4.3.1等比数列的概念（八大题型）.docx

4.3.1等比数列的概念【题型归纳目录】题型一：等比数列的判断题型二：等比数列的通项公式及其应用题型三：等比数列的证明题型四：等比中项及应用题型五：等比数列的实际应用题型六：等比数列通项公式的推广及应用题型七：等比数列性质的应用题型八：灵活设元求解等比数列问题【知识点梳理】知识点一、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（0）,即：也=4（q0）.an知识点诠释：由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0,因此夕可不能是0；“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数g”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；隐含条件：任一项凡工。且夕HO;“外工0”是数列“成等比数列的必要非充分条件；常数列都是等差数列，但不一定是等比数列.不为。的常数列是公比为1的等比数列；证明一个数列为等比数列，其依据%L=q（"eN",夕0）.利用这种形式来判定，就便于操作了.an知识点二、等比中项如果三个数4、G、b成等比数列，那么称数G为。与b的等比中项.其中G=±旅.知识点诠释：只有当。与人同号即必0时，。与b才有等比中项，且。与b有两个互为相反数的等比中项.当。与人异号或有一个为零即必40时，与6没有等比中项.任意两个实数。与b都有等差中项，且当与。确定时，等差中项C=空辿唯一.但任意两个实数。2与b不一定有等比中项，且当。与b有等比中项时，等比中项不唯一.当成0时，aG。成等比数列=9=2=G?=出?QG=±7.aGC?=而是。、G、6成等比数列的必要不充分条件.知识点三、等比数列的通项公式等比数列的通项公式首相为4,公比为夕的等比数列q的通项公式为：推导过程：(1)归纳法：根据等比数列的定义区=q可得/=”闻(2)：an-.*.a2=WqA；4=出9=(4夕)夕=aQ1=qq=；=a3q=(ClIqI)q=1g3=14,;当=1时，上式也成立，归纳得出：4=%qi(nwN*,a1f0).(2)叠乘法:根据等比数列的定义&=g可得：an-"=q,4=Q>a2*=q,。3an-把以上-1个等式的左边与右边分别相乘(叠乘)，并化简得：%=gM,即=4t52)又0也符合上式.*.an=aq"T(N*,alqO).(3)迭代法：.*.an=a1g"T(eN*,aiqO).知识点诠释：通项公式由首项4和公比“完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了.通项公式中共涉及4、4、勺四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量.等比数列的通项公式的推广已知等比数列七中，第相项为乙，公比为夕，则：证明：F=qq0,amaqm-'4=arnq"f由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式%=%q"（nwN*,alg0）可以看成是m三=l时的特殊情况.知识点四、等比数列的性质设等比数列&的公比为g若m,n,p,qwN.,且相+=+q,则aman=apalt,特别地，当m+=2p时aman=Qp.下标成等差数列且公差为”的项4，4+2-组成的新数列仍为等比数列，公比为“若为,"是项数相同的等比数列，则%、K_1>K（一是常数且比0）、）、（mwM,m是常数）、,r也、%也是等比数列；连续2项和（不为零）仍是等比数列.即耳，SVi-Sk,S-S”，成等比数列.知识点五、等比数列中的函数关系等比数列4中,4=4T=21,若设C=幺，则：ancqnqq（1）当¢/=1时，a.=c,等比数列6）是非零常数列.它的图象是在直线y=C上均匀排列的一群孤立的点.（2）当夕>0且g工1时，等比数列q的通项公式q=cq"是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线y=色（"0且夕HI）上的一些孤立的点.q当4>1且4>o时，等比数列凡是递增数列；当q>l且q<0时，等比数列仅“是递减数列：当0<q<l且4>0时，等比数列%是递减数列：当0<夕<1且4<0时，等比数列,是递增数列.（3）当夕<0时，等比数列6是摆动数列.知识点诠释：常数列不一定是等比数列，只有非零常数列才是公比为1的等比数列.【方法技巧与总结】等比数列常用的两种解题方法1、基本量法（基本方法）（I）基本步骤：运用方程思想列出基本量4和9的方程组，然后利用通项公式求解；（2）优缺点：适应面广，入手简单，思路清晰，但有时运算稍繁.2、性质法（利用等比数列的性质解题）（1）基本思想：充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题；（2）优缺点：简单快捷，但是适应面窄，有一定的思维含量.【典型例题】题型一，等比数列的判断例1.（2023全国高二随堂练习）将公比为夕的等比数列6,%，%，依次取相邻两项的乘积组成新的数列“2%，.此数列是（）.A.公比为4的等比数列B.公比为q2的等比数列C.公比为q3的等比数列D.不一定是等比数列【答案】B【解析】设新数列为也,则b0二44”因为q为等比数列，故见工0,故b,产0,而3=也1=q2,故也为等比数列且公比为Dn-Ian-an故选：B.例2.（2023高二课时练习）已知数列%是等比数列，下面的数列中必为等比数列的个数是（）阈%+一四A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】设等比数列q的公比为g（q）,2/2对于，Q=4=力，.数列忖为等比数列，正确；a"/对于，当“=-1时，cn+a,l+l=0,此时数列4+4t+J不是等比数列，错误；1对于，QL=.=L数列上为等比数列，正确；±%+qIAJan对于，W=2%-%=24（i）,当夕工1时，2%不是等比数列，错误故选：B.例3.（2023贵州黔东南高二校考阶段练习）数列1,1,11,必为（）A.等差数列，但不是等比数列B.等比数列，但不是等差数列C.既是等差数列，又是等比数列D.既不是等差数列，也不是等比数列【答案】C【解析】数列1,1,1,，1,是公差为0的等差数列，也是公比为1的等比数列.故选：C.变式1.（2023江西南昌高一校考阶段练习）如果数列%是等比数列，那么（）A.数歹jlgq是等比数列B.数列2""是等比数列C.数列吗是等比数列D.数列4是等比数列【答案】C【解析】对于C设等比数列”的公比为4（q0）,则乎=4,->/2所以攀=21j=夕2为非零常数，则数列d是等比数列，故C正确；a2"对于ABD,取&=2",则,=F=2,数列,是等比数列，则4=1,«2=2,%=4,Igfl1=0,lg2=lg2,lgd3=lg4,所以0g%）2lg4lg43,则数列lg%不是等比数列，故A错误而2例=2，2“2=4，23=16，显然啰了工2”2的，所以数列2%不是等比数列，故B错误.而4=1,2%=4,3%=12,则（物）2工4乂36，所以数列q不是等比数列，故D错误.故选：C.变式2.（2023上海虹口上海市复兴高级中学校考模拟预测）数列%中，"4.1=2可”是"是公比为2的等比数列'的（）.A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】对数列,%=2%,若=。，则可得出=%=%=0,此时可）不是公比为2的等比数列；若%是公比为2的等比数列，则为l=2,即%.产24，故n+=2凡”是“%是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件，故选：B变式3.（2023高二课时练习）已知qt是公比不为1的等比数列，则以下数列：心为；4；an+l;；卜其中等比数列的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】设等比数列SJ的公比为4（q0,qHl）,则尸0,竽=4'对于,因为养=2册“口=收%不是常数，所以2“"不是等比数列，故不正确；2/对于，察=TJ=为非零常数，所以忖是等比数列，故正确；对于，%1=q为非零常数，所以4+J是等比数列，故正确；a"+对于，$为非零常数，所以2q是等比数列，故正确；I对于，为非零常数，所以,是等比数列，故正确.±-qanan故选：D【方法技巧与总结】一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（0）,即：-=q（qO）.an题型二：等比数列的通项公式及其应用例4.（2023高二课时练习）在等比数列勺中，已知6=-3,q=2,求牝;已知4=,q=2,勺=16,求；(3)已知4=g,a1=9,求q；3(4)已知夕=-,a4=-27,求a.【解析】(1)等比数列4中，。尸一3,q=2,贝J6=-324=-48(2)等比数列a,J中，4=1,4=2,art=16,由M=I6=1x2"，可得=5.(3)等比数列q中，q=g,%=9,rtl7=9=×,可得g=i3T.(4)等比数列q中，=-,«4=-27,由包=-27=(-1)%,可得4=8.例5.(2023.高二课时练习)等比数列q满足：+a="，9=三，公比六(。).求qj的通项公式.32【解析】由4+4=U，且q=aq=瓦，13232I则解得4=，以=岸，或4=*又公比”(0)，则数列叫为递减数列，aU321l132szfi1所以4="'4=5，则3=",'得。=5，则4吾=户"所以数列q的通项公式为可N"".例6.(2023全国高二专题练习)已知数列qJ的前项和S”满足：2S,=3&-1),N*.求可的通项公式；【解析】由已知2S”=3(ql1N*,当=1时，251=3(a1-1),解得a1=S=3,当2时，25m-i=3(1-1),则2a“=2S"-2Sl=3(6zm-1)-3(-1)=34-%小,即可=3%,所以数列4是以4=3为首项，3为公比的等比数列，所以a”=3x3”"=3”.变式4.(2023高二课时练习)已知数列(为等比数列.若4=3,4=-2,求%;(2)若%=20,“6=160,求%和q；(3)若e-4=15,a4-a2=6,求内.【解析】(I)因为数列4为等比数列，且6=3,q=-2,所以4=4夕'=3×(-2)5=-96,(2)因为生=20,4=160,所以卜解得=5应=2,aq=160(3)因为%一4=15,a4-a2=6,所以W二二2aq-a1=6由题意可知qH±1,所以-z1=g,所以"=£，解得夕=2或q=J,q(q-1)2q22当g=2时，4=1,所以生=1x2?=4,当4=g时，4=一16,所以3=T6x(g)=-4,综上%=4或6=-4变式5.(2023高二课时练习)已知数列“是公比为g的等比数列.若4=2,%=54,求q的通项公式;(2)若4=125,g=0.2,an=3.2×104,求.【解析】由等比数列的通项公式可知，|“”2一,W=54两式相除得才=27,即q=3.所以因此，这个数列的通项公式是q二：x3i=2x3"2.(2)因为OI=I25,4=0.2,所以a"=oq"=125x12)=54-".又4=3.2x10t=3.2x24x54=5-s,因此5""=5一。即=9.变式6.(2023西藏拉萨庙二校考期中)在等比数列qr中,(1)已知4=3,q=2,求出；(2)已知=10，4=80,求afi.【解析】(I)因为%是等比数列，且6=3,<7=2,所以4=alq4=32,=48(2)因为q是等比数列，设公比为机，所以%/=1Ow3=80=>/W=2,故4=为2"-3=10X211-3=5×2n2.【方法技巧与总结】等比数列的通项公式涉及4个量“，见，q,只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，4和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解.题型三：等比数列的证明例7.(2023黑龙江鹤岗高二鹤岗一中校考期中)已知数列他,满足4=3,an-an-+3w+15n-18(2)(1)求02(2)若a=4萨+1，求证数列”是等比数列并求数列("的通项公式(3)求数列2的通项公式【解析】(1)取=2,M2=61+32+15×2-18=39.(2)V=+l,又,r=64+3"+15”18,.*.an+3=6(,1+3(w-l)+3rt,.+3n-6(a.l+3(w-l) » .3”.q+33.3w,3”+ 1 = 2(3"T+ 1).=2,1(n2)f又.9=30,.,0,/=2,数列4是以4=3公比为2的等比数列,=32rt,(3) =Ml = 32"3”.%=96"T-3"-3”例8.(2023广东佛山高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同，公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为勺万元.(1)用"表示可与。2，并写出以“与的关系式；(2)求证：当d1000时，数列4-2J为等比数列，并说明d<1000的现实意义；(3)若公司希望经过5年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的近似值(d取整数).【解析】(I)依题意，=2000(1+50%)-d=3(XX)-d,%=q(l+50%)-d=4500-d,4+1=%Q+50%)-d=I-d.33(2)由(1)知，an=-an-d,则用-2"=5(凡2d),当d1000时，42d=30003d工0,所以数列4-2d是以6-2d为首项，；为公比的等比数列，当dvl000时，q=3000-d>2000,才能保证每年投入生产高于2000万元.(3)由(2)知，数列«2d是以4-2d为首项，为公比的等比数列，因此见一2d二(3000-3)(),即4=(3000-3d)(),+2d,由6=4000,得(3000-3d)(*+2d=4000,解得=122室/2«848,235-25所以企业每年上缴资金d约为848万元.例9.(2023福建福州高二校考期中)在数列%中，已知4=1,44.=(;),记S为“的前项和，hn=a2n+a2n-l，WN*.(1)判断数列也是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列4的通项公式.【解析】(1)因为4.%=(,所以F=,所以=，422又4=1吗=3，所以。2=3，所以“川二”+2+。2的=5%5二1,aIn+2-l所以也是以4=%+4=T为首项，公比为T的等比数列,（2）由（1）知勺+2=；/，所以4吗吗，是以4=1为首项，/为公比的等比数列;出，火，6，是以W=g为首项，公比为T的等比数列，变式7.（2023北京丰台高二统考期中）已知数列满足4=3,且。川=%”-4.（D设数列色满足d=4-2,证明：列是等比数列;（2）求数列为的通项公式.【解析】4=4-2=1,也=4-2,an+i=3an-4,+=。”+1-2=（3z,-4）-2=3（4-2）=3bnf因为2工0,故以工0,4ih=3.ix电是首项4=1,公比4=3的等比数列.（2）由（1）知，bn=3ni,又d=。”-2,所以4-2=3"，所以4=3"T+2.故数列”的通项公式为%=3,+2.变式8.（2023福建宁德高二统考期中）已知数列"J中，q=l,+=.4十1求证：'+J是等比数列，并求/的通项公式：（2）若不等式”八（2-5乂3"-1）对于£1*恒成立，求实数/1的最小值.【解析】由=-,6=1可知，%>0,所以可得-=%1=1+工即一+。=3仕+：%+3J%4ani2an211八111113三-+>,所以(一+彳卜是以一+彳二彳为首项，3为公比的等比数列，a112an2Jq22IlaV9所以丁丁于3小于所以3足.(2)不等式QN(2-5乂3"-1)对于£于恒成立,邛一1Z、即2向×±-±.(2-5)(3-l)对于N*恒成立，2一5即lWM对于wN恒成立.设小)=竽，由5+)-(")=昔-竽=贯，当3时，/(h+1)-（三）>0,即5+l)>5),即"l)<(2)v(3)v(4),当4时，/(h+1)-（三）<O,即/(+I)V/()，即/(4)>"5)>，(6)>1,所以/(4)最大，/(w)(4)=-,Io33所以;13,故的最小值为3变式9.(2023高二课时练习)数列4中，6=2,%=3,且qq+J是以3为公比的等比数列，记bn=azci2"(£").求4、6、/、4的值；(2)求证：是等比数列.【解析】(I)由数列6中，6=2,a2=3,且数列/“+J是以3为公比的等比数列，可得凡4+1=63"-,则02a3=6x3=18,解得%=6,又由44=6x32=54,解得4=9,同理可得%=电6=27.(2)证明：由可-=63",可得/M+2=63",则乎=3,所以数列仆的奇数项与偶数项分别构成等比数列，且首项分别为2,3,公比为3,所以a2n,1=2×3w-,2=3×=3",因为勿=%,“+/”，所以界二%一+生+2=；X：33且=1+2=5,r+%2x3”I+3”所以数列是首项为5,公比为3的等比数列.3变式10.（2023甘肃张掖高二高台县第一中学校考阶段练习）已知数列&的首项4=1,6+=MrJ*n证明：数列P为等比数歹J;1（2）求数列4的通项公式.【解析】（1）因为L=W*+1=、+白,所以一一I二P-4+13%33凡4+1343所以数列，-1»是首项为I,公比为g的等比数列.由W-1=×'所以（>=筝口”当【方法技巧与总结】I、定义法：S=q（常数）=q为等比数列；an2、中项法：at+i=anan+2（an0）=>。”为等比数列；3、通项公式法：an=kqlt（kt夕为常数）=4为等比数列.4、构造法：在条件中出现。”+|=也,+b关系时，往往构造数列，方法是把q+x=A（4,+%）与4+1=M+b对照，求出X即可.题型四：等比中项及应用例10.（2023新疆巴音郭楞高二八一中学校考期中）数1与4的等差中项，等比中项分别是（）A.±,±2B.±,2C.,2D.一,±22222【答案】D1 +45【解析】根据等差中项的定义可知，1与4的等差中项为野=1：2 2根据等比中项的定义可得，1与4的等比中项G满足G2=1x4=4,G=±2.故选：D.q=2,则%与血的等比中例11.（2023甘肃酒泉.高二敦煌中学校考期中）在等比数列4中,项是（）A. ±4B. 4D. -4【答案】A【解析】由己知4% = 4?所以4与4的等比中项是±4,故选：A例12.（2023上海闵行高二上海市七宝中学校考期中）己知等比数列“,叼吗。是方程73x+14=0的两个实数根，则牝的值为（）.LL1313A.±54B.y4C.±D.【答案】B【解析】由题意可得为+4q=13,%=14,且数列qj为等比数列，设其公比为4，则44+"：3,闻。_5=aq.aq9=4aqaxq=14V故选：B.变式11.（2023陕西西安高二校考期中）若©Ac为实数，数列-1,ahc,-25是等比数列，则的值为（）A.5B.-5C.±5D.-10【答案】B【解析】根据题意，设该数列的公比为外则有b=（T）=-q2y-25=bq2,联立可得：b=-5.故选：B.变式12.（2023贵州高二校联考期末）已知力,c三个数成等比，且1和4为其中的两数，则的最小值为（）A.1B.-2C.2D.4【答案】B【解析】C三个数成等比，且1和4为其中的两数e则b2=ac.若b为1、4其中一个.则6=1或b=4,Kb不为1、4其中一个则=1X4=4,解得力=±2,b的最小值为-2故选：B.变式13.（2023山东潍坊高二统考期末）设外,生,%，4是各项均不为零的等差数列，且公差dwO,若将此数列删去出得到的新数列（按原来的顺序）是等比数列，则?的值为（）A.JB.-C.-D.I642【答案】B【解析】根据题意，知生,成等比数列，则Y=%q,则（4+2d）?=ay（1+3d）na：+44d+4J2=a；+3ald=>4J2=_Old,dw,.4d=-q,则己=.44故选：B.变式14.（2023上海普陀高二曹杨二中校考期中）已知-4,T四个实数成等差数列，4,4，1三个正实数成等比数列，则马=（）D. ±2A.；B.-C.±-222【答案】A【解析】设-4,6，生，T四个实数所成等差数列的公差为d，-1-(-4)则由题意可得a-3=>d=ybl=±2,42=4×1又伉为正实数，故望L=故选：A【方法技巧与总结】（1）由等比中项的定义可知C=2nG2=MnG=±疝，所以只有m匕同号时，小。的等比中项aG有两个，异号时，没有等比中项.（2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项.（3） ,G,匕成等比数列等价于G?=出?（必>0）.题型五：等比数列的实际应用例13.（2023浙江宁波高二镇海中学校考期中）2023年10月1718日，第三届“一带一路”高峰论坛在北京举行，有150个国家、92个国际组织的外宾参与论坛.从2013年到2022年，中国与共建“一带一路'国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为万亿美元，则2022年进出口累计总额（保留1位小数）约为（）.参考数据：1.06481.64,I.06491.75,1.0641°1.86,1.064"1.98A.万亿B.万亿C.万亿D.万亿【答案】B【解析】依题意，从2013年到2022年的每年进出口累计总额依次排成一列构成等比数列/,其中q=10.9,公比g=l+6.4%=L064,所以2022年进出口累计总额为,=q=109l0649109L75y19.1（万亿）.故选：B例14.（2023浙江杭州高二统考期末）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制.”十二平均律''将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于蚯.而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.若第一个单音的频率为f,则第四个单音的频率为（）A.5/B.24C.4/D.f【答案】B【解析】由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为一,公比为它的等比数列q,第四个单音的频率为4=x（版）3=2：/-故选：B.例15.（2023浙江宁波高二统考期末）取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留下剩下的两段；再将剩下的两段分别分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在第次操作中去掉的线段长度之和不小于工，则的最大值为（）oU（参考数据：1.57«17.1,1.58«25.6J5938.4,15°57.7）A.7B.8C.9D.10【答案】B【解析】第次操作去掉的线段长度为:，21第二次操作去掉的线段长度之和为第三次操作去掉的线段长度之和为*,第次操作去掉的线段长度之和为则图30,因为g>l,所以指数函数y=（g为增函数，Xl.5825.6,159«38.4,eN'，所以=8,故选：B.变式15.（2023黑龙江哈尔滨高二哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）某种细菌在生长过程中，每10分钟分裂一次（由一个分裂为两个），经过2小时后，此细菌可由一个分裂成（）A.2"-1个B."一1个C.2"个D.产个【答案】D【解析】依题意，10分钟后细菌的个数为2个，20分钟后，细菌的个数为22个，每过10分钟细菌数晟变为原来的2倍，所以2小时后，即为120分钟后，细菌的个数应为产个.故选：D.变式16.（2023安徽高二校联考开学考试）某高科技企业为一科技项目注入启动资金100O万元作为项目资金，已知每年可获利20%,但由于竞争激烈，每年年底需要从利润中取出100万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过年后，该项目资金达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标，则的最小值为（lg2=0.3,lg30.5）（）A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】由题意设经过及年后，该项目资金为6万元，则q=1000（1+20%）IOo=Il00,且4讨=可（1+20%）100=Ba“TOO,得4+500="a,500）,得 ,t-500 = (% 一 500)X0H'=5-2-6-5 - =15 - 26-5Og曰-所以令500+600X(三)22000,Igl-lg2-lg2Ig2+lg3-(lgl-lg2)r>21g2N21g2+lg3-l'所以至少要经过5年，项目资金才可以达到或超过翻番的目标.故选：B【方法技巧与总结】等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题.题型六：等比数列通项公式的推广及应用例16.（2023全国高二课时练习）在等比数列qj中，公比#1,若atn=P,则。=.【答案】Pqn【解析】等比数列4中，公比"1,所以的=q"=m"故答案为：pqn.例17.（2023全国高二单元测试）已知数列%满足4=；,（V八N.）,则.【答案】i64【解析】因为4且4=；，所以令帆=1，则4+1=44=34,即数列%是首项为3，公比为T的等比数列，所以4=D；出"，故%=©=*.故答案为：64例18,（2023广西平桂高中高二阶段练习）数列叫是等比数列，且=4,09=64,则%=【答案】16【解析】设,的公比为心则/=&=二=16,.=4,.%=4.q2=4x4=16.64故答案为：16.变式17.（2023全国高二课时练习）已知数列&满足2（4+1）=4x+1,且=2,则%=.【答案】47【解析】4加+1=2（4+1）,数列4+l是公比4=2的等比数列，.6+1=24（2+1）=48,*4=47.故答案为：47变式18.（2023江苏高二专题练习）在等比数列4中，存在正整数有4=3,品.24,贝血.=【答案】1536【解析】由题意知炉=4il=8,则4,-15=a"W'=3x8=1536.故答案为：1536【方法技巧与总结】（1）应用可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求4（2）等比数列的单调性由4,4共同确定，但只要单调，必有4>0.题型七：等比数列性质的应用例19.（2023全国高三专题练习）已知两个等比数列叫，也的前项积分别为4，Bnt若令=3,则=Bs-【答案】243【解析】根据题意，等比数列4,但的前项积分别为4，Bnf则A5=aya2a3a4a5=a；,B5=blb2b3b4b5=bf,故今=号=3，=243.故答案为：243.例20.（2023黑龙江哈尔滨高三哈师大附中校考期中）在正项等比数列4中，若包4=2,则Iog2%+2Iog24+Iog2%=.【答案】2【解析】在正项等比数列4中，因为a=2,可得。；=出0=的8=2,贝IJlOg2a2+2Iog24+Iog24。=lg2Ko+1°g2al=l°g22+loS22=2故答案为：2.例2L（2023江西南昌高三江西师大附中校考阶段练习）己知数列q为等比数列，且生氏+2娼=兀，则31（4%）=【答案】3【解析】由“为等比数列，则%=A，又2。6+24=兀，则3d=,即片=所以tan(a?%)=tanM=故答案为：小.变式19.（2023重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知在等比数列4中，4。是方程x2-13x+14=0的两个实数根，则6=.【答案】U【解析】Va2,%是方程2_i3x+14=0的两个实数根，,/+40=13,6r2a10=14,故生0,曲）0，根据等比数列的性质有：a；=4/=/且,=/0，故=V14.故答案为：JrT变式20.（2023河北邢台高三邢台一中校考阶段练习）若4为等差数列，S”是其前项的和，且77-25.1, y,也为等比数列，媪H=则tan®+"）的值为.【答案】21333【解析】%为等差数列，S”是其前项的和，且由性质知4+的=26，.Q11(4+“II).I22Anzn2S=lia6=-,解得：a6=-/DD为等比数列,由性质知，.7=y,解得：=±.当时，tan(f6+) = tan2 _ T2当4=5时，tan(¾+)=tany÷j综上，tan(6+)=y.故答案为：丑.3变式21.(2023安徽六安高三六安一中校考阶段练习)已知函数，。)=/，数列为等比数列,%>。，4(H2=1,/(lna1)+(ln02)+(ln0t)+(ln)=.【解析】因为/(x)=J,所以/()+f(T)=3+:1=1.e+1e+1e÷1又因为数列4为等比数列，4>0,2=1所以2023=22O22=IOI2=1，所以In4+In2023=In4+In%O22=2ln2=O设S2023=FOnaJ+/(Ina2)+(ln43)+/(Ina2023)M=(ln)+0n2)÷(lnj21)+(ln)(l)2023由+得：2S2023=2023所以Sz023=管2023故答案为：华变式22.(2023河南周口高二校联考阶段练习)若等比数列4满足4+%+%=7,%+4+%=28,则a5+a6+ai=.【答案】112【解析】a3+a4+a5=<f(al+a2+a3)f故7/=28,解得新=4,故+%+%=2(¾+6f4+dr5)=4x28=112.故答案为：112变式23.(2023云南昆明昆明一中校考一模)己知等比数列4的各项都是正数，%=1,%4=9,则4的公比为.【答案】3【解析】由等比数列卜.标的性质且q的各项都是正数，可求得的,再由。2="，求得答案.因为q为a5各项都是正数的等比数列，所以由%为=5=9,得%=3且/=2=3.,则g=Ja5故答案为：3变式24.(2023辽宁锦州高二统考期末)在由正数组成的等比数列4中,4+%=1，%+%=4,则%+以=一【答案】16【解析】设等比数列的公比为贝,>0）,则/=色詈=4,所以=g2（4+4）=16.故答案为：16.变式25.（2023北京高二中央民族大学附属中学校考期末）在等比数列4中，若生+氏=4,5+fi7=16,则/+J。=.【答案】64【解析】设等比数列q的公比为9，因为。2+4=4,a5+a7=16,所以/+4=（4+j=16,可得a，=4,所以+4°=/（6+%）=4x16=64.故答案为：64.变式26.（2023江西高三校联考开学考试）己知正项等比数列q的前项积为若I是聋中唯一的最小项，则满足条件的q