《4.5.1函数的零点与方程的解》高频易错题集答案解析.docx

人教A版（2019）必修第一册451函数的零点与方程的解2023年高频易错题集参考答案与试题解析一.选择题（共10小题）1 .己知函数/（x）=r2r+,“函数/U）在（0,2）上有两个不相等的零点”是“工<a<2”42的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】分三种情况讨论。，再利用数形结合得到有两个不同零点的不等式组，再根据充分，必要条件的定义即可判断.【解答】解：当G=0时，/（x）=在（0,2）上无零点，=l-4a2>0当a>0时，则f(0)=a>091f(2)=5a-2>0*-a0<；<2=l-4a2>0f(0)=a<0当V0时,则jf=5a-2<SJ无解，0<<2综上所述：ZvaV工，52.（2,JL）g（1,1）,5242：.f（x）在（0,2）上有两个不同的零点是工VaV工充分不必要条件.42故选：A.【点评】本题考查函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,是中档题.2.己知"zR,"函数y=2'+m-1有零点”是“函数y=log城在（0,+）上为减函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据函数的性质求出，的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【解答】解：若函数y=(x)=2*+w-l有零点,则/(O)=l+m-l=m<l,当m0时，函数)，=Iog比在(0,+8)上为减函数不成立，即充分性不成立，若y=logw在(0,+8)上为减函数，则OV?VI,此时函数y=2"+m-1有零点成立，即必要性成立，故“函数y=2*+m-1有零点”是“函数y=log心在(0,+)上为减函数”的必要不充分条件，故选：B.【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键.3.函数f(x)=(X2-I)J2.4的零点个数是()A.1B.2C.3D.4【分析】先求函数的定义域，然后解方程/(X)=0,即可解得函数零点的个数.【解答】解：要使函数有意义，则W-420,即/24,x22或x-2.由f(x)=0得X2-4=0或X2-1=0(不成立舍去).即x=2或X=-2,函数的零点个数为2个.故选：B.【点评】本题主要考查函数零点的求法和判断，先求函数的定义域是解决本题的关键，否则容易出错.y+1(0)4.己知函数f()=X则函数y=)+的零点个数是()Inx(x>0)【分析】设/=(x),则函数等价为y=(f)+1,由y=(f)+1=0,转化为/(f)=-1.利用数形结合或者分段函数进行求解即可.【解答】解：如图示：设=(x),则函数等价为y=(f)+1,由y=f(f)+=o,得/(f)=-1,若忘0,则-/+I=-I,即，=2,不满足条件.若r>0,则Int=-1,则r=满足条件.e故函数y='(X)+1的零点个数只有1个，故选：A.【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用换元法结合分段函数的表达式以及数形结合是解决本题的关键.5.函数Fa)=zu+3*r-6的零点所在区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【分析】利用零点存在性定理，直接判断即可.【解答】解：/(x)=/皿+31-6显然是增函数，且XfO时，/(x)-,/(1)=-5<0,/(2)="2-3V0,f(3)=w3+3>0,/(2)/(3)<0,故/(x)在区间(2,3)上存在唯一零点.故选：C.【点评】本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.16 .函数f()=2.弓)下的零点所在的区间为()【分析】显然，/(X)在(0,+8)上是单调递增的，再结合零点存在性定理判断即可.【解答】解：因为y=x2与y=1-()x <0,+ 8)上都是增函数,1故f5)=、2吗)下在(0,+8)上是增函数,_1_(-l)2>0,所以/(0)/(1) <0,_1_因为/(0)=-g)2<o,/(1)=1-故/(x)只在(0,1)上存在唯一零点.故选：A.【点评】本题考查函数的单调性以及函数零点存在性定理，属于基础题.7 .函数/(x)=/心-工在下列区间中存在零点的是()XA.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【分析】显然该函数是单调增函数，然后结合零点存在性定理判断即可.【解答】解：易知/Cr)=而-工在(0,+8)上是增函数,>0,且/(1)=-KO,f(2)=Inl-A=M224所以7(1)/(2)<0,所以/(x)在(1,2)上有唯一零点.故选：B.【点评】本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.8 .函数/(x)=Iog3(x-I)+-6的零点所在的区间是()A.(2,3)B,(3,4)C.(4,5)D.(5,6)【分析】利用函数/Q)的单调性，区间端点处函数值的符号，结合零点存在性定理判断即可.【解答】解：因为)=Iog3(X-I)+x-6是增函数，且/(4)=-KO,/(5)=lg3(y)>0,故f(4)/(5)<0,所以/(x)在(4,5)上存在唯一的零点.故选：C.【点评】本题考查函数的零点存在性定理，属于基础题.Iog1(x+l),x0,1)9 .定义在R上的奇函数f(x),当时，f()=2,则关I-IX-3I，x口，+)于X的函数/(x)=(x)-(OVaVl)的所有零点之和为()A.2a-B.-2aC.2'a-1D.I-2'a【分析】根据函数/(x)为奇函数，作出它的图象，然后结合图象的性质求解.【解答】解：由题意，作出函数/(X)的图象：函数尸(X)=f(x)-(O<Vl)的所有零点，即为函数y=f(x)与y=(O<V1)图象交点的横坐标，据图可知，两函数交于五个点，易知交点的横坐标满足：X+X2=-6,X4+X5=,由题意知，该函数在(-1,0)上的解析式为y=-log(-X+1),2故Togl(-3+l)=a,解得、3=1-232故Xl+X2+X3+X4+X5=1-2d.10 .若?是方程X+阮L3=0的根，则下列选项正确的是()A.<rn<2B.2<m<3C.3<w<4D.OVMVl【分析】利用零点存在性质定理，结合函数的单调性判断即可.【解答】解：令/(x)=x+ln-3,x>0,显然函数为增函数，又/(3)=/3>0,/=Inl-KO,故存在小(2,3)使得/(m)=0.故选：B.【点评】本题考查函数的零点存在性定理，属于基础题.二.填空题(共5小题)11 .己知,及，b,Z>2R,则"方程mx+加=O与42x+b2=O的解集相同”是“m历=2历的充要条件.【分析】根据一元一次方程的解法判断即可.【解答】解：当m=2=0时，须有历=历=0,两方程同解，此时mZ>2=Bbi;-b1-bob1bo当m0,且加0时，则两方程的解分别为：X=_L和X=_£,两根相等，则=_二ala2ala2故ab2=a2bf综上可知，方程x+b=0与42x+历=0的解集相同，则m历=sb,故”方程x+b=0与历=0的解集相同”是“。1历=。24”的充要条件.故答案为：充要.【点评】本题考查充要条件的判断方法，属于基础题.12 .定义在R上的奇函数/(x),当GO时，f(x)=l°g2(x+l)(°4x<l),则函I-3I-1(xl)数g(x)=f(X)I的所有零点之和为_-1_.【分析】根据函数的奇偶性求出函数f()的表达式，根据函数表达式作出函数的图象，由图象可知函数的对称性，利用数形结合求出函数g(X)的所有零点即可.【解答】解：函数/(x)是奇函数,：.当 XVo 时,f (X)"-log2(lx)»T<x<01-Ix+3I»x-l作出函数/(x)在R图象如图：由g(x)=f(x)-=0»即/()=1,由图象可知函数/(x)=/有5个根，不妨设为x=,b,c,d,e.且VbVcVd<e,则0,b关于X=-3对称，d,e关于x=3对称，OVcVl,贝号7,等玛.,a+b= - 6,d+e=6,V0<c<l,由/(C)=得IOg(C+1)】，即c+1=22=yf2'*c=V2-L，零点之和为a+b+c+d+e=6+6+2-I=V-1故答案为：2-l【点评】点评：本题考查函数的图象，函数零点知识，考查函数与方程，数形结合的思想，准确画好图，把握图象的对称性是关键.13 .已知方程gx=-2x+5的根在区间(k,RD(Z)上，则k=2.【分析】将问题转化为函数fCO=g%+2-5在(k,HD上存在零点来处理，列出不等式组，结合kZ求解.【解答】解：方程Igx=-2r+5=gx+2x-5=0,令KX)=lgx+2-5,由已知得/(x)在(2,HD上存在零点，显然/(x)是增函数，故只需产+手Y-,f(k+l)=lg(k+l)+2(k+l)+5>0因为/(2)=lg2-KO,/(3)=3+l>0,结合AZ,所以A=2.故答案为：2.【点评】本题考查函数的零点存在性定理解决方程根的分布问题，属于中档题.14 .已知函数/(x)=x2-2ax+a2-1的两个零点都在(-2,4)内，则实数”的取值范围为(-1,3).【分析】结合二次函数的性质，根据两个零点都在(-2,4)内，构造出关于。的不等式组即可.【解答】解：因为函数/(x)=/-2数+/-1的对称轴为=,图象开口向上，=(2a)2-4(a?T)>0所以若两个零点都在(-2, 4)内，则1-2<a<4f (-2)=3+a2+4a>0f(4)=15+a2-8a>0解得-IVaV3.故答案为：(-1,3).【点评】本题考查利用二次函数的性质研究其零点的存在性问题，此类问题一般结合二次函数图象的开口、对称轴、端点处函数值的符号来研究，属于中档题.15 .己知/(x)=IlogaXl(>0,al),给出下列四个结论:若f(2)=1,则a或2；若OVmV，且/(，)=/()，则用=1；不存在正数上使得g(x)=(x)-Ax-I恰有1个零点；存在实数使得g(x)=(x)-恰有3个零点.其中，所有正确结论的序号是©©.【分析】对于，直接计算即可：对于先去掉绝对值符号，再计算即可；对于，结合图象的性质判断即可.【解答】解：对于，由己知得IlOga2|=1,故Ioga2=±1,故"=2或故对；logX,xl对于，不妨设。>1,则f()=,因为OVmV",故/()-f-log,x,x<1a(m)=IOga"+log”?=lognw=0,nn=I,同理OVaVl时，也有相同结论，故对；对于，不管>l或OVaVl,/(x)的图象形状一样，如图：对于，可看成y=h+l与y=(x)交点的个数问题，显然当A足够大时，两函数图象只在(0,1)上有一个交点，故错误；对于，由于。>】时，当。足够趋近于1时，y=k)grtx与y=0r的图象在(1,+)上与y=x都会产生两个交点，且两函数图象关于y=x对称，故该题中)，=与)，=(x)在(0,1)上有一个交点，在(1,+8)产生两个交点，共三个交点，故对.故选：.【点评】本题考查指数函数与对数函数的性质和图象来解决函数零点的判断问题，属于中档题.三.解答题(共5小题)16 .已知函数f()=Yr.x-l(1)作出函数y=(x)的图像；(2)求方程/(x)=x+l的解集.f,I,""IU-1"",",""''I【分析】(1)利用图象变换作出函数f()=U的图象即可；(2)化简方程/(x)=x+l为=+1,再讨论去绝对值号，并解方程即可.-l【解答】解：(1)作函数f ()= I-lI的图象如下,即X=x+l>0或X=x+l>0,-ll-解得，XI=,X2=或X3=-÷V,222故所求方程的解集为上空，上要，Ty.【点评】本题考查了函数的图象的作法及方程的解法，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题.17 .设f)=x2-2mx+l.(I)当加=2时，求/(%)>0的解集；(II)求函数/(x)的零点.【分析】当?=2时，/Cr)=-4x+l,先解方程x2-4x+1=0,再由方程与不等式的关系直接写出不等式的解集即可；(II)函数/(x)的零点可转化为方程/(%)=x2-2皿+1=0的解，根据判别式分类讨论方程的解的情况即可.【解答】解：(/)当机=2时，f(.x)=x2-4x+1,Y方程/Cr)=f-4+1=0的解为2返，2+3,：.f(x)>0的解集为(-8,2-3)U(2÷3.+);(II)函数/(x)的零点即方程/(x)=-2wx+l=0的解，当A=4/«2-4=0,即?=±1时，方程X2-2mx+=0的解为m,即函数/(x)的零点为加；当A=4m2-4V0,即-IVmVI时，方程X2-2mx+=O无解，即函数/(x)无零点；当=4m2-4>0,即m>1或n<-1时，方程/-2z7u+1=O的解为W7±'2.1»即函数/(x)的零点为m±2.l【点评】本题考查了二次函数与二次不等式之间的关系应用，利用了分类讨论及转化思想，属于中档题.18 .函数/(x)=l-gx-c,其中cR.(I)若c=0,求/(x)的零点；(II)若函数/(X)有两个零点XI,X2(xi<2),求4x+X2的取值范围.【分析】(I)利用对数的运算性质和绝对值的概念，直接解方程即可；(II)将两个零点都用C来表示，然后进一步化简即可.【解答】解：(I)当C=O时，令/(x)=IlTgM=O,解得X=I0,所以函数/(%)的零点为X=I0；(II)结合已知条件得，八力=F-IgX-°，0<x<10,lgx-c-1,x>10当C>0时，f(X)有两个零点用，X2(XlVX2),则1-3=gX2-l=c,所以XI=Iol-C,X2=IO1+c*所以4x+2=4×IO1t+10,+c=-+10×IOc>2J-×10×10C=40,(当且仅当10cVIOc旦:IOXlO与即c=g2时取等号)，IOc所以4X1+X24O,+).【点评】本题考查函数零点的概念以及基本不等式在求函数值域中的应用，属于中档题.319 .函数V=F-在区间(0,3上有两个零点，则m的取值范围是(e,二1.3【分析】问题转化为m=g(X)=h,x(0,刃有两个两个实数根的问题，研究函数gX(X)在(0,3上的单调性，极值和值域即可.【解答】解：y=F-mr在区间(0,3上有两个零点，即加=丈，(0,3有两个两个实数根，X令g()=Je(0,3,gz(X)=(X-1'，显然X(O,I)时，g,(X)VO,此时g(x)单调递减，g(x)X(g(1),+o0):x(1,3时，g'(x)>0,此时g(X)单调递增，g(x)(g(1),g(3),g,(1)3=0,且g(1)=e是极小值，结合g(3)=,故要使结论成立，只需e<rE-.33故答案为：(e，反_.3【点评】本题考查了函数零点、方程的根与函数的单调性、极值以及值域之间的关系，属于中档题.20.已知函数g(x)=r2-2ax+b(>0)在区间2,3上有最大值4,最小值1.函数f(x)=-i-L×2.(1)求函数g(%)的解析式；(2)若存在xe,使得不等式/(加)-Ma0成立，求实数攵的取值范围；(3)若函数尸(4)=/(3Jll)+,.典一工-2Z有三个零点,求实数A的取值范围.3x-l【分析】(1)先判断g(X)的单调性，再结合最值列出。，的方程求解；(2)分离参数攵，然后研究函数的最值即可；(3)结合/(X)的图象，构造出攵的不等式求解.【解答】解：(1)由己知得：g(X)=r2-2ax+b(>0)对称轴为x=1,故函数g(%)在2,3上单调递增，所以fg(3)=3a+b=4,解得。=力=,g(2)=b=l所以g(X)=x2-2x+l；(2)由题意知：f()=IIAI=J-2,xe,e2，底>°，则不等式/(加)-Mlr0在xe,4时有解,即存在x即使不等式kf(in)成立,令I=MX,l,2,则上式化为k>f(t),故攵20,即实数k的取值范围0,+8）；-2k有三(3)由题意得F(X)=f(I3乂-Il)I,I_2k=g(3x-l|j4k-l3x-ll3x-ll3x-ll个零点，2即方程(3'-1-1)+4kT_2k=0有三个实根，3x-l3x-lI即方程(3x-11-1)22灯|3*l+4k1=0有三个实根,令m=3*-l,该方程可化为/W2-(2+2)m+4=0,解得mi=2,n=2k,作出函数y=3*-1的图象如图所示：显然直线y=2与曲线y=3-1|有且仅有1个交点，所以要使产（1）有三个零点，则直线y=22与曲线y=3*-1|有2个交点则0V2及V1,所以o<k<,即实数&的取值范围为（0,）.【点评】本题考查函数解析式的求法，以及利用函数的单调性、最值以及图象，解决不等式恒成立问题、函数零点的存在性问题，属于中档题.