《无理数指数幂及其运算性质》高频易错题集答案解析.docx

人教A版(2019)必修第一册4.L2无理数指数塞及其运算性质2023年高频易错题集参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1 .下列等式一定成立的是()aa3-2=。ba2-a2=0J-J-LC.(冷2=/D.N-行手“不【分析】A,B,C,。由分数指数靠的运算性质进行化简判断.【解答】解：A,同底累相乘，指数相加，故A错.B、同底累相乘，指数相加，故8错.。、因为(")n=af,n,3X2=6,故。错.。、同底基相除，指数相减.故。对，故选：D.【点评】利用分数指数鼎的运算性质进行化简时，形式要求统一.用分数指数塞或根式表示皆可，注意不能忽略常数，特别是符号的运算A. .某厂去年的产值记为1,计划从今年起，每年的产值比上年增长8%,则从今年起到第十年，这个厂这十年的总产值为()B. 1.089C. 1.08,°c1.08(I-Lo810) 1-1.08I-L08= 1-1.08【分析】根据题意，求出每年的产值构成数列，从今年起到第十年，组成等比数列，利用求和公式，求出这个厂的总产值.【解答】解：由题意，第一年要比去年产值增加8%,那么第一年产值就是1+8%,即1.08,第二年又比第一年增加8%,所以第二年产值是(1+0.08)(1+0.08)=(1+0.08)2,9，依此类推，第十年的产值是(1+0.08)1°,所以从今年起到第十年，这个厂的总产值为(1+0.08)+(1+0.08)2+(1+0.08)10=1.08(l-1.081°)1-1.08故选：C.【点评】本题考查了数列模型的构建与应用问题，考查了数列求和的计算能力与逻辑推理能力，是基础题.3.若实数小人满足/V/4则下列选项中一定成立的有()A.a<bB.ai<b3C.ei,'b>D.In华)<。【分析】利用特值法可排除选项A、B、C,分类讨论可判断选项O.【解答】解：当=-l,b=-2时，/台成立，但力，v都不成立，当=l,b=2时，Mv/5力成立，/”>不成立，故选项A、B、C都不成立，若V0,则bVVO,故OV，_V1,b若>O,则8>0>0,故OV，_V1,b故n（_）<0,b故选：D.【点评】本题考查了指数塞的运算及分类讨论的思想应用，属于基础题.4.22021 +1b=22022 +1则下列说法中正确的是(A.文文叟a a+1B.a2+b22D.2a+b>Aa+2bb【分析】设函数/(x)=221,判断/CO是R上的单调递减函数，得出l>a>bx+l,1>0,由此判断选项中的命题是否正确即可.【解答】解：设函数/(x)=2：+12x+1+1y(2x+1+l)+y1y则/(x)二=上+-,2x+1+122x+1+1因为函数)，=2可在R上为单调递增函数，所以函数)，=Z-在R上为单调递减函数,'2x+1÷1所以/(x)在R上为单调递减函数，所以/(2020)>(2021)>0,即4>b>O,所以OV互VI,a<0,即上V也±1,选项A错误;a a+1所以上-更L=TZIaa+1a(a+l)q2020 , 因为 OVa=JkLi?2021 +<1,92021 ,1 0<h=-22022 +1<1,所以/+廿V2,选项8错误;因为(。-t)-2)=(-b)+ (A-.) = (-b) (l+-) >0,b aab所以4-旦，选项C正确；ab所以叁±Hv三，选项。错误.a+2b b因为2a+b_a=(b-a)(b÷a)<0>a+2bbb(a+2b)故选：C.【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题.5.设。>0,则下列各式正确的是()B. (2) 2=1a±A.43a,a-a21C.T3Ja-a=a【分析】根据塞指数运算性质可解决此题.34_2+125【解答】解：J-J=J3=7,.A错;cLcLa”(-2)2=/4,.B错；21-11.q÷3=3=3,C对;cLad3_a4=错故选：C.【点评】本题考查有理数指数寻运算及分数指数累与根式的互化，考查数学运算能力,属于基础题.6.设。是非零实数，己知。-不=1,则(a+a1)(a：a2-2)=()4-4a-aA.B.C.1D.36 3【分析】按。的正负分类讨论，以-/1=1为整体，化简可得a+/1=-y或U,a1+a2-2=1,/-/4=-3而或3而，从而代入求解.【解答】解：当VO时，Va-l=l,"="(a-a1)2+4=-心a1+a2-2=(-)2=1,a4-a'4=(a2+2)(2-o2)=(2)Ca-ai)(+a,)=3×1×(-5)=-3遥，故(a+aD(a)+a2-2)_遥Xl=-La4-a-4353,当”>O时，Va-l=l,Ja+a=(a-a1)2+4=遥，a2+a2-2=Ca-ai)2=1,a4-a4=(a2+a2)(2-2)=(a2+a2)(a-al)Ca+a)=3×1×5=35»用(a+aD(a2+a2-2)_工口W3,综上所述，(a+a-1)(/+ad)=工a4-a-43故选：B.【点评】本题考查了平方差公式及完全平方公式的应用，整体思想的应用，属于中档题.7 .设实数a=5T,b=5-3,c=7-5,则()A. b>a>cB. c>b>aC. a>b>cD. c>a>b【分析】构造函数f(x)=+2-Vx，其中判断了(x)是定义域1,+)上的单调减函数，从而判断。>">c.【解答】解：设/Cr)=74,其中“21,2V x+2 +/x所以/(x)=0+2),X=X+2÷X所以)是定义域n，+)上的单调递减函数;又1V3V5,所以7(1)>/(3)>/(5),郎M-I>遥爬，所以a>b>c.故选：C.【点评】本题考查了有理数指数靠的大小比较问题，是基础题.8 .己知v1,W(4a-1)2则化简的结果是()A.4a-lB.-4a-lC.Vl-4aDVl-4a【分析】由工，我们可得4-IVO,我们可以根据根式的运算性质，将原式化简为42_LI(l-4a)I了=I(l-4a)再然后根据根式的性质，易得到结论【解答】解：<4*(4a-l)2=V(l-4a)2=I(l-4a)I7=(l-4a)7=l-4a.故选：C.【点评】本题考查的知识点是根式的化简运算，本题中易忽略4-1V0,而错选A.,13i1£.19 .有下列各式：(D(V；)n=a：X4Te)；a4a3=a；®=b其中正确的个数是（【分析】利用指数靠的运算性质即可判断出.【解答】解：由次方根的定义可知对,=X3,是错的;Y/+户不是完全平方式，开不出来，所以是错的.所以，只有对.故选：B.【点评】本题考查了指数塞和根式的运算性质，考查了计算能力，属于基础题.10 .awV的分数指数幕表示为（）22D.都不对【分析】从内到外依次将根号写成分数指数塞的形式，再利用分数指数塞的运算性质化简.解答解法一：aV11J1.11113解法工612-a7故选：C.【点评】考察分数指数轮的运算性质，属基础题二.填空题（共5小题）11 .化简：（7zl）2+J（卜a）2+即（a）3=.【分析】根据题意可得的范围，然后再化简求值.【解答】解：（W）2,120,即21.*（Va-1）2+（i-a）2+y（l-a）3=Cl-1+1-+l-a=a-1.故答案为：a-.【点评】本题考查根式的运算，要注意根号的非负性，主要考查学生的数学运算能力和分析问题的能力，属于基础题.12 .若(1>a)2+(1+a)2=2,则的取值范围为SI-IWaW1.【分析】化简二次根式，转化为去绝对值问题，进行分类讨论，求出的取值范围.【解答】解：,(l-a)2÷(l+a)2=Il+U+=|«-1+12a,a1=2,-la<l,-2a,a<-l当LWl时，(l-a)2+(l+a)2=2:，。的取值范围是-lWWl.故答案为：7WWl.对值即可，是基础题.13.设 g)a = 5b=r 且!T=2,则ZW=一【分析】由指数式与对数式的互化及对数运算法则化简即可.【解答】解：:=5b=n，,工=Iogmg =logz5, 2a2 b», - I=IogAi - log.5 =-=2,片工=叵,V 1010故答案为：运.10【点评】本题考查了指数式与对数式的互化及对数运算法则,XeX14.若 x=2 (0>0),则= 3 .X -X a -aX - X -、2【分析】利用平方差公式化简a +： =1a +a )X -X / X -Xx/ X , a -aIa -a Ma +入即可.【解答解：Y记±曳三=(- + a-x)2属于基础题.2x, -2x _ a +2+a-x 2x -2xa ) a -a【点评】本题考查了二次根式化简为绝对值的问题，解题时应根据绝对值的意义去掉绝a -a/ x -x / x , -x la -a ) (a +a )a2x÷2÷a-2x.2+2+22x -2xC 1a -a9乙2=3,故答案为：3.【点评】本题考查了有理数指数箱的化简运算，属于基础题.r- _5_15.给定正实数小b,化简代数式沪-（ab）& （如）1=-b-【分析】由5_5_ 5_J_（ab）7=ayb 近）一§代入化简即可【解答】解：沪5_*(ab J (沈)'3 a1551abb=VaeVb=Vab, 故答案为：Vab.【点评】本题考查了有理数指数箱的化简，属于基础题.三.解答题（共5小题）16. (1)已知X, y均为正数，x+4y=xyt求x+y的最小值;(2)_15×( - Z.)o+8o25× 2+ (2×3)(3)3_2己知x+/1=4,求E+-的值.【分析】(1)由 x>0, y>0, x+4y=Xy 化简得工+2=1, x+y= (x+j) (A+A)=三+生+5,利用基本不等式求最值;（2）利用哥运算的性质化简即可;1 _x(3)由 x+xr=4 得 2 + 2 =+-l+2=V再结合立方和公式求解.【解答】解：(1) Vx>O, y>O, x+4y=xyt1÷Ay X1,.x+y=(x÷y)(1+A)YX=工+生+524+5=9,yX（当且仅当x=6,y=3时，等号成立）,故x+y的最小值为9；（3） Vx+x-1=4,J_J_Y+E=Yx+T+2=,33故F+一万1 =（乂2+2）（+1-1）=36【点评】本题考查了基本不等式，塞运算及其应用，属于中档题.17 .化简下列各式：(0.0645)-2,53G21g2+lg3111 片Ig0.36+1g16【分析】（1）直接按照指数靠的运算法则逐项化简计算得出结果.（2）利用对数的运算法则，直接化简求值，注意分子分母非特殊值约分的处理方法.【解答】解：（1）原式=（3-）5于-（史）§-i（2分）IoOO8=)523-(f)I3-I<45»=S旦T(6分)2 2=O(7分)（2）原式=21g2+lg321g2+lg3l-lg.62-klg24 1+1 g2×3+lg2（4分）=21g2+lg321g2+lg3=i(17分)l+lg2+lg3-lgl+lg221g2+lg3【点评】本题考查指数靠的运算法则，对数的运算法则.考查计算能力.牢记有关法则是前提，准确计算时关键.18 .化简求值：(请写出化简步骤过程)T-41®0.0643-(-)0+(-2)33+16-o75+O.Oay11IT:L53×(-)0+84×V2+(V2×3)6-(-y)3.【分析】把根式化为分数指数塞，根据塞的运算法则计算即可.T-41【解答】解：q.0643-(-)0+(-2)33+16o,75+O.0Jy141=(0.43)3-1+(-2)3><()+q4)o-75+(0.I2)2=0.4'1-1+(-2)4+23+0.1=2.5-+-A-+A+0.1168=16+=Ml或1.7875；80 1. 5 3 ×1o÷87×v2÷(v2x3)6-,12±11691×1=份)3+24x24+(23×32)-(万尸2_1_=(-)3÷2,+22×33=2+108=110.【点评】本题考查了把根式化为分数指数塞以及箱的运算问题，也考查了运算求解能力,是基础题.(1)bVa3>b(a>0>b>0).avb2ab(2)(2)+0.l2-(-y)7+0【分析】直接根据有理数指数塞的运算求解即可.1-L75_1r邮处】/1X庙Tb(a3(ab)3)a3×b6y【解答】解：(1)原式=5"=a2b3,1T6vu6a(b2(ab)2)a×bJ_3J-(2)原式=q)2+*_)2-(-)3+l=+100-+l=l°l【点评】本题主要考查有理数指数塞的运算，属于基础题目.20.计算下列各题：J-I_1®0.008I4+(44)2+(8)3-16075j的2Ielog25lg25+lg21g50+22【分析】利用幕指数的运算性质，有理指数靠的性质直接化简即可得到答案.利用对数的运算性质，以及2+5=l,a1°a=w,化简表达式，即可求出1 g+lg21g50+2咳”5的值x_l_3_2±解答解：原式=(o.3)t+(2-)2+(27)"24x-0,75-03+23+22 2-3=0.3+0.25=0.55J-Iog5原式=Ig+21g21g5+lg22+21222=(Ig5+lg2)2+2121°s2=1+25所以的值为：0.55.的值为：l+25【点评】本题考查有理数指数基的运算性质，对数的运算性质，考查计算能力，是基础题.