3.1.2椭圆的几何性质（十大题型）.docx

3.1.2椭圆的几何性质课程标准学习目标能说出椭圆的简单几何性质，并能证明性质，进一步体会数形结合思想.1、根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2、根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出相应的曲线.知识点一:椭圆的简单几何性质2我们根据椭圆=+2=1（>Z>>O）来研究椭圆的简单几何性质a-b2椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±6和y=±6所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x,3A.对于椭圆标准方程=1 >椭圆的对称性或把y换成-y,或把x、y同时换成-x、-y,方程都22不变,所以椭圆5+5=1是以X轴、y轴为对称轴的轴对称图形,且是以原点为对称中心的中心对称图形,a2b2这个对称中心称为椭圆的中心.椭圆的顶点椭圆椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.=1（>bX）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A（-0），4（。,0），BI（OLb）,与（0方）.线段44，B也分别叫做椭圆的长轴和短轴，IAAI=2*忸闻=2b.和人分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e=£.a因为4>cX）,所以e的取值范围是O<X1.e越接近1,则c就越接近。，从而b=Ja?-/越小,因此椭圆越扁；反之，e越接近于0,c就越接近0,从而越接近于叫这时椭圆就越接近于圆.当且仅当a=b时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为/+V=/.知识点诠释: + 1的图象中线段的几何特征（如下图）：（1） PF.+PFA=2af且1=旦3L=e,PM.+PM,|=；1 "121IPMPM2,-C（2） BF=BF2=a,0Fl=0F2=cfA2B=AiB=>Ja2+b2；（3） =A2F2=a-C,17=A27*J=a+c,a-cPFla+c；【即学即练1】（多选题）（2023高二课时练习）已知椭圆。:=+f=1的左，右焦点为B,F2,点P为椭169圆C上的动点（P不在X轴上），则（）A.椭圆C的焦点在X轴上B.5的周长为8+27C.IP用的取值范围为E，41D.椭圆的离心率为立.4）4【答案】ABD【解析】A：由椭圆方程知：=4>0=3,故椭圆C的焦点在戈轴上，正确；B：由c=",且aPKK的周长为IMI+1?K+KE=2+2c=8+27,正确;C：由尸为椭圆C上的动点且不在X轴上，则IP用（Q-CM+c）=（4-J7,4+7）,错误；D：椭圆的离心率为e=£=立，正确.a4故选：ABD知识点二：椭圆标准方程中的三个量。、b、C的几何意义椭圆标准方程中，4、仄C三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆木身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a>b>O,a>c>O,且2=2+c2.可借助下图帮助记忆：a、仄C恰构成一个直角三角形的三条边，其中。是斜边，b、。为两条直角边.和4、b、C有关的椭圆问题常与与焦点三角形/与玛有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式SAW/=gP周伊周SinNGP/相结合的方法进行计算与解题，将有关线段IPE卜I尸周、FlF2f有关角NKPF2（NrP玛N耳明）结合起来,建立IP川+|尸周、IPKlP局之间的关系.【即学即练2】（多选题）（2023重庆沙坪坝高二重庆八中校考阶段练习）已知6（-c,0）,用90）为椭圆A. IOPI=辰=1的左、右焦点，点尸为椭圆上一点，且P%PF?=2c2,下列说法正确的是（B.离心率范围C.当点尸为短轴端点时，APGB为等腰直角三角形D.若S%玛=缶2,则tanZ-FxPF2=-Jl【答案】ABD【解析/pfcpf2=poofpo+of=po+ofpo-of=pc-0Fi：.PFlPF2=P0i-c2,又Pg花=2?,2c2=P0l-c2,OP=3c,故A正确;VOP=3c,b(OPat:.b<VJCa»Wa2-c23c2<a2».Le且，故B正确；23当点P为短轴端点时，op=辰，|彳凰="，4PM为等边二角形，故C错误;若SPg=2c2,又SPg=2SK=POF2sinPOF2：.S%F2=|。斗I。段SinNP。6二5ccsinP。鸟=-Jlc1,sinZPO不妨设NP。鸟为锐角，则NP。耳为钝角，.cosPO5=冬PF2=Pi+0s2-2OPOF2cosZPOF2=2c2,P=2c,同理可得IPKl=辰,2+6c4z,2T：SSNFlPF2=厂-言=上,tanZP=2,故D正确.2×2c×6c3故选：ABD对称性关于X轴、y轴和原点对称顶点(±,0),(0,±b)(0,±4),(土方,0)轴长轴长=2,短轴长=力离心率e=-(0<e<)a222N知识点诠释：椭圆三+=1,5+0=1(>匕>0)的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都abab-有>b>0和e=£(Ove<l),a2=b2+c2不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；a椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看/、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上.【即学即练3】(2023黑龙江哈尔滨高二哈尔滨三中校考阶段练习)已知曲线C的方程为4V+N=4,则下列说法正确的是.曲线C关于坐标原点对称；的取值范围是115：曲线C是一个椭圆；曲线C围成区域的面积小于椭圆E:+y2=i围成区域的面积4【答案】【解析】对于，若点(Ky)满足曲线。的方程，则点(-,-y)也一定满足曲线C的方程，所以曲线C关于坐标原点对称，故正确；对于，y=4(l-x2)4,所以Yy4,故错误；对于，当y0时，y=-4x2+4,此时Txl,当yv时，y=4x2-4,此时T<x<l,所以曲线。由两个抛物线的部分组成的，不是椭圆，故错误；对于，因为椭圆七:寸十丁二的面积与椭圆I1+/=1的面积相等，44作出曲线C与椭圆f+Y=,4,曲线C围成区域的面积大于椭圆%”佃成区域的面积,2所以曲线C围成区域的面积大于椭圆E:二+y2=l围成区域的面积，4故错误.故答案为：.知识点四：直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点May),22若点M(Ky)在椭圆上，则有+=1(>5>0);ah-22若点May)在椭圆内，则有q+M<l(>b>O);ab2若点May)在椭圆外，则有4+*>1(0>人>0).albi直线与椭圆的位置关系将直线的方程y =履+。与椭圆的方程+反a2 b2=1 (>%>0)联立成方程组，消元转化为关于X或y的一元二次方程，其判别式为.>()o直线和椭圆相交。直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；=()o直线和椭圆相切。直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；«)。直线和椭圆相离。直线和椭圆无公共点.直线与椭圆的相交弦设直线y=去+交椭圆土+±=l(a>b>O)于点R(XpyJ，鸟(%2，%)两点，则crZr同理可得I片6I=Iy1-J2I (0)这里I3-毛1，ly-%的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：【即学即练4】(2023全国高二课堂例题)过椭圆3+4y2=48的左焦点引直线交椭圆于A,8两点，且=7,则直线方程为.【答案】瓜+2)，+2痒0或Ir-2y+2=022【解析】椭圆3+4y2=48,即3%=,则=4,方=2Bc=2,左焦点为(-2,0),设直线ABhx=my-2,A(x1,y1),B(x2,y2),.3x2+4y2=48_、2由,得3(my-2)2+4=48,X=my-2整理得(3,+4)y22my-36=0,因为A=144m2+144(3m2+4)>0,乂+% 所以<y% =2rn3rn2+4-363w2+43m2 +4解得m = ±1,12ffl Y 1443m2 + 4)+ 3w2 + 4所以IAM=Jl+/.J(y+必)24乂必=Jl+/2所以直线AB为=±忑y-2,即氐+25+26=0或6.2），+2。=0.故答案为：3x+2y+23=03-2y+23=0知识点五：解决椭圆中点弦问题的两种方法:1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作r22差,构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线/（不平行于），轴）过椭圆+方=1,2（>0>0）上两点A、B,其中A8中点为P（X0,%）,则有原丁即产-7-a”【即学即练5（2023江西宜春高二上高二中校考阶段练习）已知椭圆Udf=1,过点尸卜,：的直线43k2；交椭圆C于A、3两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为【答案】3x+2y-4=0xi+x2 =2 y + )'2=ll=【解析】设点A（n，），J、8（孙必），由中点坐标公式可得2所以>.÷>>2,122= =2213 2%- 3+ +,年一 4 2歪4,两式作差得即华山43T所以,X1+X2X1-Xj24I3因此，直线AB的方程为y-=-(x-1),即3x+2y-4=0.故答案为：3x+2y-4=0.题型一：椭圆的几何性质例1.(多选题)(2023辽宁大连高二大连市第二十三中学校联考期中)设椭圆G9+=l(a>b>0)的左、右焦点分别为石、八，上、下顶点分别为A、A?,点P是C上异于A、4的一点，则下列结论正确的是()I4A.若。的离心率为则直线PA与P4的斜率之积为-彳B.若尸KIPK,则APKE的面积为从C.若。上存在四个点尸使得尸HLPE,则C的离心率的范围是(0,孝D.若PK助恒成立，则C的离心率的范围是(OT【答案】BD【解析】A.设尸(%,%),所以W+算=1,因为e=f=2,.=2c,./=:，a2b2a23所以,+*=L'32+4%2=4/所以女&=生士生匕支WLIj2_3,所以该3baXOXoAO-一群一"4选项错误；B.若WJ_尸工，则I尸>I+1%I=2a,PfJ2+PF2F=4c所以IPEl.%I=2护,则即玛的面积为；|尸£|尸6|=从,所以该选项正确；C若C上存在四个点尸使得PKLP玛,即。上存在四个点P使得耳居的面积为从，所以2cb>b2,.c>b,:.c2>a2-c2,.,.e(,l)，所以该选项错误：D.若IP用2Z?恒成立，所以+c2b,.2+c2+z7c4/=4(2一。2),所以5$+2e-30,.0<eg，所以该选项正确.故选：BD例2.(2023高二课时练习)如图，把椭圆+=4的长轴48分成8等份，过每个分点作X轴的垂线交42椭圆的上半部分于P/,p2tP3,P4,P5,P,P7七个点，尸是椭圆的一个焦点，则F+P2F+P3F+P4F+P5F+P6F+P7F=.【答案】28【解析】根据题意，把椭圆+f=4的长轴44分成8等份,42设另一焦点为F2,过每个分点作X轴的垂线交椭圆的上半部分于P/,P2,P3,Po,Ps,P6,P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，P/1+P7尸|=上7尸2|+/7尸|=2小同理，其余两对的和也是2,又PV=4,PF+P2F+Pj11+P4F+P5F+P6F+P7F=7=28.故答案为：28.例3.（2023贵州黔西高二校考期中）已知椭圆V+zny2=的焦点在X轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m=.【答案】42【解析】将椭圆方程化为标准形式为'+-=W">i）,所以长轴长为2,短轴长为4R,-Vmm由题意得2=2x2J',解得m=4.Vm故答案为：4变式1.（2023全国高二专题练习）若椭圆u=l的离心率为巫，则椭圆。的长轴长为,m23【答案】2而或2【解析】因为椭圆+$=1的离心率为玄，易知7>0，m23当w>2时，椭圆焦点在X轴上，/=?，b2=2,所以£_=竺心=9,解得m=6,则所以椭圆的长轴长为2卡.am9当0<小<2时，椭圆焦点在y轴上，a2=2,b2=m,所以上=2二丝=9,得加=?,满足题意，a2293此时a=四，所以椭圆的长轴长为2应.故答案为：或2变式2.（2023上海浦东新高二上海市进才中学校考期末）一个半径为1的球置于水平地面上，受到与水平地面夹角为60。的太阳光线照射，球在地面的影子边沿是一个椭圆，则椭圆的焦距等于.【答案】空己用33【解析】如图：在照射过程中，椭圆的短半轴长b是圆的半径R,故。=1,椭圆长轴长2a是OE,过。向AE作垂线，垂足为C,则CO=AB=2R=2,2=DE=-=-=-rrrj26sin60oy33»所以=-，32故焦星巨2。=24下=手.故答案为：名叵.3题型二：根据椭圆的有界性求范围或最值例4.(2。23湖北宜昌高二当阳一中校考阶段练习)P点在椭圆寻白止仇。，3),则旅长的最大值为.【答案】2/【解析】设尸(,y),-2.y2,=J-3(y+l>+28.当V=T时，I/的最大值是27故答案为：2近例5.(2023黑龙江大庆高二大庆中学校考开学考试)以K(T,0)为焦点的椭圆W+4=l(>0)上有一动(3点则IMKl的最大值为.【答案】3【解析】因为月(To)为椭圆J+=l(>0)的焦点,所以>3,c=T,b=后,所以由一/?=。2=2-c2+2=尸+(6)，=4,所以椭圆的标准方程为：y+=,如图所示：因为6(-1,0)为椭圆的左焦点，M为椭圆上的动点,故当M处于右顶点A时IMZI最大，且最大值为IM6=+c=2+l=3,故答案为：3.例6.（2023广西河池高二校联考阶段练习）已知点夕（0,2）,点。为椭圆?+V=1上的动点，则IPeL=一【答案】当【解析】设。（,y）,则俨。N'dp,将/二4一452代入上式中得：Pa=J"4y2+（j2）2=J3（y+|）+g，.当y=-时，IPQL=符=率故答案为：零变式3.（2023江苏淮安高二江苏省郑梁梅高级中学校联考期中）设点6，尸2分别为椭圆C:y+=l的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得PEP网二唐成立的点恰好是4个，则实数M的一个取值可以为.【答案】0（答案不唯一）【解析】因为点与工分别为椭圆。：9+9=1的左、右焦点，a2=3,从=,=2,即耳（-,0）,6（0,0）.设Pa）,%）,PFx=卜应一%l%）,PE=（立一毛，一%），由P6PE=w,可得片+y；=加+2,又因为P在椭圆上,即孝3=1,所以X=国宇.要使得PnP尸2=用成立的点恰好是4个,则0<2展<3,解得<m<i,所以用的值可以是任意个值，故答案为：0（答案不唯）X2y2变式4.（2023江苏宿迁高二校考阶段练习）若P为椭圆五*方=1上的一点，F1,工分别是椭圆的左、2右焦点，则NKP6的最大值为.【答案】90/g2【解析】易知当点尸为椭圆与y轴的交点时，NEPF2最大,rEi因为椭圆方程为云+空=,2所以=5,C=VaR=卜5一得=半,此时IP周=IP闾=5,I耳闾=2c=50,满足IMI2+|尸玛=忻闾2,所以aKPE为等腰直角三角形，所以N耳P6=90°.故答案为：90'变式5.(2023高二课时练习)已知点M是椭圆$+1=1上的一动点，点t的坐标为(0,-3),点N满足|沏=1,且NMNT=90。，则IMNl的最大值是.【答案】43【解析】设点M(XO,%)，则兀+超=1,即片=25-秒¥，T%4,2516IoIMrl=Jx；+(%+3)2=25一得y：+(为+3)2=J-Vy：+6%+34=J-(I%一4尸+50,当NO=4时，M7max=7,而ZMW=90。，INTk1,因此IMNI=MFFFp万二F=4J，所以当点“(。，4)时，I取得最大值4J故答案为：4道题型三：求离心率的值例7.(2023浙江台州高二校联考期中)己知椭圆U=+4=l(>b>0),O为椭圆的对称中心，尸为椭ah圆的一个焦点，尸为椭圆上一点，PF_LX轴，P/与椭圆的另一个交点为点。,APOQ为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()A.BB.在二C.且色D.-2245【答案】B【解析】如图,不妨设尸(GO),P(c,%),因为点P(G%)在椭圆上，所以+W=i,解得=±久，aba所以P(G2)，a又因为aPOQ为等腰直角三角形，所以I叫=OF.即一=c,即02-c2=c,所以/+e-l=O,a解得e=逅二！或e=土立（舍），22故选:B.22例8.（2023内蒙古包头高二统考期末）已知椭圆=:+与=l（>）>0）,直线/依次交4轴、椭圆、NQ-b轴于点&P、Q、8四点.若IAH=IQ回，且直线/斜率A=1则椭圆的离心率为（）A.IB.立C.立D.且2322【答案】D【解析】设直线/：y=i+w（w0）,可得A（-W0）,8（。,，），设AB的中点为M,连接OM,贝JAM=8M,M卜肛三）因为IAH=IQ8,PM=QMt即为为弦PQ的中点,设Pa,y）,Q（w,%）,则土产=Tn,上/=m因为k=AZA=LeH=1A=三=一，x1-X22x1+x2-m2+4=,可得“：b,两式相减得七江+生/区反。b整理得呜Xb2 r 阳 b2 1可得一7 =一，a- a2 4b2/,可得HAOMa2b2b2所以椭圆的身心率为e=£=后当故选：D.例9.（2023广东佛山高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）已知椭圆U+E=l经过点（0,2）,则2m椭圆。的离心率为（）A-fB"CYDT【答案】A【解析】因为圆UE+f=1经过点为(。，2),则乙=1,解得?=4,2mm故椭圆C的标准方程为+Y=1,所以，a=2tb=无，W1Ic-ya2-b2=4-2-J2t因此，椭圆C的离心率为e=£=也.a2故选：A.22变式6.(2023北京高二IOl中学校考期中)已知4,B,C是椭圆乌+与=l(a>b>0)上的三个点，直线a-bAB经过原点O,直线AC经过椭圆的右焦点凡若BF/AC,且IBFI=可CF则椭圆的离心率是()A.1B.C.也D.叵2425【答案】C【解析】设椭圆左焦点为6(-c,0),连接4080C6，设IBl=m,(m>0),结合椭圆对称性得IAFxHBFI=3m,由椭圆定义得IAFI=2-3m,ICFJI=2a-mf则IACl=2a-2m.因为IOFHOF1JOAHOB,则四边形AFiBF为平行四边形,则A48尸，而B尸工AC,故A6J.4C,则IAG2+1ACT=IC用2,即9nj2+(2。_2,n)2=(2a-m)2,整理得在RtfAR中，AFf+AFI2=IFFJ2,gJ9m2+(2-3/n)2=(2r)2,即公+(24-a?=(2)2,.白2=牙，故=£=正，a2故选：C12变式7.(2023江苏高二假期作业)如图，直线w2y+2=0过椭圆+方=(>b>O)的左焦点石和一个顶点以该椭圆的离心率为()55【答案】D【解析】设椭圆的焦距为2c(c>0),则/(,0),B(0,b),因为线/"-2y+2=0的斜率=1,2hA2A?-C?1z-4由题意可得士=：,则I=J=L,解得三=±,c2C2C24O15所以椭圆的离心率为故选：D.变式8.（2023江苏高二假期作业）已知椭圆氏与+二=乂>6>0）与直线y = b相交于A, B两点,O a b是坐标原点，如果是等边三角形，那么椭圆E的离心率等于（）c Td T【答案】C【解析】联立方程y = b y2 2 1 bv=1不妨设点8在第象限，则B修力,± = £ = 3由题意可知：OB的倾斜角是60。，则历C VT所以椭圆的离心率e = £ = = =虫. a 6 3故选：C.变式9. （2023内蒙古呼伦贝尔高二校考阶段练习）法国数学家加斯帕蒙日发现与椭圆相切的两条互相垂 直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆c +£ = l（a>b>0）的蒙日圆为Uf + y2=/,则椭圆C的离心率为（）bT【答案】A【解析】直线与椭圆C分别相切，显然直线4 =。与直线y=b垂直，且交点为（。力）,由题意点（外。）在圆。：/+ 丁=：2上，所以/+从=，2,所以4=2,33a 3故椭圆C的离心率e=£=JI_4=-故选：A.变式10.（2023高二校考期末）已知椭圆C：a2 b2= l（>力>0）的左、右焦点分别为E ,尸2，点P在椭圆。上，且P鸟，耳居，过P作用J的垂线交X轴于点A,若k6|二；c,记椭圆的离心率为e,则/（）A.已誉B.3-5C.0一1D.【答案】A【解析】因为尸鸟JM玛，APIPF1,所以|巴珠=恒EHA周二2cgc=c2,可得IPq=U在RtZP6巴中，IPKI=JC2+（2°）2=辰由椭圆的定义可得IP耳|十|飓|=2,故+c=2,所以e=5=血=%，所以/=（与1=呼21）故选:A.变式11.（2023河南鹤壁高二鹤壁高中校考阶段练习）已知点”，K分别是椭圆E：*+*=l（>b>0）的左、右焦点，点P是椭圆E上的一点，若的内心是G,且sgpf,=sgf1fjsgpf2»则椭圆E的离心率为（）A89-4C7A.-B.C.-D.916916【答案】B【解析】设点G到4P6巴各边的距禽为，5cpfi=Sc-5cpf2,得l|P77|.r=xl|.r_l|P|.r,即|尸片吟相ITP名由椭圆定义知P6+PE=2,H=2c,于是2=x2c,所以椭圆E的离心率e=£=j9a16故选：B变式12.（2023云南昭通高二校考期中）已知椭圆C:+与=l（>力>0）的一个焦点为尸，点尸是椭圆a2b2C上的一个动点，p尸I的最小值为6-1,且存在点p,使得（点。为坐标原点）为正三角形，则椭圆C的离心率为（）A.IB.BC.D.3-l222【答案】D【解析】由椭圆的定义可得-c=有-1,要使AOPF（点。为坐标原点）为正三角形，不妨设点尸为右焦点，则存在为=孝c,%=/即小率，将产代入椭圆的方程得S+%=l,4«24/T将/+/代入上式得+1=4,化简得刎=4凡所以二c,彳弋入-c=Q-l,口J得c=2,=>J+1,2所以e=£=61.a故选：D.题型四：求离心率的范围例10.（2023.宁夏高二宁夏育才中学校考期中）已知椭圆1（=l（>b>0）的离心率为e,F1,鸟分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点尸使得/耳夕鸟是钝角，则满足条件e的范围【答案】显<<12【解析】如图，当动点尸在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角NKP5渐渐增大，当且仅当尸点位于短轴端点4处时，张角1PF2达到最大值.椭圆上存在点P使得NKPK是钝角，.ZXJK玛中,N耳与玛>90。,:.Rt中，NoAF2>45。,.Pq<OF?,即b<c,：.CT-C2<c2»可得2<勿2,2.e>，2QOVe<1,鼻12故答案为：虫C2例11.（2023黑龙江绥化高二绥化市第一中学校考期中）已知椭圆U*+=l（4>b>0）上有一点P,%尸2是椭圆的左、右焦点，若使得AKP6为直角三角形的点P有8个，则椭圆的离心率的范围故答案为:【解析】由椭圆的对称性，NPK鸟,NP鸟耳为直角，共有4个位置.，NFFF2为直角,共有4个位置，于是以月入为直径的圆与椭圆有4个交点.又离心率越大椭圆越扁，而当点尸在y轴上时,b=c,e=3=?=显,于是，若要满足题意，ea2t2例（2。23.江苏连云港.高二统考期中）已知点Z是椭圆/力叱八。）的左焦点'过原点作直线/交椭圆于AB两点，M,N分别是A53£的中点，若OM工ON,则椭圆的离心率的范围是.【答案】【解析】如图，设椭圆的右焦点为居,连接A人,8g.因为IAMI=IM用,I。用=IoKl,所以AF1IZOM.同理BF2IION.因为OM_LON,所以AKJ_8鸟.因为IAOI=IoBI用=IoEI,所以四边形A7/鸟是矩形.设IAKI=Xf:AF1=2a-xt所以V+(2-x)2=4<?,所以*2一2Or+2=o,所以二4/-8/N0,/.a2-2b1O,.a2-2(a2-c2)0,所以e也,e<l,.且e<l.22故答案为：曰,1变式13.(2023天津宁河高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习)已知点£是椭圆J+=l(l>h>0)的左焦点，过原点作斜率存在且不为0的直线/交椭圆于AB两点，M,N分别是AK,的中点，若存在以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是.【答案】怪1)【解析】如图所示，当点M,N分别是AK、的中点时，OM,CW是AB6的两条中位线，若以MN为直径的圆过原点，则有OMJ_ON,4£，3耳，设点A(XO,%),则点5(-又点K(Y,0),所以，AK=(-c-%,-%),8E=(-c+%,%),则胡.8耳=。2_玉2_%2=0,又营+4=1,ah所以，4片+从一c2=0,得片=aC即只需0<£(CT)+，整理得：2c2>C2解得也<e,又e<,2所以也<e<l.2变式14.(2023高二单元测试)已知椭圆二十与=1(。>%>0)的左右焦点分别为耳(-。,0),8(Go)且abb>c,若在椭圆上存在点尸，使得过点尸可作以66为直径的圆的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的范围为.【答案】性用【解析】如图所示，根据题意知RAoB为正方形，PO=近c，故bPOa,解得答案.如图所示，根据题意知：PAOB为正方形,故尸O=J圾,，故b<PO,.b22c2a2f 解得且e也, 32又b>c,故e<V,故答案为:变式15.(2023全国高二专题练习)已知椭圆C：l(>b>0)的左，右焦点分别为耳,尸2,焦距为2c,尸是椭圆C上一点(不在坐标轴上)，。是/耳鸟的平分线与X轴的交点，若|。鸟=2OQ,则椭圆离心率的范围是【答案】刖【解析】1。闾=2OQ,Q居=gc,|。用=gc,PQ是NKP6的角平分线,4_c.微=去=2,则同=2附|,由闸+M=3P闾=2%得|尸用.，3C由-c<当<4+c,可得e=£>，rtlve<l,椭圆离心率的范闱是3a3U)故答案为：(g,l)变式16.(2023江苏南通高二江苏省西亭高级中学校考阶段练习)F1.K是椭圆的左、右焦点，在椭圆上存在点尸使得尸耳=2P则离心率范围.【答案】j.【解析】分析：由椭圆定义可得工+6=21±-,解得X=由题意可得一4f,解不等式VCJcJ3e3e求得离心率e的取值范围.设点P的横坐标为X,PFx2PF2t则由椭圆定义可得e(x+?)=2e9-",由题意可得*.3故答案为：变式17.（2023黑龙江高二统考期末）已知不人是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，若N耳尸鸟=60,则离心率e的范围是.【答案】4j【解析】设椭圆方程为二十与=ICa>b>,IWI=枢IP由=在6中，由余弦定理可知，4c2=m2+n2-2nncos60o.；m+n=2a,.m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-Imnt.*.4c2=4a2-3nn.即3mn=4a2-4c2又"zj=a2（当且仅当Tn=时取等号），c211/.4a2-4c2<3a2,即e二.a42e的取值范围是；,1）.故答案为fl）变式18.（2023四川眉山高二四川省眉山第一中学校考期中）已知6，K分别为椭圆的J+=l（a>%>O）左、右焦点，若直线X=/上存在点尸，使APaK为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是.【答案】（制【解析】AP4玛为等腰三角形,只可能IPKI=山段即IPKI=2,又因为点尸在直线X=J上，即归入=2c>-cn3c2>2=>gne>亭又因为椭圆e<l所以e塔“故填22变式19.（2023高二课时练习）已知椭圆;方=l（>6>0）的左右焦点为耳，F2,以忻用为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（）.B.C.D.【答案】A【解析】因为以忻与I为直径的圆与椭圆仃四个交点，所以bvc,即<c2,a2-c2<c2,a2<2c2,所以/><，即e>立22又因为O<e<l,所以椭圆离心率的取值范围为故选：A.22变式2。.（2023高二课时练习）已知点人6为椭圆呜+S人。）的长轴顶点，P为椭圆上一 = lc a-D.)【解析】由题得：kpA% =3 _2 4,3,所以ew故选：A.变式2L（2。23安徽安庆高二安庆市第二中学校考阶段练习）椭圆上存在一点。满足耳P_LEP,6鸟分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（）A.C.【答案】D【解析】因为椭唁+%上存在一点尸满足可即H"。,所以点P落在以K5为直径的圆上，所以/b2有解，2，2x+y=c即。2%2=/卜2一/）有解，所以c2-o即2-,所以2c2,所以;,又椭圆的离心率O<e<l,所以也e<l2故选：D变式22.（2023四川成都高二石室中学校考阶段练习）己知P为椭圆£+/1（。”>0）上一点，%F2为椭圆焦点，且IPKl=3|?鸟则椭圆离心率的范围是（）【答案】D【解析】由P为椭圆*+=l（>10）上一点，归用+|尸闾=勿.PF=3PF2,所以IP图=£a-c<P2<a + c fa-c-a + c.a-c- 2-a + c 2得Nc,即!Ve<l22故选：D题型五：点与椭圆的位置关系例13.（2023全国高二专题练习）若点（3,2）在椭圆卷二1上，则下列说法正确的是（A.点（-3,-2）不在椭圆上B.点（3,-2）不在椭圆上C.点（-3,2）在椭圆上D.无法判断上述点与椭圆的关系【答案】C【解析】点（-3,-2）与点（3,2）关于原点对称，点（3,-2）与（3,2）关于X轴对称,点（一3,2）与（3,2）关于y轴对称,若点（3,2）在椭圆捺+/=1上，根据椭圆的对称性，（-3,-2）,（3,-2）,（3,2）三点都在椭圆上，故选：C例14.（2023全国高二专题练习）已知点尸（1,2）和焦点在丁轴上的椭圆：+=1,且过。作椭圆的切4m线有两条，则该椭圆半焦距C的取值范围是（）A.0<c<2B.c>2C.0<c<-D.o33【答案】C【解析】由题意可得，点P在椭圆的外部.I2?216所以，-÷->1,所以0<M<.4m3又椭圆焦点在y轴上，所以m>4,所以4<?<牛又/=加一4,所以所以0<c<2叵.33故选：C.例15,（2023山东青岛高二山东省莱西市第一中学校考学业考试）若直线a+.y-5=0与圆f+y2=5没有公共点，则过点P（肛）的一条直线与椭圆：+q=1的公共点的个数为（）A.0B.1C.2D.1或2【答案】C【解析】圆V+y2=5的圆心（0,0）,半径为百，因为直线/三+">-5=0与圆f+y2=5没有公共点，所以圆心到直线的距离大于半径，得-L）->即病+/<5,7+n所以J!9<,则点P（小）在椭圆内部，所以过点P（肛）的直线与椭圆,+=1必有2个公共点.故选：C.变式23.（2023