《指数函数的图像和性质》高频易错题集答案解析.docx

人教A版(2019)必修第一册<4.2.2指数函数的图象和性质2023年高频易错题集参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.比较a=()5,b=C)v5,C=揩)3的大小()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b【分析】先构造函数得到2(XT)阮t<f>i),再结合分析法求解即可.x+1Vx【解答】解：设/(x)= 2(-l)x+1(x>l),则/ (X)=14= (-l)2 >0,(x+l)2 x(x+D2/ (x)在(1, +8)上为增函数，,V(X)>f(D =0,即/内>2(X-I)x+1(Ql),设 g (X) =Vx - -X- - Inx (> 1),Vx则 g, (x) =-+- - -1=(4 4) 2x 2xx X 2xx>0,:g (X)在(1, +o0)上为增函数，>bx (x> 1),a=(-)3>b=)25z>51=2(/哈+/哈)DDO/3CCL111P/_«(3-2)1旦>近港=f2z-=2÷6>5241蕨3-22(”InIl+12_->-T=三-=206>2+6,；显然成立，lrJKr隧LH24V24V2560c=(l-)3>a=(1)5=伍加2=/此(3-I)加独>加亚'9"'95925925=V3 ÷122_J显然成立,l=153>3÷12345'.c>a>b,故选：D.【点评】本题考查了利用构造函数的单调性比较大小，属于中档题._i_1_2. b=3c=6,则G'C的大小关系正确的是（）A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.a>c>b【分析】根据幕的运算法则，计算a、a和¢6,再比较大小即可._1_£_1_【解答】解：因为又2万，b=3y,c=6所以4>0,b>0,c>0,计算。6=23=8,/,6=32=9,¢6=6,所以a>a>c6>o,所以b>a>c.故选：C.【点评】本题考查了塞的运算法则与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题.3.若指数函数/（x）=/的图象与射线3x-y+5=0Cr2-1）相交，则（）A.a（0,-1B.呜,DC.呜,I）U（I,+）D.ae（0,-U（1,+）【分析】结合指数函数的性质，通过讨论。的范围，从而得到结论.【解答】解：当>l时，必会有交点，当a<时，过（-1,2）是临界点，当f（X）过（-1,2）时，若要f（X）与射线有交点，其图象需在（-1,2）的上方，比如过（-1,3）点此时=工，由此可知的取值范围为（O,.32综上。的范围是(O,U(I,+8),故选：D.【点评】本题考查了指数函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道基础题.4 .己知函数y=0v-8(>0,l)的图象如图所示，则以下结论不正确的是()A.ah>B.In(a+b)>0C.2h'a<D.ba>【分析】根据函数(>0,al)的图象与性质，得出>l且OVhV1,再判断选项中的命题是否正确即可.【解答】解：根据函数y=-b(>0,al)的图象知，函数,，=-是单调增函数，所以>l,又X=O时，y=l-b,所以OVl-bVl,解得OVbVL所以)，="是单调增函数，ab>cP=1,选项A正确；由+b>l,得加(a+b)>0,选项8正确；由人-V0,得23。<2°=1,选项C正确；y=是单调减函数，ba<b0=lf选项。错误.故选：D.【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题.5 .令=607,b=OJfC=IOgO.76,则三个数a、b、C的大小顺序是()A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a【分析】由指数函数和对数函数的图象可以判断。、。、C和O和I的大小，从而可以判断a、b、c的大小.【解答】解：由指数函数和对数函数的图象可知：«>1,OVbVl,c<0,所以CVbVa故选：D.【点评】本题考查利用插值法比较大小、考查指数函数、对数函数的图象和性质，属基础知识、基本题型的考查.6 .已知=0.3°5,=O.3o6,c=(-)2,则°、b、C的大小关系为()A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a【分析】根据指数函数y=O.y的单调性判断a>b,根据基函数=x05的单调性判断。<c,即可得出a、b、C的大小关系.【解答】解：由函数y=O.3"是定义域R上的单调减函数，且0.5V0.6,所以0.3°5>0.3°6,即心也又函数y=x°5是定义域0,+)上的单调增函数，且0.3v2,51所以0.3。5<()2,即Vc;所以、b、C的大小关系为bVVc.故选：C.【点评】本题考查了利用函数的单调性判断数值大小的问题，是基础题.7 .己知/(x)=2x-（八）若f(t)+f(n)>0,则()A.B./?/+«<0C.>0D.in-n<0【分析】先判断了(x)是定义域R上的奇函数，且是增函数，再由/(m)+f(n)>0得出川>-，即可得出结论.【解答】解：由/(x)=2X-(1)xR;所以f(-)=2-X-（八）=g)-2X=(x),所以/CO是定义域R上的奇函数，且是增函数：又/Cm)+f()>0,所以/(次)>-/()=/(-)，所以m>-，所以m+n>0.故选：A.【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性应用问题，也考查了推理能力，是中档题.8 .若2J2Y3-x-3-y,则（）A.>2B.×-<iYC.Ig（y-x）>0D.（-）y<2x【分析】由题意构造函数，判断XV中再判断选项中的命题是否正确即可.【解答】解：由2v-2）'V3F3ZW2-3<2v-3'设，（力=23工则f（力在R上是单调增函数；所以XVy.对于4,由XVy,不能得出f>,所以A错误；对于8,由XVy,也不能得出三<1，所以8错误；y对于C,由XVy,得出y-x>0,不能得出/gCy-x）>0,所以C错误；对于。，XVy时，（-l）x>（±）y,即g）y<2x,选项0正确.故选：D.【点评】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小的问题，是基础题.9 .某种放射性元素的原子数N随时间f的变化规律是N=?其中,b都是正常数，则该种放射性元素的原子数由a个减少到三个时所经历的时间为11,由包个减少到旦个时224所经历的时间为2,则以=（）t2A.2B.1C.In2D.e【分析】由N=ae'bl,利用Z=O求出N=Cb再求出N=且时求出z,N=3时求得t和24/2的值，从而求出3的值.t2【解答】解：由N随f的变化规律是N="叱当J=O时N=q,若N=生,则6加=工，所以-初="1=-历2,解得/=&!?；222b若N=生,则eb,=-f所以-bt=ln-=-Ilnl,解得=21n2；444b所以八=ln2,力=21112_In2=In2,bbbb所以2L=Lt2故选：B.【点评】本题考查了指数函数模型应用问题，也考查了对数的运算性质，是中档题.10. 一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%,那么平均每年应降低成本()A.18%B.20%C.24%D.36%【分析】设每年降低成本明然后表示出两年后的成本，令其等于0.64,解出X即可.【解答】解：设原来的成本为“1“，每年降低成本比例为X,则两年后的成本为IX(I-X)2=I-0.36,解得x=0.2,故每年应降低成本20%.故选：B.【点评】本题考查指数运算在应用题中的应用，属于中档题.二.填空题(共5小题)11 .若函数/(%)=2lxl(R)满足/(l+x)=/(1-x),且/(%)在m,+)单调递增，则实数小的取值范围是?Nl.【分析】由题意，/Q)关于x=l对称，得到=l,进一步得到函数的递增区间，得到m的范围.【解答】解：因为函数f(x)=2kl(R)满足/(l+x)=/(1-),所以函数的对称轴为1=1,所以=l,得到函数的递增区间为1,+8),又/(x)在加，+)单调递增，所以机21；故答案为：雨Nl.【点评】本题考查了指数函数的图象以及函数的单调区间；关键是明确指数函数的图象特点以及/(l+x)=/(1-x)的运用.12 .已知函数/U)=近1-2(>0且l)的图象不经过第四象限，则a的取值范围为+8).【分析】根据指数函数的图象与性质，求出/(X)恒过定点，结合题意列不等式求出。的取值范围.【解答】解：函数/Cr)=r+,-2(。>0且oD中，令x+l=0,得X=1,所以/(-1)=1-2=-1,即F(X)的图象过定点(1,-1)；由/(外的图象不经过第四象限,则f（O）=-22O,解得。22,所以。的取值范围是2,+8）.故答案为：2,+8）.【点评】本题主要考查了指数型函数的图象与性质的应用问题，是基础题.13 .函数y=+（a>0且的图象过定点（7,1）.【分析】根据指数函数恒过定点（0,1）以及图象的平移变换的知识解决问题.【解答】解：因为函数y="的图象过点定（0,1）,而y=÷的图象是由y="的图象沿”轴向左平移一个单位得到的.故图象过点（1,1）.故答案为（-1,1）【点评】本题考查了指数函数过定点的知识以及图象的平移变换即左加右减的知识，属于基础题.14 .若函数y=/（>0,4l）在区间1,2上的最大值和最小值之和为12,则实数a=3.【分析】对底数。分类讨论，根据单调性求得最大值与最小值，列出方程求解可得。的值.【解答】解：当OVaVl时，函数,，=在1,2上为单调减函数，.函数y=av在1,2上的最大值与最小值分别为,a2f由函数y=/在1,2上的最大值与最小值和为12,.*.+2=12,解得。=3（舍）或=-4（舍去）；当a>时，函数），=加在1,2上为单调增函数，.函数y=0v在1,2上的最大值与最小值分别为a?,电由函数y="在,2上的最大值与最小值和为12,tz+2=12,解得。=3或=-4（舍去）.综上，实数。=3.故答案为：3.【点评】本题考查了函数最值的应用问题，解题时可对4进行讨论，是基础题.15.上海市人口和计划生育委员会发布的人口出生预测数据为年份2003年2004年2005年2006年常住人口出生数8.6万9万9.7万12.09万根据表中信息，按近4年的平均增长率的速度增长，从2009年开始,常住人口出生数超过2003年出生数的2倍.【分析】先计算近4年中的增长率，进而得平均增长率，利用常住人口出生数超过2003年出生数的2倍，建立不等关系，从而得解.【解答】解：由题意，2003年到2004年的增长率为器=0.055；2004年到2005年的增长率为旦旦=0065；9.12005年到2006年的增长率为区空=o259.74年的平均增长率=°055+0.065+0.25=0.1233设经过年，常住人口出生数超过2003年出生数的2倍，则8.6×（1+0.123）m>17.2.,.n6=6,故从2009年开始，常住人口出生数超过2003年出生数的2倍.故答案为：2009.【点评】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查指数函数模型，关键是确定年平均增长率.三.解答题（共5小题）16.己知函数/Cr）=&/&为常数，。>0且。=1）的图象过点八（0,1）和点8（2,16）.（1）求函数的解析式；（2）g（X）=Z>÷-1是奇函数，求常数b的值；f（x）+lX+Yf（Y）+f（X）（3）对任意的.，2R且XlW火，试比较f_2）与，_二二的大小.【分析】（1）将A、B的坐标代入/G）,求出丸。的值，从而求出函数的解析式即可;（2）根据函数奇偶性的定义求出力的值即可；(3)分别求出f(“I+'2)与_,巴?+f("L的表达式,根据基本不等式的性质判断k2)2其大小即可.【解答】解：(1)将A(0,1)和点8(2,16)代入/(%)得：<k=1?，解得：卜口，kaj=16Ia=4故/(x)=4;(2)由g(X)=/?+，4x+l若g(X)是奇函数，则g(.x)=b+-Z?+=-h-,4"x+l4x+l4x+l解得：b=-；2(3)V/(%)的图象是凹函数,./Xl+X2、f(xp+f(、2)2'证明如下：x1-h£_f34Fj,f(xi)+f(乂2)=4%+4&>dj-2=12-24X1+x2f(x1)+f(x2)故f_-)<i二.'2,2【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数值的大小比较，考查不等式的性质,是一道中档题.17 .已知指数函数/CO=(1)函数y=f(X+2)-1过定点M(p,q)，求p+q的值；(2)当bd,-1,1时，求函数y=*(x)J2-2af(x)+3的最小值g(a)；3(3)是否存在实数山)>3,使得(2)中关于。的函数g(a)的定义域为，时,值域为/,?若存在，求出zw,的值；若不存在，请说明理由.【分析】(1)根据指数函数的图象与性质求出函数)，所过的定点，再计算p+4的值；(2)根据题意写出函数)，的解析式，利用二次函数的图象与性质求出函数的最小值g(。)；(3)假设存在满足题意的加，值，利用题目中的条件以及函数的单调性判断这样的小、是否存在即可.【解答】解：(I)函数y=(x+2)-I=L2令x+2=0,得4=-2,此时y=1-1=0,，函数过定点(-2,0),此时p+q=-2+0=-2；(2)号，-1,1时，Of()=(y)xEy»3，y=f(X)2-2af(x)+3=(y)2x-2a(y)x+3=(y)-a2+3-a2,当a<片时，g(a)oyo当<a<3时，g(。)=3-R当>3时，g(a)=12-6«；(282a/193,a<T故g(a)=3.a2jla3512-6a,a>3(3)假设存在满足题意的小，小由加>>3且g(a)=126。在(3,+)上是减函数，又g(4)的定义域为，m,值域为m2tfJ12-6m=n12-6n=m2两式相减得6(?-)=(/+)(?-)，由m>>3知?+=6,这与m>>3矛盾；所以满足题意的加，不存在.【点评】本题考查了函数的定义与性质的综合应用问题，是难题.18 .已知函数f()=3'-l,若a>b,比较/()与f(b)的大小.3x+l【分析】解法一，判断函数/(外是定义域R上的增函数，再比较/()与f(b)的大小.解法二，利用作差法比较/()与/(b)的大小.【解答】解：解法一，函数f()/'-I=+1-2=I-3x+l3x+l3x÷l因为)，=3"是定义域R上的单调增函数，所以y=_2_是定义域R上的单调减函数，3x+l所以y=1-，是定义域R上的增函数，3x+l即/(x)是定义域R上的增函数，所以当>力时，fQa)"(b).ab解法二，sf(a)-f(b)-zl3a+l3b+l_(3建1)(3b+l)-(3a+l)(3八1)(3a+l)(3b+l)_(3a3b+3a-3b-l)-(3a3b-3a+3b-l)(3a+l)(3b+l)_2(3a-3b)(3a+l)(3b+l)'当白>b时，3a>3bt所以2(3“-3力>0,且3"+l>0,3"+l>0,所以_2(3-3：)_>0,即/()>/(/,).(3a+l)(3b+l)【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，函数值大小的比较，是基础题.19 .已知定义域为R的函数f()=-2'+a是奇函数.2x+l(1)求值；(2)判断并证明该函数在定义域R上的单调性；(3)若对任意的R,不等式/(2-2Qt7X2»-2)Vo恒成立，求实数2的取值范围;(4)设关于X的函数户Cr)=(4r)+/(-2+,)有零点，求实数b的取值范围.【分析】（1）根据奇函数当X=O时的函数值为0,列出方程求出。的值；（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值-作差变形-判断符号-下结论；（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出不等式由二次函数恒成立进行求解；（4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出b的范围.【解答】解：由题设，需f（o）言之=0，"=1，经验证，f(x)为奇函数，=l.(2)减函数证明：任取用，2R,XlVX2,x=X2-Xl>0,XAX./X,X八/(X2)-/(Xi)=上匕上II=2(272),1+241+21(1+2l)(1+22)Vx<x2.0<2x2*2;.*.2、i-2*2V°,(1+2")(I+?”?>>0/S)-/(XI)<0 该函数在定义域R上是减函数.(3)由/(r2-2。+f(2r2-k)VO得/(»-2/)<-/(2?7), ：f()是奇函数，/(22e)<f(k-2t2)t由(2)知，)是减函数 原问题转化为tz-2t>k-2落即3t-2t-k>0对任意rR恒成立，=4+12<0,得k<即为所求.(4)原函数零点的问题等价于方程/(4*-b)+/(-2x+1)=0由(3)知，4x-b=2x+'f即方程b=4'-2A-H有解4x-2r+,=(2D2-2×2x=(2r-I)2-1-1,，当he-1,+)时函数存在零点.【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，利用奇函数的定义域内有O时有/(O)=O进行求值，函数单调性的证明必须按照定义法进行证明，即取值-作差-变形-判断符号-下结论，利用二次函数的性质，以及整体思想求出恒成立问题.20.牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在Oe的冰箱中，保鲜时间约是192人而在22C的厨房中则约是42人(1)写出保鲜时间y(单位:h)关于储藏温度X(单位：C)的函数解析式(2)利用(1)中结论，指出温度在30C和16°C的保鲜时间(精确到(3)运用上面的数据，作此函数的图象.【分析】(I)设y=Z"O,且Wl),则利用牛奶放在0的冰箱中，保鲜时间约为192人放在22C的厨房中，保鲜时间约为424，即可得出函数解析式；15J_(2)=30o时，y=192(-L)T,X=16°时，y=192(-L)2,运用解析式求3232解即可(3)判断单调性根据解析式.192=k【解答】解：(1)设(k0,a>0且l),则有，42=kaz2k=192.1_/7X22卜-(被)7工，)，=192(-)22.20.327叵(2)x=30o时，y=192(-i-)11,3271X=I6°时，y=192(-)290.32(3)运用函数解析式y=192(-L)22.XN0.32单调递减函数.【点评】本题考查了指数函数的性质，运用方程组的方法求解，计算较麻烦.