《概率论和数理统计》试题.docx
上海交通大学概率论与数理统计试卷2004-01姓名：班级:学号：得分：一 .判断题(10分，每题2分)1 .在古典概型的随机试验中，P（八）=O当且仅当A是不可能事件()2 .连续型随机变量的密度函数”处与其分布函数/Cr)相互唯一确定()3 .假设随机变量X与y独立，且都服从p=o.的(0,D分布，则X=y()4 .设X为离散型随机变量，且存在正数使得P(IXl>6=0,则X的数学期望E(X)未必存在()5 .在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时，犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少()二 .选择题(15分，每题3分)1 .设每次试验成功的概率为(OVPV1),重复进展试验直到第次才取得r(lr")次成功的概率为.(a)Clpr(-Prf;(b)Crnpr(l-pYl-r；(c)C"pi(l-p)”川；(d)pr(-p)n-r.2 .离散型随机变量X的分布函数为/(X),则P(X=Z)=.(a)P(xk.iXxk)(b)F(xk+i)-F(x,i)；(c)P(xa,1<X<xa+i);(d)F(xk)-F(xk_1).3 .设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=max(X,2003)的分布函数.(a)是连续函数；(b)恰好有一个连续点；(c)是阶梯函数；(d)至少有两个连续点.= 0.6,则4 .设随机变量(X,Y)的方差D(X)=4,D(Y)=1,相关系数月Xy方差O(3X-2Y)=.(a)40；(b)34；(c)25.6；(d)17.65 .设(X,Xz,，X)为总体Nd"?)的一个样本，又为样本均值，则以下结论中正确的选项是./、X-I/、(a)产t(n)21"(b);Z(X,-1)2R5,1);(C)E-LN(0,l);2M(d)；豆(XiT)2/().4i=l二.填空题(28分，每题4分)1 .一批电子元件共有100个，次品率为0.05.连续两次不放回地从中任取一个，则第二次才取到正品的概率为2 .设连续随机变量的密度函数为/(X),则随机变量Y=3的概率密度函数为人(y)=3 .设T为总体XN(3,4)中抽取的样本(X,X2,X3,XP的均值，则P(-1<X<5)=.4 .设二维随机变量(XJ)的联合密度函数为则条件密度函数为,当时，4x3©=5 .设xf(m),则随机变量y=2服从的分布为(需写出自由度)6 .设某种保险丝熔化时间XN(",b2)(单位：秒)，取=16的样本，得样本均值和方差分别为X=15,52=0.36,则的置信度为95%的单侧置信区间上限为7 .设X的分布律为X123一个样本值(七/2，与)=(1,2,1),则参数的极大似然估计值三.计算题(40分，每题8分)1 .一批产品中96%是合格品.检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05.求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率2 .设随机变量X与y相互独立，X,丫分别服从参数为人。工)的指数分布，试求Z=3X+2Y的密度函数yz(z).3 .某商店出售某种贵重商品.根据经历，该商品每周销售量服从参数为2=1的泊松分布.假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该商店一年内152周)售出该商品件数在50件到70件之间的概率.4 .总体XN(q2),(,?,X“)为总体X的一个样本.求常数4,使Z£|X,-为此无偏估计量.Z=I5 .(1)根据长期的经历，某工厂生产的特种金属丝的折断力XN(",b2)(单位：kg).=8kg,现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值嚏=575.2kg.问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570kg(=5%)(2)维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布N(4,0.0482).某日抽取5个样品，测得其纤度为：1.31,1.55,1.34,1.40,1.45.问这天的纤度的总体方差是否正常试用=10%作假设检验.四.证明题7分)设随机变量X1,Z相互独立且服从同一贝努利分布8(1,p),试证明随机变量X+y与Z相互独立.附表：标准正态分布数值表Z2分布数值表t分布数值表概率统计试卷参考答案一.判断题110分，每题2分)是非非非是.二.选择题(15分，每题3分)(a)d)(b)(c)(d).三.填空题(28分，每题4分)一个7人SH川11(y3)Dy>o1.1/22；2.f(y)=<0j0-一Il(2x)-x<y<x4当o<<时加(如)=10其.他；5.F(l,m)6.上限为15.263.7.5/6.四.计算题140分，每题8分)1.A被查后认为是合格品的事件，8抽查的产品为合格品的事件.(2分)P（八）=P(B)P(AB)+P(B)P(B)=0.96×0.98+0.04×0.05=0.9428,(4分)P(BIA)=P(B)P(AlB)/P（八）=0.9408/0.9428=0.998.,/e-xx>0rze-yy>02.f(x)=<f(y)=)-0其他0其他(1分)z0时，BQ)=。，从而z(z)=0;z0时，(2)=47U)(2-3x)/2dxJ-<c73e-xdx=e-2t3-e-zt2)(2分)(1分)(2分)(2分)所以“Qz!3_-zl2fz(=3-20,z>0z0(«一.2_6一"3)2>()fz(=2-3(2分)0,z03.设Xi为第i周的销售量，i=1,2,52XjP(I)(1分)52则一年的销售量为Y=ZXj,E(Y)=52,D(K)=52./=1由独立同分布的中心极限定理，所求概率为P(50<y°T冷若嗤M提M意卜(2分)(4分)=(2.50)+(0.28)-1=0.9938+0.6103-1=0.6041.(1分)4.注意到Xz-X=-(-X1-X2+(n-1)XiXjnE(Xi-X)=O9D(Xi-X)=2n(2分)(1分)(3分)5.(1)要检验的假设为Ho:/=57O,H1'.570(1分)检验用的统计量U=五普N(0,l),7n拒绝域为IUIz式九-1)=z0025=1.96.(2分)575.2-570810=0.6510=2.06>1.96,落在拒绝域内,故拒绝原假设”0,即不能认为平均折断力为570kg.IUOI=57警2=02丽=0632<1.96910落在拒绝域外,故承受原假设o,即可以认为平均折断力为571kg.(1分)(2)要检验的假设为H0t2=0.0482,H1:20.0482(1分)H02=0.792,Hi20.792i-X)2检验用的统计量Z2=卫5Z2(H-I),%拒绝域为Z2>Za(-l)=Zo.o5(4)=9488或Z2<Zl%ST)=/95(4)=0.711(2分)x=1.41x=1.49l=0.0362/0.0023=15.739>9.488,落在拒绝域内，=0.0538/0.6241=0.086<0.711,落在拒绝域内，故拒绝原假设”o,即认为该天的纤度的总体方差不正常.(1分)五、证明题(7分)由题设知XP1X+Y)12PqPPq22pqp2(2分,P(X+Y=0,Z=0)=/=P(X+y=O)P(Z=0)；P(X+y=o,z=i)=p=P(X+Y=O)P(Z=1)；P(X+y=l,Z=0)=2p2=P(X+Y=I)P(Z=0)；P(X+r=l,Z=l)=2pq1=P(X+Y=I)P(Z=1)；P(X+r=2,z=0)=p=P(X+r=2)尸(Z=o)；p(x+y=2,z=i)=p3=P(x÷y=2)P(z=i).所以X+Y与Z相互独立.(5分)
