三次函数的图象与性质（学生版）.docx

三次函数知识点总结知识点一：三次函数概念定义:形如f(x)=ax3+bx2+ex+d(a0)叫做三次函敞f'M=3ax2+2bx+c,把A=4b2-Ylac叫做三次函数导函数的判别式当A>0时，令，'(%)=0,记两根为=M=知识点二：三次函数的图像及单调性注意：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！a>0<0/(X)J图像IX1X2X/XoXXiM>00>00/'(X)图像yMfv,/(X)性质增区间(-00,须),(，+)减区间(Xl，X2)f()有两个极值点极大值/区)，极小值/(x2)f(x)0恒成立f(x)在R上递增f(x)无极值点增区间(XX2)减区间(-,x1),(x2,+00)f()有两个极值点极大值f(X2)，极小值f(X)f(X)0恒成立f(x)在R上递减f(x)无极值知识点三：三次函数的韦达定理设fW=Q%3+bx2+c+d(0)的三个零点分别为修，必，3，则(1)Xi+X2+%3=一；(2)%1%2+×2×3+×3×1=；(3)%1%2%3=Yd七+=一(知识点四：三次函数的零点个数若三次函数f(%)=Q%3+b%2+c%+d(O)存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下:三次函数图像性质说明a>0a<0三个b23ac>O/(Xl)f(%2)VO两个极值符号相异图像与X轴有三个交点b23ac>Of(,X)f(%2)=°有一个极值为O图像与X轴有两个交点b23ac>O/(Xi)f(%2)>O不存在极值时，函数单调，与X轴有一个交点知识点五：三次函数的对称性结论1：三次函数/V)=3+必+cx+d(w)的图象关于点(一中心对称结论2：已知三次函数/(x)=ax3+bx2+ex+d(a0)中心对称点的横坐标为两个极值点分别为与，XIr23/结论3：若y=f(x)图像关于点(n,n)对称，则y=f'(x)图像关于轴x=m对称结论4：点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数结论5：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数知识点六：三次函数的零点性质定理定理一t己知三次函数f(x)=%3+人=2+c%+c(H0)的图象与X轴交点分别为P,p2,P3，点P是三次函数固象上异于P1，P2,3的一点，且y=f(x)在P点处的切线的斜率为PPi,PP2,PP3的斜率分别为的，k2>k3f结论：fc0=c1+Zc2+3定理二：已知三次函数/(%)=q%3+加：2+c%+d(0)图像与X釉交点分别为尸1，P2,P3，点p(m,n)是平面上任意一点，PP,PP2,尸P3的斜率分别为自，一&，k3,结论：gn=k1+c2÷c3定理三：已知三次函数/"(%)=。炉+加+c+d(0)的图像与X轴交点分别为P1(%1,0),P2(x20)，P3x3,0)，且/(%)在这三点处的切线的斜率分别为自，上2，上3，结论：5+1+£=0，/+£+£=0定理四：已知三次函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a0)在其中心对称点Pa0，/(a)处切线的斜率为区,且f(x)的图像与九轴的交点分别为P(%,O),P2(x2,O),P3(%3,0)，/在这三点处的切线的斜率分别为自，k2>k3,结论：k+k2+k3=-3k。定理五：已知三次函数/1(x)=q%3+b%2+c%+d(0)的图像与工轴的交点分别为Pl(X1，0),尸2。2,。)，%(右，。)，过PI的法线为d过P3的法线为如过尸2且与轴垂直的直线为小若A与L交点为M,b与，2交点为N,结论：MN的中点恰为P2知识点七：三次函数的割线性质定理定理一S已知在三次函数/'(%)=QX3+加2+c+d(0)的图像上任取点P,过P作一条切线，切点为T,过P作一条割线，交点为M,N,结论：T点的横坐标平分M,NXM+M=2U推论一：已知在三次函数/(x)=ax3+bx2+cx+d(0)的图像上任取点P,过点P作一条切线，切点为T,过点P作两条割线，交点分别为M,N与R,S,结论：T点的横坐标平分M,N的横坐标，也平分R,S的横坐标，即2x=XmXN=Xr+Xs推论二：已知在三次函数/')=Q：3+b2+c：+d(0)的图像上任取点P,过P作两条切线PM,PN,切点分别为P,N,结论：N点的横坐标平分P,M的横坐标，即/+%m=2%n定理二：已知三次函数f(%)=。炉+人d+c+d(>0)的中心对称点为点P(X0,f(0),极大值为m,且f(x)=m的两损为4，2(/<%2)，/(工)的极小值点为%3，结论：区间以1，冷被X。与X3平分，即不一%3=%3-XO=XO-(四段横坐标差相等)知识点八：三次函数的切线条数判断定理,I类型一：过三次函数图像上任一点的切线/I设点P为三次函数/'O)=ax?+b%2+/pIc%+d(O)图像上任一点，则过点P一定有直线与y=Q)的图像相/WJ切.若点P为三次函数图像的中心对称点，则/'l)<、过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图像的对称中心，则过点P有两条不同的切线.类型二：过三次函数图像外一点的切线区域分布切线条数判定定理：过三次函数f(%)=d+b%2+c%+d(>0)的中心公,/Il对称点作切线，平面被该切线和函数y=f(x)图像分割为四个区域，I,H,ILVL不妨记该切线为区域V,三次函数曲线为区域VI,如上图所示,设点Pa°,y°)为平面内一点,令g(x)=y0-f(x)+/(x)(x-x0),则当先=一5，则P为中心对称点，过点P作y=f(x)的切线，条数为1条(见类型一)当出子品且9(&%(-勺=0,则P在区域V或Vl上(挖掉中心对称点)，条数为2条当&一3且g(%o)g()>0,则P在区域H,IV内，过点P作切线，条数为1条当且g(右)g(-5)VO,则P在区域I,山内，过点P作切线，条数为3条类型三：由三次函数切线斜率值判断切线条数斜率值切线条数判定定理：已知三次函数)=Q%3+b%2+c+d(o),若其切线斜率为k,则满足其切线斜率为k的切线的条数如下：k与系数的关系>0<03acb2k=3一条一条3acb2k>3a两条两条3acb2k<3a零条两条题型一：三次函数的零点问题例I.(2023全国高三专题练习)函数/(x)=+r+2存在3个零点，则。的取值范围是()A.(-,-2)B.(-,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)题型二8三次函数的最值、极值问题例2.已知函数八力=一；1+/+2级，ga)=；%(1)若函数/(x)在(O,+e)上存在单调递增区间，求实数。的取值范围；(2)设G(X)=(x)-g(x).若0<<2,Ga)在1,3上的最小值为Ma),求Ma)的零点.题型三：三次函数的单调性问题例3,已知函数f(x)=$'2/,g(x)=；-WX,m是实数.(1)若/(x)在区间(2,+8)为增函数，求m的取值范围；(2)在(1)的条件下,函数Aa)=/(x)-g(x)有三个零点，求m的取值范围.题型四：三次函数的切线问题例4.(2023全国高三专题练习)己知函数/(X)=X3-求曲线y=(x)在点M",/)处的切线方程；(2)设常数0>0,如果过点尸伍刈)可作曲线y=(x)的三条切线，求掰的取值范围.变式c.(2023全国高三专题练习)设函数/(*)=$'+b+c(0<0)在X=O处取得极值-1.(1)设点力(-。,/(-。)，求证：过点A的切线有且只有一条，并求出该切线方程；(2)若过点(0,0)可作曲线y=f(x)的三条切线，求a的取值范围；设曲线y=(x)在点(西,/(内)、(J(X2(X尸W)处的切线都过点(0,0)，证明：(),)题型五：三次函数的对称问题例13.(2023全国高三专题练习)给出定义：设/(x)是函数y=(x)的导函数，*()是函数y=fx)/"(x)=0有实数解X=X°,则称(XOJ(XO)为函数y=(x)的“拐点”.经研究发现所有的三次函数jx)=ax3+bx2+cx+d(aO)都有“拐点”，且该“拐点”也是函数P=/(x)x)=-3,则心+/+/0+庐斗H()八，ajjI2023J712023J(2023J7(2023JIk2023JA.-8088B.-8090C.-8092D.-8096变式1.(2023全国高三专题练习)已知函数N=X、3/+X的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线/与曲线。交于不同于P的两点(,乂)，N(X2,%),就恒有必+为的定值为,，则为的值为.变式2：(多选题)已知函数/(X)=G3+br+g(M0)的对称中心为(1,1),则下列说法中正确的有()A.b=TB,函数/(力有三个零点C.过(3,目可以作两条直线与y=(x)图像相切D.若函数/(x)在区间(f-6,f)上有最大值，则0<f3E/(jM卜+/(S卜/儒)的值是199F.过可以作三条直线与y=()图像相切题型六：三次函数的综合问题例6.(2023全国高三专题练习)已知函数/(x)=d+芯+5+d在(-00,0上是增函数，在0,2上是减函数，且方程/(x)=0有3个实数根，它们分别是。，夕，2,则。?+夕2的最小值是()A.5B.6C.1D.8变式.(2023全国高三专题练习)已知/(x)=x3-6x2+9x-6c,a<b<c,且。)=/优)=/©=0,现给出如下结论：G)G;&)3;/(0)(l)<0;/(0)/(3)>0；"c<4.其中正确结论的序号是题型七：三次函数恒成立问题例7.(2023全国高三专题练习)设。为实数，函数/(力=/-3/+。，g()=lnx.求/(x)的极值；对于Wwl,3,x2i,e,都有/(士”名仁)，试求实数。的取值范围.变式1.已知三次函数f(x)=+近2-3(,b,cR).(1)若函数/'(力在点(IJ(I)处的切线方程是歹+2=0,求函数/(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，若对于区间卜2,3上任意两个自变量的值玉，演，都有(xj-/()上明求出实数机的取值范围.变式2c.已知函数/(工)=-；/+；,2+242+3伍6©,/'(X)为函数/()的导函数若X=-I为函数X)的极值点，求实数。的值：(2)()的单调增区间内有且只有两个整数时，求实数。的取值范围；19()(3)对任意0<5时，任意实数x"2gT2,都有)+(x2)-3M+7”7恒成立，求实数”的最大值.课后练习(多选题)1.已知三次函数/(x)=3+b2+c+d有三个不同的零点再,彳2/3(/<</)，若函数g(x)=f(%)-1也有三个不同的零点4出冉(A<4<4)，则下列等式或不等式一定成立的有()A.b2<3cC.1+2+3=r1+2+r3B. G >3D. xlx2x3-tlt2ti = l2.3.设三次函数/(力="、&2+c+d(wo),则以下说法正确的是()A.函数/的“拐点”为卜春/B.过函数/(x)的“拐点”有三条切线C.当/-%c>O时，函数/(x)有两个极值点，且两个极值点之和为D-若=c=33d=O,则点+/(高)+而+.+第702L已知三次函数/(x)=0+加+c(q>O,b,cwR),下列结论正确的是()A.当o=b=2时，/(x)单调递减区间为卜g,)B.当=b=2时，/S)单调递增区间为(-|,0)C.当C=Ta时，若函数/(%)恰有两个不同的零点，则2=3aD.当b=c=O时，/(x)>lnx恒成立，则的取值范围为(,+87494 .若函数/(力=；/-12%+看，则下列说法正确的是()A. /(%)的极大值为野OB. f(x)有且仅有2个零点C.点(别是/(x)的对称中心5 .已知函数/(x)=+b2+;(HHO)的对称中心为(1,1),则下列说法中正确的有()A.4=g'b=B.函数/(%)有三个零点c.过卜可以作两条直线与y=()图像相切D.若函数/(x)在区间("6")上有最大值，则0<f36、(2024解浙江名校协作体T12)已知函数/(x)=3-6+9%,若再)=/(%)=/G)，其中再<勺</，D.A.1<x<2B.xi+x2>2C.2x2+x3>6