3.3.2抛物线的几何性质（5大题型）.docx

抛物线的几何性质一、四种抛物线的几何性质标准方程,V2=2px(p>Q)y2=-2px(p>0)X2=2Ply(P>0)X2-2py(p>0)P的几何意义：焦点F到准线I的距离图形1卡范围xO,yeRxO,yeRyO,xRyO,xeR对称轴y=0X=O焦点坐标F加词心图准线方程TT顶点坐标0(0,0)离心率e=l通径2二、焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为(AO,%),焦点为F.1、抛物线y2=2px(p>0),PF=+y=+y-2、抛物线V=一2PX(P>0),PF=+3、抛物线J=2Q(P>0),阳=.%+畀%+勺4、抛物线/=-2Py(P>0)"PF=)L=-y0+g【注意】在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.三、直线与抛物线的位置关系1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：相交(有两个公共点或一个公共点)；相切(有一个公共点)；相离(没有公共点).2、以抛物线V=2px(p>0)与直线的位置关系为例：(1)直线的斜率A不存在，设直线方程为X=，若>。，直线与抛物线有两个交点；若=0,直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；若,直线与抛物线没有交点.(2)直线的斜率存在设直线/：y="+。，抛物线V=2p%(p>O),直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，即二次方程公/+2(妙一p)x+从=0(Bk2y2-2py+2bp=0)解的个数.若2工0,则当>()时，直线与抛物线相交，有两个公共点；当=()时，直线与抛物线相切，有个公共点；当<0时，直线与抛物线相离，无公共点.若k=0,则直线y=b与抛物线.v2=2px(p>O)相交，有一个公共点.四、直线与抛物线相交弦长问题1一般弦长：设AB为抛物线V=2px(p>0)的弦,A(AyJ,BaJ，弦AB的中点为Ma),%).(1)弦长公式：AB=i7F1-xJ=y1-y2(&为直线AB的斜率，且心0).(2)*=工%K = 2px 推导：由题意，知y=2px2,由©®,得X-M).故处二孟,即Y2(3)直线AB的方程为y%=上(X%).%2、焦点弦长如图，A4是抛物线寸=2px(p>0)过焦点Z7的一条弦,设A(X1,y),8*2，%),AA的中点M(,%),过点A,M,4分别向抛物线的准线/作垂线,垂足分别为点A,4,M，根据抛物线的定义有A=A4,BF=BBl,AB=AF+F=A41+故IM=IA+M=p½+明又因为MM是梯形AAI“的中位线，所以IAM=IAAlM网=2MMl从而有下列结论；（1）以AB为直径的圆必与准线/相切.（2） IAM=21。+£|（焦点弦长与中点关系）（3）4=xl+x2+p.（4）若直线AB的倾斜角为,则A8=*.Snra（5）,A两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值,即工咨=£,y=-P1i+j为定值看题型一由抛物线方程研究其几何性质【例1】（2023陕西汉中高二汉中中学校考期中）关于抛物线E=-2X,下列说法正确的是（）A.开口向右B.焦点坐标为（TO）C.准线为x=lD.对称轴为X轴【答案】D【解析】因为抛物线方程为V=-2x,则p=l,即片g,所以开口向左,焦点坐标为卜；，。），准线为,对称轴为X轴,即D正确，ABC错误.故选：D.【变式111（2023.上海杨浦.高二复旦附中校考期中）关于方程-一个+2），=0所表示的曲线,下列说法正确的是（）A.关于X轴对称B.关于V轴对称C.关于y=轴对称D.关于原点中心对称【答案】D【解析】对于a,将方程中y换为-，则有“2一（_），）+2（-»=0,则f+D+2y2=0,与原方程不同，所以方程炉-“+2y2=0不关于X轴对称;对于B,将方程中X换为T,则有）2_（_小+29=0,贝（J/+xy+2y2=0l与原方程不同，所以方程V-xy+2y2=0不关于）'轴对称；对于C,将方程中X换为y,y换为X,则有V-yx+2x2=Ol与原方程相同，所以方程V-xy+2y2=0不关于y=轴对称；对于D,将方程中X换为T,)，换为-L则有(T)2-(T)(一)，)+2/=0,则/一孙+2y2=o,与原方程相同，所以方程F-xy+2y2=0关于原点中心对称.故选：D.【变式12(2023安徽芜湖高二统考期末)尸为抛物线uV=i2x的焦点，直线“1与抛物线交于A3两点，则ZAm为()A . 30B . 60C . 120D . 150【答案】C【解析】抛物线Uy2=12x中时可得),=±25,且尸(3。)贝A(1,2J),8(I,-2J),取"(1,0)(如图)au-ah-2-R,tanNAFH=tHF3-1AF"=60o，又对称性可知ZAFB=I20。.故选；C.【变式13】(2023上高二课时练习)求下列抛物线的顶点坐标、对称轴、焦点坐标和准线方程.(1)=2x；(2)/=32)，;(3)j=-8x2;(4)x=.Io【答案】(I)(0,0),对称轴为入轴，(；，o),X=-；;(2) (0,0),对称轴为y轴，(0,8),y=-8;(3) (0.0),对称轴为J轴，(0，$),y*(4) (0,0),对称轴为火轴，(-4,0),x=4;【解析】(I)尸=21的焦点在火轴正半轴上，P=I,顶点坐标为(。，0),对称轴为X轴,焦点坐标为g,0),准线方程为X=-；;(2)x2=32y的焦点在y轴正半轴上,p=16f顶点坐标为(0。，对称轴为J轴，焦点坐标为(。，8),准线方程为丁=-8;(3)y=-8即,焦点在y轴负半轴上,P=2，oIo顶点坐标为(0,0),对称轴为.Y轴，焦点坐标为Qw),准线方程为丁=专；（4）X=-正）,即y2=T6x,焦点在X轴负半轴上，=8,顶点坐标为（0,0）,对称轴为X轴，焦点坐标为（-4,0）,准线方程为A4；题型二判断直线与抛物线的位置关系【例2】（2023上海浦东新高二川沙中学校考开学考试）已知抛物线方程V，过点P（L2）的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（）A.0条B.1条C.2条D.3条【答案】C【解析】点P在抛物线上，易知当直线斜率不存在时不满足；当直线斜率左=0时，易知尸2满足条件；当直的率存在且心。时，设直线方程为y=k（xT）+2,即y=履T+2,.整理得到，2-4y-4+8=0.=（Y）2-必（+8）=0,解得攵=1,直线方程为=1.综上所述：满足条件的直线有2条.故选：C【变式21（2022.四川自贡.高二统考期末）过点（。，1）与抛物线V=8x只有一个公共点的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.无数条【答案】C【解析】由已知，可得当直线过点（。，1）且与'轴平行时,方程为y=,与抛物线V=8、只有一个公共点；当直线斜率不存在时，方程为X=O,与抛物线V=8x只有一个公共点；当直线斜率存在时,设直线方程为J=去+1,由作M可得,Jt2X2+（2-8）x÷l=0,=（2D2-4&2=0,解彳导k=2,故直线方程y=2+L所以存在3条直线）=1产=0尸=24+1满足过点（0,1）与抛物线，2=8x只有一个公共点.故选：C.【变式22（2023.陕西高二校联考期中）（多选）过点（LO）且与抛物线U=4.v只有一个交点的直线方程可能是（）A.x=lB.>'=0C.x-j-l=OD.x+y-l=0【答案】ABC【解析】由已知抛物线方程为UV=今，其对称轴为X=O,当直线与抛物线对称轴平行时，直线方程为=,此时与抛物线只有一个交点成立，当直线与抛物线对称轴不平行时，可知直线斜率存在，设直线方程为y=MxT）,2aX"=4v联立直线与抛物线=%（：_）,得/_4履+4%=0,由直线与抛物线只有一个交点，可知=（TA）2-44=16公一16A=O,解得=0或攵=1,所以直线方程为产°或y=-,即产。，或x-y-i=。，综上所述：直线方程为AI或尸。，或-y=o,故选：ABC.【变式23】（2023上高二课时练习）已知直线V=履-4与抛物线,v2=8r有且仅有一个公共点，求实数攵的值.【答案】-3或（）【解析】由整理得a2_（8"8）川6=0,y=x-4当火0时，=（8jI+8）2-642=0,解得左=-g,当上=0时,直线为、轴,与抛物线只有一个交点,满足题意，综上，实数攵的值为-;或0题型三直线与抛物线相交弦长问题例3（2023.北京东城.高二汇文中学校考期中）直线/过抛物线V=2%的焦点尸,且/与该抛物线交于不同的两点A（N，yJ、8（如必）,三a÷x2=3,则弦A8的长是（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】抛物线V=2x的准线方程为Aw,因为直线/过抛物线V=2x的焦点尸,且/与该抛物线交于不同的两点A(%y)8(孙),则A8/+g+w+g3+X2+l=3+l=4.故选：C.【变式31】(2022.甘肃临夏.统考一模)过点P(T,2)作两条直线与抛物线uV=4-相切于点A,8,则弦长IABl等于()A.8B.6C.4D.2【答案】A【解析】由题意直线斜率存在,可设过点P(T2)的切线方程为y=H"i)+2,与抛物线方程联立可得：v+i9=>2x2+(22+4Ai-4)x+()1+2)2=0所以A=(2G+4"4)2-4k2(A+2)2=0,解之得女=±四-1,如图所示,设人6方)、8(%,%)，则iW2,当=应-1时，x1=3+22,y1=2=2+22,gp(3÷22,2÷2>),当&=-1时，=3-2&,必=一2百=2-2&,即可32底,2-2),lUIIe=(3-2-3-22)2+(2-22-2-22)2=8.故选：A【变式32(2023.河南洛阳高二洛阳市第一高级中学校考期中)设抛物线V=4x的准线与X轴交于点K,过点K的直线/与抛物线交于A,B两点.设线段AB的中点为M,过点M作X轴的平行线交抛物线于点N.已知的面积为2,则直线/的斜率为()A.±乎B.±C.±2D.±2【答案】A【解析】如上图，由题意,抛物线y?=©的准线为at,可得K(T0).直线/与抛物线交于A,8两点，直线/的斜率存在且不为。，设直线/方程为x=O'T(fO),将其代入V=4x,化简并整理得：y2-4),+4=0.fi=(-4)2-16>0,得户>1.设A(,y),6(孙必),则X+%=4ffJ1J2=4，*xi÷x2=DLl+"2-l=f(1'l+%)-2=*22.加是48的中点，,“(2/一12).过点M平行X轴的直线为y=2,，与抛物线交点为知N(凡力),所以IMNl=-1.又()L%)2=(x+y2)2-4yy2=(4f)2-4x4=1692-l),则瓜一叼=4炉工，.¼B的面积S=BIMNlyf=2(>A7可.由已知条件知S=2,2(E=2,解得=2(满足>(),解得：r=±2.，直线/的方程为X=±1,gPy=±(x+l),直线/的斜率为土日.故选：A.【变式33】(2023上重庆沙坪坝高二重庆南开中学校考期中)已知抛物线V=a与直线%=%+1相交于4、B两点，。为坐标原点.(1)求证：OAlOS；(2)当Sa.=丽时，求，的值.【答案】(1)证明见解析；(2)m=±6.【解析】(1)令A(XQJb(X2,为)，联立抛物线与直线得V-町7=。，且a=J+4>or则一+，2=见%=-1,故平2=机2),跖+加(y+%)+1=1,又OA=,%),08=(孙必),贝(Joaob=X/+m%=o,即OAJ_ob,得证.(2)由a。，。)到X=my+的2巨离d=-=r,又IABl=Jl+/J(y+%产-4)，M=M+川"+4,所以Sob=gdIABI=VFoI贝Ijm2=36=>/«=±6.题型四抛物线的中点弦及点差法【例4】（2023河南洛阳高二统考期末）已知直线>7-2与抛物线V=©交于A,B两点,若。为线段AB的中点，。为坐标原点，则直线。的斜率为（【答案】C【解析】设AaM，3（4儿）厕疗=4知上=4%2,相减得力-父=4%-钠n（乂-必）（凹+必）=4（XF）,由于学干=L=I.所以y+=4,x-x2所以=号=2,将其代入y=x-2中可得=4,所以拉（4,2）,故G=；,故选：C【变式41（2023陕西咸阳高二校考期末）已知抛物线=8x,过点网3,2）引抛物线的一条弦，使它恰在点P处被平分，则这条弦所在的直线/的方程为（）A . 2x-y-4 = 0B . 2x+y-4 = 0C . 2x-j + 4 = 0D . 2x+y + 4 = 0【答案】A【解析】易知直线/的斜率存在，设直线的斜率为3直线/交抛物线于M,N两点,设（内,y）,N（w,%）,则，两式相减得犬-必=8（匹-七）,整理得号=看，1一人2>1十2因为MN的中点为P（3,2）,则一+-=4,所以直线/的方程为歹一2=2"3）即），-2=2（x-3）.故选：A【变式42】（2023湖北高二校联考期中）若抛物线V='上两点A（XQJ,以打必）关于直线y=x+6对称，且FM=T,则AB中点坐标为（）A（414）B.（14）C（三）D.岛）【答案】B【解析】因为抛物线V=X上两点A（,y）,8«,%）关于直线），=”+对称，故A3和直线y=+A垂直,所以江&=_1=亭与=,故+%=mkX1-X2y-y1y+%"X，又MM=T,所以为+%=#+£=（弘+%）2-2丫跖=3,故居中点坐标是（詈,岩），即你夕故选：B【变式43】（2023河北邯郸高二校联考期中）直线/过抛物线y=4x的焦点产，且与抛物线交于A6两点，线段AB中点的纵坐标为1,。为坐标原点，则O到直线AB的距离为（）A.B.遗C.5D.I555【答案】A【解析】由抛物线V=4x得焦点户（LO）,'2A设A（"J,双如必）,则）广，M=4两式相减得#-只=4&72）,bptt=v,2y+%因为线段相中点的纵坐标为1,即乂+%=2,所以斤=2，即L=2，I人2所UlWA8的方程为y=2（x7）,即2%一），一2二0,显然此时直线与抛物线有两交点，所以。至U直线A8的品巨离=导=手，故选：A.题型五抛物线的综合问题例5（2023江西高二校联考期中）在平面直角坐标系MV中,直线/经过抛物线=12x的焦点产，且与E相交于AI两点，直线OB交E的准线于点C.（1）若M=I5,求直线/的方程；（2）证明：直线AC平行于X轴.【答案】（1）2x-y-6=0或2%+y-6=0;（2）证明见解析【解析】（1）抛物线氏1=12x的焦点为尸（3,0）,准线方程为x=-3,设A（XpyJ,8（2,%）,由抛物线定义,得I明=IM+M=%+3+%+3=%+2+6=15,所以=9,当直线/的斜率不存在时，百+%=6,不符合要求,故直线/的斜率存在，设直线/的方程为尸屹-3）,联立方程V=12,得公/_（68+12卜+9公=。，则&+%2=6?2=9z解得k=±2,所以直线/的方程为2x7-6=0或2x+）,-6=0.v12（2）证明：设4（,y）I（wM,则直线。8的方程为），=资,A2y2令X=T,可得先=一?，/2设直线/的方程为X=阳+3,代入方程，得尸-12%-36=0,36所以丫二一36,所以先=一二二M,所以直线AC平行于X轴.【变式51】（2023.浙江高二温州中学校联考期中）平面上的动点PEy）到定点尸（。）的距离等于点尸到直线y=7的距离，记动点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）直线/：y=i+m与曲线C相交于A,B两点，线段AB的中点为M是否存在这样的直线I，使得Mr，M,若存在，求实数m的值，若不存在,请说明理由.【答案】（1）Y=廿；（2）不存在,理由见解析.【解析M1）由题意,动点夕的轨迹是以产QD为焦点，y=为准线的抛物线，故p=2,所以曲线C的方程为炉=4)，.(2)设AaM6(s,yJ,M(%),联立),得f一4工一4?=0,y=x+mH=16+16yz>0,贝("?>一1,故西+W=4,x1x2=-4?所以)#%=4+2？，所以M(2,2+M,又MFA.AB,即?>xl=Tnm=-3,不满足相一1所以不存在满足要求的直线L【变式52】（2023河北高二校联考期中）已知抛物线Cx2=2"Mp>0）的焦点为产，点M为抛物线C上一点，且线段尸M的中点为N(2,|),该抛物线的焦点到准线的距离不大于3.(1)求抛物线C的方程；(2)设点48为抛物线上的动点，若IM=6,当A8的中点到抛物线的准线距离最短时，求项所在直线方程.【答案】(1)=4y；(2)y=争+1或y=-争+1【解析】(1)依题意得尸(0,焦点到准线的距离不大于3,所以P3,设“(2G,由根的中点坐标为N(2,|),P+v,解得+)，_5因为M(%)在抛物线炉=2外,所以16=2p"9gPp2-10p+16=0,解得p=2或p=8(舍)，所以抛物线C的方程为，=4y.(2)如图所示，根据题意直线AB的斜率存在,设直线A8的方程为，设Aa,)3&,必),他中点。优,),y=kx+b,x = 4yk2 +b>0,xl+x2= 4k,X1X2 = -4?,由=X24依-48=0,所以M=F77FI=和+r)(i6+.)=6,贝心二亚丁xl2+石，所以、,二'+)'2=二(+.)22工/二16.+昉二2二|6.02288又因为AB的中点到准线的距离等于%+5=%+l,所以当儿最小时，AB的中点到准线的距离最短.因为=+后-2，当且仅当俨+1)=碓、时，解得当，贝SL所以直线M的方程为y=冬+1或)，=-冬+1.【变式53】(2023上江苏淮安高二统考期中)已知抛物线。：=2他0),直线，：y=2x-4交抛物线C于Al两点，AB中点为M(3,2).(1)求抛物线。的标准方程；(2)记抛物线C上一点P(2,相0,直线0A斜率为勺，直线依斜率为玲，求尢".【答案】(1)八8工；(2)134【解析】(1)设AaM,8(.%),则有卜："；"叱，J2=2p/-得才-y；=2p(x1f)=(y+必)(%-%)Aw均在直线/上，.手9=2,1一42又AB中点为M(3,2),则有y+%=4,代入有4x2=2p,=4.抛物线C的标准方程为/=8-.(2)由题意知P(2,4),设d"jJ4(必L£"M,88同理有&二二，-=Ji+4%+4NM+4(y+m)+16、,2_o联立直线/与抛物线U.14,易得y2-4yT6=0,y=2x-4则有；：；：,代入式有KK=4.【变式54(2023黑龙江.高二统考期中)已知点P(4T)是抛物线Cy2=2px(p0)上一点，直线/与抛物线。交于4,8两点(位于对称轴异侧)，0A0B=5(。为坐标原点).(1)求抛物线C的方程；(2)求证：直线/必过定点.【答案】(I)V=4x;(2)证明见解析.【解析】（1）由题可知，（T）2=2px4,解得P=2,所以抛物线的方程为V=4x.（2）因为A,B位于对称轴异侧，所以/与对称轴不平行，设直线/的方程为=+J4仁.，B学T,且My2<°,联立二：，消去X可得/一4四，-今=0,贝必=16+i6f>0,且y+%=4m,y1y2=-4<0,即经0,所以X喑=/，由OA08=5,得52+VM=5,即一一小=5,解得Z=T（舍去）或Z=5,故直线/的方程为x=m>'+5,所以直线/必过定点（5,0）,得证.