排列组合题型分析还有21种常用方法的整理.docx

表示).解：分二步：首尾必须播放公益广告的有Az?种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填A22A4，=48.从而应填48.(3)对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要“完成什么样的事件”是前提。三.基此题型及方法：1.相邻问题(1)、全相邻问题，捆邦法例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有(C)种。A)720B)360C)240D)120说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。(2)、全不相邻问题，插空法排列组合应用题的类型及解题策略一.处理排列组合应用题的一般步骤为：明确要完成的是一件什么事(审题)有序还是无序分步还是分类。二.处理排列组合应用题的规律(1) 两种思路：直接法，间接法。(2) 两种途径：元素分析法，位置分析法。解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。例1.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，那么共有种不同的播放方式(结果用数值将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。(3) .不全相邻排除法，排除处理例5.五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻,有多少排法？解：耳-或3A我A；=72例6.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是2、顺序一定，除法处理或分类法。例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（）（用数字作答）。解：5面旗全排列有8种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有4=10例8,某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6!,这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为四用种例4高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是（八）1800(B)3600(C)4320(D)5040解：不同排法的种数为M&=3600,应选B说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先例IL设集合/=123,4,5。选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数，那么不同的选择方法共有A.50种B.49种C.48种D.47种总计有49种,选B.例12将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，那么不同的放球方法有AA.10种B.20种C.36种D.52种说明：元素多，取出的情况也多种，可按要求分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。5、交叉问题，集合法（二元否认问题，依次分类）。例13、从6名运发动中选出4名参加4X100米接力赛,如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？252成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是o（用数字作答）解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有&+5x8=30种不同排法。解二：*30例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（）A）210个B）300个C）464个D）600个解：g&6=300应选（B）4、多元问题，分类法例10.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个遥远地区支教（每地1人）,其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,那么不同的选派方案共有种共有600种不同的选派方案.第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是.（用数字作答）。（答：78种）说明：某些排列组合问题几局部之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。6、多排问题，单排法例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，假设8名学生入座（每人一座位），那么不同的座法为A）B4或C）反&D）履解：此题分两排座可以看成是一排座，故有履种座法。选（D）说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。7、至少问题，分类法或间接法（排除处理）例18.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，假设这3人中至少有1名女生，那么选派方例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。(1)假设第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？(2)假设要求数学、物理、化学不能排在一起(上午第四节与下午第一节不算连排)，一共有多少种不同的排课方法？例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，那么四张贺年卡不同的分配方式有(B)A)6种B)9种C)11种D)23种说明：求解二元否认问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。例16、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不（八）3O种(B)9O种(C)18O种(D)27O种说明：含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。8、局部符合条件淘汰法例2L四面体的顶点各棱中点共有IO个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有(D)A)150种B)147种C)144种D)141种解：10个点取4个点共有种取法，其中面ABC内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有6个，又各棱中点共6个点，有四点共面的平面有3个，故符合条件不共面的平面有C1-4C-6-3=141案共有（八）108种（B）186种（C）216种（D）270种解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有£-田二186种，选B.例19.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,那么入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有种.（以数作答）【解析】两老一新时，有用=12种排法；两新一老时,有CcXA；=36种排法,即共有48种排法.【点评】此题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.例20将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，那么不同的分配方案有B分配问题：随机分配，先组后排。定额分配，组合处理;例23。有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。上述问题各有多少种不同的分法？（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有C；种；再让乙选，有亡种；剩下的给丙,有c：种，共有c；CM:种不同的分法（2）此题是随机分配问题：先将9本书分成2本，3本，4本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有C；G.C：.&种不同的分法。例24：对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，假设所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，那么这样的测试方法有多少种可能？解：第5次必测出一次品，余下3件次品在前4次被测出，从4件中确定最后一件次品有C种方法，前4次中应有1件正品、3件次品，有爆亡种，前4次测试中的顺序有A：种，由分步计数原理即得：U（C值）A：=576o【评述】此题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列说明：在选取总数中，只有一局部符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求Q9.分组问题与分配问题分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理例22。有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组;（2）将其分成三组，每组个数2,3,40上述问题各有多少种不同的分法？分析：（1）此题属于分组问题：先取3个为第一组，有C；种分法，再取3个不第二组，有屐种分法，剩下3个为第三组，有C；种分法，由于三组之间没有顺序，故有坐G种分法。（2）同（1）,共有C；CC:种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以国。练习：12个学生平均分成3组，参加制作航空模型活动,3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？）分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三局部的球数分别为X.y.z之值（如图）OOOOOOOOOO那么隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为C；=36个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明：技巧一：添加球数用隔板法。例27.求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。分析：注意到X、y、Z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各一个球。这样原问题就转化练习：1。3名教师分配到6个班里，各人教不同的班级,假设每人教2个班，有多少种分配方法？C-C；C；=902.将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？。2困例25某外商方案在四个候选城市投资3个不同的工程，且在同一个城市投资的工程不超过2个,那么该外商不同的投资方案有（）A.16种B.36种C.42种D.60种解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个工程、2个工程，此时有GM=36,二是在在两个城市分别投资1,1,1个工程，此时有A”24,共有应选（D）10,隔板法：隔板法及其应用技巧在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例：例26o求方程x+y+z=10的正整数解的个数。（即：10【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、例26中的典型问题。技巧三：先后插入用隔板法。例29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，那么不同的排列方法有多少种？分析：记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例26知有C；种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需参加的B节目前后的节目数，同上理知有煤种方法。故由乘法原理知，共有CC：=30种方法。11.数字问题（组成无重复数字的整数）能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。为求x÷y÷z三13的正整数解的个数了，故解的个数为个二66个。【小结】本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型的隔板法问题。技巧二：减少球数用隔板法。例28.将20个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。分析1：先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放0,1,2,3个球，有1种方法；再把剩下的14个球，分成4组，每组至少1个，由例25知有Gg=286种方法。分析2：第一步先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放1,2,3,4个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1,2,3,4的盒子里，由例26知有Gg=286种方法。数，那么其中数字1,2相邻的偶数有24个（用数字作答）.12.分球入盒问题例32：将5个小球放到3个盒子中，在以下条件下，各有多少种投放方法？小球不同，盒子不同，盒子不空解：将小球分成3份，每份1,1,3或L2,2o再放在3个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有zCgC;x3小球不同，盒子不同，盒子可空解：3,种小球不同，盒子相同，盒子不空解：只要将5个不同小球分成3份，分法为：1,1,3；1,2,2o共有堂！+生二25种-a1Ap小球不同，盒子相同，盒子可空此题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数;能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。能被5整除的数的特征：末位数是。或5。能被25整除的数的特征：末两位数是25,50,75o能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。例30在123,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（八）36个(B)24个(C)18个(D)6个解：依题意，所选的三位数字有两种情况：(1)3个数字都是奇数，有A；种方法(2)3个数字中有一个是奇数，有C；A故共有A；+C；A；=24种方法，应选B例31。用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位球全部放入盒子内（1）共有几种放法？（答：4，）（2）恰有1个空盒，有几种放法？（答：CM=I44）13）恰有1个盒子内有2个球，有几种放法？（答：同上C力；=144）（4）恰有2个盒子不放球,有几种放法？（答:CM+C*：=84）13、涂色问题：C）用计数原理处理的问题，需要关注图形的特征：多少块？多少色？（2）以涂色先后分步，以色的种类分类。例34、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个局部（如图）。现要栽种4种不同颜色的花，每局部栽种一种且相邻局部要能栽种同种颜色的花，那么不同的栽种方法有120种？例35、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，假设只有五种颜色可供使用，那么不共有G+（Q+G）+（拿隼1）=41种小球相同，盒子不同，盒子不空解：（隔板法）。0OO00,有C：种方法小球相同，盒子不同，盒子可空解一：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。那么2块隔板分成3份的小球数对应于相应的3个不同盒子。故有C尸21解：分步插板法。小球相同，盒子相同，盒子不空解：5个相同的小球分成3份即可，有3,LL2,2,Io共2种小球相同，盒子相同，盒子可空解：只要将将5个相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5,0,0；4,1,0；3,2,0；3,1,1；2, 2,U例33、有4个不同的小球，放入4个不同的盒子内,A、60种B、48种C、36种D、24种解析：把AB视为一人，且8固定在4的右边，那么此题相当于4人的全排列，A：=24种，答案：D.2 .相离问题插空排:元素相离即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A、1440种B、3600种C、4820种I）、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为&种，再用甲乙去插6个空位有可种，不同的排法种数是父4=360（）种，选B.3 .定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A民C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边4,8可以不相邻）那么不同的排法种数是A、24种B、60种C、90种D、120种解析：8在A的右边与5在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即g&=60种，选B.同的染色种数为420巧解排列组合的21种模型排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握.实践证明，掌握题型和识别模式，并熟练运用，是解决排列组合的有效途径.下面就系统地介绍巧解排列组合的21种模型.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.A,3,CRE五人并排站成一排,如果AB必须相邻且3在A的右边，那么不同的排法种数有A、C；C：C种B、3G；C；C：种C、C=种D、CtC:种A；答案：A.6 .全员分配问题分组法：例6.(1)4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，那么不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有种方法，再把三组学生分配到三所学校有4；种，故共有C：4=36种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.(2) 5本不同的书，全局部给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A、480种B、240种C、120种D、96种答案：B.7 .名额分配问题隔板法：例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位4 .标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数，那么每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A、6种B、9种C、11种D、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3X3X1=9种填法，选从5 .有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成假设干组，可用逐步下量分组法.例5.(1)有甲乙丙三项任务，甲需2人承当，乙丙各需一人承当，从10人中选出4人承当这三项任务，不同的选法种数是A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种解析：先从10人中选出2人承当甲项任务，再从剩下的8人中选1人承当乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承当丙项任务，不同的选法共有喘2520种，选C.(2) 12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，假设每个路口4人，那么不同的分配方案有解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有8、AM勾、A；4；A；和个，合并总计300个,选B.2）从L2,3，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A=7,14,21,98共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做奇4=1,2,3,4,100共有86个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有G：,从4中任取一个，又从WA中任取一个共有C；4C；6,两种情形共符合要求的取法有G：+Gol295种.（3）从1,2,3,，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将=1,23100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A=4,8,12,100；能被4除余1的数集5=1,5,9,97,能被4除余2的数集C=2,6,98,能被4除余3的数集O=3,7,11,99,易见这四个集合中每一个有25个元素；从4中中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为C；=84种.8 .限制条件的分配问题分类法：例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：假设甲乙都不参加，那么有派遣方案4种；假设甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有服方法，所以共有3国；假设乙参加而甲不参加同理也有3&种；假设甲乙都参加，那么先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有履种，共有7履方法.所以共有不同的派遣方法总数为4+3呢+3呢+7履=4088种.9 .多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A、210种B、300种C、464种D、600种么不同的排法种数是A、36种B、120种C、720种D、1440种解析：前后两排可看成一排的两段，因此此题可看成6个不同的元素排成一排，共屋=720种，选U(2)8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有M种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A；种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有A：A=5760种排法.13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:抽取两类混合元素不能分步抽.例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，那么不同的取法共有A、140种B、80种C、70种D、35种解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有WYY=70种，选.C解析2：至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有C；Cl+C；C：=70任取两个数符合要；从仇。中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有+/种10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几局部之间有交集，可用集合中求元素个数公式(AL3)=（八）+(3)-(AB).例10.从6名运发动中选出4人参加4X100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=6人中任取4人参赛的排列,A=甲跑第一棒的排列,B二乙跑第四棒的排列,根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：(/)一(GTz(B)+(ACB)=-S+&=252种.IL定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例IL1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，假设老师不站两端那么有不同的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有A；种，4名同学在其余4个位置上有&种方法；所以共有A：A：=72种.12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理.例12.门)6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那的点，不同的取法共有A、150种B、147种C、144种D、141种解析：10个点中任取4个点共有CI种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为C；,四个面共有4C；个；过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是叱-4。：-3-6=141种.16.圆排问题线排法:把几个不同元素放在圆周个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，以下个普通排列:。；。2，。3，3，为,；。，4，。"-1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，个元素的圆排列数有史n种.因此可将某个元素固定展成线排，其它的-1元素全排列.例16.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有4：种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式24x25=768种不同站法.台,选C.14 .选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.(1)四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，那么恰有一个空盒的放法有多少种？解析：“先取”四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C：种，“再排”在四个盒中每次排3个有种，故共有仁用=144种.(2) 9名乒乓球运发动，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运发动各2名，有种，这四名运发动混和双打练习有反中排法，故共有CM=120种.15 .局部合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一局部合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.15.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有A、70种B、64种C、58种D、52种解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C；四面体，但6个外表和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C；-12=58个.(2)四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面例19.设有编号为L2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？解析：从5个球中取出2个与盒子对号有仁种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3,4,5号球与3,4,5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4,5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4,5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为2C；=20种.20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法：例20.(1)30030能被多少个不同偶数整除？解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11X13；依题意偶因数2必取，3,5,7,IL13这5个因数中任取假设干个组成成积，所有的偶因数为C；+C；+C；+C；+C；+C；=32个.12)正方体8个顶点可连成多少队异面直线？解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有12=58个，所以8个顶点可连成的异面直线有3X58=174对.说明：从个不同元素中取出机个元素作圆形排列共有种m不同排法.17 .可重复的排列求嘉法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在?个不同位置的排列数有“种方法.例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案.18 .复杂排列组合问题构造模型法：例18.马路上有编号为1,2,3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C；种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.19 .元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:同走法有c；种.21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例21.(1)圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形,显然有Gi个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个.(2)某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到3的最短路径有多少种？A解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到8最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不