数值分析习题.docx

第一章绪论习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比拟选择、误差和误差限的计算。1假设误差限为0.5x10那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）2万=3.14159具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）3«=1.2031,6=0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问。+人，力有几位有效数字？（有效数字的计算）4设x>0,X的相对误差为5,求InX的误差和相对误差？（误差的计算）5测得某圆柱体高度的值为力=20Cvn,底面半径的值为=5cvn,I力一0.2c机，r-r40cmf求圆柱体体积U=的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）6设工的相对误差为。,求y=/的相对误差。（函数误差的计算）7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径厂时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）18设/“=/JXZdV,求证：0二1-MT（=0,1,2）（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比拟选择）第二章插值法习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。1 /(-1)=2,/(1)=1,/(2)=1,求/(%)的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)2 y=,0=4,x1=9,用线性插值求行的近似值。(拉格朗日线性插值)3假设勺('=(),.)为互异节点，且有J(xj-)U;TI)(Xj-"M-Xj+).(xz-Xj试证明S>3(x)三/(2=0,1,.)。(拉格朗日插值基函数的性质)J=O4sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,ffl抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值)TFTT5用余弦函数COSX在/=O,X1=-,%=5三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式，并近似计算CoSl及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比拟。(拉格朗日二次插值)66函数值/(0)=6,/(1)=10,/(3)=46,/(4)=82,/(6)=212,求函数的四阶均差/0,1,3,4,6和二阶均差/4,1,3。(均差的计算)7设/(x)=(x-x0)(x-xi)(-xzj)求/x0x1xp之值，其中pn+,而节点xi(i=0,1,+D互异。(均差的计算)8如下函数值表X0124f()19233建立不超过三次的牛顿插值多项式。(牛顿插值多项式的构造)9求一个次数小于等于三次多项式M%)，满足如下插值条件：P=2,p(2)=4,p'(2)=3,p(3)=12o(插值多项式的构造)10构造一个三次多项式H(X),使它满足条件H(O)=1,H(I)=0,H(2)=l,Hf(l)=K埃尔米特插值)。311设/(乃=/,/=1/4当=l,x2=9/4。试求/*)在1/4,9/4上的三次埃尔米特插值多项式H(x),使得”(乙)=/(勺),/=0,1,2,”'(为)=/区)，”(x)以升累形式给出。写出余项R(X)=/(外一”(X)的表达式。(埃尔米特插值及其余项的计算)。12假设f(x)W。2侬勿J()=fS)=O,试证明：max/(x)-(Z?-)2max""(x)1插值余项的应用)ax<b8flxb13设/(-2)=-1,/(0)=Lf=2,求P(X)使p(xi)=/(x,)(z=0,1,2)；又设|/"X)I"，那么估计余项"x)=f(X)-P(X)的大小。(插值误差的估计)第三章函数逼近习题主要考察点：最小二乘法，最正确平方逼近，正交多项式的构造。1设/(x)=sinr,求/(X)于0,1上的线性最正确平方逼近多项式。最正确平方逼近)2令f(x)=ex,-IXlf且设P(X)=4+%x,求%,a使得P(X)为f(x)于-1,1上的最正确平方逼近多项式。(最正确平方逼近)3证明：切比雪夫多项式序列Tk(x)=CoS(Aarccosx)在区间-1,1上带权P(X)=T=正交。(正交多项式的证明)l-x2xi+x2=34求矛盾方程组：,玉+2/=4的最小二乘解。(最小二乘法)XlT2=25一组试验数据422.53455.5yk44.5688.59试用直线拟合这组数据.(计算过程保存3位小数)。最小二乘线性逼近)6用最小二乘原理求一个形如y=a+bx2的经验公式,使与以下数据相拟合。Xk1925313844九1932.34973.397.8(最小二乘二次逼近)第四章数值积分习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式梯开九辛甫生公式，复化求积的计算，高斯公式的构造。1给定求积公式J：J(X)公。4(-力)+打(0)+</()试确定C使它的代数精度尽可能高。(代数精度的应用和计算)2求积公式£/(X)公。4/(0)+4"+综广(0),试确定系数A),A及综，使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。(代数精度的应用和计算)3数值积分公式(X)d%k"(l)+f(2),是否为插值型求积公式，为什么？又该公式的代数精确度为多少？(插值型求积公式特征)4如果证明用梯形公式计算积分If(XMX所得到的结果比准确值大，并说明其几何意义。(梯形求积)5用=4的复化梯形公式计算积分：公，并估计误差。(复化梯形求积)6设/(-1)=1,/(-0.5)=4,/(0)=6,/(0.5)=9,/(1)=2,那么用复化辛甫生公式计算f(x)dx,假设有常数M使I/00M,那么估计复化辛甫生公式的整体截断误差限。(复化辛甫生公式)17高斯求积公式J/。)公/(0.57735)+/(-0.57735)将区间0,1二等分，用复化高斯求积法求定-11积分JVL仪的近似值。(高斯公式)08试确定常数A,B,C和。，使得数值积分公式£/(x)公fVX-q)+附(0)+CHQ)有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为高斯型的？(代数精度的应用和计算，高斯点的特征)9设q(x)是0,1区间上带权P(X)=X的最高次幕项系数为1的正交多项式系(1)求U(X)O(2)构造如下的高斯型求积公式：4(幻公4()+A(匹)。(高斯求积)第五章线性方程组的直接解法习题主要考察点：高斯消去法，LU分解法，平方根法和追赶法解线性方程组。1用高斯消去法解方程组9-6XX2（高斯消去法的应用）2用LU分解法求解线性方程组V2xi + x2 + x3 = 0x1 + x2 + x3 = 3 o (LU分解法的应用)x1 + 2 + 2x3 = 1-1-1-2,求A的LU分解。（LU分解法的应用）4试用“追赶法”解方程组Ax = Z?,其中：A =3 1 0'-I2 4 1,b =70 2 59（追赶法的应用）2-11,求COnd（A% （条件数的计算）6 求证：“1,IATl 吉（范数的性质）Mll7求证：j"A°（范数的性质）-28对矩阵A=1-201-20:,求ML, |胤，网2和Cond（A）2。（范数，条件数的计算）-29方程组Ar = Z;,其中AR"",A是对称的且非奇异。设A有误差阴，那么原方程组变化为Ilsdl以I网.(A+A)(x+x)=b,其中数为解的误差向量，试证明：11ll2,l-l2F+HPnPllA的按模最大和最小的特征值。（范数的性质，误差的分析）10证明：假设A=（%）zt为严格对角占优矩阵，那么A非奇异。（严格对角占优矩阵的性质）第六章线性方程组的迭代解法习题主要考察点：雅可比、高斯-塞德尔迭代法解线性方程组，及其收敛性讨论。1证明：迭代格式*D =8?*）+/收敛，其中B 二0.9 00.3 0.8O （迭代法收敛性判断）2假设用雅可比迭代法求解方程组""+"2*2=E(“生2工0)迭代收敛的充要条件是e2lxl+a22x2=b2巴必><1。(雅可比迭代法的收敛性)遮223用雅可比、富斯-塞德尔迭代法，求解方程组X1+2x2-3<3x1+2x2=4是否收敛？为什么？假设将方程组改变成为3x1+2x2=4x1+Ix2=3再用上述两种迭代法求解是否收敛？为什么？(雅可比、高斯-塞德尔迭代法的收敛性)'4104证明解线性方程组AX=的雅可比迭代收敛，其中A=I21o(雅可比迭代收敛性判断)0I11215方程组AX=力，其中A=>b=0.31J|_2_(1)试讨论用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解此方程组的收敛性。(2)假设有迭代公式*d=x+(A幻+。)，试确定a的取值范围，使该迭代公式收敛。(雅可比迭代法、高斯-塞德尔迭代法和一般迭代法的收敛性讨论)6给出矩阵A=I1为实数)，试分别求出。的取值范围：la1J(1)使得用雅可比迭代法解方程组AX二8时收敛；(2)使得用高斯-塞德尔迭代法解方程组AX=时收敛。(雅可比、高斯-塞德尔迭代法及收敛性讨论)2117设A=,b=12J|_2_设3幻是由雅可比迭代求解方程组Ar二人所产生的迭代向量，且«°)=(Ll)L试写出计算2幻的精确表达式。(2)设X*是Ar=的精确解，写出误差Ika)-XHoO的精确表达式。(3)如构造如下的迭代公式XaT=X+g(A幻一加解方程组AX=从试确定&的范围，使迭代收敛。1雅可比迭代及其收敛判断)x1+2x2-2x3=18对于给定的线性方程组1x1+x2+x3=22x1+2x2+x3=3（1）讨论雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的收敛性。（2）对收敛的方法，取初值°）=（1,O,O）T,迭代两次，求出X,工，x。（雅可比,高斯-塞德尔迭代法的计算和比拟）9证明对称矩阵1aaA=a1aaa1当一"L<vi为正定矩阵，且只有当一l<vL时，用雅可比迭代法求解方程组AX=人才收敛。（雅222可比迭代法的收敛性）第七章非线性方程求根习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦极法求根，迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论。1用二分法求方程一一X-I=O的正根，要求误差小于0.05。（二分法）2说明方程X?+lnx-4=0在区间1,2内有惟一根丁,并选用适当的迭代法求精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法）23设有解方程12-3x+2COSX=O的迭代法xn+l=4+-cosxzj证明x0R均有Iimxn=/3n->为方程的根）。（2）此迭代法的收敛阶是多少，证明你的结论。（3）取与=4用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过IO-，,列出各次迭代值。（和收敛性讨论）4设=e(x"),max"(x)=4v1,试证明：由X“+=0(x)11=O,1,得到的序列x,J收敛于9。(收敛性证明)25设方程3-3X一2SinX=O在0,1内的根为/,假设采用迭代公式Xe=1一§Sinz,试证明：x°A均有IimZ=tC为方程的根)；此迭代的收敛阶是多少，证明你的结论。(迭代法和收敛性1-÷X>讨论)6方程N3一/一1=0在XO=I5附近有根，把方程写成3种不同的等价形式：(1) X=IHf对应迭代格式：x+=IhJ-厂(2) X3=l+x2,对应迭代格式：x+1=11+片(3) =,对应迭代格式：x+1=JXTvx111讨论这些迭代格式在XO=I.5时的收敛性。假设迭代收敛，试估计其收敛速度，选一种收敛格式计算出%=1.5附近的根到4位有效数字。(收敛速度的计算和比拟)f(x)=(x3-a)2(1)写出解/(x)=0的牛顿迭代格式；(2)证明此迭代格式是线性收敛的。(牛顿迭代的构造与收敛速度)8设计一个计算二的牛顿迭代法，且不用除法(其中>0)。(牛顿迭代法)Ja9用牛顿法求Jn亍的近似值，取XO=K)或11为初始值，计算过程保存4位小数。(牛顿迭代的构造)10设,是非线性方程/(x)=0的m重根，试证明：迭代法()具有至少2阶的收敛速度。(收敛速度证明)11设/是非线性方程f(x)=O的m重根，证明：用牛顿迭代法求/只是线性收敛。(收敛速度证明)12设0()=,O(X)在。附近有直到P阶的连续导数，且p()=""-晨/二。，试证：迭代法Xe=0(X)在。附近是P阶收敛的。(收敛速度证明)第九章常微分方程数值解习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论，线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。1用改良的欧拉公式，求以下微分方程f2XIy=yy0Jy（0）=的数值解（取步长/2=0.2）,并与精确解作比拟。（改良的尤拉公式的应用）y'+y=12用四阶龙格一库塔法求解初值问题/,取=0.2,求X=O.2,0.4时的数值解.要求写出由IMo）=O小七，先直接计算），“+1的迭代公式，计算过程保存3位小数。（龙格一库塔方法的应用）y'+y=0，2万丫3用梯形方法解初值问题J,证明其近似解为此=,并证明当"0时，它收敛Iy（O）=I（2+/口于原初值问题的准确解y=e-x。Iy=Toy4对于初值问题,证明当a<0.2时，欧拉公式绝对稳定。（显式和隐式欧拉公式的稳定性IMo）=I讨论）5证明梯形公式y向=以+刍/（匕,以）+/*旬，加）无条件稳定。（稳定性讨论）6设有常微分方程的初值问题试用泰勒展开法，构造线性两步法数值计算公式X）=%+=«（+-1）+A-1）使其具有二阶精度，并推导其局部截断误差主项。（局部截断误差和主项的计算）7初值问题V=2x<J（O）=0y（0.1）=0.01取步长=0.1,利用阿当姆斯公式y/=n+g（3。一£-），求此微分方程在0，10上的数值解，求此公式的局部截断误差的首项。（阿当姆斯公式的应用）