5.4.2正弦函数余弦函数的性质（8大题型）精讲.docx

正弦函数、余弦函数的性质重点：1、理解正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性；2、掌握正弦函数与余弦函数的单调性，并能利用单调性比较大小；3、会求函数的对称中心或对称轴方程难点：会求简单三角函数的值域和最值一、正弦函数、余弦函数的性质y=sinxy=Cosx图象V!y=sinx,xR/J)三cosx,xRIgU爬R匹×21-FH定义域RR值域1,11,1最值X=2k+一,%Z时，ymn=1,x=2k-ykeZtymin=-1X=2k,kZ0f,yw=1X=2k+,kZ11t,ya,n=-1周期性T=2T=2奇偶性奇偶单调性keZ在2豌-金2.+自上单调递增在2k+-,2+上单调递减22在2%-万,2k上单调递增在2k兀,2k+上单调递减对称性keZ对称轴方程：X=豌+乙2又寸称中/心(4肛0),ZwZ对称轴方程：X=A%对称中心(A4.0),AWZ2二、周期函数的定义函数y=(),定义域为I,当时，都有f(%+7)=(),其中T是一个非零的常数，则y=/(X)是周期函数，T是它的一个周期.1、定义是对I中的每一个"直来说的，只有个别的工值满足+)=/a)或只差个别的X值不满足/(x+)=/(x)都不能说T是y=/(x)的一个周期.2、对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.3、周期函数的周期公式2乃(1)一般地,函数y=Asin(公+e)(A,3,e为常数，且A0,3。0).的最小正周期7=-IGl(2)若函数,，=")的周期是T'则函数"ATM+。)的周期为两为常数且A°'0).三、三角函数的值域求法一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式,一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质.常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：(1)形如=Sin(S+0)的三角函数,令t=x+,根据题中X的取值范围,求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin的最值(值域).(2)形如y=asn2x+力Sinx+C(40)的三角函数，可先设Z=sinx,将函数y=asin2x+8Sinx+c(o0)化为关于/的二次函数y=。/2+初+c(O),根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y=sinM或y=cos尤)的函数的最值还要注意对a的讨论.题型一正余弦函数的周期性例1(2022.全国高一课时练习)下列函数中，最小正周期为的函数是()A.J=sinxB.>,=cosC.>,=cosxD.y=sin【答案】B【解析】对于A,函数V=sinX的最小正周期为2兀,故A不符合题意；对于B,作出函数y=8sM的图象，由图可知，函数yTeos1的最小正周期为,故B符合题意；对于C,函数y=85的最小正周期为2兀，故C不符合题意；对于D,函数ynsinW=1：”)，其图象如图，1.Sln,<.u由图可知，函数=SinW不是周期函数，故D不符合题意.故选：B.【变式B(2023四川绵阳高一南山中学实验学校校考阶段练习)函数/(x)=3cos(4xq的最小正周期为(A.彳B.yC.4D.8【答案】B【解析】由余弦型函数周期性可知：的最小正周期丁=4=，故选：B.42【变式12(2023.北京延庆.高一统考期末)已知函数/(另=COSox(tw>0)t且的相邻两个对称中心的距离为2,则"l)+"2)+”2023)=.【答案】T【解析】由题意/(“最小正周期为丁=4,故G=与',所以f(x)=CoSe幻，则/=°J=T"(3)=°"(4)=1,则f(1)+/(2)+/(2023)=506x/(l)+/(2)+/(3)+/(4)-/(4)=-l.【变式13】(2023江西九江高一校考期中)函数/(x)=sinx+bsin2x+csin4x，也cR,/+c2o)的周期不可能为()A.B,2C.yD.1【答案】D【解析】当a=c=。，力HO时，函数八)="sin2x,最小正周期为T号=兀，故选项A可能；当力=C=O,4=0时，函数/(x)=sinx,最小正周期为7=2,故选项B可能；当=b=O,c0时,函数/(x)=CSin以，最小正周期为T=弓=方，故选项C可能；而对于选项D：/SiT+%°s%csi也=立O.L-立*则若T=方时，6=0,c=0,如=,sin竺+加in+csin啊=一3+且匕一走c,3J333222,令佃=信)，=°,所以"0为=0,C=OJ(X)=O，与题设矛盾，故函数/(x)="sinx+2Cs2x+csin4x(4,"ceR)的最小正周期不可能是W；故选：D.题型二正余弦函数的奇偶性【例2】(2023山东滨州高一校考阶段练习)下列函数为奇函数的是()A.y=sinx-lB.y=sinxC.y=3cosx÷lD.y=-sinx【答案】D【解析】由题意，选项中函数的定义域为R,关于原点对称.对于A中，函数/(x)=SinX-1,则/(r)=sin(r)7=_SinX_1/(力，所以函数/(x)为非奇非偶函数，不符合题意；对于B中，函数/(一力=卜出(-刈=卜inx=f(x),所以函数V=M训为偶函数，不符合题意；对于C中,函数/(r)=3cos()+l=3cosx+l="x),所以函数V=3cosx+1为偶函数,不符合题意；对于D中，函数/(r)=-sin(r)=SinX=-/(力，又y=-SinX的定义域为R,所以函数Y=-SiRr是奇函数,符合题意.故选：D.【变式21(2023北京海淀高三专题练习)函数/(x)=cos+)+sin(x+b),则()A.若a+=0,则/3为奇函数B,若。+b=5,则力为偶函数C.若。-,则/3为偶函数D.若i=,则/(x)为奇函数【答案】B【解析】/U)的定义域为R,对A：若a+b=0,/(x)=cos(x÷)+sin(x-),若/(另为奇函数，贝(J/(。)=。,对 B：若a + b = 5 , /(x)而/(0)=COSa-Sina=O不恒成立，故力不是奇函数；=COS(X+0)+sinx+-a=CoS(X+)+cos(x-),/(-%)=s(-+6/)+cos(-x-a)=cos(x-«)+cos(x+¢/)-f(x)故/(x)为偶函数，B正确；/()=cos(j+iz)+sinx+-+t7=2cos(x+t7),/(-x)=2cos(-x÷tz),故73不是偶函数，故C错误；对D：若a-b=l/(x)=cos(x+Z?+n)+sin(x+Z?)=-cos(x+Z?)+sin(x+/?),若"H为奇函数,则/(O)=O,而/(O)=YOSHSino=O不恒成立，故了(可不是奇函数；故选：B【变式22】(2023河北唐山高一滦南县第一中学校考期末)函数/(x)=siru,g(x)=cow,则下列结论正确的是(A . "x)g(x)是偶函数C . f()g()是奇函数B . f()g()是奇函数D . f()g(H是奇函数【答案】C【解析】选项A:因为/(x)g(x)=Sinxcosx的定义域为R,又/(T)g()=sin(-)s(-x)=-Sinwosx=-f(x)g(x),所以"x)g(x)是奇函数，故A错误；选项B:因为(X)Ig(X)=卜inHcosx的定义域为R,又/(r)g()=Wn(T)ICOS(T)=ISiiuI0三=(x),所以I")k3是偶函数，故B错误；选项C:因为/(x)Iga)I=SiMCo时的定义域为R,又f(T)Ig(T)I=sin(-x)cos(-)=-s三cos=-f(x)g(x)l所以X)Ig(X)I是奇函数,故C正确；选项D:因为(x)g(x)=卜加8冏的定义域为R,又I"r)g(r)=卜in()cos()=卜inxc<M=f(x)g(x),所以")g()l是偶函数,故D错误.故选：C.【变式23】(2022高一课时练习)判断下列函数的奇偶性：cos ÷2 Icos(2 J(乃+力；/cc/COSX(2)f()=；I-Sinx(3)/(x)=JI-CoSX+Jcosx-I.【答案】(1)函数"力为奇函数；(2)函数/(x)为非奇非偶函数(3)函数"x)既是奇函数又是偶函数【解析】(1)函数“力的定义域为R,故/(-x)=sin(-2x)COS(T)=-Sin2xcosx=-f(%),故函数为奇函数(2)函数/(x)定义域为卜|x，2立+半z不关于原点中心对称，故函数/(X)为非奇非偶函数(3)由cos%=1，得函数/U)定义域为小=2S壮Z,关于原点中心对称，此时，f(jv)=Vl-Cosx+Vcosx-I=O贝(J有")=0=f(x),且F(T)=O=-f()故函数/(力既是奇函数又是偶函数题型三正余弦函数的对称性例3(2023广西南宁高一校考阶段练习)函数y=5sin*-少的一条对称轴为()A.彳=手B.I=?C.XqD.X=Y4234【答案】A【解析】函数-sin*-予的对称轴满足XW+E诋Z),解得x4+A*Z),令2=0,则x=%故选：A.【变式31】(2023.江西高一校联考期末)函数小)=2CoS(Uj图象的一条对称轴的方程为()ax="Tb=-Tc.=wD.x=不【答案】A【解析】若"x)图象的一条对称轴的方程为X=%,结合余弦函数图像，整体代入得：-E=E(AwZ),所以0=2E+IWeZ),经验证，只有A,当A=T时，符合条件，故选：A.【变式32】(2023四川凉山高一校联考期中)若函数/(x)=2sin(2x+o)的图像关于.v轴对称，贝心的值可能为()a?bcid?【答案】C【解析】因为函数/（x）=2sin（2x+0的图像关于丁轴对称，所以当X=O时，/U）取得最值，所以2x0+Q=巴+E,AZ,彳导9=m+A,&eZ,对于A,若夕=，则方=>履，解得&=-9Z,不合题意,对于B,若。=九，则加=AE,解得A=Z,不合题意，对于C,若O=4，则q=>E,解得A=TeZ,题意，对于D,若8=*,则，=*反,解得Z=TeZ,不合题意，故选：C66234万【变式33】（2022全国高一课时练习）如果函数产3cos（2x+9）的图象关于点（彳,0）对称，那么1例的最小值为（）【答案】A【解析】因函数尸3cos（2x+p）的图象关于点仔,0）对称，则有2号+O+*=,于是得9=伏一2）万一卷WZ,显然。=（A2）不一看又寸于左Z是递增的,OO而A=2时，0=,=3r当&=3时，9=，=rOOOO所以期的最小值为土故选：A0题型四正余弦函数的单调性【例4】（2023广东佛山高一校考阶段练习）函数N=sin（2»"的一个递增区间是（）.5V2'2【答案】A【解析】2A-2x÷<2÷aZ）,可得配一工g也+2伏wZ）,当攵=0时/卡，哥是8）的一个单调增区间,而其它选项不符合.故选：A.【变式41】（2023上高一课时练习）函数F=3sin（+2,的单调递减区间为【答案】÷,÷(Z)【解析】因为y=3sin(,一2x)=-3sin(2x一卜),所以y=3sin(2x-qJ的单调递增区间就是y=3sin(?-2x)的单调递减区间.令一+24兀2x-'+2A(AZ),-+AxAr(%eZ).所以函数)，=3"?-2%)的单调递减区间为卜方女T(2Z).【变式42】(2023河南校联考模拟预测)已知函数/(x)=2c陪-3x),-p,则小)的单调递增区间是()55AL2,uJB7,i2jC-2,-4jIJr司D一了可，Ijrz【答案】D【解析】"x)=2c°s(+3“可化为/(x)=2cos,-；),故单调增区间：2A-3x-2kIkJrLt解得：也一："XK"!也+展kwZ.令k=0,-x,令k=l,卷x%.x,一_22,所以外”的单调递增区间是卜瑞穆外故选：D【变式43】(2023全国高一课堂例题)函数F=Iogzcos+和的单调递增区间为.【答案】,*2E,J+2e,kwZ【解析】由题意，得问+?>0,所以q+2Ec+2E,keZ,解得一手+2Avxv+2E,keZ.OO令一+2Ex+2A,左eZ,贝(一段+2EKX-1+2E,AreZ.所以y=cos1+£|的单调递增区间为当+2El1+2e,kwZ,所以函数k噫cos"g)的单调递增区间为1*2E,4+2E,AeZ.题型五根据正余弦函数单调性求参数【例5】（2023.江苏.高三校联考阶段练习）已知函数f（Rin"-沙>0）在（刊上单调递减，则G的取值范围是（）C.D.|【答案】B【解析】令2A+5s-2E+,M乙X),得2而+72k兀+7ZoZ-_. 22k7C + 32 + - 3吟"Z45 ,k Z可彳导，4k+-2k+-,keZ.451因为4A+2R+yZ,所以&"gZ,所以ZO,ZZ;又2A+(UwZ,所以攵2-mZ,所以&(UeZ.3o所以，攵=0,此时有gGW故选：B【变式51】（2023.安徽马鞍山.高一当涂第一中学校考期中）已知函数/（X）=在区间A；九上单调递减，则实数”的取值范围为.【解析】由题意有3-999=3可得°<32,y=cosx在0,上为减函数，故必有平+兀，可得O<3*故实数。的取值范围为（。.【变式52】（2023全国河南省实验中学校考模拟预测）已知函数/（X）=Sin（S+,）3>。）的周期为7,且满足7>2,若函数”x）在区间后fJ不单调，则”的取值范围是（）【答案】C【解析】已知"H = sin x+-(<y>0),.令皿+>人生",解得户伏“）,则函数/（x）对称轴方程为x=-11ceZ）函数小）在区间值A）不单调,：瓦二<n,(kuZ)1解彳导4*+g<切<6k+l次eZ,又由T>2,且3>0;得OV口Vl,2故仅当攵=0时，恭。<1满足题意.故选：C.【变式53】（2023辽宁高一实验中学校考阶段练习）若函数“力=C陪y>上不单调,则实数。的取值范围是.【答案】（1,2）54,转）【解析】由题意得/（力=CoSe卜CoSNxj）（0>0）,若函数小）=cos（8高（）在L上单调递增，2乃Gj九6则-+2E«w-g2AMZ,解得：亍?§+2E,3人一,vV=所以即T+12攵31+6AMZ,因为Y+122l+6A,kZ,所以2且。>0,所以A=O,O<0l若函数/a)=cos"?®>o)在信目上单调递减,则2依6)x-y+2E,ZZ,初,日三+2E+2解得J<x_,kwZ所以，+2A-2 工 6包+2E.3 ,AZ ,解得2 + 2k 4+6kMeZ艮2+12左<4+6七攵WZ,因为2+12ZW4+6k入Z,所以%g且。>0,所以攵=0,24又因为函数，(力=CoSG-同()在(需)上不单调,且，所以。的取值为所表示的不等式的补集,即1v<<2或<>4.题型六比较正余弦函数值的大小【例6】(2023四川眉山高一校考期中)令="W),6=可喘),判断与的大小关系是()A.a>bB.a<bC.a=bD.无法判断【答案】B【解析】因为函数ini在(-泉0)上单调递增，S-<<-<0,JZIUIo所以=sin(-母=b.g:B【变式61(2023下福建泉州高一校联考期中)下列结论正确的是()A.sin(-10o)>sin50oB.tan70o<sin70oC.cos(K)0)<cos3100D.cos1300>s2000【答案】D【解析】对于A,因为Sin(T(F)=-SinlOOvO,sin50o>0,所以Sin(T()<sin50。，故A错误；in70o对于B,因为0vcos70°<l,所以tan7O。=中>sin70。，故B错误；cos70对于C,因为COS(T00)=8S400,cos31Oo=cos(360o-50o)=cos50o,又COS40o>s5(P,所以COS(T0o)>s310o,故C错误；对于D,gcosl300=cos(900+400)=-sin400zcos200o=cos(270-70o)=-sin70o,又Sin40。<sin70。，所以-sin40。>-sin70。，即COSI30。>cos200。,故D正确.故选：D.【变式62】(2023江西南昌高一铁路第一中学校考阶段练习)sinlo,sinlzSin兀。的大小顺序是()A.sinlo<sin1<sinoB.sinlo<sino<sinlC.sin1°=sin1<sin0D.sinl<sinlo<sino【答案】B【解析】由正弦函数的单调性可知：y=s血在(o,3上单调递增，又易知0<l°4°<lv5,所以sinl。VSin乃。VSinl.故选：B【变式63(2023甘肃酒泉高一统考期末)(多选)下列大小关系中正确的是()A.cos1lo<sin10o<cos168oB.sl680<sinl00<coslloC.sinll0<sinl680<cosl00D.sinl68o<cosl()o<sinllo【答案】BC【解析】cos1lo=sin79o>sin10°>0l又COSI68°VOl.cosl680<sinl00<cosl1°Hsinllo<sinl68o=si1112o<cos10°=cos80o.故选：BC.题型七正余弦函数的最值问题【例7】(2023陕西咸阳高三校考阶段练习)函数/(x)=sin(2x+£|在网上的值域为()A卜制B.44C囹D.0,1【答案】A【解析】由代呜，可得2"枭与与，则fa)=Sin(2x+"-乎,1.故选：A.【变式71】（2023山东潍坊高一高密市第一中学校考阶段练习）已知函数/（x）=COS（2不4），“C。三.则/U）的最大值为.【答案】1【解析】因为0x5,所以一三2x-,2oOO又函数y=cosx在_兀0上单调递增,在0,上单调递减，所以-8s（2x司1,所以/的最大值为1.【变式72（2023北京高一北京市第三十五中学校考阶段练习）函数），=sira3cosk+2的最大值为()21A.5B.5rC.-1D.14【答案】A【解析】因为T8*W1,=sin2x-3cosx+2=-cos2x-3cosx+3=故当COSX=-1时,函数），=§也2%-38$彳+2取最大值，且为耿=T+3+3=5.故选：A.【变式73】（2023下河南南阳高一校联考阶段练习）函数/（X）=的值域为（）A.(o,-2)l(0,÷)B.(o,-2o0,-o)C.(YO,-2)0,+co)D.(f-2J(0,+co)【答案】B5【解析】解法一：f(x)=1sinr=_1+33sinx+233sinx+2因为-lsinxl,所以-13sinx+2555553<A¾63>1,3§M2或I§TO3sinx+233sinx+2333sinx+233sinx+2故/U)=7的值域为Sl©5。收)解法二：y=1,得(3y+l)sinx=l-2y,易知"一：,3smx+23所以SinX=忌，则忌G，解得)亚°或)'<-2Jy+1JIy+故/=高E的值域为.故选：B.题型八正余弦函数的综合问题【例8】(2023黑龙江高一大庆实验中学校考期中)已知函数"x)=sin(25+G(其中>ol<-三)的最小正周期为兀，它的一个对称中心为伍o)(1)求函数y=x)的解析式；(2)若方程/(x)=g在(0上的解为"2,求CoS(XT2).【答案】(1)/Oin(2x一扪(2)g【解析】(1)/(x)=sin(2s+0),=-=l故/(x)=sin(2x+*),ZtO一个对称中心为(今。),故2>0=EMZ,gp=-y,Z,Ia音,故当A=O时,满足条件，此时8冶，故"x)=sin(2x-£|.(2)x(O,),故2x-枭卜早用，/(x1)=sin2x1-=1,2,-÷22-y,艮p+/,2-26cos(X1-x2)=cos21-y=cos21-y-=sin2x,-=I.【变式81】(2023山东淄博高一校联考期中)已知函数/(x)=sin(2x+c)(0</<)的图象过点(1)求函数>=/*)的单调增区间；(2)VToSJ(X)，总成立.求实数阳的取值范围.【答案】(1)m,E+小Z；(2)卜,-制Z L - 8+ <- <-Q -4;3- 8【解析】(1)因为佃=SigM=I,所以e=2叫MeZ.因为Ow<,所以e=：,故y=sin2k-2x+-2k+,kZ.得：所以函数y=()的单调增区间为E-1E+?，kwz.(2)由VXe0,J(X)m总成立，得m(x)的最小值.因为0%W,所以;2x+:q.所以当2呜§时J(X)取得最小值-日.所以，"的取值范围是，8，-乎.【变式82】(2023.广东佛山.高一顺德区郑裕彤中学校考阶段练习)已知函数/(x)=2sin÷f且函数J=g(x)的图象与函数产/(x)的图象关于直线X=?对称.(1)求函数g()的解析式;(2)若存在Xe0，£|,使等式3(切,-磔(力+2=0成立，求实数?的取值.【答案】(1)g(x)=2cos(x-);(2)22,3【解析】(1)设M(Ky)为函数g(')图象上任意一点，则M关于a?的对称点为弓7，»,由题知点eT，y)在函数/«=2sin(x+yj的图象上，Jy=2sin(-x+)=2cos(x-y)r即g(x)=2cos(-1)(2)当XWH时,则XqW-号菅)fIWg(X)2令f=g*),则存在、。费)，使等式g()f*g()+2=0成立，等价于：存在“口，使得成立，由对勾函数性质知,y=E+；在区间比&1上单调递减，在区间(点2单调递增，O9故当P=I或"2时，有最大值3,当"应时，r+7有最小值2加,所以小的取值范围为2,31.【变式83】(2023上江苏宿迁高一江苏省泗阳中学校考期末)已知函数/(x)=2sin(2x-?,(1)求函数y=()在0，兀上的单调递增区间;(2)求不等式/(不公-6的解集；(3)若方程/()=帆在费上有两个不同的实数解，求实数机的取值范围.【答案】(1)04'l；(2)卜1贷+Ex要+E入z；(3)万2)OJLJIZ4Z4)u【解析】(1)Sv0,则2户占信，用，-2-Hgy2%-<y,解得OWX吟或旨X兀，所以函数)，=/()在。，可上的单调递增区间为。用和停，兀.JLU_(2)由/(x)-,即2sin(2xj)-6，所以sin(2x-;)-*，所以与+2E2x-g+2&,keZ,解彳导等+Ex等+E,keZ,所以不等式的解集为卜I翳+Ex答+Akz(3)由Xe呜,则2xJe-:年,令-浮”-涔，解得OWT,令自2xJ%解得誉.三所以“力在吟上单调递增，在(目上单调递减，又/=2sin(-?)=一应,/传)=2sin(2x)=2,/n=2sin(2吟用=应,因为方程/()=m在TO可上有两个不同的实数解,所以y=F与y=%在XCo,三上有两个不同的交点,所以&a<2,即实数?的取值范围为"2).