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矩形的面积与积分、直线的导数所提出的问题及新导数定义下的代数求导法思路沈卫国内容摘要：极限法微积分（标准分析，第二代微积分）求导的基础，是那些小的矩形条。这些矩形条的面积当然是确定有效的，是其长乘以宽。极限法积分要求在这些矩形条无限变“细”其底边趋于O的情况下，同时其数量趋于无穷。极限法积分认为，对边沿为曲线的图形而言，这个极限（积分）就是其面积。但矩形作为曲线的图形的特例，二者并没有本质的区别，因此其面积也应该如此定义。事实上也正是如此，传统微积分教材中积分的定义只有一个，未见有单独的矩形积分的定义。这就产生了问题，作为矩形，其面积就是底乘以高，这个小学生都知道，但按极限法微积分积分的一般定义，这个矩形的面积应该也是一个小矩形条数量趋于无穷，而矩形细条底边趋于O的极限。这就是一个矛盾：究竟是一个极限决定了矩形的面积，还是矩形的面积早已给出,是其决定了极限？还是矩形的面积就是矩形的面积本身，但边沿为曲线的面积却必须是一个极限？这个问题，实际反映了极限法微积分的根本矛盾问题。再有，其实与上面的问题等价地，一条直线的斜率根本就是固有的，它就是其上任何两点间的非O增量的纵、横坐标之比。但极限法导数的定义，却非要令这个比的分母趋于O才能得到导数也就是直线的斜率，是不是怪怪的？而在笔者提出的导数新定义下，此问题根本就不存在。在文章的第二部分，作为补遗，给出了一种新定义下的代数求导法。从这个角度看，可以使得导数问题的解决更为直观。关键词：导数；新导数；微分；增量；积分；极限法；代数法；切线斜率；线性方程；系数；曲线方程；矩形一、矩形面积与积分和直线的导数即斜率所提出的问题见到有网友提出一个问题，说微积分是用矩形面积和来接近别的面积。那么，在知道矩形的面积之前，也可以用积分求矩形的面积吗？他自称他“不是很懂”。但是，这个“外行”提出的问题，却击中了极限法微积分的积分定义的要害。大概作为内行的专家，也说不出个所以然来。极限法微积分中定积分就是用来求面积的，定义就是通常我们了解的把积分小区间（矩形的）令其趋于0,矩形小区间数趋于无穷大，求这个极限和或和的极限。定义如此。那么，问题来了，矩形作为具有面积的形状之一，其面积符不符合这个定义？如果符合，矩形的面积也是一个无限多的矩形小面积的和的极限，而矩形都知道就是它的长乘以宽，或绝对不是无穷多的更小矩形面积之和，而且那个极限法积分的无穷极限就是针对已有的矩形面积的，这里就是一个逻辑循环：矩形面积是个极限，而这个极限又必须建立在矩形面积上，是矩形面积的极限。如果把矩形单独拿出来，不包括在极限法微积分的积分定义之内，那么，通常意义的极限法微积分积分定义,就只是针对非矩形的曲边形状的面积的，如此，面积的定义就不统一了，作为面积之一的矩形面积，在一般的积分定义之外而单独给出，但它实际上只是各种形状之一罢了。为一种形状，但其却不在各种形状面积的积分求法之内。总之,按此思路，求面积需要两种定义，一种曲线型，一种矩形。而前者还依赖于后者。同样的都是面积，矩形的面积不必是个无穷极限，且如果是了，还是一个逻辑循环；而非矩形的曲边型的面积，就必须非得是一个无穷极限不可，虽然都是面积，但定义却如此不同，而且是实质性的不同，这说明理论肯定在什么地方出了问题。而一旦统一积分定义，则前面已经说了，矩形面积定义必有逻辑循环：极限依赖面积，而面积又由极限求取（定义）。这个问题，与极限法中微分的定义的两重性如出一辙：函数的微分是其增量的线性部分，可以看成其自变量与导数的一个乘积形成的一个几何“矩形”，而自变量的微分却是其增量本身。但是自变量当然可以是其它变量的函数，这就使得微分的定义不能统一且矛盾。问题的实质是，既然微分是建立在增量之上的，那么，这个增量本身的微分又是什么？如果分开定义，则微分的定义就不统一；而如果统一定义,增量就不能作为微分，微分只是其一部分（线性部分）。但如此一来，线性函数也是函数，其也有微分，而且就是其自身（按微分定义），凭什么函数自变量作为线性函数就不能有微分？于是作为函数的自变量，就只能是个线性函数。不能再是其它变量的非线性函数了。如此，微积分理论中还能有复合函数（函数的函数）这回事吗？总之，怎么看都会有问题。这个问题如何解决？在笔者提出的新导数定义下，特别是“导数的第二定义”下（参见前期有关文章，这里不赘述了）,问题的解决几乎就是顺理成章的事了。事情的本质就是，无论积分还是微分，都是增量（差分），无非大些小些之分罢To而且都知道，所谓“大、小”，都是相对的，因此本质上，微分与积分没有实质性的区别。可以粗浅地理解成，积分就是小些的增量之和，而这个“和”又可以作为更大些的积分的微分。矩形的面积（积分）就是长乘以宽，曲边型的面积就是中值定理意义的长乘以宽，其实也是矩形，而且其大小都可以。这里面没有什么趋0极限或趋于无穷大之类的事，就是叠加，而且没有任何误差。详细情况请读者见笔者前期有关文章。再有，其实与上面的问题等价地，原本一条直线的斜率根本就是固有的，它就是其上任何两点间的非0增量的纵、横坐标差之比。根本就无须其横坐标差去趋于0,更不能等于Oo还不去说实际上这个“趋于0”与“等于0”其实是一回事（见笔者前期有关文章的分析与论证，此不赘述）。但传统极限法导数的定义，却非要令这个比式的分母趋于O才能得到导数也就是直线的斜率，是不是怪怪的？具体说，直线增量方程有三种，N-kx,y=x（k=1）,O=0o第三种是一条水平线，其斜率（导数）为Oo但这个斜率（导数）无论是否为0,都是具有的。可是，按照极限法微积分导数的定义，却非要令对增量比式yx=0求其分母上的自变量（横坐标）-0才可得到这个导数也就是一条水平直线的斜率，这明显地与直线、更何况是水平线的斜率定义不符。还不说它根本就是错的。就是不错，也属于故弄玄虚、叠床架屋、舍简就繁一类。除非事先规定曲线的导数定义与直线的导数定义区别开来。但是，直线作为曲线（曲率非0的线）的一个特例（不过是曲率为0的线），从来没有被要求要有单独的导数定义，任何一本教科书中也没有这么说。这样的定义，如果有，会使得理论被割裂而不完整，本身就是一个矛盾，所以根本不可行。因此，这一切只能说明现有极限法微积分导数理论（定义）有问题。极限法微积分给出的导数定义，也就是对增量比值函数4yZSx求Ax-O时的极限，对曲线（曲率不为0的线）而言，是不得不然；但对直线而言（曲率为0的线），是矫揉造作其斜率无论从定义还是求得，都根本就不需要趋0极限，特别是一个分母还为自变量的“非平凡极限”的趋O极限。这个极限法微积分导数定义中隐含着的矛盾（居然鲜有人察觉。即使笔者本人，也是在前述矩形的积分定义问题的启发下才偶然发觉的），只能说明极限法微积分在最基础的地方存在致命缺陷。这是不必也无可讳言的。那么，如何解决这一问题？也就是满足导数既定义在一个点上（两点间距等于0,或趋于0）,但其又作为比值（斜率）又要求有两个点（间距非0。不能等于0,实际也不能趋于0）的矛盾性要求？其实非常简单，就是导数定义在一个点，也就是切点上，同时作为比式的斜率所需要的间距非0的两个点处于切线上不就可以了？这个比值，不再依赖于曲线上的两个点，就不会再有这个矛盾。否则贝克莱悖论是无法彻底解决的。而传统微积分（无论要舍弃“高阶无穷小的”第一代还是柯西的极限法第二代）由于囿于成见，居然没有想到把导数精确定位所需要的一个点与导数（斜率）是一个比式所要求的两个点（才能使得比式的分母不为0!）分开来，它只是一味地拘泥于曲线上的点，只想着用曲线上的点来做文章，无论是一个还是两个。这就必然会产生究竟是一个点还是两个点的问题。因为显然，在曲线上，或任何一条线段上，所涉两个点就是两个点，一个点就是一个点，不能又是两个点,同时又是一个点，相互矛盾，矛盾了就会有贝克莱悖论，或者说贝克莱悖论本身就是一个矛盾。而在笔者导数的新定义下，无非是精确定位所需要的一个点，是涉及曲线与切线的切点，这当然是唯一的点。而作为比式所需要的两个点，在切线上，而且可以任意取（这是直线斜率定义所决定的）。最多，此二点其中一个可以（不是必须！）与切点重合，也就是与曲线共享。但另一个点，必须就是脱离曲线的切线独有的一个点。如此，导数的精确定位所需要的一个点和作为一个比式所需要的两个点的这两个独立的条件同时可被满足，再没有了有任何矛盾。而传统的极限法微积分导数定义,居然说既然第一代微积分曲线上一个点的函数值会有矛盾（贝克莱悖论），那好，就不取这个函数值了，而是定义一个趋O极限值。可是，这个极限仍旧构成“极限函数”（即传统的“导函数”），其处于分母上的自变量在O点的“非平凡“极限值仍旧是Oo这在笔者前期有关文章中有详尽的论证与分析，此不赘述了。总之，导数的新定义的提出并不需要什么高深的理论，它其实无比地简单、明显。简单说，就是曲线的切线的实实在在（所谓实实在在，明确说就是需要切线上的任何两个点来决定）的斜率。之所以它居然没有被发现，即使在笔者明确提出后（已经有十年之久了），仍然鲜见有人公开认可与支持，笔者认为，无非是一个观念的转变问题。而这个东西实际才是最难的。笔者也只能立此存照了。二、新导数定义下的代数求导思路前期文章中对导数的新定义和求导或得到导数的方法给出了非常详尽的阐述。此处不再赘述。至于导数的代数求法思路，在十年前笔者的第一篇关于导数的文章中就明确给出了，但那里是按求方程组的重根的方式来得到导数的(据后查，此法似古已有之。但由于导数定义问题，没有被深入研究下去，而是被雪藏于故纸堆中了)。这里给出一种更简单的思路，只是在形式上与前期文章给出的求法有区别而已。仍旧以二次曲线为例说明之。假设有一个二次曲限方程的增量方程和一个直线的增量方程，求二者的交点，当然是要联立这两个方程求解，即二次曲线：N-2xx+x2=(2x+x)X(1)直线：N-kx(2)把线性(直线)方程的2式代入二次曲线方程的1式，消去y,得到kx=2xx+x2=(2x+x)x(3)比较3式两边，知道k-2x+x(4)当O时，k为二次曲线的割线的斜率。当二O时，(5)就是二次曲线的切线的斜率。在新导数定义下，就是二次曲线的导数。可以看出，我们根本就不需要增量比值函数y/x,也就是根本就没有分母*,贝克莱悖论自消，不再存在。当然唯一的要求是导数的定义要修改，需要明确：导数就是实实在在的(指需要直线上的任意两个距离非O的点的)、无条件的曲线的切线的斜率，或等价地，曲线增量的线性部分的系数。而以往传统极限法微积分导数的定义，虽然其数值也是与切线斜率一样，但那个切线斜率是有前提条件的，它依赖于增量比值函数4y4x的分母的趋O极限。这就产生了贝克莱悖论问题。只不过在牛顿、莱布尼兹的所谓“第一代”微积分那里，问题明显且大家都认账。而在柯西所谓“第二代”微积分那里，这个矛盾被拐弯抹角地掩饰了。具体分析、论证见笔者前期系列有关文章。不止一人在讨论中提出，既然联立1式与2式求的是直线与曲线的交点，那不用趋O极限概念，怎么就知道在曲线与直线只有一个交点的时候，一定这条直线就是曲线的切线？难道它不会是一条交叉线吗？比如一条竖直的线，也就是斜率为无穷大的线？于是所谓的不用趋O极限概念的求导,最终还是离不开趋O极限。这种看法的错误在于：第一，笔者说的极限或趋O极限，是“非平凡的”极限或趋O极限，也就是分母为自变量Ax的增量比式的在Ax一O下的趋O极限。常规的、“平凡的”极限当然可以有，而且其与增量的（注意，非增量比式y7!）函数值其实完全相等，这个意义上，可以不再非用极限概念，而直接按函数值求即可。当然，由于二者等价，非说极限也行，但这里不是像传统微积分求导定义那样，针对的是非平凡的、分母为自变量的比式ayZi的趋O极限。这是一定要弄清楚的。两种极限要严格区别，笔者指的传统极限法的问题，当然是指的传统上建立在分母为自变量Ax的增量比值函数y4x下的求趋O极限，这是它的导数定义决定的，而不是指的一般意义的、“平凡的”增量Ay在Ax-O下的趋O极限。一些人根本就没有彻底弄清楚这里面的本质区别。以为笔者反对的是一般意义的极限概念。因为洗澡水脏，连孩子一起也倒掉了，这绝对不是笔者的意思。所以，诸位可请听好了：笔者反对的是也仅仅是分母为自变量Ax的比式NlXx在XX-O下的趋O极限，也就是笔者所谓的“非平凡极限”（明确说就是“不存在的极限”、“错误的、不能成立的极限”、“数值会为0/0的极限”，用“非平凡”这个词，仅仅是客气）。但一般意义的，比如无分母的增量函数在自变量x-O下的趋0极限，笔者当然无由反对。因为它其实与其在4x=0点的函数值是一回事。而极限法微积分导数的定义，可是明确求的分母为自变量4x的增量比值函数yZSx在自变量4x-0下的趋0极限（非平凡的），笔者反对的是也只是这个。而这个非平凡极限以往由于被误解为已经没有了贝克莱悖论问题，因此通常就被称为“极限法求导”，笔者说的反对“极限法求导”，指的是它也仅仅是它，不是反对一切极限。这是需要特别澄清一下的。否则一些人动不动就拿一般极限如何如何成立来说事儿，似乎一般极限无问题，极限法（非平凡）微积分求导的非平凡极限就也跟着无问题了似的。这种东西，逻辑上讲就是明显的混淆概念错误。第二，更重要的是，1式与2式中的*、y,是两个函数的增量，当x0时，是直接依赖于曲线上的两个点的（其间距即为函数的增量）。而由1式、3式中的N=（IX心x+x2可以看出，是把函数的增量分成了线性部分2xX与非线性部分Ax?的。而线性部分当然只涉及曲线上的一个点，也就是与其切线的切点，否则作为非线性函数的增量（涉及曲线上的两个点），当然要包含非线性部分，不可能只有线性部分。因此，线性部分只能涉及曲线上的一个点，也就是切点。而除了切线而外的该交点上的其它任何直线，也就是交叉线，显然无由作为曲线增量的一部分而存在，因此对1式、2式联立得到的在x=O时k的数值，只能是切线的斜率。或就不去令Ax=O或4f0,直接在1式或3式中“取”曲线增量的线性部分2xx的系数2x都是完全可以的。这实际上就是500年前我国伟大的数学家王文素所实际做的，也是笔者曾经指出的从传统建立在宏观意义的增量基础上的微分（而不是趋0极限或无穷小概念上的！此点很多人也搞不清楚。以为名词“微分”，就是很小云云。不一定的。见比较严格的任何教科书或齐民友的微积分著作）即曲线增量的线性部分（就是切线）的系数（斜率）来直接得到导数。这等于是给导数与微分概念彻底“松绑”了，使其获得了彻底“解放”：微分就是宏观量，即使在积分中它也是如此。导数就是常规意义的（需要直线上的两个距离非0点的）切线斜率，完全不需要分母上的自变量再掺和进来，产生贝克莱悖论。且导数、微分、积分之间的关系彻底简化且无矛盾了，这实际上不蒂为莱布尼兹定义微分的初衷。只不过他们囿于分母为自变量的非线性的增量比值函数4y4x来求导（本质上仍旧是导数的定义没有彻底搞清），必然会产生贝克莱悖论而已。而在柯西的所谓“第二代”的极限法微积分求导中，虽然普遍被认为解决了贝克莱悖论问题，但实际上仍旧没有。这是缘由是其仍旧针对的增量比值函数yx来定义与求导数，于是问题犹在，不过更为隐蔽罢了。笔者给出的详尽（只有“太啰嗦”，没有“未说清”）分析与严格证明请读者见笔者前期有关文章，此不赘述了。第三，所谓笔者提出的“新导数定义”与传统无论第一还是第二代微积分导数定义有何区别？导数当然与几何上的切线斜率有关，一条直线的斜率按其定义是一个比式，也就是有分母的。这个分母当然不能为Oo也就是增量不能为Oo传统微积分与导数对应的、作为一个有分母的比式4yx的斜率的分母Ax,直接与曲线上的两个点最终重合有关，而两个点的重合其增量为0,如此就会有贝克莱悖论指出的导数的分母究竟为0不为0的问题，而无论是不是0,都会产生矛盾。而笔者提出的所谓“新导数定义”，作为比式的斜率的分母，与曲线上的两个点重合为0无关，它只与作为直线的切线上的任意两个点（非0增量）有关。即作为比式4yZx的分母在传统微积分导数那里，是指的曲线上的两个点间的距离或增量，而定义在某抽象点的导数的传统定义又要求这个为0或趋于0,这就不得不有贝克莱悖论问题。而笔者提出的导数新定义，这个Ax不是定义在曲线上的（尽管在0时，可以与其割线共享）,它是定义在先是割线、最终是切线上的，因此曲线上的两个割点（曲线与其割线的交点）合二为一收缩于切点而其增量等于O时，现在的处于分母上的Ax不为0,这就彻底解决了贝克莱悖论问题。这两种导数定义，绝对不仅仅是权宜性的，而是实质性的。比如对一个连续不间断的曲线或变速运动而言，与导数相应的瞬时速度，在传统微积分那里是现实可实现意义的。而在笔者新定义下，不间断的曲线或变速运动的瞬时速度只能是一个十足的“虚拟”概念，除非外力突然在某瞬时消失才可能变为现实的存在，也就是曲线运动在某瞬时突然变为了现实的匀速直线运动。详情请见笔者前期系列有关文章。上述导数的代数意义的求法，当然只是很多新导数定义下得到导数的方法之一，定义一定，导数的求法可以很多，至于取哪一种，这个不是主要的，不过有繁有简而已。这里顺便给出，只是提供另一种思路而已。比如，笔者曾经也通过增量比值函数y4x下对其约分消去分母上的4x（传统微积分求导的必要步骤）究竟意味着什么，来彻底澄清无论第一还是第二代微积分求导究竟求出的是什么来说明究竟为什么“微积分通过明显错误的步骤得到了完全正确的导数值”（马克思语，大致）的。总之，导数的定义一定，得到它的途径可以很多，只要符合这个新的定义即可。对定义而言，这是一个次要的问题。这是必须要说明一下的：定义决定求法，而不是由具体求法来给出定义。后者正是传统微积分所做的，必须更正。总之，在新导数定义下，高等数学其实就是初等数学,它们本质上都是建立在增量（差分）的基础上，因此是一回事。以往所谓高等数学建立在极限、无穷基础上的说法是不对的。比如，有人以500年前明朝的王文素在得到导数数值时，没有使用通常的极限语言，就质疑其虽然得到了导数,但与微积分无关。因此得到了也白得到，微积分创始人的桂冠不能归之于他。但为什么不反问一句，为什么不用极限就得到了原先以为只能由极限才能得到的导数的？它说明了什么？不值得进一步研究吗？已故王文素研究学者、北师大教授赵擎寰就说过，王文素没有用微积分方法，只由初等数学就得到了导数，是值得进一步研究的（大意）。现在已经知道了，所谓高等数学完全可以归于初等数学，微分方程就是差分方程，导数完全不依赖于极限，更不由其实完全错误的非平凡极限来求得。单纯的初等方法不但可以得到导数,而且得到的还就是一个完全正确的、没有矛盾的导数。这个结果，实际上500年前的王文素就已经得来全不费工夫地、顺理成章地得到了。极限法要在其2、3百年后才产生，对他当然没有任何影响。这是王氏之大幸。500年后，在极限法求导浸淫统治多年后，笔者是在费了不少劲在先入为主的极限法那一套说辞的泥淖中挣扎过后才又突然开窍醒悟了的。于是回过头来感到，只有返璞归真才是硬道理。参考文献1莫绍揆.试论微分的本质.南京大学学报（自然科学），1994年第03期2沈卫国.论增量分析视野下的测度问题、微积分求导及连续统的可数性.前沿科学，2017年03期.3方源，王元微积分（上、下）.高等教育出版社，2014年7月第一版.4沈卫国.论微积分求导公式的一种全新推导模式（解方程法）及贝克莱悖论的彻底消除.天津职业院校联合学报，2013年2期.5沈卫国.微积分核心概念的无矛盾表述一一不需要无穷小、极限等概念的增量分析.天津职业院校联合学报，2015年05期.6沈卫国.微积分核心概念的无矛盾表述（续）一一不需要无穷小、极限等概念的增量分析.天津职业院校联合学报,2015年11期.7沈卫国.微积分极限法（标准分析）的本质及问题详析.天津职业院校联合学报，2017年06期.8L沈卫国.辩证逻辑与智能.智能系统学报.2011年04期.9 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