三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型（解析版）.docx

三角形中的重要模型特殊三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。1）无图需分类讨论已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；己知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论;遇高线需分高在内和外两类讨论：中线把等腰周长分成两部分需分类讨论。2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A,3两点是定点，找一点C构成等腰448CA>方法：两圆一线具体图解：当AB=AC时，以点A为圆心，A3长为半径作。A,点C在C）A上（8,C除外）当AB=BC时，以点8为圆心，AB长为半径作。8,点C在。B上（A,E除外）当AC=BC时，作AB的中垂线，点C在该中垂线上（。除外）例1.（2023春四川成都八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是机，若加，满足w-3+（i-5）2=0,那么它的周长是（）A.11B.13C.11或13D.11或15【答案】C【分析】由已知等式，结合非负数的性质求加、的值，再根据加、分别作为等腰三角形的腰，分类求解.【详解】解：,w-3+（11-5）2=0,n-30,（i-5）2>0,"23=0,/?5=0,解得：6=3,/7=5,当m=3作腰时，三边为3,3,5,符合三边关系定理，周长为：3+3+5=11,当zl=5作腰时，三边为3,5,5,符合三边关系定理，周长为：3+5+5=13,故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求?、的值，再根据机或作为腰，分类求解.例2.（2023春黑龙江佳木斯八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18cm,且一边长是4cm,则它的腰长为（）A.4cmB.7cmC.4cm或7cmD.全不对【答案】B【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可.【详解】解：当4cm为腰长时，则底边长为18-24=10cm,04+4<10,不符合题意；团4Cm为底边长，EI等腰三角形的腰长为：（18-4）=7cm;故选B.【点睹】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系.解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形.例3.（2023春四川达州,八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是80。，则它顶角的度数是（）A.80oB.80。或20。C.80°或30。D.20°【答案】B【分析】根据三角形的内角和为180°,进行分类讨论即可【详解】解：当底角为80。时，顶角=180°-80。、2=20。，当顶角为80。时，顶角度数=80。，综上：顶角度数为80。或20。；故选：B.【点睛】本题考查了三角形的内角和为180。，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容.例3.（2023四川广安八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为100。，则它的底角为（）A.550B.80oC.55。或80。D.以上都不是【答案】D【分析】等腰三角形的个外角等于100。，则等腰三角形的个内角为80。，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论.【详解】等腰三角形的一个外角等于100。，13等腰三角形的一个内角为80。，当80。为顶角时，其他两角都为50。、50°,当80。为底角时，其他两角为80。、20°,所以等腰三角形的底角可以是50。，也可以是80。.故选：D.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错.例4.（2023四川绵阳八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为70。，则等腰三角形的顶角度数为.【答案】20。或160。【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解.A【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB=AC,NAa>=70o,CD为高,即NAZ）C=90。，DBC此时ZA+ZACD+ZADC=180o,0ZA=180o-90o-70o=20°,若三角形为钝角三角形时，如图，AB=AC,NACz）=70o,CD为高,即NAZ）C=90。，此时NAAC=+NACo=90。+70。=160°,综上，等腰三角形的顶角的度数为20。或160。.故答案为：20。或160°.【点睹】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论.例5.（2023山东滨州八年级校考期末）我们称网格线的交点为格点.如图，在6行x5列的长方形网格中有两个格点A、B,连接A8,在网格中再找一个格点&使得.4BC是等腰直角三角形，则满足条件的格点【答案】C【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：AB为等腰直角ABC底边；AB为等腰直角ABC其中的一条腰.【详解】如图：分情况讨论：48为等腰直角ABC底边时，符合条件的格点C点有2个；AB为等腰直角其中的条腰时，符合条件的格点C点有3个.故共有5个点，故选：C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.例6.（2023北京八年级期中）R548C中，N84C=90。，AB=AC=I,以AC为一边.在A8C外部作等腰直角三角形ACD,则线段8D的长为.【答案】4或2百或加.【分析】根据题意分类讨论，Nc40=90°,NA8=90o,NADC=90。，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可.【详解】解：如图，当Ne4。=90。时，NBAC=90。，AB=AC=2,ACQ是等腰直角三角形，AC=AD=AB=2fBAD=BAC+CAD=0o,:.BD=AB+AD=2+2=4；如图，当NAeD=90。时，过点。作。石_LBC,交BC的延长线于点E,NBAC=90。，AB=AC=2tACD,AABC是等腰直角三角形，.CD=AC=AB=2,ZDC石=180。-ZAcC)-ZACB=45。，又OEJ_BC,哂OEC是等腰直角三角形，.OE=CE,在RtZXOfC中，DC2=CE2+DE2=2DE2,DE=DC=2,2在RLABC中，6C=Jab?+AC2=20，在RLBDE中,BD=QBE'DE?=（2向0+（何=25;如图，当NAZ）C=90。时，ZfiAC=90o,AB=AC=2ACD,.WC是等腰直角三角形，：.CD=AD=显AC=近,2在放ABC中，BC=4AB1+AC2=22,在RlBDC中,BD=+BC?=«2宿+（何=如综上所述，BO的长为：4或2有或Ji6.故答案为：4或2有或Jnr【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.例7.（2023福建南平八年级校考期中）已知MBC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为IMBC的关于点B的二分割线.如图1,R也ABC中，显然直线BO是0A5C的关于点8的二分割线.在图2的BABC中，a4C=110o,若直线BD是0A8C的关于点B的二分割线，则回CQB的度数是.【答案】40。或90。或140°【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解.【详解】解：如图，当团DBC=90°,AO=BO时，直线8。是MBC的关于点8的二分割线,021ABC=11Oo,0DBC=9Oo,mABD=20o,AD=BD,aIM=ILARo=20°,00CDB=0A+0ABD=4Oo；如图，当团80090。，AO=BD时，直线8。是0A8C的关于点B的二分割线，或当0BOC=9（,CZ）=Bo时,直线BD是MBC的关于点B的二分割线，；如图，当A8D=9（,CD=BDHi,直线8。是0A8C的关于点B的二分割线,团IMBC=Il0°,0ABD=9Oo,确。8C=20°,CD=BD,00C=0DBC=2Oo,00BDC=14Oo.综上所述：当团BOC的度数是40。或90。或140。时，直线8。是MBC的关于点8的二分割线.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键.例8.(2023四川成都八年级校考期中)如图,A、B两点的坐标分别为(2,4),(6,0),点P是X轴上一点,且沙郎为等腰三角形，则点P的坐标为.【答案】(2,0)或(-2,0)或(6+4,0)或(6-4,0)【分析】根据等腰三角形的判定，分AB=BP;®AB=AP：AP=BP三种情况求解即可.【详解】®,ABP为等腰三角形，当AB=BP时，如图，团AB="(62)2+(0-4)2=4,BP=4应,团8(6,0),团产(6+4,0)或P(6-4,0);当AB=AP时，如图作ACj于C点，则C(2,0),0AB=AP,国BC=CP,0BC=6-2=4,0CP=4,0P(-2,O).当AP=BP时，如图，作APJ0AP=BP=4,0(2,0).综上所述：点P的坐标为(2,0)或(-2,0)或(6+4,0)或(6-4,0),故答案为：(2,0)或(-2,0)或(6+42,0)或(6-4点,0).【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想解决问题是解答的关键.例9.(2023江苏苏州八年级校考期中)如图，中，NACB=90。，AB=5cm,BC=4cm,若点尸从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A-B-C-A运动，设运动时间为/秒(/>0).若点尸在BC上，且满足QA=心，求此时Z的值；（2）若点尸恰好在NABC的角平分线上，求此时Z的值：在运动过程中，当/为何值时，AAC尸为等腰三角形.【答案】（1）等（2）2或4J或;或W或31662425【分析】（I）设PB=RA=cm,则尸C=（4-x）cm,利用勾股定理求出AC=3cm,在RjACP中，依据AC2+PC2=AP2,列方程求解即可得到，的值.（2）如图所示，当点P在4C上时，过P作H）J_AB于O,设PO=PC=Nm,则AP=（3-y）cm,在RLAoP中，依据A犷+尸D2=AP?，列方程求解即可得到,的值.当点P与点8重合时，点P也在NABC的角平分线上，此时，r=等=g.（3）分四种情况：当尸在AB上且AP=CP时，当尸在AB上且AP=CA=3cm时，当尸在AB上且AC=PC时，当尸在BC上且AC=尸C=女m时，分别依据等腰三角形的性质即可得到f的值.【详解】（1）解：如图，设尸4=PA=cm,则尸C=（4-x）cm,ZACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,.AC=JAB?-BC?=3cm，在RLACp中，由勾股定理得AC2+V=Ap2,25.32+(4-x)2=x2,解得x=8P=学，AB+BP_5+T_65;(2)解：如图所示，当点尸在AC上时，过尸作PD_LAB于。，8P平分NABC,ZC=90o,PDA.AB.PD=PC,ZDBP=NCBP,/BDP=NBCP在BCPHZBDP中,DBP=NCBP,.BDgaBCPgS)BP=BP.BC=BD=4cm,.AD=5-4=lcm,设P。=PC=>cm,则AP=(3-y)cm,在RtA3P中，由勾股定理得4。2+/>。2=4产，4.12+y2=(3-y)2,解得y=g,CP=itAg÷gC÷CP,5+4+I,31,33f-2-26当点P与点8重合时，点尸也在NZABC的角平分线上，此时，=y=.315综上所述，点P恰好在/A8C的角平分线上，的值为?或625APs.尸是A8的中点，即AP=48=5cm,.r=T=?.如图，当P在AB上且AP=CA=3cm时，W=节=g.如图，当户在AB上且AC=PC时，过C作C0_LAB于。，IIQXn'05,abc=-AC8C=-ABCDtCD=cm,abc22AB5在RtzACO中，由勾股定理得AD=AC2-。得=ADrA八18AP9.AP=IAD=cm,.t=-.525如图，当尸在8C上且Ae=PC=3cm时，则8P=4-3=lcm,.=丝产=1=3.539综上所述，当，的值为；或不或§或3时，AACP为等腰三角形.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用.画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键.例10.（2022春四川成都八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点。为坐标原点，经过A（-2,6）的求直线AB的表达式和点。的坐标；（2）横坐标为闭的点P在线段AB上（不与点AB重合），过点P作X轴的平行线交AO于点£设尸E的长为MyH0）,求y与?之间的函数关系式并直接写出相应的加取值范围；（3）在（2）的条件下，在X轴上是否存在点R使！尸针为等腰直角三角形？若存在求出点户的坐标；若不存在，请说明理由.3【答案（l）y=-x+4,£）（-5,0）（2）y=-n+3,（-2</«<4）存在，点F的坐标为（1,0）或卜*0）或（-*。）【分析】（1）据直线AB交X轴正半轴于点3,交）'轴于点C,OB=OC,设直线48解析式为丁=一工+%把A的坐标代入求得的值，从而求得3的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出BD的值，求出。的值，从而求出。点的坐标；（2）直接根据待定系数法求出A。的解析式，先根据AA的坐标求出直线AB的解析式，将尸点的横坐标代入直线AB的解析式，求出尸的纵坐标，将尸的纵坐标代入直线AO的解析式就可以求出E的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使！Pb为等腰直角三角形，分三种情况分别以点P、E、尸为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出（2）中机的值，就可以求出产点的坐标.【详解】（1）解：QB=OC,设直线A8的解析式为y=-x+%;直线AB经过A(-2,6),.2+=6,，=4,直线48的解析式为y=+4,.8(4,0),.OB=4,.JlBZ)的面积为27,A(-2,6),:.Sabd=×BD×6=27t.4O=9,.OD=5,(-5,0),二.直线AB的解析式为y=+4,D(-5,0)(2)解：设直线A。的解析式为y=。x+b,A(-2,6),0(5,0).-+?="解得：=；.直线Ao的解析式为y=2x+0-5+h=0/?=10点P在A8上，且横坐标为，.PW,"+4),PEx轴，E的纵坐标为一m+4,代入y=2x+10得，-n+4=2x+IO,解得X=-,E1-,一机+4.尸后的长丁二加一一y-=-÷3;即y=m+3,(-2<w<4);(3)解：在X轴上存在点尸，使！房尸为等腰直角三角形，3当/五庄：=90。时，如图，有PF=PE,PF=-m+4,PE=Gm+3,.-in+4=+3,解得m=,此时尸(,);当NPEF=90。时，如图，有EP=EF,防的长等于点E的纵坐标，2 解得：/M = ",3EF=Tn+4,-W÷4=w+32，点E的横坐标为X=6=与*尸卜M°当4YE=90°时，如图，有FP=FE,:./FPE=/FEP.NFPE+NEFP+NFEP=180。,:.NFPE=NFEP=45。.作FRLPE,点R为垂足,PFR=I80O-/FPE-NPRF=45。，.NPFR=ZRPF,FR=PR.同理H?二咸，.7R=gPE.丁点R与点E的纵坐标相同，.FR=-?+4,，一愕+4=；(+3),解得：W=与，P/?=F/?=-/W+4=-y+4=y,；点尸的横坐标为与一£=一2，.产(一T，o).综上，在X轴上存在点尸使！际为等腰直角三角形，点尸的坐标为(|,0)或(TO)或(-*0【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式模型2、直角三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。1）无图需分类讨论：己知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）即：如图：已知A,8两点是定点，找点C构成RidABCA©方法：两线一圆具体图解：当N3AC=90。时，过点A作AB的垂线，点。在该垂线上（A除外）当NABC=90°时，过点8作AB的垂线，点。在该垂线上（3除外）。当NACB=90。时，以AB为直径作圆，点C在该圆上（A,3除外）。例L（2023春河南安阳八年级校考期末）若三角形的两边长为4和5,要使其成为直角三角形，则第三边的长为.【答案】3或aTJT或3【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，再分5为斜边或第三边为斜边两种情况考虑，即可求出第三边.【详解】解：当较大的数5为斜边时，第三边="二不=3，当第三边为斜边时，第三边=回不=标，故答案为：3或历.【点睹】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及分情况考虑是解题关键.例2.（2023春河南郑州八年级校考期中）如图，AO是aABC的角平分线，CE是SABC的高，44C=60%ZACB=78。，点尸为边AB上一点,当V8Q厂为直角三角形时，则NAPP的度数为.【答案】60。或18。【分析】分情况讨论：当NBFD = 90°时，当/8。f= 90。时,根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可.【详解】解：如图所示，当NW0 = 9O。时,团AD是二ABC的角平分线，44C=60o,0ZBAD=3Oo,（SRjAZ）F中，ZADF'=60。；如图，当NBD尸=90。时，同理可得 NBAD = NDAC = 30。，0 ZACB = 78°0 ZADB = DAC ÷ ZACB = 30o + 78o = l 08°，0ZADF=ZADB-BDF=108o-90o=18°,综上所述：NA。产的度数为60。或18。.故答案为：60。或18。.【点睹】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想是解题的关键.例3.（2022秋河南新乡八年级校考期末）如图，在4x4的正方形网格中有两个格点A,B,连接A8,在网格中再找一个格点C,使得M8C是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：AB为等腰直角财BC底边；AB为等腰直角MBC其中的一条腰.【详解】解：如图：分情况讨论：A8为等腰直角BABC底边时，符合条件的C点有。个；AB为等腰直角财BC其中的一条腰时，符合条件的。点有3个.ACl=ACi=AB=BC2=l2+22=5,BCi=BCy=AC2=12+32=K),0AC12+AB2=BC12,AC32+AB2=BC32,BC22+AB2=AC22,AffC2tABC2,ZVBG都是等腰直角三角形，故共有3个点，故选C.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.例4.(2022江西九江八年级期末)已知在平面直角坐标系中A(-2y3,0)、B(2,0)、C(0,2).点P在X轴上运动，当点P与点48、C三点中任意两点构成直角三角形时，点P的坐标为.【答案】(0,0),(空,0),(-2,0)3【分析】因为点P、48在X轴上，所以P、48三点不能构成三角形.再分R3%C和7JP8C两种情况进行分析即可.【详解】解：Y点P、48在X轴上，,P,48三点不能构成三角形.设点P的坐标为(m,0).当以C为直角三角形时，APC=9(,易知点P在原点处坐标为(0,0)；N4CP=90°时,如图,VZACP=90o.AC2-PC2=AP2t/.（23）2+22+m2+22=（m+23）2,解得，m=亚，,点P的坐标为（空，0）；33当AP8C为直角三角形时，NBPC=90。，易知点P在原点处坐标为（0,0）；N8CP=90。时，,ZBCP=90o,CO±PBf.P0=B0=2f，点P的坐标为（-2,0）.【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想.解题的关键是不重复不遗漏的进行分类.例5.（2022秋辽宁丹东八年级校考期中）在HABC中，BAC=90o,AB=AC=4,以AC为一边，在0A8C外作等腰直角IMCf>,则线段BD的长为.【答案】8或4正或2加【分析】根据题意分类讨论，®ZC4£>=90°,/A8=90o,NADC=90。，分别作出图形，再结合已知条件勾股定理求解即可.【详解】如图，当NC40=90°时，NBAC=90。，AB=AC=4,.ACD是等腰直角三角形，.AC=D=AB=41ZAAD=ZftAC+ZCAD=180o.BD=AB+AD=4+4=S如图，当NACZ)=9伊时，过点0作OE_LBC,交BC的延长线于点七，NAAC=90。，AB=AC=4,Aa>,ABC是等腰直角三角形,.CD=AC=AB=4,ZDCE=180°-ZACD-ZACB=45°又DElBCOEC是等腰直角三角形.OE=CE在Rt£>EC中，DC2=CE2+DE2=2DE2DE=乌DC=2近在RtABC中，BC=-JaB2+C2=42在RtBDE中，BD=>BE2+DE2=42+2j+(2&J=45如图，当NAZ)C=90。时2 r-.CD=D = -yC = 22 ,Z«AC=90o,A=AC=4,.ACDtABC是等腰直角三角形在RtABC中，BC=-JaB2+AC2=42在Rf BDC中,BD=yCD2+BC2=#句+(42)2=210综上所述，BO的长为：8或4方或2加【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键.例6.（2023春山东东营八年级校考阶段练习）如图，长方形ABCZ）中，AB=CD=6fAD=BC=IO,点E为射线AO上的一个动点，若AABE与二A'8E关于直线BE对称，若48C为直角三角形，则AE的长为.【答案】2或18【分析】分点E在线段AD上，点E在线段AD的延长线上两种情况讨论，由题意可得AB=A'B=6,ZfAzB=90o,AE=A,E,AC=8,根据勾股定理和全等三角形的性质，可求AE的长.【详解】解：若点七在线段AD上，若ABE与窗A跖关于直线BE对称，.AB=AfB=6fNRr8=90o,AE=AE,囹43C为直角三角形，.NA'C=90o,.A,C=yBC2-AfB2=8,ZE4,B=90o,ZE4,C=90o,.ZC4,E=180o,:.点、E,点C,点A共线，在RtACDE中，DC?+DE?=CE?.(A,E+8)2=(io-AE)2+36,.AE=2,若点E在线段Ao的延长线上，且点C在AE上，若ABE与OA应关于直线BE对称，.AB=48=6,ZA=ZA'=90。，在用团4BC中，AC=Jbc2-Ab2=8zbca,+zdce=9oo,zdce+zdec=9oo,:.ZBCA,=ZDEC,且4=NfiDC=90%AB=CD=AtB,.ArCADCE(AAS),.DE=AtC=Sf/.AE=18,故答案为：2或18.【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键例7.(2023秋浙江绍兴八年级统考期末)如图，在二ABC中，ZABC=30。，AA=AC=2石，点。是边BC上的点，将.A8沿AD折叠得到AAEQ,线段AE与边BC交于点F.若NCDE为直角,则。力的长是.【答案】3-3-3÷3【分析】过点A作AGJ_AC于点G,根据等腰三角形的性质可得NC=30。，从而得到AG=BAC=G,进而得到CG=3,再由折叠的性质可得NADC=135。，从而得到NADG=45。，进而得到OG=AG=#，即可求解.【详解】解：如图，过点A作AG_LBC于点G,0ZABC=3Oo,AB=AC=200ZC=3Oo,(3AG=aC=6,CG=yAC2-AG2=3»回将,ACD沿AC)折叠得到4£/),ZADC=ZADE,0ZCDE=9Oo,团NAOC=N4OE=g(360°-90°)=135。,团ZADG=45°,0ZADG=ZZMG=45°,同OG=AG=布，团CD=CG-DG=3-6.故答案为：3-3【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，图形的折叠问题，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键.例8.(2023秋河南商丘八年级校考期中)如图，&ABC中，AB=BC=CA=6cm,现有两点M、N分别从点A、点5同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为IOn/s,点N的速度为2czns.当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动.C点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形CN?当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如存在，请求出此时M、N运动的时间.点M、N运动后，可得到直角三角形a4WN31?15【答案】6（2）2存在，此时M、N运动的时间为8秒5或不或耳或9秒【分析】（1）首先设点M、N运动X秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm,列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动f秒后，可得到等边三角形AMV,然后表示出AM，AN的长，由于NA=60°,所以只要/W=AM,AMN就是等边三角形；（3）首先假设AWN是等腰三角形，可证出ACMaABN,可得CM=BN,设出运动时间，表示出CM、NB、MW的长，列出方程，可解出未知数的值；（4）分点N在A8、AC、BC上运动的三种情况，再分别就是NAN=90°和4WM=90。，列方程求解可得.【详解】（1）解：设点M、N运动X秒后，M、N两点重合，则xxl+6=2x,解得：x=6,即当点M、N运动6秒后，M、N两点重合；（2）解：设点M、N运动f秒后，可得到等边三角形-AMN,如图1,AM=t,AN=6-2t,图1图20ZA=6Oo,当AM=TvV时，AMV是等边三角形，0r=6-2,解得f=2,团点M、N运动2秒后，可得到等边三角形-AMN;（3）解：当点"、N在BC边上运动时，可以得到以用N为底边的等腰三角形,由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图2,假设.AMN是等腰三角形，AN=AM,ZAMN=ZANM,ISNAMC=NANB,ISAB=BC=AC,RlzMCB是等边三角形，0ZC=ZB,在AACM和ABN中,国ZAMC=ZANB,NC=NB,AC=ABf团,ACM-ABN(AAS),©CM=BN,0r-6=18-2z,解得f=8,符合题意,所以假设成立，当点M、N运动8秒时，可以得到以MN为底边的等腰三角形;（4）解：当点N在AB上运动时，如图3,若NAMN=90°,田BN=Z,AM=tfAN=6-2t,0ZA=6Oo,02AW=W,即2r=6-2f,解得/=?；22如图4,若NWM=90°,由24V=AM得2(6-2f)=f,解得/=不；当点N在4C上运动时，点M也在AC上，此时A、M、N不能构成三角形;当点N在BC上运动时，如图5,当点N位于BC中点处时，由一ABC是等边三角形知4V_LBC,即一AMN是直角三角形，则2/=6+6+3,解得/=?；如图6,当点M位于BC中点处时，由“WC是等边直角三角形知4W_L3C,即AMN是直角三角形，则£=6+3=9；综上，当z=,£，T,9时，可得到直角三角形.AMN.【点睹】本题考查了等边三角形的性质及判定和直角三角形的定义与性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系.例9.（2023秋河南瀑河八年级校考期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点,BD=CE,AD与巫相交于点尸，AP=4,Q是射线尸石上的动点.图中共有组全等，请选择其中的一组全等予以证明.（2）若AAPQ为直角三角形，求PQ的值.【答案】（1）2,证明见解析（2）2或8【分析】（1）利用等边三角形的性质，以及SAS证明人也注-比七一4华工即可；（2）分NPAQ,NPQA为直角，两种情况，结合30度角的直角三角形的性质，进行求解即可.【详解】（1）解：图中有2组全等，.ABZ汪a8CE,A8E0.C4O;证明：团等边三角形ABC,回A8=BC=6,ZABC=NC=NBAC=60。，BD=CE,©CD=AE,AB=BC在z48O和8CE中，ZAfiC=ZC,机ABDBCE；BD=CEAB=AC在ABE和、CAo中，,NBAC=NC,CADiCD=AE（2）解：团.ABg,BCE,NCBE=BAD,ZAPE=ZBAD+ZABP=ZCBE+ZABP=ZABC=6（T,回。是射线尸石上的动点，当AAPQ为直角三角形时：当NAQP=90。时，如图，则：AQ=30。，0P=lP=2;当NQAP=90。时，如图，则：NAQP=30°,回PQ=2AP=8.综上：PQ=2,8.【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形.熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键.例10.（2023四川成都八年级校考期末）如图1,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4,4）,点B的坐标为（0,2）.（1）求直线AB的解析式；（2）以点A为直角顶点作（3CAD=9（,射线AC交X轴的负半轴于点C,射线AD交y轴的负半轴于点D.当（3CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，求出它的变化范围；（3）如图2,点M（-4,0）和N（2,0）是X轴上的两个点，点P是直线AB上一点.当APMN是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P的坐标.【答案】（1）直线AB的解析式为：y=-x+2;（2）（2）不变.理由见解析；（3）点P的坐标为（-4,4）或zn4、-p/2>5c、/452>5r、(2,1)或(-,i-+2)或(-+2).5555【分析】（1）设直线AB解析式为y=k×+b,把A与B坐标代入列出方程组，求出方程组的解得到k与b的值,即可确定出宜线AB解析式；（2）当团CAD绕着点A旋转时，OC-OD的值不变，理由为：过A作AE垂直于X轴，AF垂直于y轴，利用同角的余角相等得到对角相等，求出A的坐标得到AE=AF,再由已知直角相等,利用ASA得到三角形AEC与三角形AFD全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=FD,进而求出OC-OD的值即可；（3）分三种情况考虑：当M为直角顶点时；N为直角顶点时；P为直角顶点时；分别求出P坐标即可.【详解】（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b（k0）,团点A(-4,4),点B(0,2)在直线AB上,-4k+b=4 , E ,解得：k=_2.El直线AB的解析式为：y=gx+2;b=2轴，y轴的垂线，垂足分别为E,F（如答图1）,可得团AEC=MFD=90。,又电BOC=90°,0EAF=9Oo,即(3DAE+mDAF=90°,BCAD=90o,BP0DAE+0CAE=9Oo,三CAE=0DAF,0A(-4,4),00E=AF=AE=OF=4,ZCAE=ZDAF在AAEC和AAFD中，E=AF,00AEC00AFD(ASA),0EC=FD,ZAEC=ZAFD=900OC-OD=(OE+EC)-(FD-OF)=0E+0F=8,则OC-OD的值不发生变化，值为8；(3)当M为直角顶点时，点P的横坐标为-4,伺点P在直线AB上，将x=-4代入y=gx+2得，y=4,团点P的坐标为P(4,4)；当N为直角顶点时，点P的横坐标为2,屏点P在直线AB上，将x=2代入y=gx+2得，y=l,同点P的坐标为P(2,1)；当P为直角顶点时，团点P在直线AB上，可设点P的坐标为(x,gx+2),则MP?=(+4)2+(-y×+2)2,NP2=(×-2)2+(gx+2)2,在RtAPMN中，MP2+NP2=MN2,MN=6,团(x+4)2+(-x+2)2+(x-2)2+(Jx+2)2=62,nz114545RJrJz452'/5皿、_,4<j52>5解得：Xl=-一一，X2=一，0P(二一，二一+2)或(，一，-+2),555555综上所述，满足条件的所有点P的坐标为(-4,4)或(2,1)或(生6,拽+2)或(延