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汽车钢板弹簧的性能、计算和试验东风汽车公司技术中心陈耀明1983年3月初稿2005年1月再稿目录前言（2）一 .钢板弹簧的基本功能和特性（3）1 .汽车振动系统的组成（3）2 .悬架系统的组成和各元件的功能（6）3 .钢板弹簧的弹性特性（7）4 .钢板弹簧的阻尼特性（12）5 .钢板弹簧的导向特性（14）二 .钢板弹簧的设计计算方法（17）1 .单片和少片变断面弹簧的计算方法（17）2 .多片钢板弹簧的刚度和工作应力计算（24）3 .多片弹簧各单片长度的确定（32）4 .多片弹簧的弧高计算（36）5 .钢板弹簧计算中的几个具体问题（43）三 .钢板弹簧的试验（46）1 .钢板弹簧的静刚度测定（46）2 .钢板弹簧的动刚度测定（50）3 .钢板弹簧的应力测定（52）4 .钢板弹簧单片疲劳试验（53）5 .钢板弹簧总成疲劳试验（54）前言本文是为汽车工程学会悬架专业学组所办的“减振器短训班”撰写的讲义，目的是让汽车减振器的专业人员对钢板弹簧拥有一些基本知识，以利于本身的工作。内容分为三部分：钢板弹簧的基本功能和特性，设计计算方法，以及试验等。为这部分内容非本次短训班的重点，所以要求尽量简单扼要，也许有许多不全面的地方，只供学习者参考。有关钢板弹簧较详细的论述，可参考本学组所编的“汽车悬架资料。”一,钢板弹簧的基本功能和特性1 .汽车振动系统的组成汽车在道路上行驶，由于路面存在不平度以及其它各种原必然引起车体产生振动。从动态系统的观点来看，汽车是一个多自由度的振动系统。其振源主要来自路面不平度的随机性质的激振，此外还有发动机、传动系统以及空气流动所引起的振动等等。为改善汽车的平顺性，也就是为减小汽车的振动，关键的问题是研究如何对路面不平度的振源采取隔振措施，这就是设计悬架系统的根本目的。换言之，就是在一定的道路不平度输入情况下，通过悬架系统的传递特性，使车体的振动输出达到最小。当研究对象仅限于悬架系统时，人们往往把车体当为一个刚体来看待。即使这样，汽车仍然是一个很复杂的多自由度系统，见图1o如果不涉及汽车的横向振动和角振动，可以将左右悬架合并，使汽车振动系统进一步简化，见图2o在一定条件下，也就是当质分配系数等于1,即前后悬架的输出与输入各自的相干特性达到最大值时，就可以将前、后悬架分开，单独看成一个两自由度振动系统。这时，组成每一个振动系统的元素就是质（簧载质与非簧载质），弹性元件（悬架弹簧和轮胎）和阻尼元件（悬架阻尼元件和轮胎阻尼），见图3oZU)图1汽车振动系统这些元素的组合，形成了振动系统的主要参数，如系统的自振（固有）频率，相对阻尼系数，悬架上、下质比等等。这些参数对悬架系统的传递特性（频响特性）有明显的影响，设计悬架时，必须适当地选择这些参数，才能获得良好的悬架性能。表征车体振动的主要特征是车体加速度对路面不平度输入的频响特性。为了分析悬架的动载以及轮胎的附着状态，还应了解悬架动行程以及轮胎动负荷对路面不平度输入的频响特性。这三方面，成为评价悬架性能好坏的主要指标。对于一个线性系统，可以比较容易地建立两自由度系统的数学模型，并且用计算的方法，求出各个参数对频响特性的影响。简单说，簧载质的自振频率降低，可以使车体加速度的幅频特性明显改善。相对阻尼系数增大，可以使共振区的幅值下降，但却使非共振区的幅值增大。簧载与非簧载质之比增大，可以使车轮对路面的动载系数减小，改善车轮对路面的附着，见图4o如果不考虑轮胎的弹性，可以进一步将悬架系统当为单自由度系统来分析，见图5o这个最简单&n-bK-b.同疗忸心系统的基本特性，也可以粗略表达该悬架系统的基本性质。汽车悬架系统是将车体（或车架）和车轮（或车轴）弹性地连4小宫接起来的隔振装置。它由弹性元件、阻尼元件和导向元件组成，与602 ,悬架系统的蛆成i轮施睇的酬雍猫阳嬲参数助曲方汽车的其它部分（簧载与非簧载两大部分）构成一个完整的振动系统。弹性元件由各类弹簧担任，承受簧载质体的重,是构成弹性连接的主要部件。阻尼元件由液力减振器（粘性阻尼）或摩擦元件（库伦阻尼）所组成，使系统成为有阻尼的振动系统。导向元件由各种导向杆系所组成，使车体与车轮之间有确定的运动关系，并传递弹性元件所传递之外的力和力矩。这三大元件可以由某些单独的部件分别承担，也可以由某些部件综合兼任。例如，钢板弹簧主要是悬架系统的弹性元件，又可以兼起导向元件的作用，多片弹簧有较大的摩擦阻尼，可以兼起阻尼元件的作用。由此可见，钢板弹簧可以兼作三大元件之用，而使悬架系统结构简单，成本降低，这是其它弹性元件难以比美的。此，从汽车问世以来，钢板弹簧一直被应用着，而且今后仍有相当强的生命力O3 .钢板弹簧的弹性特性钢板弹簧承受垂直载荷，成为悬架系统的弹性元件，这时，就其弹性特性而言，可以分为线性和非线性两大类。一般的钢板弹簧，如果没有特殊的结构措施，其非线性程度非常小，可以看成是线性的，即负荷对变形呈线性变化，也就是刚度是常数。线性弹簧作为悬架系统的弹性元件，有两方面的缺点。其一，当簧载重变化后，系统的自振频率发生变化。如果汽车空、满载的负荷差别很大,就很难保证各种载荷状态下都得到良好的平顺性。其二，线性弹簧在受到冲击后，其动容比非线性弹簧的要小，因而为吸收或释放相同的能就要有较大的变形，所以悬架的极限动行程就必须选得较大，以免悬架“击穿。”为克服上述缺点，在悬架设计时往往采取某些措施，使系统呈现一定的非线性弹性特性。对于独立悬架，可以靠合理选择导向杆系的运动关系，使线性的弹性元件在车轮接地点上转化为非线性的悬架弹性特性。此外，还可以用组合的方法构成复式弹簧，或加装橡胶副簧及限位块，以及其它的措施，使弹性元件本身呈现一定的非线性特性。从理论上讲，只要是微幅振动，就可以用次切距来计算自振频率。这样，为保证载荷变化时自振频率保持不变，可以导出“等频”的弹性特性，见图6o其负荷与变形可以用下式表达：P=CMf当P<&/-/P=PcefC当P><l）式中人/为任意点的负荷与变形PC为某一特定负荷，一般取空载负荷K为在PC负荷下的静挠度（变形）而C二。按所要求的自振频率所确定的初始刚度，这时自Mfc振频率N二XHzNOOcpm为常数'3C图6等频弹性特性这样的弹性特性并不解决动容量小的缺点，因而不能使要求的极限动行程有效地减小。为此，可以导出“理想”的弹性特性，它由一组曲线所组成。在各种负荷情况下，其折算静挠度（次切距）都相同，因而保证了等频性。此外曲线的平衡点为拐点，当悬架偏离平衡点振动时，曲线呈现不同向的弯曲，使系统吸收或释放的能明显增大，见图7o这种“理想”的弹性特性，只有采用充排介质的空气弹簧或油气弹簧加上附加的橡胶弹簧才可能实就钢板弹簧而言，采取某些措施之后，只能在一定程度上接近等频特性。常见的有以下三种结构：(1)两级刚度的复式钢板弹簧将主、副簧并联组合，在小负荷时只有主簧工作，当负荷增大到一定程度后，副簧与支架接触，两个弹簧一起承受载荷。复式弹簧的弹性特性为一折线，见图8o这种特性不可能做到等频，只能使自振频率在各种载荷下变化较小。主副簧刚度的匹配以及副簧接触点的选择，对悬架性能和弹簧应力有很大的影响。通常有两种方法来选择这些参数，一种为比例中项法，另一种为平均负荷法。这两种方法都可以保证空满载范围内自振频率变化不大。但就主副簧的具体结构而言，往往不易保证弹簧的强度或疲劳寿命对应力的限制，所以实际设计时，一般要加以修正。图g复式弹簧的弹性特性(2)渐变刚度钢板弹簧这种弹簧也是由主副簧组合而成。在无载状态下，主副簧的自由曲率半径不同。当负荷增大，借主簧曲率半径从根部向外逐渐增大，使副簧与其接触的区域增多。接触后的这部分副簧共同承受载荷，弹簧的刚度也就逐渐增大。这种弹簧的特性见图9,当副簧未参加工作前和副簧全部接触完之后，均为线性特性，而中间区段为渐变的非线性特性。设计时只要选择合适的参数，就可以获得较好的等频性。图9渐变刚度弹簧的弹性特性采用滑板端支架，使钢板弹簧承载后由于曲率半径的增大，接触点向内移动，缩小作用长度而增大刚度，也可以获得一定的非线性，见图10。除非选用很长的滑板，否则难以获得明显的非线性，当然也难以达到等频的要求。图Io滑板式弹簧的弹性特性(3)多种复合的组合式弹簧当汽车空满载的负荷变化很大时，采用单一的结构措施往往难以达到所期望的弹性特性或应力规范，这时可以将上述几种非线性的措施综合起来，形成一种多种复合的钢板弹簧,见图11。它由两端长滑板，渐变刚度的副簧，以及常规的副簧组合起来。选择合适的参数和接触位置，可以获得相当好的等频性。这种弹簧要用单独的一根主片（或导向杆）来传递纵向力。近年来，美国的载重汽车广泛采用这种弹簧做为其后悬架。图11组合式弹簧的弹性特性4 .钢板弹簧的阻尼特性多片弹簧存在片间摩擦，所以当它承受垂直载荷时，这种摩擦力就要反映到弹簧的弹性特性上来，形成一个迟滞回线称为阻尼特性。如果摩擦力严格符合库伦定律，这个回线就如图12a所示。多片弹簧组装后采取预压紧，以及片间接触状态的多变，所以实际的迟滞回线和理论回线略有区别，如图12b所示。图12钢板弹簧的阻尼特性当钢板弹簧在一定负荷下的平衡位置振动，其力对位移的变化就形成一个小回线。试验证明，这种回线和振动频率（和15Hz范I内）基本无关，并且其上下沿和静态回线基本重合。这里引入“动刚度”或'等效刚度”的概念，目前对于它有不同的定义。有一种是以“对角线刚度”来表示它，还有一种是以相同耗散能的近似平行四边形的斜率来表示它，见图13。以这样的动态刚度来计一定幅值下的自振频率。此外，回线的面积代表一个振动循环所耗散的能,以此来计对内线刚底5二斗凶等数一，金一今自算钢板弹簧的阻尼参数。由图12和13可以看出：a动刚度随着弹簧负荷的增大或振幅的减小而增大。图动刚度的定义b.阻尼值（耗散能量）随着弹簧负荷或振幅的增大而增大。大家知道，钢板弹簧由于存在库伦阻尼，所以可以起到减振元件的作用。这种阻尼随着负荷和振幅的增大而增大，正是悬架设计所期望的。但是，相应所引起的动刚度增大，却是人们所不希望的。近年来由于道路条件的改善，悬架振幅明显减小，这时反而引起动刚度增大，使车体的振动加速度增加。为了克服这个缺点，近年来在悬架设计中，都力图减小钢板弹簧的片间摩擦，以粘性阻尼（液力减振器）来代替库伦阻尼（干摩擦）。5 .钢板弹簧的导向特性钢板弹簧兼作导向元件时，就由它来确定车轴相对于车架的运动轨迹。只要将钢板弹簧当作一根等厚度的等应力梁，也就是说，在端部负荷作用下，沿片长各点的曲率变化值都相同。这样，如果初始状态是平直的或任何整圆弧，则在垂直负荷作用下的任何变形位置，钢板弹簧也都是整圆弧的。从这个假设出发，演算中略去高阶项，就可以求得钢板弹簧的运动轨迹。图14钢板弹簧的运动轨这里，我们只介绍最常见的对称半椭圆钢板弹簧，参见图14。当钢板弹簧主片处于平直位置，也就是主片与弹簧基线平行，如不考虑吊耳端(或滑板端)的微小垂直移动，即当它只有平行于基线的移动时，这时主片中点(中心螺栓中心线与主片中性层的交点)相对于车架的运动轨迹是：沿着一个半径为:R=3Le(2)8的圆弧运动，而这圆弧的圆心位置为：e=3-一一(3)式2中：尺轨迹圆弧的半径1.e=(L-KS)钢板弹簧的有效长度e轨迹圆弧的圆心到主片中性层的距离偏向卷耳中心一侧卷耳中心到主片中性层的距离这样，当弹簧处于平直状态时，轨迹圆弧半径(当杆)与基线的夹角为：O-arcsin(e)-(4)R当主片处于任何弧高”状态下，主片中心都位于这个轨迹圆弧上，这时轨迹圆弧半径与基线的夹角为：O=arcsin(5)R对称半椭圆弹簧，主片中点以及和它固接的部分，在弹簧变形时不会旋转，只作平移运动。此，车轴上任何一点的运动，也都是以同样的半径R作圆弧运动。这时，只要将该点到主片中心连成直线，按主片中心已确定了的轨迹圆弧半径R,作一平行四边形，就求到了该点的轨迹圆弧的圆心。这样，我们就可以知道车轴上各点的运动轨迹To例如，车轴上转向节臂的球头或减振器下支座的运动轨迹，都可以按此方法求到。由此可见，钢板弹簧的长度越短，基线的安装斜度越大，所处位置的弧高越大，以及上卷式卷耳半径越大等等，都会使轨迹圆弧半径相对于车架的斜度增大，结果车轴上各点的水平移动就越大。钢板弹簧的导向特性对汽车的操纵稳定性有明显的影响，主要涉及到转向轮的干涉摆振，干涉转向效应，以及非独立悬架的刚性轴的轴转向效应等等。此外，减振器的安装斜度，也应参考钢板弹簧的导向特性，以期充分发挥它的阻尼作用，并减小较链点的磨损。二.钢板弹簧的设计计算方法钢板弹簧无论以什么方式安装在汽车上，它的主要受力方向都是垂直于其长度，即钢板弹簧主要是以梁的方式在工作。此外，弹簧的变形相对其长度而言是很小的，所以，钢板弹簧的计算是以材料力学中小挠度梁的线性理论为基础的。1.单片和少片变断面弹簧的计算方法单片钢板弹簧实际上就是一根梁。众所周知，理想的梁应该是一根等应力梁，这样才能获得最佳的材料利用率。一根梁当只有端部承受集中载荷时，有两种轮廓可以满足等应力梁的要求。对于等厚度者，宽度应是三角形;对于等宽度者，厚度应是抛物线形状，如图15所示。当然，从理论上讲，只要截面系数沿片长方向与鸾矩成比例变化，都可以构成等应力梁。但汽车上极少采用宽厚同时变化的钢板弹簧，所以无需做这方面的探讨。图15等应力梁上述的等应力梁轮廓线只是对鸾曲应力而言，实际上由于端部剪切强度的要求以及卷耳的存在，不可能使端部成为三角形或抛物线的尖点。实际上，对于第一种轮廓，只能是在三角形端部加上等宽的矩形或使整个宽度成为梯形；而第二种轮廓只能是抛物线端部接上一段等厚度的矩形或厚度按直线变化的梯形。为了简化轧制工艺，对于等宽度者，可以将整段厚度轧成梯形，或者由梯形和根部，端部为矩形的三段直线所构成。这就是说，在实际的应用上，只能把弹簧的轮廓线设计成近似的等应力梁，见图16o由于结构布置上的原因，汽车上很少采用变宽度的钢板弹簧，可是关于宽度为梯形的计算公式，在一定假设条件下，却可以引用来计算多片弹簧。至于等宽度变厚度的单片或少片弹簧，很早就得到了实际的应用。对于单片钢板弹簧，不论它具有什么样的轮廓线，都可以根据材料力学分析小挠度梁的方法，求出它们的挠度、刚度、沿长度的应力分布以及比应力的公式。例如，对于半椭圆钢板弹簧,可以分别对几种轮廓线导出形式相同的计算公式，唯其形状系数各不相同。48EI048E/C=-金QLg-4W0(6)(8)(9)-2EaO：03l式中：/挠度(变形)C刚度O根部应力屋比应力(单位变形所对应的根部应力)。弹簧根部负荷入弹簧长度%断面中性层到受拉面距离(根部)E材料弹性模数8形状系数(亦称挠度增大系数)(1)等厚度，宽度为梯形形状系数由端部与根部之惯性矩之比所确定：8=(i5722n+n263Inn)(1°)而什L°式中：/端部惯性矩I/O根部惯性矩(2)等宽度，厚度为抛物线加上矩形端部形状系数取决于矩形段长度与总长之比8二2-九2(11)式中X=2,/为矩形段单边长度厚度为整梯厚度为梯形加矩图16近似等应力(3)等宽度，厚度为抛物线和端部及根部为矩形三段组成将根部的矩形段延长，并比理论抛物线的根部厚度增大一些，是为了减小根部应力，克服这部位由于接触应力和应力集中导致的早期损坏。图17抛物线和端.根部为矩形组成的变断面簧如图17所示，对这种单片簧进行分段积分求变形，最后得到的计算公式也具有与上述式(6)(9)相同的形式，但式中之根部惯性矩与断面系数等，均指理论抛物线根部的断面参数，即：bhbhh/=-O-Wia=O-Q-0120602而形状系数3二九3（九-2一九2）+九2（2九3）（）23331hhL27九=T九=T*=21h2力3L32这种弹簧的最大应力不在根部，而在按个抛物线区段，所指比应力也如此。(4)等宽度，厚度由三段直线组成为了使轧制工艺和检验方法简便些，可以将上述抛物线区段用直线代替，形成一根由三段直线组成的变断面梁，如图18所示。,;TiHI-HZyITL,/H»一一'，I1r.,-II图18三段直线组成的变断面簧同样，对这种弹簧分段积分求变形，经整理后，其计算公式也具有与上述式(6)(9)相同的形式。其形状系数：(13)而 k 孚-1,5(IA(I -P )321np+1-P)(-y)o-yw-)(Ia)(l-a)212其中ahIh备P =式中一为弹簧半长2按上述式(8)、(9)计算的应力和比应力，均是根部的应力和比应力，但不一定是沿片长的最大应力。当/产h(2B-D时，最大应力位于(14)的断面上，为梯形段的断面高度为h=aTi)ho-/?/;+h(15)兀1一1121而应力值为。=hPx=hQx(16)XX将XI值代入式(15)和(16)中之一便可求到沿片长的最大应力值。将此应力值除以静挠度，便得到沿片长的最大比应力。计算这种弹簧的应力和比应力时，必须先判断其最大应力的位置,再按此进行校核。如果必要汪可以利用或15加(16)计算沿片长的应力分布。在根部和端部的矩形段，断面高度为常数。从上面公式可以看出，对于理想的等应力梁，若是等厚度的三角形梁川二0,结果§=L5；若是等宽度的抛物线梁，九二()或九二0,九二1二1,结果3=2。它们都可以获得最大的形状系数即最大的挠度增大系数。对于等宽等厚的矩形梁，3二1为最小值。其它各种轮廓线，形状系数都介于这二者之间。在实际应用上，如前所述，端部必须要有一个矩形段，而根部由于支承座的工艺方便性，也要有一个平直的矩形段，所以实际的变断面弹簧，只能是上述的图17和图18两种轮廓。那么，设计上如何来确定轮廓线呢？从设计的合理性讲，基本的原则是使应力分布尽均匀，也就是尽量接近等应力分布。这里可以引入材料利用率的概念，也就是在相同的最大应力前提下，采用材料利用率最高的轮廓线。所谓材料利用率，就是弹簧的单位体积或重所储存的弹性能与理想等应力梁的单位体积或重所储存的弹性能的比值。利用材料力学的公式，可以导出各种轮廓线弹簧的有关公式，本文从略。显然，图17的轮廓比图18的材料利用率要高。但设计时还要根据工艺和成本等等因素来决定这两者之间采用何种轮厚。即使确定了基本的轮摩之后，就每一轮廓而言，也要合理地选择尺寸参数，使它获得最佳的材料利用率，才不会造成不必要的浪费。当然，由于弹簧不仅仅承受鸾曲应力，所以还应综合考虑或计算根部接触应力，端部卷耳应力等等。有时为了降低接触应力或卷耳应力，就必然地要牺牲一定的材料利用率。设计时，和其它种类的弹簧一样，除了应力的核算外，还要保证所要求的刚度。对于只有端点和根部接触的少片变断面弹簧，原则上可以利用上述单片簧的计算公式来计算。即各片轮廓相同的也就是刚度相等的，按负荷等分的原则分开单片计算。对于各单片轮廓不同即刚度不等的，按负荷与刚度成正比的原则分别计算。而弹簧总成的合成刚度，都是按并联弹簧看待，为每单片刚度的总和，参见图19。多片钢板弹簧的刚度和工作应力计算多片簧的计算是一个十分复杂的问题，人们只好把问题抽象成为一种比较单纯的力学、数学模型。因为实际情况不完全符合假设条件，所以计算结果总存在一定的误差。可是，从另一方面看，由于钢板弹簧的材料、工艺等原，允许尺寸存在较大的偏差，此弹簧各种参数也相应允许有较大的偏差。这样，在一定的假设条件下的许多计算方法，都能保证一定的工程计算的需要。当然，长期以来，人们都在不断努力寻求更加准确即更加符合实际的计算方法。实际少片簧图19等长少片黄展开图到目前为止，有两种常见的但却是截然相反的假设，即共同曲率法和集中载荷法。根据某一种假设，计算多片簧的刚度、应力以及选择各单片长度等等。或者混合两种假设以及进一步增加一些假定，从而计算弧高以及预应力等等。(1)共同曲率法按此假设，在任何负荷作用下，钢板弹簧所有叶片彼此沿整个片长无间隙地相接触。这样，在钢板弹簧的任何截面上，相邻的叶片都具有相同的曲率半径变化值。如果不计及各叶片由于片厚所形成的曲率半径的差值，那么，即同一截面的各叶片在任何负荷下都是曲率半径相同，同时其变化值也相同。我们如果将多片的钢板弹簧各片从中心线纵向切开，展展开后等效单片簧图20多片弹簧展开图开平面，组成一个新的单片弹簧，可以看到，这个展开后的单片簧的力学特征和做了共同曲率假设的多片簧是完全一样的。这样，就可以利用单片簧的计算方法来计算多片簧了。所以，共同曲率法又可称为展开法。这时，又可以有两种不同的方法来确立这根等效的单片簧,即展开成梯形梁和展开成锯齿形梁(又称阶梯形梁)两种。(a)单片梯形梁只要对展开后的单片簧，将其端部总宽度和根部总宽度的边缘连成一线，就形成一根梯形梁，见图20o这根梁也就是上述的等厚度、宽度为梯形的单片弹簧，其计算公式(6)(10)可以用来计算多片弹簧。其中根部惯性矩/0为各片惯性矩之和，端部惯性矩为与主片等长的重叠片惯性矩之和。当各片厚度即惯性矩都相同时，11与主片等长的重叠片数=TI-一_0,总、*数当各片厚度不同时，按等效即惯性矩相当的方法来展开。也就是展开后的各叶片厚度都彼此相同，但必须保证展开前后各片惯性矩不变，而宽度可以与原片不同。这样，展开后的各片宽度可以从下式求得：bb-inIIlbb2nln(17)这样求出的应力和比应力，称为根部之当或平均应力、比应力。并不反映各单片的根部应力、比应力。根据同一截面之曲率半径变化值相同，则各片所承受的弯矩qlt正比于其惯性矩；又根据平衡条件，截面上各G一ka-40Wa-片弯矩之和等于外力对该截面之矩，可以分别求出各片之根部应力和比应力：(18)(19)式中/做.以分别为第A片的根部惯性矩、断面系数和中性层距离。还可以求出各叶片应力沿片长的分布：O-QQ-X.I(20)”2叱/i=l式中E为在距离工处各片惯性矩之和。H=I/、W为所计算第A叶片在X处之惯性矩、断面系数。炊(b)单片锯齿形(阶梯形)梁将多片簧按等效原则展开成为等厚的单片簧，而各片端部保留原状，就形成一根边缘为锯齿形或阶梯形的梁,见图20。同样，可以利用求小挠度梁变形的方法(分段积分)，导出刚度公式。对于对称的半椭圆钢板弹簧，>k-(21)又203(YI-丫卜)F2式中Cik=l-lkEA而I为主片之半长/人为第人片之半长Ei为从第一片到第A片的惯性矩之和,i=la为修正系数，根据我们的经验取a=0.9-0.95o可以利用式(18)计算各片的根部应力。但因刚度公式不同计算各片比应力的公式变成：+二Ea6E(22)k4,0Wk寸i43(YF)kk-lkk2同样可以用式(20)计算各片的应力分布，但，按阶梯状i日计算，在各片端部有突变。(2)集中载荷法与共同曲率法的假设正相反，集中载荷法假设多片簧在任何负荷作用下，各叶片之间只在端点和根部无摩擦地接触，只在这些部位有力的传递。所以，集中载荷法又称端点法。按照这样的假设，多片簧的力学模型如图21所示。这里有-/个未知力XX,根据材料力学求梁变形的方法可以对每2”个单片求其端点以及与下一片的端点接触处的变形，然后，根据变形一致原理，令相邻两片在端点接触处的变形相等,即可得到T个方程式，经整理后得：A2P+B2X2+CzXi=0A3X2+B3X3+CsXa=0AUBkXkfXkJ式中的系数:A=0.5二(3L-1)B=-(1+!)kl*-1C=0.5(D3(3二T)kIkki此方程组为-1元线性方程，用代入法就可以解出X2XOTUiaJ甘平ZIn更M加,匕D射数了。例如根据第一片承受的力/，和X,可以算出端点也就是弹2簧总成的变形，进而折换成刚度：C12PM-2Ph-3Xlh+Xh'i从式（23）解出X2代入式（24）,就得到C值。同样，可求出各单片的应力分布：根部应力：(25)（）二三0”0W与下一片端点接触处的应力：(0l)c=X(I-I)(0)2-21CW(o)-xM.i)kCW为各单片只承受集中载荷，故应力分布呈折线状。知道了这两点的应力值，就知道了沿片长的全部应力值了。3.多片弹簧各单片长度的确定上节的两种假设以及所导出的计算公式，都是根据各片长度及其断面惯性矩为已知来计算弹簧总成的参数（刚度、应力）。单片梯形梁的计算公式虽不包含各片的长度，但实际上它已规定了各片长度展开后必须尽接近梯形状。在设计多片钢板弹簧时，首现要确定各片长度，才有可能按上述的各种方法来计算刚度和应力。本节所讨论的，是当主片长度确定之后，如何按各片的惯性矩来确定各片的长度。基于上述的两种假设，导出了两种选择长度的方法。（1）展开作图法根据上述等效的原则，即按式（17）将多片簧展开成为单片簧，见图22。对于主片无重叠者，可根据等应力梁为三角形轮二的原则，从U形螺栓跨距之半（下侧边）到主片端点（上侧边）连一直线，此直线与各单片上侧边的交点即为各片长度。片长度，即从U形螺栓跨距之半（下侧边）到最后一个重叠片的端点（上侧边）连一直线，此直线与各叶片的上侧边交点即为各片长度。这样确定的单片长度，凡惯性矩相同的各片，其长度差值也相同，所以此法又称等差分法。这个差值可以按比例计主片无重叠片算出来，不一定要作图。（2）集中载荷法按照集中载荷法的假设，只要规定各端点载荷符合一定的条件，就可以利用式（23）,解出各单片长度。有两种确定端点载荷的条件：主片有重叠片图22求片长的展开作图法如果存在与主片等长的重叠片，就按梯形轮廓线来确定a.等载荷法若令各单片的根部应力和下片端点接触处的应力相等，对比式（25）和（26）,即令y11o=Q,可导出：P=X2,X2=Xe,X3=X4也就是各端点载荷都相等X2=Xs=X4=-=Xn=Po这样，将这-/个附加关系式代入式（23）,就消去所有的端点载荷X2X”和外载荷°,式（23）变成(27)将系数代入后，得0.5h（3人一1）（1+，2）+0.5（L）3（3/2-1）-0/2hhhIlIll0.5Jt-（3k-/1）（1+a）+0.5（&+*）3（3*-1）=0lk1,klk-*+l0.5二（3二一1）一（1+二）=0（271）-IIuA式（27，）有一I个方程式,/2./共“1个未知数，可以解出。b应力分布系数法各单片的接触点应力和根部应力之比,二9上称为应k93力分布系数。若令各单片取一定的八值,参照式25闲（26）,可导出r二Xk（1-11）（28）*期XkfIM最末片,无意义，其它各片均可根据所定之值得出一个关系式，所以式（28）共有,7-1个方程式。代入式（23）后，消去所有的端点载荷X2X”，（其中X广P）,就剩下-/个未知数2,可以解出它们。有人建议应力分布系数取：主片：n=0.5-0.7第二片：与主片不等长2=0.60.8与主片等长之=0.50.7第三片：与主片不等长r.=0.9-1与主片等长t=070.9其它：7=3片长确定之后，将长度数值代入式（28）,又可最后求出各端点载荷X2M。从式（23）来求解片长人工是很麻烦的，过去常用列表法来计算，近年来已编成程序由计算机求解。若都按集中载荷法计算应力分布，可看到这三种方法所确定的片长，其应力（弯矩）沿片长的分布状态都不同，参见图23,2404 .多片弹簧的弧高计算多片弹簧是由不同曲率半径的单片所组成，当用中心螺栓或U形螺栓夹紧成为一个总成后各单片相应产生一定的预应力。这样，设计者就有两项任务：如何从既定的总成弧高来设计出各单片的曲率半径和弧高;或者从已知的单片弧高来计算总成装配后的弧高。这是一个十分复杂的问题，至今还没有一个比较合理又准确简便的方法。其所以复杂是由于多片簧的片间接触情况复杂，组装前后的曲率变化受很多因素的影响，不能保证都处于整圆弧的状态。根据各种假设条件，可以导出各种计算公式，这里我们只简要地介绍从总成弧高求单片弧高的一种方法。05'C 7)(.七I一匚 6 6、0.Q)O也g图24按应力系数选择片长后的应力分布按等应力法确定片长(弯矩相-图23按集中载荷法计算的鸾矩分布(1)确定总成自由弧高和曲率半径a总成夹紧状态下的无载弧高悬架布置设计时，首先要确定设计载荷(满载)下的弧高H7值，这个值是根据弹簧运动轨迹、极限动行程，以及习惯上的需要确定的。对于线性弹簧，总成无载弧高为：Hc=HI+f(29)式中片2为设计载荷下的静挠度C对于程度不大的非线性弹簧，一般取设计载荷下的刚度,按线性公式计算”折算静挠度f,而无载弧高为：Hc=Hi+f+f(30)式中V为弹性曲线上的非线性附加变形段b.总成自由弧高弹簧总成去掉U形螺栓的夹紧，其自由弧高要比无载夹紧弧高变大一些，可以用下式计算，参见图25o夹紧后图25U形螺栓夹紧前后的弧高变H= Hc ( C L一)2o£ KS(31)式中L为弹簧长度（弧长）S为U形螺栓跨距K为无效长度系数根据我们的经验加果K值取得和计算刚度时一样式（31）的计算结果和实测值有较大的偏差。所以，我们都是从已有的类似结构的试验值来确定夹紧前后的弧高变化值。C.总成自由曲率半径只要弹簧总成是整圆弧的，就可以从弧高求出曲率半径,见图26。当度的弹簧长度L为弧长时1.8H(32)O当度量的弹簧长度L/为弦长时图26弧高与曲率半径(33)LiH一Ho8儿2(2)确定各单片的曲率半径和弧高假定钢板弹簧的各单片以及组装后的总成都是整圆弧的，就可以很容易地从总成自由弧高推算各单片的弧高。从材料力学得知，对于梁的纯鸾曲，在某一截面上，弯矩和曲率的变化有下面关系式(34)Mllat、二EIRR由于应力和鸾矩有一定的比例关系，。-0*故 土 X =-RkRok 气(35)式中&为第A片的自由曲率半径R。人为第k片组装成总成后所应具有的曲率半径G”为组装后第A片的预应力%为第A片中性层到受拉表面的距离E为弹性模数当确定了总成的也是第一片的组装后曲率半径，则各片的组装后曲率半径也已确定，即：RoK=RO+k(36)i=l式中历为有关单片的厚度那么，只要选定好各单片的预应力伙，从式(35)就可以求出各单片的自由曲率半径2,参见图270图27总成与单片曲率半程的对应关系同样，根据弧高按弧长或弦长度的方法，类似式(32)、(33),算出各单片的自由弧高1.i8%(32)k或H=RRz.Lk(33')kkk4上述的弧高乩、HX等均指未计入卷耳半径的弧高值，习惯上常按卷耳中心度,就应计入卷耳半径的影响。必须注意的是，预应力并不是可以任意选定的。首先，它应该满足所谓自平衡的条件。就是说，组装后的弹簧总成，无外力作用此，它的任何截面上应该自平衡，即各片的鸾矩之和为零。就根部而言，必须满足fM=OOkk=I即XQojWk=O(37)Jl-I按照这样的条件，只要满足式(37)所选定的预应力，代入式(35),就可以确定各单片的自由曲率半径了。但是，同样满足式(37),却可以有各种各样的预应力组合。下面讨论如何选择各片的预应力值。多片弹簧各单片都应鼠有一定的预应力，其原因如下：(a)片厚不同的单片，在工作负荷作用下，其静应力和比应力均不同。为了获得大体相同的疲劳寿命，对于厚度大静应力高的单片，要赋于负的预应力，使其合成应力降低。(b)为使总成组装后，各片端部贴合良好，在任何情况下同时参加工作，即使片厚都相同，也应具有一定的预应力。(C)多片簧的主片及长片受力较复杂，而且折断后容易出危险，同时长片成本比短片高得多，此，设计时有意使长片具有负的预应力，以便降低合成应力，保证长片更可靠耐用。有人提出按材料的耐疲劳简图来选择预应力，实际上,预应力的选择不可能完全符合这种方法的要求。通常按照下列的原则来分配各片的预应力：计算出各单片的满载根部工作应力后，使它与预应力叠加的结果，主片的根部合成静应力降至30004000kgcm2,而短片的根部合成静应力不超过材料强度极限的60%(75007800kg儿m2),长片14片承受负的预应力，其绝对值一般是递减的；短片承受正的预应力，其绝对值递增到最末一、二片之前再减小一些，以保证末两片的合成应力不致太高。根部工作应力的计算可以有共同曲率法和集中载荷法两种，若是按集中载荷法计算的，其结果是短片的应力比较符合实际情况。选定各单片预应力之后，必须用式(37)校验，如不满足，就应修正。5 .钢板弹簧计算中的几个具体问题(1)无效长度的确定钢板弹簧都要通过U形螺栓或类似零件安装在汽车底盘上,在螺栓跨距内的那部分弹簧片，不能像悬臂那部分那样自由变形，也就是说，夹紧后钢板弹簧的工作长度要缩短。另一方面，因为U形螺栓等夹紧零件又不是绝对刚性的，所以螺栓跨距内的弹簧片也不是全部为无效的。通常用U形螺栓跨距S乘上一个无效长度系数K来表示无效长度，故钢板弹簧的有效长度LrL-s(38)这样，计算装车状态下的弹簧参数时就应该用有效长度1.而计算未夹紧的弹簧时则用全长人取决于夹紧结构的许多因素，一般由夹紧前后的刚度试验来确定。对于尚无样品的弹簧，只