4.1数列的概念（8大题型）精讲.docx

数列的概念重点：1、理解数列的概念；2、掌握数列的通项公式及应用；3、掌握数列前项和的概念,能由Sn求an难点：1、理解数列是一种特殊的函数；2、能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式；"数列的概念及表示方式1、数列的有关概念数列按一定次序排列的一列数叫做数列项数列中的每一个数叫做这个数列的项首项数列的第1项常称为首项通项数列中的第项叫做数列的通项2、数列的表示(1)-形式：,。2，。3，an1(2)字母表示：上面的数列也可以记为%注：。”是数列的第项，也叫通项。3、数列的通项公式(1)通项公式：如果数列q的第项氏与之间的函数关系可以用一个式子表示成q=/()，那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.(2)递推公式：如果已知数列,的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项。与它的前一项-M或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.二、数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列>4其中nN+递减数列%<册常数列=4摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列三、数列的函数性质1、数列可以看成以正整数集N+(或它的有限子集1,2,，)为定义域的函数为=/()，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.2、数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。3、判断数列的单调性的方法(1)作差比较法：%+为。0数列。是递增数列；。“+勺。=数列叫是递减数列；。M-q=。0数列4是常数列.(2)作商比较法：i.当凡()时，则配1=数歹Iq是递增数列；智1=数列凡是递减数列；T=S数列间是常数列；ii.当qO时，则黄1=数列包是递减数列；乎10数列%是递增数列；誓=Io数列%是常数列.(3)结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去.四、求数列最大(小)项的方法(1)构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项.(2)利用卜,求数列中的最大项；利用卜”求数歹仲的最小项%.Ia%当解不唯一时，上徽各解大小即可确定.五、由数列的前几项求数列的通项公式(1)各项的符号特征,通过(-1)"或(7)向来调节正负项.(2)考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系.(3)相邻项(或其绝对值)的变化特征.(4)拆项、添项后的特征.(5)通过通分等方法变化后，观察是否有规律.【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法，蕴含着“从特殊到一般”的数学思想,由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的.六、数列的通项即与前项和S的关系当=1时/若适合S-S,则=1的情况可并入2时的通项/；当=1时，0若不适合Sn-Sn_x,则用分段函数的形式表示.题型一数列的概念与分类【例1】（2022.高二课时蠢习）下歹I说京苗;而痴式）A.数列135,7可表示为集合1,3,5,7B.数列1,。，7,-2与数列-2,T（M是相同的数列C.数列号1的第攵项为1+5D.数列（U,2,3,4,可记为【答案】C【解析】由数列定义知A错；B中排列次序不同，错误；k+1C中第k项为-=1+2,正确；D中N,错误.故选：CKK【变式11】（2023黑龙江鸡西高二鸡西市第四中学校考期中）下列结论中，正确的是（）A.数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集9JM）上的函数B.数列的项数一定是无限的C.数列的通项公式的形式是唯一的D.数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15,不存在通项公式【答案】A【解析】对于A,由数列定义知，A正确；对于B,数列123,4,5只有5项，该数列项数有限，B错误；对于C,数列Tm.的通项公式可以为凡=（T）I也可以为丘N*,该数列通项公式不唯一，C错误；-,n=2k-对于D,该数列的通项公式可以为"=/，&cV,D错误.故选：AW,fl=2k【变式12】（2022高二课时练习）若数列也的通项公式为4,=4-5,则关于此数列的图像叙述不正确的是（）A.此数列不能用图像表示B.此数列的图像仅在第一象限C.此数列的图像为直线，'=4x-5D.此数列的图像为直线，=4x-5上满足.eN的一系列孤立的点【答案】D【解析】数列4的通项公式为q=4"-5,它的图像就是直线y=4x-5上满足eN”的一系列孤立的点.故选D.【变式131（2022.吉林白山.高三抚松县第一中学校考阶段练习）现有下列说法：元素有三个以上的数集就是一个数列；数列1,1,1,1,是无穷数列；每个数列都有通项公式；根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数.其中正确的有（）.A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】对于，数列是按一定次序排成的一列数,而数集的元素无顺序性，不正确；对于，由无穷数列的意义知，数列1,1,1,1,是无穷数列，正确；对于，不是每个数列都有通项，如拒按精确度为0,00i,000L0.0001，得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，不正确；对于，前4项为1,1,1,1的数列通项公式可以为4=1，WN,bn=cos2neN*等,即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，不正确；对于，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数，不正确,所以说法正确的个数是L故选：B题型二由数列的前几项求通项【例2】（2023.山东青岛高二统考期中）写出数列*号的一个通项公式4,二（）A.工B,-C.工D工2/1-12n-2+l2+1【答案】B【解析】数列0*，号，则其分母为2"一，分子为2-1,则其通项公式为工.故选：B【变式21】（2023湖北武汉高二校联考期中）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，可以得出第8个图有个点.【答案】57【解析】根据题意，图（1）中只有1个点，无分支；图（2）除中间一个点外,有两个分支，每个分支由1个点；图（3）除中间一个点外,有三个分支，每个分支由2个点;图（4）除中间一个点外，有四个分支，每个分支由3个点，则第个图形中除中间一个点外，有个分支，每个分支有n-1个点,第个图形中有1+（T）个点，故第8个图形中有1+8x7=57个点.57【变式22】（2023甘肃张掖高二高台县第一中学校考阶段练习）数列助：1,-3，-oIjQ*,的一个通项公式是（A 可=（7严黑SeNj c.n +2nB'"5t*("cN.)Dig 产*5E)【答案】D3579【解析】观察数列皿各项,可写成：示，一大，6，一会，I3选项D满足，选项A中，4V,选项B中，4=；,选项C中，4=g,均不符合题意.故选：D【变式23（2023上高二课时练习）写出下面数列的一个通项公式：（1）1212UI'2'4'8'16'32'（2）1,-y2,3,->4ly5,J(3)6,66,666,6666,66666,；（4）2,0,2,0,2,.【答案】（1）竽；（2）%=户/（3）"4（10"-1）=01）；（4）=（-l,÷l;【解析】（1）该数列的分子成公差为2的等差数列，分母成公比为2的等比数列，则an=2"；（2）该数列是正负交错的摆动数列，被开方次数依次递增，故为=（-1广4;（3）9,99,999的一个通项公式为4=10"-1；则6,66,666的一个通项公式为(10T)=I(IoJ);(4)1,1,1,1,1,.的一个通项公式为.=(T)Z,则2,0,2,0,2,的f通项公式为，=(-lf+1.题型三写出或判断数列中的项【例3】(2023甘肃酒泉高二敦煌中学校联考期中)已知数列%的一个通项公式为a“=(T)”2"+，且仆=-5,则实数”等于()A.1B.3C.-1D.-3【答案】B【解析】因为q=(T)"2+*=-5,所以一23+=-5,解得。=3.故选：B.【变式31】(2023广西河池高二统考期末)已知数列的通项公式为勺=*,则下列数是该数列中的项的是()A.7B.8C.9D.10【答案】D【解析】对于A,令/+1=7,解得：=±N*,故A不正确；对于B,令+1=8,解得：=±7eN*,故B不正确；对于C,令2+1=9,解得：=±2应任N*,故C不正确；对于D,令/+1=10,解得：=3或髯=-3(舍),故D正确.故选：D.【变式32】(2023.新疆高二校联考期末)已知数列t"-6,2l氐，则该数列的第100项为()A.10B.-10C.-11D.1T【答案】A【解析】由题意知：该数列的通项公式为4=(T)"/,X)=(Tr)X三=10故选：A.【变式33】(2023上高二课时练习)已知无穷数列1x2,2×3,3×4,.,9+1)，.(1)求这个数列的第1。项和第31项.(2)420是不是这个数列中的项？如果是，是第几项?(3)证明：60不是这个数列中的项.【答案】(1)4。=11。，%=992;(2)420是这个数列中的第20项;(3)证明见解析【解析】(1)因为无穷数列1x2,2×3,3x4,(+1),.,所以该数列的通项公式为4=必什D，贝4o=10x(10+1)=110,%=31x(31+1)=992.(2)因为为="("+l),将420代入，得(+1)=42。,解得=20或=-21(舍去)，所以420是这个数列中的第20项.(3)因为。“二(+1),将60代入，得心+1)=60,BP+-60=0,解得=_g+与(负值舍去),又"N,故=-：+写也不满足题意,所以60不是这个数列中的项.题型四根据递推关系求通项【例4】(2023.全国高二专题练习)根据条件,确定数列叫的通项公式.6=2,%=%+n(l+:(wN,).【答案】【解析】+ lnf 1 + l÷-=ln其中生二+Inf 1+1= 2 + ln2； an =(47-a”_J+(4i-4一2)+(生一生)+生= In-+ ln-!- + + ln- + ln2 + 2 = 2 + In ×-××-×2 | = 2 +Inn n-n-22n- n-22)("2).又4=2适合上式，故.=2 + hw (wN.).【变式41】(2023河南南阳高二校考阶段练习)已知数列叫的项满足凡+|=黑”，而q= ,贝IlqI【答案】B【解析】由所以含t 2B ( +1)2w-lDT所以2f，, ' ul u2 u31 2 3=XX-XX3 4 5% 二八一2an-2 nn-2 n-X n/2 + 1a n-1=i ,(,* n + , v i,因为4=1,所以凡二2因为q=满足上式,所以凡=花石，故选：B【变式42（2023全国高二课时练习）数列/中，对所有的2都有-4,贝!%+%=（）A旦BCDA-16b-9°.16°-15【答案】A【解析】由2,axa2a7,勺二标得九与时，小。小=（T）I2因此当3时，见=7,故"，%=4,所以/+%=2,故选：A（/I-I）Io4Io【变式43】（2023.重庆九龙坡.高二重庆市渝高中学校校考期末）数列4满足q=T,且“向二（1+：卜"+：（£”），则等于（）A.19B.20C.21D.22【答案】B【解析】根据题意,数列以满足q,且=（i+%+；（wn*）,r11÷L=l+?(wN*)即+1nn(n+),222=n(n+1)n+1则有，=-÷-+(T-T)+T则4=-2(2)f故%=22-2=20;故选：B.题型五由数列的前项和求通项【例5】（2023浙江绍兴高二校考期中）已知数列叫的前项和邑=3、8",则数列叫的通项公式为.【答案】12,n = 16 + 5, 2【解析】由数列叫的前项和为S.=3+8"l,当2时,可得勺=5.-5小=32+8+1-3(-1)2+8(-1)+1=6+5;当=1时，q=S=12I?n=I右>TJftI04【变式51】（2023甘肃张掖高二高台县第一中学校考阶段练习）已知数列也满足2+L+4=3"+z则数列间的通项公式为.【答案】 =4, = 12×3ni + l,n2当2时，+L+.,=3-,+-1,因为仇+H+L+bn=y+n,所以两式相减可得a=3"+-(3Z+T=2x3M+1；显然伉=4不满足上式，缀t可得=2×3",+l,n>2'【变式52】(2023四川校联考三模)已知数列满足汨+22/+23%+2Z="2",则的通项公式为()l,w=1+11,=1ALi2B.”丁C.D.【答案】B【解析】当=1时，有羽=12,所以4=I,当2时，由2q+2202+23q+2Zr=-2",+2÷2305+÷2m-,1=(i-1)2m-'r两式相减得2%=2-(-1"-=(+1)2、此时，4=等，4=1也满足，所以“的通项公式为。”=等.故选：B.【变式53】(2023全国高三专题练习)记数列q的前项和为S”，已知4=1,3Sll=叫一则为=_【答案等2【解析】由已知可得，S=an+l.当M=I时，51=-=6z1=1,所以4=3;当2时,有StT=当LrJ,5"这4+1,两式相减得，%=KU-,所以可“二4”.所以有=1,%=3，,Lan=-an,iln23n-两边同时相乘可得，aia2a3a4an=1×3××-×%=""47%'Ql,ZJ一/TZ整理可得，见=心罗.当=1时，4=竽=1,满足该式，电=竽=3,满足该式，4w(n÷)故4=.题型六数列单调性的判断【例6】(2023.辽宁朝阳高二建平县实验中学校考阶段练习)已知F-6=5("N),则数列也是()A.递增数列B.递减数列C,常数列D.不确定【答案】A【解析】由题意可知-q=11>O("N),即从第二项起数列4的每一项比它的前一项大，所以数列%是递增数列；故选：A【变式61】(2023上.甘肃白银.高二甘肃省靖远县第一中学校联考期中)若数列不是单调递增数列，但数列是单调递增数列，则称应是7数列.下列数列不是7数列的是()A.2丘2B.(f"C,D,【答案】D【解析】当4=20-2时，如是单调递减数列，同=U，因为同-同=4应-6VO,当2时,忸-2闾单调递增,所以旧1是单调递增数列，所以20-2是7数歹I，故A错误；当4=(T)"时，易知()"不是递增数列，因为I(T)I=4",所以M|是单调递增数列，所以(T是T数列,故B错误；因为，所以是递减数列，ZnZyn)Zn因为嵋-“中T“,且同是单调递增数列，所以是丁数列，故C错误；所以WI不是单调递增数列，不是T数列，故D正确.故选：D【变式62(2023广西桂林高二统考期末)数列的通项公式为勺=、如，那么人-1”是%“为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当AN-I时,m+i=(n+l)2+k(n+l)-n2-h=2n+k2n>0,数列凡为递增数列，充分性成立；当数列4为递增数列时，n÷-n=(n+)+k(n+)-n2-kn=2n+k>0,>>一(窃+1)恒成立,又一(2+I)L=-(2x1+1)=-3,.>-3,必要性不成立；,m，是他为递增数列，的充分不必要条件.故选：a.【变式63】(2023.北京怀柔.高二统考期末)数列的通项公式为为=()2(=12),若上是递增数列，则义的取值范围是()A.1,-h×>)B.(1+Iog2e,3)C.(-<»,1+log2eD.(-,3)【答案】D【解析】因为数列4的通项公式为4=(4)2"5=1,2,),且叫是递增数列，所以an<4+1对于WN"都成立,所以(-2)2<(+1-92川对于皿一嘟成立，即-2<2(+1-2)对于"N*都成立，所以丸<+2对于DeN*都成立，所以l<l+2=3,即丸的取值范围是(-,3),故选：D题型七求数列的最大(小)项【例7】(2023湖北高二校考期中)已知数列(凡的通项公式为=MlJ,则数列中的最大项的项数为()A.2B.3C.2或3D.4【答案】C122o48.88.1664解析=1x5=3；=2xg=g；a3=3×-=-=a2la4=4×-=-<a3l当“4时，见+ir=5+l)g-(I)=T|<0,所以“U所以数列口中的最大项的项数2或3.故选：C【变式71(2023下辽宁辽阳高二统考期末)在数列中，可=/，则"的最大值是2-15 D3-23 C1 1 8B)专(A【答案】DH_1【解析】由题意可得凡=正.根据对勾函数与复合函数的单调性,尸二在（XviZ）上递增，在（内，+0°）上递减，X所以在4中,4<%</，4>%>%>,当=3时，当 =4时,14/? + =n14n + =n233，152 .23 '215A .数列%的最大项为6C.数列%的最小项为内B .数列4的最大项为“5D .数列4的最小项为出15322因为，所以，所以4的最大值是（=卷.故选：D2-18【变式72】（2023江西高二统考期末）（多选）数列4满是为【答案】BD【解析】因为r =2-182n-18-2rt+,-18-2【答案】（1 ） 4M2(2)'a,12+,-18-2-18(2rt+,-18)(2rt-18)(2rt+,-18)(2rt-18)'由4川-%>0,得至Ij9<2"<18,且易知,"4时，勺<0,当5时,«>0,所以。>416所以数列MJ的最大项为出,最小项为一故选：BD.【变式73】（2023江苏高二海安市曲塘中学校考期中）已知数列叫的前项和为S”，5d=2n÷3（1）求数列j的通项公式见；（2）若数列出满足:/求数列出的最大项.【解析】(1)斗=2”+3中,令=1得=2+3=5,当2时，见=S“-St=2"+3-2"T-3=2”T,其中小=。”，5,=12nn2(2)当=1时，=-q当2时,=q->0,11÷12n(+1)-2,"ln2+2/1+12n当心3时r1÷1<1,X河W港<1，故l<i,Q故2时，"的最大项为A=W,又打”一故数列也的最大项为H=I题型八数列的周期性及应用例8（2023贵州六盘水高三校联考阶段练习）已知数列4满足/=1T,4=2,则嗫=c4（）A.2B.C.-1D.2023【答案】A【解析】由=1一；=3,4=1一%T，"->5=2所以”是周期为3的数列，故M=限3"4=2.故选：A【变式81】（2023.重庆.高二荣昌中学校校考阶段练习）设数歹IJ满足4=2,=,则n3=（）A.2B.IC.-yD.3【答案】C221【解析】=2所以数列4是周期为4的周期数列，2023=505×4÷3,所以023=%=-g.故选：C【变式82】（2023高二课时练习）已知数列MJ,若4=3,2=6,且=%凡（为正整数）,则数列的第35项为（）A.6B,3C.12D.6【答案】D解析4+2=4+工4+3=4+2-an+l=a+l-an-4+1=一4,/M=-q+3=-(fJ=%,数列叫是以6为周期的周期数列，%=%6+5=%,又=3,%=6,.%=6-3=3,=3-6=-3,a5=-3-3=-6f/.a35=-6.jj：D.【变式83】(2023下新疆高二校联考期末)若数列4满足=-吟-/-三一=1,贝IjI=unu11+lurun+1()A.2B.C.-3D.I【答案】C【解析】因为：一；L一+二1，所以岩，anan+l44+1l-anI+必=+%=I-J11-611q-4=-=a,4+2_±,ttn所以端是周期为4的数列，故/5=%-3.故选：C