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力的保守性具有伽利略变换的不变性摘要：通过数学推导验证了保守力经过伽利略变换后仍然是保守力，加深了对“力是伽利略变换的不变量”的理解，广义相对论的成果之一在于证明了惯性力都是保守力。关镇词：保守力；显含时间的力场；相对性原理；伽利略变换不变性：惯性力中图分类号：0313.1文献标识码：A一、问题的提出伽利略在反驳地心说的支持者提出的问题时提出了力学相对性原理，他的相对性原理是一种朴素性的表达，即并没有体系性的概念支撑。伽利略之后，惠更斯把相对性原理作为基本假设之一研究了碰撞问题。在伽利略和惠更斯的工作基础上，牛顿基于绝对空间概念以及他的力学基本定律把相对性原理处理为一个推论，即第五推论。18世纪40、50年代，参照框架随着运动的代数化表征方式的发展被引入。进而，基于时间参量的绝对性，同一物理过程在两个相互作匀速直线运动的参照框架中对应的物理参量之间的变换关系被给出。此变换关系今天被称为伽利略变换。同时，欧拉认识到动力学方程的形式（主要指牛顿第二定律）在伽利略变换下具有不变性。到这里,经典力学中与相对性原理有关的知识框架是基本形成。另外，欧拉否定了绝对运动，但保留了绝对空间与绝对时间。19世纪中后期，路德维希朗格受到卡尔诺伊曼工作的启发，基于自由质点的概念对惯性定律进行了重新表述，提出惯性时间标度和惯性参照系的概念。因而，作为参照者的绝对空间被取消了，而力学定律被认为对于所有的惯性参照系都成立。1904年彭加勒把相对性原理表述为物理学基本原理之一。另一方面，面对力学相对性原理与电磁理论的矛盾，基于坚持相对性原理的普遍有效性，并假定光速不变性，爱因斯坦建立了新的理论框架，得到了与相对性原理对应的新的惯性系之间的变换关系：洛伦兹变换。更进一步，在处理引力理论时，通过广义相对性原理以及等效原理，爱因斯坦解决了引力问题。可以说，无论是经典力学还是相对论，处理相对性运动问题的核心原理都是相对性原理。而要使得原理得以实施则需要变换不变量或绝对量作为不同参照框架的共同基础。在经典力学里，这个不变量是同时的绝对性或称为绝对时间。相对论中的变换不变量则是光速，它的物理基础是电磁理论。从对称的角度看，相对性原理是最重要的对称性原理之一。一般认为相对性原理体现的是时空对称性，在经典力学与狭义相对论中，伽利略变换和洛伦兹变换关涉的是整体对称性，而在广义相对论中，对称性只在局域成立，因而相应的变换是局域性变换或无穷小变换。相对性原理给予我们一个启示，那就是也许我们永远不知道什么才是物理世界的真正规律，但或许可以肯定的是，理论的形式必不依赖于研究者所选取的参照框架间的相对运动。现在的力学教材都是利用环路积分为O定义保守力的，文献18指出如果力的保守性可随参照系而变，那么在不同的惯性系中做关于某力的保守性的物理实验，将可根据该力在一惯性系中做功是否与路径有关,从而判断该惯性系相对施加该力的作为另一惯性系的物体是否在运动一一这是相对性原理不能允许的。力是伽利略变换的不变量就不成立了，经典力学理论本身就出现了矛盾。二、正确理解保守力与显含时间的力显含时间力场的定义：对于力F=F(r,t),如果时间t不能通过恒等变换消去，只能表示为位置和时间的二元函数，或者说力F对于时间的偏导数不恒等于0,那么力F就是一个显含时间的力场或者说是一个不稳定场。定理1：稳定场都是保守力场证明：对于稳定场F=F(r)而言，F=F(r)都是连续函数，黎曼可积，假设U'(r)=F(r),质点从A点沿任意路径从A点到B点，再从B点到A点环绕一周，力F对该质点所做的功为RA0F(r).dr=j>(r)d+jF(r)0=U(B)-U（八）+U（八）-U(B)=O,因此稳定场都是保守AB力场。对于非稳定场环路积分一定不等于0,可以把保守力的定义简化为：只与空间位置有关的力。静电场是保守力场，动电场、磁场是非保守力场。广义能量守恒要求的不显含时间和拉氏量不与时间有关是完全不同的。能量守恒往往是普遍的，因为拉氏量通常是在稳定约束下写出的，也就是系统建立在稳定约束之上。但是每个拉氏量的广义坐标，因为彼此的独立性，本身只是一个与时间有关的函数。但是这不意味着拉氏量就必须显含时间，如果拉氏量不显含时间，固定系统在某一时刻的位形，也即广义坐标，同时给定广义速度不变，那么平移时间坐标，也就是说6L=O,这就是时间平移不变。三、力的保守性具有伽利略变换的不变性定理2：在两个相对匀速运动的惯性系。、0,中，如果。系中力/是保守力，那么在。系中该力f也是保守力。证明：设0时刻惯性系。、。完全重合，且。/系相对于。系以正常数的匀速开始运动。设/时刻，质量为的质点在惯性系。的位矢、速度、加速度、受的力、做的功中分别为：r,vfa,/,w,在。系中分别为：R,V,A,尸，W,则据微分运算有R=r-uttV=v-u,A=-O=a,F=nA=ma=f(1)dR=Vdt=vdt-udt=dr-udtr,(2)dW=F6R=f(dr-udt)=fdr-unadt=dw-nudv=dw-md(u),(3)WwuvJdW=JdZo-d(p),W=w-muv+muvQ,>(4)OOMV0由dv=adt和dr=vdt知，W=w-nuv+muvo=w(t')-muq(t)+muva=(t)f(5)由于R=r-ut=r(t)-Ut=(t)(6)是关于时间t的连续函数，质点在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此R=O(t)也是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，质点静止，受到的力是0,不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间,根据反函数的定义在该区间上存在反函数I二eYR),在区间D上聆Ja)=Z(另是位置的函数，对时间的偏导数等于0,尸是保守力。由于在任意单调区间上成立，所以该结论在任何位置都成立，尸=寸是0/系中的保守力。另证：F(r)=Ei(R-ut),由于R=ruZN"+uL(t)是关于时间I的连续函数，质点在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此R=(t)是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，质点做匀速直线运动，受到的力是恒力，不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间，根据反函数的定义在该区间上存在反函数Ld)I(R),所以F(r)=R(R-Ul)=Fi(R-ul(R)=F2(R)(7)仍然是位置的一元函数，对时间的偏导数等于0,不是显含时间的力。有些文献仅仅从F*(r)=件(R-ut)出发得出显含时间的力，其实经过数学变换可以消去时间3力经过伽利略变换后仍然可以表示为位置的函数，此时只能说是隐含时间的一元函数，文献9的观点是错误的。力的保守性具有伽利略变换的不变性，才具有科学美。济慈所说：“凡想象为美的东西必然是真实的一一不管它以前是否存在”。韦尔也说过：“我的工作总是力求把真和美统一起来，但是当我必须两者选一时，我通常选择美J不要认为在力的解析式中有时间变量就认为一定是显含时间的力场，必须分析一下能否消去变量,表示为位置的一元函数，例如当把弹簧振子固定在地面上时，在地面系观察弹力F=-kx=-k-'kAsin（3加6）,但不是显含时间的力场，否则地面系机械能也不守恒。22只要力不是显含时间的力，场也不是显含时间的力场。从分析力学角度来看，只要所研究系统的拉格朗日函数和哈密顿函数不显含时间，系统的机械能一定守恒，与矢量力学的结论完全一致，因为根据Gf）dr可知只有力场显含时间，势能才能显含时间，从而机械能显含时间。力场显含时间是指场的坐标含有时间参量t，是指质点的坐标，含有时间参量I是必然的，通过坐标变换可以完全消去，不叫做显含时间。由于牛顿力学适用于绝对时空，因此场或者力的坐标必须是相对于力源静止坐标系里的坐标（因此力是伽利略变换的不变量包括力场的性质不变），质点坐标是观察者坐标系里的坐标，这一点和相对论不同，在相对论中场的坐标和质点坐标都是观察者坐标系里的坐标，伽利略变换和洛伦兹变换在这一点上是有区别的，不能仅仅看做是洛伦兹变换的低速近似，伽利略变换只研究质点坐标，不研究场（或者力）的坐标。朗道的书力学中说，在惯性参考系中自由运动的质点，由于时间和空间的均匀性和各向同性，表征它所用的拉格朗日函数不显含时间和广义坐标和速度的方向。四、几个实例的具体分析保守力利用环路积分为O定义，注意这里的环路积分是对于同一个坐标系而言，而不是同一个参照系。参照系和坐标系有时是相同的，有时可以不同。例如在一个相对于地面匀速运动的传送带上放一块小木块，小木块在滑动摩擦力的作用下，从皮带的A点向后运动到B点，然后和皮带一起运动一段距离，在某一个时刻皮带突然停止，小木块由于惯性向前运动,在滑动摩擦力的作用下从B点运动到A点，如果以皮带为参照系，小木块受到摩擦力的环路积分为0,滑动摩擦力成为了保守力。可是小木块的动能不变，内能增加，能量守恒定律不成立。在这里问题的症结在于皮带这个参照系其实代表两个惯性系，开始时相对于地面匀速运动，后来相对于地面静止，其实对于其中任何一个惯性系小木块都没有形成环路。在这里参照系和惯性系不是一回事，这个问题搞不明白，容易出错，把耗散力变成保守力，也可以把保守力变成非保守力，文献10就是出现类似错误。下面以简谐振动为例说明一下这个情况一一假设弹簧振子固定在地面上，小车相对于地面的速度为u,取简化假设k=l,u=l,m=l,A二乃/2,=i在地面上看小球的坐标随时间变化是（r）=2si11r（8）小车上看小球的坐标的变化是x'(f)=ISinrT(9)小球往程出发时(t=0)的坐标是X(0)=x'(0)=0,那么在地面上看，从(8)式显然可见，在时间0<t<兀/2中，小球的坐标X随着时间I增加，直至t=兀/2,X(t)达到最大值2o在小车上看，从(9)式容易证明，在时间0<t<arccos(2/T)内x'随着时间t增加，直至t=arccos(2/冗)，此时x'(t)达到最大值XmaX=sin(arccos(2/)-arccos(2/)(10)然后x'(t)随着时间减小，至时间t=n2,达到x'=0,即回到出发点。两者比较，由于arccos(2n)<n2,所以在小车上看小球达到(4)式所表示的最大坐标XMJ时，地面上看小球还未达到它的振幅呢！而当在小车上看，小球已经从最大坐标值回到出发点x'=0时(t=兀/2),地面上的观察者看到小球正好第一次达到它的振幅。所以，在小车上看，小球在时间0到"/2内完成了一个往返。力的往返路径积分是KmIX0Ql=J彘程,为c'+J程,*(11)0*2这等式的等号右边两个积分的被积力函数/往程(/')和九程(x')有不同的函数形式。因为f=-kx=Z(")=-(x,+r),将此式代入式(1D得Xnm02=(X'+r)公'+(x'+t)dx'(12)0。两个积分的被积函数中的f项可以互相抵消，但是/作为T的函数f(x')是函数f(t)的反函数，在f的区间(0,Vmax)和(x'max,0)中的表示式是不同的，分别记为%(x,)和“(V),它们不能相互抵消，所以Qz不是零。具体计算就是：从(11)出发。注意到在(11)中，积分的自变量是x',其往程和返程的转折点在XW由(10)式表示。现在做变量代换xy=-ut,往程和返程的转折点就要用XB所对应的X和，来表示了。上面式(9)和式(10)之间的文字已经说明，往程和返程的时间转折点是arcos(2/),而根据得此时X达到x(f)=Sinf=sin(arccos(2/乃)，此即转折点所对应的X值。所以(11)式化为手naft(X2W)a2”号/232='平2=(-fdx+ufJ)+(-fdx+UfdnJJ'jruf00守inE%Z002!22= xdx- xdt =OO2因为/=一息=一工,=1,所以上式化为-f-SinrJr=-+-COSZ=-0!J282082上面计算过程错误的根源在于理解为质点在相对空间里运动，时间却是绝对时间，既不是伽利略变换也不是洛伦兹变换，在经典力学中研究问题必须在同一个时空里讨论。在运动系测量环路积分必须在原来的空间内环路，在运动系环路正如刻舟求剑一样的荒修。文献11认为势函数不仅仅与位置有关，还和速度有关，其实经过数学变换可以消去速度，表示为位置的函数。力是伽利略变换的不变量是指各个惯性系里的观察者在同一个力场中研究质点的运动规律。五、所有的惯性力都是保守力文献12利用引力场与惯性力场的等效性证明了所有的惯性力都是有势力、主动力。文献13分析了惯性力的性质，证明了惯性力是保守力，根据爱因斯坦的观点：惯性力等价于引力场，因此也是保守力。或者假设爱因斯坦的广义相对性原理成立，那么能量守恒定律在所有参照系成立，只要一个物理过程在惯性系能量守恒，在非惯性系也一定守恒，也可以证明惯性力是保守力。文献14说明对于惯性力是否是保守力，需要单独证明，下面给出一个数学证明，证明惯性力(牵连惯性力和科里奥利力)不是显含时间的力。证明：假设质点在惯性系的加速度为阳，惯性加速度为a2,此时对于质点dvdt=a+a2=a(t),所以质点的速度是时间t的函数v=f(t),dsdt=f(t),位移也是时间t的函数S=6(。，是关于时间I的连续函数，质点在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此S=O(t)也是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，质点静止，受到的力是0,不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间，根据反函数的定义在该区间上存在反函数l=T(s),这样a=a(6(s),惯性力F=ma(<j>(s)与时间t无关，不是显含时间的力，也不是耗散力，是一个保守力。只有力的大小是位移和时间的二元函数，并且时间t不能被消元的话，才是显含时间的力。文献15列举的实例也可以消去时间t,不是显含时间的力。2文献16证明了惯性离心力也是一个保守力，给出了离心力势能公式ED=LrL，2mr文献17证明了在匀速转动参照系中某位置的离心力势能的表达式为与二-；心23，r=o时为势能零点。文献1821证明了直线匀加速度参考坐标系和匀角速度定轴转动参考坐标系,其惯性力为保守力，对于直线非匀加速度参考坐标系和非匀角速度定轴转动参考坐标系，其惯性力显含时间为非保守力是错误的，此时是隐含时间的力，通过变换可以消去时间3此时惯性力也是保守力。文献22认为除了牵连惯性力是非保守力，其他惯性力是保守力，也是同样的错误。文献23证明了非匀角速度定轴转动参考坐标系机械能守恒定律也成立，即此时惯性力也是保守力。其实对于直线非匀加速度参考坐标系惯性力也是一个保守力，例如假设在一部变加速上升(加速度a=a(t)的电梯内观察一个自由降落的质点，枝点受到重力和一个惯性力，惯性力的大小是时间t的函数，如果惯性力是显含时间的力一一非保守力，会观测到质点的机械能不守恒，能量来自哪里呢？文献2425的错误类似，不再分析。文献26利用惯性力势能解决了一个问题。文献27认为机械能的哈密顿量是位置坐标的函数，在进行该位置坐标上的坐标变换时总会携带时间，导致其哈密顿量对时间的偏导数不为0,是完全错误的，通过上面的分析可以看出时间t完全可以消去，其哈密顿量对时间的偏导数始终为0。设弹簧振子处于平衡位置时振子的位置为坐标原点沿横轴X方向以。运动的惯性参考系中的动能为T',势能ClX(ilx为P,，则=Acos(t),k=m2,X=-Asin(t),a=-2Acos(),drd/x,=x-=Acos(Cof)-vt,x,=-=-Asin(t)-v,=-=-2Acos(t)=a,drd/f,=tna,=ma=-m2Acos(t)=-kx.6P,(/)=-f,dx,=kxd(x-vt)=kxdLX-kvAcos(t)dt.P'(0-/(0)=JdP,(r)=Jkxdx一JAcos(t)dt=000kx2-/c02-fnvAsin(t)-mvAsin(0)oP(t)=-kA2COS2(t)-mvAsin(M),P,(0)=0.T,(t)=-mx,2=m-Asn(t)-v2=222；m2A2sin2(>0+2pAsin(t)+v2=；M2sin2(t)+mvAsin(t)+ywv2<,H'=T«)”(J)=M2sin2(t)+mvAsin(t)+-nv2+-kA2cos2(t)-mvAsin(t)222=-kA2+-mv2=consto所以变换后系统的机械能守恒，守恒值为,。+,机力。2222,d+tnv2Gld(22所以=drdr文献28认为：“一个真实力在某参考系是保守力，在其他参考系中可能仍是保守力，也可能是非保守力。地面系中重力是保守力，在地面附近相对于地面系平动的惯性系和非惯性系中重力仍是保守力，但是在绕着水平固定轴旋转的非惯性系中却是非保守力。在参考系Sl中，一端固定的弹簧对另一端物体的弹性力是保守力，在相对Sl系运动的参考系S2中，此弹性力为非保守力。”是完全错误的，主要是没有消去坐标变换后的时间3由于万有引力（惯性力）不可能显含时间，是一种稳定场，因此引力不存在引力磁场，有人类比电磁力存在电场和磁场，得出引力存在引力磁场的观点是完全错误的。所有惯性力都是保守力验证了爱因斯坦的观点，惯性力也是一种引力，广义相对论的成果之一在于证明了惯性力是一种保守力。由于所有的惯性力都是保守力，可以得出对于同一个物理过程，只要一个参照系能量守恒，那么对于其他参照系能量一定是守恒的，符合爱因斯坦的广义相对性原理一一物理规律对于一切参照系都是相同的。能量守恒系统可以称为封闭系统，如果不同的观察者得出结论不同，我们便无法判定该系统是否为封闭系统。爱因斯坦也曾经说：“我坦白地承认我被自然界向我们显示的数学体系的简洁性和优美性强烈的吸引住了照亮我的道路，并不断给我新的勇气去愉快地正视生活的理想，是善、是美和真J六、牛顿碰撞定律与机械能守恒定律的协变性如果把单个质点扩展到质点系统，只要系统与外界没有能量交换，系统内部的力学规律和数学形式是不会改变的，所以伽利略相对论原理的基础是能量守恒律。伽利略变换之所以可以确保力学规律的不变性,很重要的一点是数学的坐标系变换不产生真实的力的作用或能量交换。两个质点发生弹性碰撞，根据牛顿的碰撞定律，碰撞后两个质点的分离速度等于碰撞前的接近速度，这个结论验证了机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性。因为以其中一个质点为参照系，碰撞前另一个质点的速度就是接近速度，碰撞后的速度就是分离速度，根据碰撞定律速度显然相等，动能也相等，所以在以质点为参照系看来能量守恒定律也成立。反之，如果承认机械能守恒定律满足伽利略变换的不变性,就可以直接得出一一发生弹性碰撞的两个质点分离速度等于碰撞前接近速度，牛顿碰撞定律是机械能守恒定律满足相对性原理的-个例证。对于弹性碰撞而言，牛顿碰撞定律等价于机械能守恒定律的协变性。七、广义相对性原理及其价值爱因斯坦认为：“如果不去相信宇宙的内在和谐，那就不存在有科学。上帝在创生宇宙时有无选择？一个完整的世界观的最终构造是与相对性原理一致的。”在1905年的相对论论文中，爱因斯坦从麦克斯韦电动力学应用到运动物体上就要引起并非现象所固有的不对称入手，把相对性原理从力学推广到电动力学，不仅达到了逻辑的简单性，而且也使力学和电动力学两个理论体系之间达到了统一、和谐。在构造狭义相对论时，爱因斯坦主要用的还是定性概念形式的抽象对称法。此后，尤其是在闵可夫斯基的工作之后，他已逐渐从定量数学形式的协变对称法看待问题了，这就是要求普遍的自然定律对于洛伦兹变换是协变的，这是他能达到广义相对论的关键之所在。对于爱因斯坦的巨大科学贡献，法国物理学家郎之万(LangevinPaliL1872-1946)1931年在题为爱因斯坦的贡献与天文学的论文中评价说：“在我们这一时代的物理学家中，爱因斯坦的地位将在最前列。他现在是并且将来也还是人类宇宙中有头等光辉的一颗巨星。很难说他是否和牛顿(IsaacNewton,1643-1727)一样伟大，或者比牛顿更伟大，不过，可以肯定地说，他的伟大是可以同牛顿比拟的。按照我的见解，他也许比牛顿更伟大，因为他对于科学的贡献，更深入到人类思想基本概念的结构中爱因斯坦对于对称性思想方法所作的贡献是众所周知的，根据广义协变性原理，相对任何一种坐标系，物理学的基本定律都具有相同的形式，一切参照系都是平等的，物理定律对于所有的参照系都具有协变性，彻底消除了惯性系的特殊地位。爱因斯坦讲：“我们能否建立起一种在所有的坐标系中都有效的名副其实的相对论的物理学呢？事实上，这是可能的！我们可以把自然定律应用到任何一个坐标系中去。于是，在科学早期的CPtoleniaeus和COPerniCUS观点之间的激烈斗争，也就会变成毫无意义了。我们应用任何一个坐标系都一样。”“太阳静止，地球在运动”或“地球静止，太阳在运动”两句话，便只是对两个不同的坐标系的两种不同的习惯说法而已二根据广义相对论，地球和太阳都在沿着自己的短程线运动，地球围绕太阳转与太阳围绕地球转都不是绝对的，由于太阳的引力质量大，才出现地球围绕太阳转的现象，而且并非标准椭圆轨道。在引力场中自由粒子的运动轨迹只与其初始条件有关而与其引力质量无关，这与稳定的理想约束系统中“自由粒子”沿测地线运动非常相似。相对性原理认为物理定律对任何参考系都成立，这是对称的绝对性的表现形式；但是对不同的参考系测得的物理量的数值不同，这是对称的相对性的表现形式。对称是相对的又是绝对的，这要看考虑的对象的范围。广义相对论的一切参考系都等价，没有排除有些参照系描写自然更加简单方便，在广义相对论中的一个非常有力的工具，即阿什特卡的“新变量”也是左右不对称的。爱因斯坦的引力方程左边包含Rv,右边包含TU°他认为方程的左边很美妙，像是金子做的，右边不好，像是泥做的。他想把右边物质的贡献也变成几何的东西搬到方程的左边去。爱因斯坦未能完全理解统一性的绝对性与相对性之间的辩证关系，因而在具体研究中过分强调和追求某种“绝对统一”的理论体系。爱因斯坦试图从一个最抽象场方程出发为整个物理学大厦建造一个包罗万象基础的“宏伟”目标耗费了其整个后半生。探索中屡遭挫折使爱因斯坦不得不承认，至今还没有可能用一个无所不包的统一概念，来取代牛顿的宇宙统一范畴。但他始终坚信，挫折和失败仅仅是其个人的，而统一场论目标本身是毫无问题的。对此，许多同时代物理学家则不以为然。他们认为，要用连续性的场彻底统一间断性的原子现象是不可能的，把统一场论绝对化是缺乏现实性的。耗散结构理论创始人普里高津就曾深刻地批评道：”这种寻找普遍图式的企图确实有过富有戏剧性的似乎接近成功的时刻。提到这种时刻，人们会想起波尔对原子模型的表述，他把物质归结为电子和质子组成的简单行星系统。另一次大的振动人心时刻发生在爱因斯坦想把物理学一切定律都压缩到一个统一场论'中的时刻，这个巨大梦想今天已经破灭了。无论向哪看去，都是进化、多样化和不稳定的。无论在基本粒子领域中，在生物学中，还是在天体物理学中，都是这样的。”著名物理学家邦迪对这种违反辩证法精神的绝对统一性信念的批评也是一针见血、精辟透彻的：”今天还有些人企图发现能回答一切的世界方程'。针对这种趋势提出许多反对意见之一是：能够回答一切的方程什么也回答不了，因为如果在这个千变万化的世界里看到的形形色色事情都能从一个方程里涌现出来，那么从方程到所观测到的事物之间所经过的路程必然是长得可怕，因此很难处理。”海森伯认为：自然科学不是自然界本身，而是人和自然界之间关系的一部分，因而就依赖于人，有人的烙印。在量子力学中，可以有幺正变换，幺正变换可以是任意的，可以把一个不含时的哈密顿量变换为一个含时的哈密顿量，也可以反过来，把含时的哈密顿量变为不含时的。哈密顿量，这里相当于是能量。幺正变换其地位就是类同于时空变换，只不过后者是时空(外部空间自由度)变换，而幺正变换(以及规范变换)，是内部空间自由度的变换。虽然具体含义不同，物理地位意义其实相当。在这里一定要注意幺正变换不是伽利略变换。在时空变换中，洛伦兹变换中力是协变量，伽利略变换中力是不变量。日本的粒子物理学家汤川秀树(HiclikiYukawa,19071981)评价爱因斯坦时说：“爱因斯坦拥有一份只有少数物理学家才拥有的美感J参考文献：口李卫平，罗洁.注意力的保守性和参照系的关系.中学物理，2013年3月第5期：4243.2刘瑞金.机械能相关问题的讨论.淄博学院学报(自然科学与工程版)，2001(12):47-50.3谢永珠，凌寅生,物理定律在惯性坐标系间的形式不变性.物理教师，1999(7-8):68-69.4赵治华，史祥蓉,什么是保守力.工科物理，1997(1):2-4.5朱如曾,力场与时间有关系统的功能定理及其应用.大学物理，2016(10):11-16.6俞仲林.机械能守恒与参照系的选取有关.柳州师专学报，1994年6月第2期：1113.7郑金,对一道物理竞赛题的两种互异解答的探讨.物理通报，2015(7)：109112.8舒幼生,力学，北京大学出版社，2005年9月第一版：85.9白静江,机械能守恒定律的一个推广.黄海学刊，1995(3)：6873,56.10赵国新.保守力与系统势能的研究.安徽工学院学报，第12卷第3期，1993(9)：9096.11赵凯华.时空对称性与守恒律(上篇)牛顿力学.大学物理，2016(1):1-3.12梁天麟，周凌云,从惯性力场与引力场等效到经典动力学方程的不变性.黄淮学刊，第8卷第1期，1992(3)：2732.13徐满平.惯性力的性质研究.池州师专学报，第14卷第3期，2000年8月：2125.14李子军.关于非惯性系机械能守恒问题的一点讨论.大学物理，1992(6):41.15张盛忠.对机械能守恒条件的讨论J.集宁师专学报，2006,28(4)：6869.16刘力.保守力场中圆运动的稳定性,济宁师范专科学校学报，第23卷第6期，2002(12):2122.17杨振东.离心力势能教学应用三例,物理通报，2020(4)：1517,21.18吕宗禄.惯性力场和保守力场的等效性及其应用,工科物理增刊，2000:249-254.19侯如松.惯性力是保守力吗.大学物理，1989(11):47,27.20徐水源.惯性力为保守力的物理条件,常石教育学院学报，2005(3):63-65.21房晓勇.动力学基本守恒定律在非惯性系的表述.纺织高校基础科学学报，第8卷第1期，1995(3)：100103,111.22殷保祥.对非惯性系动力学方程的讨论.丝路学坛，1998年第2期，19-21.23吴森.要求角速度一定为常矢量吗？非惯性系机械能守恒定律的一个特例.五邑大学学报(自然科学版)，第9卷第2期，1995:4549.24杨景芳，黄根清.非惯性系中的“三大定理”与机械能守恒,大庆高等专科学校学报，第19卷第4期，1999年12月:2729.25林景波.非惯性系中机械能守恒与参照系选取无关的条件确定,通化师范学院学报，第30卷第2期,2009(2)：2729.26马秀艳.非惯性系中机械能守恒定律.安阳师范学院学报，2012(5):120-121.27杨习志，赵坚.关于机械能守恒定律是否满足相对性原理的探讨.物理教师，第41卷第5期，2020(5):6567,72.28舒幼生.力学,北京大学出版社，2005年9月第一版，2005年9月第一次印刷，85.TheconservatismoftheforcehastheinvarianceofthegalileantransformationAbstract：VerifiedbymathematicaldeductionconservativeforceafterGalileotransformationisstillaconservativeforce,deepenedto"forceisthegalileantransformationinvariantunderstanding,itisprovedthatinertiaforcesareallconservativeforces.Keywords：conservativeforce；implicttimeforcefield；principleofrelativity：Galileotransformationinvariance;inertiaforce