故当x>l时，IhWx>In2x-2111x+1.(4)函数的奇偶性、周期性：/(x)为奇函数=f(-x)=-f(x)恒成立；/(x)为偶函数=f(-x)=/(x)恒成立；/(X)为周期函数<=>/(x+r)=/(x)(T0)恒成立.【例10】(2007年宁夏卷理14)设函数/(x)="+DC"+")为奇函数，那么a=.XK解析因为函数/(x)为奇函数，所以f(-x)=-(x)恒成立，即(x+l)(x+)(-x+l)(-x+)Ladr>zx2,八L4»=i怛成立<>X+(a+)x+a=x-(a+)x+a恒成立X-XO(Q+1)无=O恒成立，故a=-1.2.别离参数法将含参数的恒成立式子中的参数别离出来，化成形如：。=/。)或。>/。)或4/(盼恒成立的形式.那么a=/(x)恒成立Oa的范围是/(x)的值域；a>/(x)恒成立Oa>/(x)max：a</(x)恒成立=<f(x)min假设在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，那么可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.【例11】(2007年山东卷文15)当x(l,2)时，不等式Y+g+4vO恒成立，那么用的取值范围是K解析当x(l,2)时，由X2+尔+4<0得利<_土X令/(X)=a=+3,那么易知/(X)在(1,2)上是减函数，所以f(x),皿=/(1)=5,m-5.XX【例12】(2007年江西卷理设"()=e'+ln%+22+znr+l在(0,+o)内单调递增，qm-5,那么是夕的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件K解析R由题意知r()=e'+!4x+0在(°，+8)恒成立，那么Xm-(e"+-+4x)对任意的X(0,+8)恒成立X>0时，+l+4>l+2-4x=5»：F+l+4)的最大值要小于一5,不妨设为C,tnc不可能推出m-5,但由机一5可推出机c.故答案B正确.【例13】(2007年上海卷理19)函数/(尤)=/+0(0,常数4eR).X(I)讨论函数/(x)的奇偶性，并说明理由；(II)假设函数/(x)在x2,+oo)上为增函数，求。的取值范围.K解析(I)略(II)函数/(x)在x2,+8)上为增函数=/'(x)0在x2,+8)上恒成立<>2x一巴0在x2,+oo)上恒成立Oa2x3在x2,+8)上恒成立.%22,.2316,016,即。的取值范围为(-,16.3.数形结合法假设把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，那么可以通过画图直接判断得出结果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.【例14】(2007年安徽卷理3)假设对任意xR,不等式Wor恒成立，那么实数。的取值范围是()（八）a<-(B)1(C)a<1(D)aK解析如图3所示，由数形结合可得答案B正确.图3