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轻质弹簧的性质定理及其应用举例摘要：文章首先分析给出了轻质弹簧的一个性质定理，并利用该性质定理分析几个常见的物理习题.关舞词：轻质弹簧；性质定理；等效观点；机械能守恒中图分类号：0313.1文献标识码：A轻质弹簧的性质定理：轻质弹簧虽然始终是两端受力而不是单端受力，但是计算轻质弹簧的形变和弹性势能时，可以有两种等效的方法：1.将轻质弹簧的一个端点视为相对静止，此时劲度系数为k；2.将其中点视为相对静止，则可视为两根串联的弹簧，其劲度系数是2ko证明：1、当观察者在弹力所在直线上的分速度为。时假设轻质弹簧所受外力为F,我们可以从两个角度认识，一方面将轻质弹簧的一个端点视为相对静止，此时劲度系数为k,形变为X,我们当初定义劲度系数k=Fx,弹性势能为-Ax2;换一个角度如果认为弹簧是两端受力使弹簧发生形变，此时应该视为为两个劲度系2数相同的弹簧串联，根据弹簧串联的知识可以知道这时每个轻质弹簧的劲度系数为2k,弹性形变为X,整个弹簧形变还是X,弹性势能为L2Z(Lq2.2=L心;2也不变。所以在轻质2222弹簧问题中考虑两端受力与一端受力计算弹性形变和弹性势能是等效的，只不过等效劲度系数不同，但是由于整个弹簧的劲度系数不变，计算弹簧振子周期时仍然用匕这是轻质弹簧的一个性质。2、当匀速运动(变速运动也成立，本文不再讨论)的观察者相对于轻质弹簧的固定点在弹力所在直线上的分速度不等于0时，根据对称性原理，dEp(r)=-2fd()=idx1,与只考虑一端受到的力产生的效果相同,证毕。对于两端都有位移的弹簧的总伸长定义为一端的形变，这里采用等效的观点处理问题，爱因斯坦创立广义相对论时也曾经采用过等效原理。如果两端受力劲度系数都按照k计算，形变有可能超出弹性形变。本文把地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系。说明：轻质弹簧的性质定理只是说明考虑两端受力效果计算用2k,考虑一端受力效果劲度系数用k计算，这里采用等效的观点处理问题。考虑两端受力引起性变其实是两个弹簧的串联，是对称的绝对性原理；把一端当做固定端，只考虑一端受力引起形变，是根据弹簧的劲度系数的定义，是对称的相对性原理。该定理不代表弹簧的劲度系数发生了变化，其实弹簧的劲度系数是伽利略不变量。根据质量、时间和空间坐标的伽利略变换式，弹簧的无形变长度Io和伸长(X-Xo)以及质点的加速度均是伽利略不变量。力学相对性原理保证牛顿第二定律适用于任何惯性系，故力也是伽利略不变量，因此弹簧拉力f是伽利略不变量，由于伸长(X-XO)也是伽利略不变量，所以作为拉力与伸长之比的弹性系数也是伽利略不变量,但是胡克定律不具有伽利略变换的不变性。(说明:本文中的弹簧质量不等于0,质量为充分小，按照质量为0计算)例1龚劲涛、吴英发表在绵阳师范学院学报（第25卷第5期）的文章对机械能守恒定律条件的认识有这样一个题目文章说：“如上图，在匀速上升的电梯的天花板上用弹簧下挂物体m,研究黑弹簧和地球组成的系统，以地面为参考系时，天花板的拉力T对弹簧做功：dA外=TdrH0,系统的机械能不守恒。但我们选择电梯为参照系时，整个过程拉力T不做功：dA外二0,只有保守内力做功，系统的机械能守恒。”笔者认为：文章的分析是错误的，因为如果这样机械能守恒定律定律就不符合力学相对性原理了。把地球质量视为无穷大，第一次以地球为参考系，只有保守力做功机械能是守恒的，根据轻质弹簧的性质考虑一端拉力与两端的拉力弹性势能是相同的，因此机械能是守恒的；选择电梯为参照系时，只有保守内力做功，系统的机械能守恒，作者的分析是正确的。例2匀速上升的电梯中有一竖直弹簧，一质量为In的小球由电梯天花板处自由落下,小球与竖宜弹簧接触后又被弹起，试分析说明机械能守恒的过程.1作者认为：以电梯为参考系，电梯地板给系统的支持力对系统不做功，小球和弹簧及地球构成的系统机械能守恒.若以地面为参考系，电梯地板给系统的支持力对系统做了正功，该系统的机械能是增加的.可见，若在某一参考系中观察，外力对系统不做功,不能保证在其他参考系中得到同样的观察结果.同样的，若在某一参考系中观察，系统的非保守内力不做功，也不能保证在其他惯性参考系中观察到相同的结果，并就此得出“机械能守恒是有相对性的.某系统在某一惯性参考系中机械能守恒，若在其他的惯性参考系中观察，该系统的机械能不一定守恒”的观点.笔者认为，文章作者的分析是错误的，以地面为参照系，既然电梯是匀速运动，系统只有保守力做功，机械能显然守恒；以电梯为参考系，电梯地板给系统的支持力对系统不做功，小球和弹簧及地球构成的系统机械能守恒，因为轻质弹簧的性质无需考虑地板对于弹簧的支持力。张淑芳教授在机械能守恒定律违背力学相对性原理吗N列举的两个实例：例3如图3,在匀速直线运动的汽车上，固定一光滑水平桌面，桌面上放置着由木块皿、叱和轻质弹簧构成的振动系统。该系统在桌面和地面两个参照系中，均满足机械能守恒条件，故在两个参照系中，机械能者守恒。（弹簧开始处于压缩状态）（图4）例4在上例中，把加固定在桌面上，情形就不同了，以桌面为参照系时，满足dw产0,dw内产0,系统的机械能守恒。以地球为参照系时，外力F作功，系统的机械能不再守恒。笔者认为是错误的，机械能依然守恒，根据轻质弹簧的性质很容易说明。例5文献35中有这样一个题目如下图所示，一轻质弹簧，一端顶在墙上,另一端顶一质量为机的小球；今用手向左推小球使弹簧压缩，然后突然放手，当弹簧恢复原长L时，小球便以速度0（相对于地面弹出，并保持此速度一直运动下去.人所共知，从地面上看，从突然放手到小球被弹出这个过程中，“弹簧和小球”这个系统的机械能是守恒的，弹簧的初势能EP必等于小球的末动能!用。2,即Ep=LmU2（1）22墙<°B再产OX光滑水平地面上图为图5,去獐凡-V及-。下的箭头后为图1设想一小车，它恰好一直以小球被弹出后的速度。相对于地面运动.从小车上看，弹簧的初势能仍为£p，但小球的初动能却为,加/了（因刚放手时小球相对于小车的速度为2-p）；弹簧的末势能仍为零，但小球的末动能却为零了；故“弹簧和小球”这个系统的初机械能为昌=1+2加"，末机械能为员=0,所以及-昌=-（1+!加2）（2）22从小车上看，“弹簧和小球”这个系统的能量到哪里去了？若说传给地球了，可地球相对于小球的动能！"eV?却始终未变；若说转化为地球的内能了，可从地面上看，“弹簧和2小球”这个系统的机械能又是守恒的.解答：从墙对弹簧的作用力/讨论“弹簧和小球”系统从地面上看，墙对弹簧的作用力尸（见图5）的作用点无位移，故尸不作功，当然“弹簧和小球”系统的机械能应守恒，即应有式（1）.从小车上看，墙对弹簧的作用力广的作用点却以恒速“移动（图2）,故尸要作负功，当然“弹簧和小球”系统的机械能要减少.这就定性地解释了式（2）,下面进行定量的分析.F作的功为A=JF（-Vdr）=TbJ尸dr。笔者认为高炳坤教授的分析是错误的，前面以地面为参照系，实际上把地球质量作为充分大，最后按照两体问题解决，前后不一致，能量转化为内能就更没有道理，在经典力学中只有摩擦力和碰撞才可以将机械能转为内能；由于是轻质弹簧，根据轻质弹簧的性质考虑一端受力即可，因此只有保守力做功，机械能守恒定律依然成立。对于不同的观察者，弹性势能可能不同，当观察者在弹力方向上的分速度不等于。时，不能直接套用原来的公式，应该根据保守力和势能的关系进行推导。下面利用反证法说明考虑墙壁的作用力，劲度系数依然按照k计算的错误一一假设墙壁的作用力单独改变振子的机械能，与振子的作用力一样，根据对称性原理，必然改变弹簧的形变，那么弹簧的形变就不再是伽利略变换的不变量，以弹簧的伸长为例，如果考虑墙壁的作用，当振子运动到最大位移处，振子对于弹簧的拉力F=kA.对于小车系，测量的力也是F=kA,墙壁的拉力是B=kA,如果此时劲度系数依然按照k计算，此时弹簧的形变为2A,这样弹簧的形变就不是伽利略变换不变量，显然是错误的。例6文献4中的实验是在相对于地面匀速运动的小车上，以小车为参照系机械能守恒定律成立，以地面为参照系机械能守恒定律不成立。在车厢里光滑桌面上弹簧拉着一个物体m做简谐振动，车厢以匀速V前进。选弹簧和m作为我们的系统，箱壁在C点拉弹簧的力f是外力。以地面为参照系，dA行f.VdtO,从而系统的机械能E=ELEPW常量。换到车厢参考系，弹簧与箱壁的连接点C没有位移，外力f不做功，dA=0,系统的机械能Ez=EJ+Ep'=常量。笔者认为赵凯华教授的分析是错误的，根据轻质弹簧的性质定理，我们只需要考察弹簧的一端受力即可，右侧的力不研究不影响效果，此时容易得知该系统的机械能守恒。如果把弹性势能定义为由于质点受到弹力作用而具有的势能叫做弹性势能就比较完整了，不但包括弹簧振子中的弹性势能，也包括具有质量的弹簧、弹弓、弓箭等弹性势能，甚至包括斜面上的滑块受到的弹力一一支持力等具有的弹性势能。在弹簧振子问题中，是一个完整、理想、双侧束的质点，约束力不改变质点的机械能；考虑弹簧质量是具有完整、理想、双侧束的质点系，约束力也不改变系统的机械能。理论不是一成不变的教条，相反它们仅是前人通过他们的有限实践总结出的近似规律。科学史表明，这些规律确实具有相当的普适性。但随着人类认识的深化，必然会暴露出它们的局限性。如何准确地发现理论的局限性，再将理论推广到一个新的领域这无疑是科学发展的重要环节。科学的生命力在于不断创新地发展，可以说科学停止了创新之时，就是科学消亡之日。科学史也表明这些发展往往总是更远离人类的直觉，而使人们一时难以接受的。整个科学不过是日常思维的一种提炼。正因为如此，物理学家的批判性的思考就不可能只限于检查他自己特殊领域里的概念。如果他不去批判地考察一个更加困难得多的问题，即分析日常思维的本性问题，他就不能前进一步。在物理学理论中，美与真的关系历来为物理学家所重视，并做出过许多有益的探索。一些物理学家相信，一个具有非常强的美的感性的物理学家所创立的历来最终总可能是真的，在需要对美与真作出选择时，他们宁愿选择美。过去人们在科学活动中判断科学的真理性时，历来坚持逻辑标准和经验标准；而现在，越来越多的自然科学家提出并探讨了科学真理的美学标准问题。这样，美学标准就与逻辑标准、经验标准一起，参与了科学真理的检验，使得科学真理中的真与美两个方面紧密的结合起来。也正是真理的这种美成为了科学家们热衷于探索自然的一种驱动力。这理论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性。从它推出的许多结论中，只要有一个被证明是错误的，它就必须被抛弃;要对它进行修改而不摧毁其整个结构，那似乎是不可能的。参考文献1 .李潮.对高中物理教材“机械能守恒定律”一节的思考.物理教师，2004(2)；67.2 .张淑芳.机械能守恒定律违背力学相对性原理吗.邢台师专学(综合版)，1995.4：82.3 .高炳坤.能量追踪.大学物理，2001.3：15.4 .赵凯华，罗前茵.新概念物理教程.力学M.北京：高等教育出版社，2000：124.5 .高炳坤.从4个参照系看弹射过程.大学物理，2010(7)：10-11,27.6 .刘敏,孙皆宜.再论机械能守恒.牡丹江教育学院学报，2005(5)：26,34.附录：一个劲度系数为4的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子，如图LL当弹簧处于自然长度时，物体处于平衡位置，取作坐标原点，以。表示。沿弹簧长度方向(取作X轴方向)拉动物体然后释放，则物体将在。点两侧作往复运动。>1._O7×7图LI弹簧振子1.1 一维谐振子的运动方程图1.1中的物体可视为一个质点。设X代表质点相对于平衡位置的位移，则质点所受的力尸=-履,其中为劲度系数。负号表示尸与位移方向相反，因而总是指向平衡位置。由牛顿第二定律，谐振子的运动微分方程为：mx=-kx(1. 1. 1)即x+2x=O这是一个二阶的常系数线性微分方程。令(1.1.2)G即简谐运动的角频率，由振动系统本身的性质嗦决定。将（1.1.2）式代入（1.1.1）式，则可求出（LLI）式的通解:(1. 1.3)x(t)=Meiltr+Ne-M=ASin(M+9)这就是谐振子的运动方程。其中M和N是任意常数，由质点的初位置和初速度确定。A是振幅，*是初相位。（1。1。3）式表明质点应作简谐振动。1.2 一维谐振子的能量在谐振子问题中，振子的总能量可以反映出振子的运动特征。因此我们可以从谐振子的动能和势能出发，求解谐振子的总能量，进而帮助我们分析振子的运动特征。由（1.1.3）式可知，振子的速度为：dx/、V=A&cosf+）dt振子的动能为：Ek=nv2=gm（牛/=m2C2co（t+）由（LL2）式，有：El=；M2cos2（t+）（1.2.1）由（1.2.1）式可知，振子的动能变化频率为23。振子的势能（以平衡位置的势能为零）为：X1En-Fdx=pJ?0乙即为：Ep=g%x2ZTSin2（.+（1.2.2）由（1.2.2）式可知，振子的势能变化频率也为23。因此，由（1.2.1）式和（1。203）式可得，振子的总能量为：由（1.2.3）式可知：谐振子的总能量不随时间改变，即其机械能守恒。（1.2.3）式还说明：对于一定的振子（加和给定，因而出给定），总能量与振幅的平方成正比。振幅不仅给出了简谐运动的运动范围，而且还反映了振动系统总能量的大小，或者说反映了振动的强度。事物的这种真理必须一次又一次地为强有力的性格的人物重新加以刻勒，而且总是使之应于雕像家为之工作的那十时代的需要；如果这种真理不总是不断地重新被创造出来，它就会完全被我们遗忘掉。