《5.3诱导公式》拔高卷参考答案与试题解析.docx

参考答案与试题解析一.解答题(共20小题)1.A、8是单位圆O上的点，点A是单位圆与彳轴正半轴的交点，点B在第二象限，记NAOB=G且sin=-.5(1)求8点坐标;sin(7+)+2Sin(-+)(2)求-的值.2cos(-)【分析】(1)分别求出Sine和cos。的值，从而求出B点的坐标;(2)根据三角函数的公式代入求出即可.【解答】解：(1)点A是单位圆与X轴正半轴的交点，点8在第二象限设B(x,y),则y=SinO=邑，5X=COSO=-J卜gm2=_豆，点的坐标为(->)；55Jrsin(+)+2sin(f+)(2) ±2cos(-)_-sin+2COS-2cos一曳T_5一一.3【点评】本题考查了三角函数的定义及其基本关系，熟练掌握三角函数的公式是解题的关键.2.己知角的顶点在原点，始边与X轴的正半轴重合，终边经过点P(-3,3).(1)求Sina、CoSa、tana的值;(2)若/(a) =Cos (2+a) tan (+a)-Sin a ) CQS (-+ a > 求/(a)的值.【分析】(1)由题意可得X=-3,y=E,r=2E,然后根据三角函数的定义求出Sina、COSe(、tana的值；(2)线由诱导公式化简/(),然后将三角函数值代入即可.【解答】解：(1)因为角终边经过点P(-3,E),所以r=7(-3)2+(3)2=2V3(1分)sin=-,-(3分)2COSa=±-(5分)2(7分)tan=-2巨-3(2) ,/ () =Cos (2+) tan (+)./打、,兀、-s,n(2-)cos(-+)=costan-cos(-Sina)=CoSatan+cossina=(-冬X(辱)+(冬【点评】本题考查任意角的三角函数的定义和诱导公式的应用，利用任意角的定义是解题的关键.3.己知函数/(x)=sin(x+-)÷cos(X-函'XWR(1)求函数图象的对称中心(2)已知CoS(B-a)三,cos(+q)o<a<B<j,求证：(/()r552-2=0.+/冗/2兀、/3兀、zV/2011兀rV(3)求f(丁)+f(-)+f(J-)+f(兀)+,f()的值【分析】(1)利用两角和与差的正弦与余弦及辅助角公式将/(%)转化为/(x)=2sin(X-2L),利用正弦函数的性质即可求得函数图象的对称中心；4(2)利用利用两角和与差的正弦与余弦可求得sin2=sin(a+)-(a-),再利用二倍角的余弦即可可证得结论；(3)由/(x)=2sin(-2L),可求得/(匹)+/(2L)+/-()()+<()44244tf(史L)+/(卫L)V(-2L)=0,利用函数的周期性即可求得答案.444【解答】解析：(1)'f(X)-sin1cos-Ycos+义WSirLt2222=2(SinA-Cosx)=2sin(X-E-),4TrTrx-=Kr,即X=Kr+,44Tr：.(k+-fO)aZ)为对称中心;4JT(2) VO<a<,r->-a>0,>+a>O,*.*cos(-)=,5sin(-)=3.5*.*cos(a+)=-母sin(a+)=.sin2=sin(a+)-(a-)=sin(a+)cos(a-)-cos(a+)sin(a-)=S-(-1)(-S)=0,5555f()2-2=4sin2(T)-2=21-cos(2-y)=-2sin2=0,所以，结论成立.JT(3) V/(x)=2sin(X-J-),(2L)v<)v<)(2L)(2L)()=4244444O,原式=25IV(工)+/*()+f()V(-2L)(-L)+/(22L)+f424444(_2L)+f()+f()+/(2L)4424=O+2+2=2+2【点评】本题考查两角和与差的正弦与余弦，考查二倍角公式的应用，考查函数的周期性与函数的求值，综合题强，难度大，属于难题.4.己知tana=-3.5(I)求sinacosa-cos2a的值；/、/兀、/ll打、cos(3九+)cos(-+)cos(z-)(II)求/的值.CoS(冗-)sin(-兀-a)sin份兀+)【分析】(1)原式利用同角三角函数间基本关系化简，将tana代入计算即可求出值；(II)原式利用诱导公式变形，再利用同角三角函数间基本关系化简，将tana代入计算即可求出值.【解答】解：(I)Vtana="-,5工1.9SinaCoSa-CoS2atanCl-I520.snacosa-cosa=iii-=-COS2Cl+sin2Ct1+tan2Cl1+"i25(11) Vtana=-3,51 .原式=-8Sa(-si?a)(-Sina)=tmx=_1.-CoSaSinaCOSa5【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键.5 .化简：CBsin(a-)+cos(-a)(I)设tana=3,求-.sin(a)+coS(-+a)(2)己知Sina+3c?Sa=5,求sifa-sinacosa.3cosa-Sina【分析】(1)由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解.(2)利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可求得tana=2,进而根据同角三角函数基本关系式化简所求即可求解.【解答】解：(1)因为tana=3,所以Sin(a-兀)+cos(兀-a)_(-sina)+(-COSa)_-Sina-COSa_sin(-y-a)+cos(-y+a)cos+(-si11a)CoSa-SinaTana_=_=2l-ta11a1-3,(2)因为Sina+3c。Sa=tana+3=5,可得tat=2,3cosCl-si11d3-ta110.所以sin2a-Sinac。Sa=Sin2a-sinaCOSa=tan2a-tana=Zg=?sin2Cl+cos2O-tan2Cl+122+l5【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用,考查了计算能力和转化思想，属于基础题.Jr?JTsin(-)cos(F)tan(2冗一)6 .已知f()=J7tan(-JT)sin(K+)(1)若是第三象限角，Sina=-高，求/()的值；5(2)若求/()的值.【分析】利用诱导公式化简f()得到最简结果，(1)由为第三象限，sina的值小于0,得到COSa的值小于0,由Sina的值，利用同角三角函数间的基本关系求出COSa的值，即可确定出了()的值；(2)将的度数代入/()中，利用诱导公式化简即可得到结果.解答解：/()=9sQsi呼).(-产，)=-COS,-tanCl(-sinCL)(1) .是第三象限角，sin=-2V0,5.*.cos<0,'coSa="l-sin2Cl=D则f()=-COS(X=2捉:5(2)将=弋入得：/(-342L)=-cos(-12L)=-cos(ll+-)=3333/兀、K1332【点评】此题考查了诱导公式的作用，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键.7 .如图，在平面直角坐标系Xoy中，A(除，£)为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转后交单位圆于点8,点B的纵坐标y关于的函数为y=/().(1)求函数y=()的解析式，并求fg)+f(")；23(2)若f()4，求COs(-)-sin(+,.)的值.yi【分析】（1）结合三角函数的定义的正弦定义即可求解；（2）由已知结合诱导公式对所求式子进行化简即可求解【解答】解：（I）由题意可得，ZA0x=-t6Tr根据三角函数的定义可得，y=（）=Sin（吟），m/兀、/2兀、_-2打5兀_1÷/因此f（丁）+fL-）-sin+sin-（2）由f（0）可得sin（吟）=y所以 CQS （B T）-Sin （ 子）=C。弓冗-（ 哈）÷sin（十三）=2sin【点评】本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式的简单应用，属于基础试题.8 .己知tana=l,且是第三象限角，2（I）求sin的值；（11）求sin2（2L+）+sincos（Tr-a）的值.2【分析】（I）由a为第三象限角，且tana的值，利用同角三角函数间基本关系求出cos?。的值，即可确定出sina的值；（II）直接根据诱导公式化简后把第一问的结论代入即可.【解答】解：（I）a是第三象限角，且tana=工，2.*.cos2a=,1+tan2Cl5Xcosa=-合四_：5_则Sina=-i-cos2a=-厚D(II)Vsinsin(3 + a )cos(-a )cos(j-+a) cos20o ÷cosl60o +sin 18660 - sin ( - 606o )【分析】利用诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”即可得出.解答解：(1)原式=.sin a (等in a ) S a ) = _ ；-Sina (-cos a )sia(2)原式=COS20° - cos20o ÷sin (5×360o +66o ) -sin ( - 2×360o +114o )=sin66o - sinl 14o=sin66o - sin (180o - 66o )=sin66o - sin66o(-+)+sincos(-)=cos2-sinacosa=-(-5-)×(-.?Y2)2555_2一5【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键9 .在平面直角坐标系M中，以“轴为始边作两个锐角a,它们的终边分别与单位圆相交于A,8两点已知点4,8的横坐标分别为返，2.105(1)求cosa和sin的值;cos(兀+a)sin(F)(2)求的值.cos+a)tan(兀-B)【分析】(1)结合三角函数的定义及同角基本关系即可求解；(2)结合诱导公式先对所求式子进行化简，然后结合(1)代入即可求解.【解答】解：(1)由三角函数的定义可得，cosa=Y2,cos=RL,105因为a,为锐角，所以Sina=工叵，sin=YE,105cos(÷a)si11-)*X誓人Gcos(3+aAtan(Tl-B)-Sina(TanB)需三【点评】本题主要考查了三角函数的定义，同角基本关系及诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础试题.10 .化简；Sin(兀+a)sin(2冗-a)cos(-兀-a)=0.【点评】熟练掌握诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”是解题的关键.一Lg口田一缶口",、sin(-T)cos(5"-)tan(2H-)11 .已知是第二象限角，且/()=-.cos)tan(-Jr)(1)化简/(a)；(2)若tan(-)=-2,求f()的值；(3)若=-420°,求/()的值.【分析】(1)直接利用诱导公式化简函数/()为-COSa.(2)由tan(-)=-2,求得tan=2,再利用同角三角函数的基本关系求出COSa的值即可求得了()=-CoSa的值.(3)先利用诱导公式求得cos=cos(-420°)=方，即可求得/()=-cos的值.依豺z1Z、sin(-)cos(5-)tan(2-)解答解：(1)/()=-=cos)tan(-CL-Tr)SinaGe。SQ)(-t,11)=-cos.(4分)Sina(-tanCl)(2) ,.*tan(IT-)=-2,tana=2.-(5分)/.si11a=2cosCl.*.(2cosG)2+cos2C(=l(6分)2c1cosa=z-ba是第三象限角,cqs<I=一返，.'/(a)=(8分)55(3) Vcos(-420°)=Cos4200=cos600=y,/(a)=-cosa=-(12分)【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，诱导公式的应用，属于基础题.12 .已知Sin(+a)=2cos(-a),计算：2sir¾a-CoSaSina+2COSa(2) sin2a+sinacosa-2cos2a【分析】由于Sin(+a)=2cos(-ot),利用诱导公式和基本关系式可得tana=2.(1)利用基本关系式和“弦化切”即可得出；(2)利用基本关系式和“弦化切”即可得出.【解答】解：Vsin(+)=2cos(-),，-Sina=-2COS,tana=2.(1)原式=2tana-l-2×2-l,3tan1+22+24(2)原式一sin2(I+sinacosa-2cos2a-taMa+tana-2_22+2-2_4sin2Ct+cos2Gtan2CL+122+15【点评】本题考查了诱导公式和基本关系式、“弦化切”，属于基础题.sin(11-)COS(2冗-a)Sin(-CL+)13 .已知f()三3"一cos(一冗-)COS(-+2)(I)化简f();(2)若是第三象限角，且COS(CI耳-)4,求/()的值.【分析】(1)直接利用诱导公式化简表达式即可.(2)化简已知条件，求出SineI=-，通过同角三角函数的基本关系式求出/()的值.5【解答】(本题满分12分)sin(-)cos(2-)sin(-解：()f(a)=标一cos(-冗-)cos(-).Sina cos a sin( )/ -COSa cos ( 2)Sina-CoS Sina'=-cos oz3冗z兀、.r1-1cos(O.Z-J=COSkCL+-J=-SinCl=»s11Cl=-ZZdd又CC是第三象限角，则CQSa=HI-Sin2=-2捉，,f()=2捉.55【点评】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力.14 .已知cos(+),且？LVaVn.52(I)求5sin(+)-4tan(3r-)的值(II)若OVV手，cos(-)=",求Sin(-三-+2)的值.【分析】(I)由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式可求COSa,since,tana,根据诱导公式化简所求即可计算得解.(II)利用角的范围及同角三角函数基本关系式可求Sin(-)的值，利用两角和的余弦函数公式可求cos=cos(-)+的值，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解.【解答】解：(I)Vcos(+)=-cosa,且H_VaV,52Acosa=-,sina=yJ-cos2Q=,tana="-,5545sin(a+)-4tan(3-a)=-5sina+4tana=(-5)×-+4×(-)=-6.54(II)V0<<2L,cos(-a)=返，25-<-a<0,可得：sin(-a)=71-Cos?(B-CI)=_5cos=cos(-a)+a=cos(-a)cosa-sin(-a)SirUX=x(-)-(-5525)3255525sin(-+2)=cos2=2cos2-I=-工".2125【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.15.计算sin(-z-+.)+3sin(兀+d)(1) 已知UIna=3.求-的值.cos(2-a)-cos(5兀+a)(2)己知COSa=，且CQS(a-B)=,o<B<a<光-，求角0的值；【分析】(1)利用诱导公式和齐次式化简，化为关于tana的式子，代入求值即可；(2)利用同角三角函数关系及角的范围得到Sin(a-)和Sina,从而利用余弦差角公式求出COS=CosCl-(Q-)=»从而求出角的值.【解答】解：(1)因为tana=3,兀、Zsin(-z-+d)+3sin(7+a)所以=COSa;3s吗cos(等-a)-cos(5*a)-Sina÷cosal-3tan-tanCl+1_1-9-3+1=4；TT(2)因为0<<<-y,所以0<CL-B<手，因为cos(Q-)=->所以sin(Q-B)=l-cos2(0)'因为CoS=y,所以Sina=l-cos2Q.故CoSB=COS-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=L显屈l317xi4T×14_1,2因为0<B所以3【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.16.已知f(0)=JTcos(+)sin(-)tan(兀+)(I)化简/(0),并求f(?L)的值;3(2)若(0,),Kf()=>求cos-sin的值.25【分析】(1)利用诱导公式化简函数解析式，进而利用特殊角的三角函数值即可求解.(2)由题意可求sin>O,cosVO,进而利用同角三角函数基本关系式即可求解.【解答】解：(1)因为f()二Trc°s+>sin(-)Sine(-sin).tan(九+)ta11sincos,rcrl ,Jr、 . 所以 f () = smcos33313.322'(2)若 (0, ),且f( )=19=sincos<0,25Vl-2sin cos ="Jl-2×(41)所以sin>O,cos<0,所以COSe-sin=-(cos-sin)2=_7_5,【点评】本题考查了诱导公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.17.已知tan=2.sin(-z-+Cl)÷3sin(-TC-Q)(1)求枭的值；cos(一厂-)-cs(3兀-)(2)求2sin%+sincos的值.【分析】(1)利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.(2)利用同角三角函数的基本关系式求得正确答案.z、sin(-z-+0.)+3sin(-兀-)【解答】解：(1)枭CoS(2-)-cos(3兀-)COSa+3Sinal+3ta11_1+6_-Sina+cos-tanCl+1-2+1m2Sin2(1+si11cos。2tan2d+ta11Cl8+2C(2) 2sn+sncos=2-sin2CL+cos2.tan2+1【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题.18 .求值化简：_4(I)(2×V3)6+(22)3+500g.5sin(-2CI)cos(兀-),l+sin(-y+2)【分析】（I）原式前两项利用有理数指数塞变形，再利用积的乘方运算法则计算，后两项利用对数的运算性质计算，即可得到结果；(II)原式利用诱导公式化简，计算即可得到结果.【解答】解：(1)原式=4X27+2+3=113；(II)原式=-sina.-si2coSa_-2SinaeC)S2l+cos22cos2【点评】此题考查了诱导公式的化简求值，有理数的指数靠的化简求值，以及对数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键.sin(-z-Ct)COS(IO兀-Q)tan(-+3冗)19 .已知f()=-.z、,5兀、tan(兀+)sin(一+)(1)化简/(a)；(2)若=-I8600,求/()的值；(3)若(0,H"),且Sin(-=工，求/()的值.263【分析】(1)利用诱导公式化简函数/(X)的解析式.(2)利用诱导公式化简/()=/(-I8600)的值，可得结果.(3)利用同角三角的基本关系求得COS(-)的值，再利用两角和差的余弦公式，6求得了(a)的值.Trsin(-z-d)COS(IO兀-a)tan(-Q+3)解答解：()(a)=-=tan(兀+)sin(.+a)CoSacos(-ta11)=_costanQcosCl(2)Va=-I8600=-6×36Oo+3OOo,：.f()=f(-I8600)=-cos(-I8600)=-cos(-6×3600+3000)=-cos600=-y(3)V(0,5)，sin(a4)q.cos(a4)萼，NOoOo.*./()="cos=-cos(a-E-)+2L=-cos(a-E-)CoSE-+sin(a-W-)sinE-666666=_22.3xl1l-26323w2-6-【点评】本题主要考查诱导公式的应用，两角和差的余弦公式，属于中档题.cos(-z-+CX)sin(-兀-Q)20.(1)已知角终边经过点P(-4,3),求-=-的值？cos(2-)Sin+)(2)己知函数y=a-bcos(X-)，(心0)在0*n的最大值为日最小值为-求2a+。的值？【分析】(1)利用三角函数的定义求出正切函数值，利用诱导公式化简所求表达式为正切函数形式，代入求解即可.(2)通过角的范围求解得到8S(XT)41，利用最值求解。、人即可【解答】解：(1)V角终边经过点P(-4,3),.tand=工(2分)X4cos(z-+Cl)sin(-TT-).rf92-SinQ.s11.3“八、-TkZZZ=:-z-=tanO=-r(6分)Jl冗一、./9兀小、-Slnacos4cos(2-)sin+)(2)V0x2L<22L.(7分)3x33*-cos(-),'(9分)V>0并且在Ox的最大值为S,最小值为-工221.1a-b=-5解得：a=l,b/(12分)632a+b=3.(13分)【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查计算能力.