与对数函数的图像与性质相关的应用技巧（解析版）.docx

与对数函数的图像与性质相关的应用技巧对数函数作为基本初等函数之一，在高考命题中经常涉及到，因为这部分和初中的学生知识不衔接，初中完全没有涉及到这部分内容，而后面的学习内容和这部分关系不大，因而容易被遗忘，所以一些规律性知识，需要要求学生积累和背诵，同时需要加强重点题型、常规题型、热点题型的强化训练，本部分从对数式的运算、对数函数的图象与性质、对数函数的性质与运用这几个方面进行探讨。题型一对数式的运算例1(1)(2023上天津蓟州第一中学校考)Iog932Iog6427+Iog92Iog427=()【答案】C【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得.之昱但IgT Ig 26 Ig32 Ig 22【解析1Iog932.Iog6427÷Iog92log427=lg×舒翳蜜=维X些+=；+(=1，故选c。21g361g22Ig321g248g.(2-x)(x<1)(2)(2023四川宜宾统考一模)设函数/(力=5,则"-2)+(bg=()3x+,(xl)A. 8B. 9C. 22D. 26【答案】C【分析】根据对数的运算性质分别计算出/(-2),/(bg38)即可求解.【解析】/(-2)=监2-(-2)=-2,因为晦8>1,所以/(38)=3嘀卬=3*8+喝3=3嘀24=24,所以2/(-2)+/(log38)=-2+24=22.故选C.g1216+ 乃 8 + 10g2-10g4 y：(3)(2023上云南大理下关第一中学校考期中)计算:已知/+/=3,求止二的值【解析】p+0÷log2-log227«g,.2116(2÷-÷3-,0g=JI+i+iog：因为j+T=3，所以a+""=a1+a1-2=7,所以二十。"=,十。-】)-一？=47,所以上W=JX/IdLa2+。-2-1=46a+aa+a【规律总结】解决对数运算问题的常用方法将真数化为底数的指数幕的形式进行化简.将同底对数的和、差、倍合并.利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.【跟踪训练】lg(3-x),(x0)1 .(2023上河南南阳高三校考阶段练习)设函数/(X)=2,则/(20)=()/(x-3)+l,(x>0)A.3B.4C.5D.logI172【答案】C【解析】由题意得/(20)=07)+l=(14)+2=(T)+7=bgj(3-(-l)+7=-2+7=5,故选c。22 .(多选题)(2023上辽宁大连高三育明高中校考期中)已知2wf=3"=6,则机、满足的关系是()A.+=1B.nn>4mnC.(h-1)2+(h-1)2>2D.m2+n2<8【答案】ABC【分析】利用指数式与对数式的互化可得出M=Iog26,"=bg36,利用换底公式结合对数的运算性质可判断A选项：利用基本不等式可判断BCD选项.【解析】因为2加=3"=6，则机=log26,n=Iog36,对于A选项，-+-=Iog62+Iog63=Iog66=I,A对；mn112对于B选项，由A选项可知，1=一+一>7ii，贝>2,即B对；对于C选项，w-l=log26-log22=log23,n-l=Iog56-Iog33=Iog32,所以，(m-l)2+(-l)2=(log32)2+(log23)2>21o2log23=2,C对;In3In2对于D选项，m2+w2>Imn>8，D错：故选ABC.3. (2023上安徽合肥第十中学校联考期中)计算1+24+嗝3=.【答案】50【解析】"+2,啕3=2+2、2*3=2+16x3=50-4. itW271-025+log3<f÷lg25+lg4-7,0g72.【解析】!M=3-0.5+4-l+log33+21g5+21g2-2=5.5+2(lg5×lg2)-2=6.25题型二对数函数的图象及应用例2(1)(2023上山东潍坊统考)已知函数V=l°g广(>Q">°)图象如图所示，则二次函数y=f+加+c的图象顶点的横坐标的取值范围为()A.(1,2)B,CJ)D.(-2,T)【答案】B【分析】令，=1,则l<g<2,则得到顶点横坐标范围.D【解析】令尸bgr=L其中>O,b>O,则“:，由图知1<区<2,*bb则y=加+Z>x+c的顶点横坐标为-e(,-;),故选B.(2)(2024山东济南高一开学考试)当。>1时，在同一平面直角坐标系中，函数歹与y=k¾,的图【答案】A【分析】由可知0<<l,根据指数函数和对数函数图象的单调性即可判断得结果.【解析】依题意可将指数函数J=化为N=仕Y，由。>1可知O<L1;由指数函数图象性质可得尸Aj为单调递减，且过定点(0,1),即可排除BC,由对数函数图象性质可得y=k¾/为单调递增，旦过定点(1,0),排除D,故选A。(3)(2023下山东烟台统考期末)函数/(x)=Ink-Il-In卜+1|的部分图象大致为()【答案】A【分析】先判断函数/(x)的奇偶性，可排除CD选项；进而取特殊值X=；和X=-T排除B选项，求解.【解析】由+>o'得±,所以函数“力的定义域为(Y>,)u(TI)D(I，m)，关于原点对称，又/(-x)=ln-x-l-ln-x+l=lnx+l-lnx-l=-M,所以函数/为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD选项；当x=T时，函数/'(X)=Ing-InT=Ingvlnl=O,当彳=一；时，函数/(x)=ln-Inl-=ln3>lnl=0,故排除B选项.故选A.【规律总结】对数函数图象的识别及应用方法在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【跟踪训练】【解析】方法一：因为一>0,g(x+2).(x-2)<0,所以2<x<2,所以函数/(x)=H0g4l的定义域为(-2,2),关于原点对称，又/(-)=(-幻2氏4公=-封，所以函数/(x)是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C；当x(0,2)时，1>1,即log,若>0,因此/(x)>0,故排除A.故选:D.方法二：由方法一，知函数/(力是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C；又/(l)=glog23>0,所以排除A.故选D.【分析】首先判断函数为非奇非偶函数，再利用特殊值，即可利用排除法判断.【解析】函数/CO=吟U定义域为xx0,/(一)=*(1匕=见*,所以/=叫是非奇非偶函数，排除A、B,函数/(%)=吗的零点是土e，当X=e时,ee71/e=2<L，排除D.故选Cee7 .(多选题)(2023河南信阳统考模拟预测)函数/(x)=logjx+l(<<l)的大致图象不可能为()【答案】BCD【分析】易得函数为偶函数，再结合对数函数的性质即可得解.【解析】函数/(x)=logx+l(0<<l)的定义域为卜IXW0,因为/(T)=Iog(JXI+l=(x),所以函数/(力为偶函数，当Xw(0,+)时，/)=log0x+l(0<<l)为减函数，且过定点(L0),故函数/(X)=logjx+l(<a<l)的大致图象不可能为BCD选项.故选BCD.8 .(多选题)(2023上辽宁高三校联考开学考试)已知优函数=1。&(一%)与丁="的图像可能是【分析】首先由优=VX得出=1,再分类讨论。和b的取值范围，根据指数函数和幕函数的图像得答案.b【解析】因为"=Z"即优=(',所以。=:,当时，则0<b<l,指数函数y=b”在R上单调递减,且过点(0,1)；对数函数y=k在(0,+8)单调递增且过点(1,0),将y=k¾z的图像关于y轴对称得到y=log"(r)的图像，则y=bg,()在(-8,0)上单调递减且过点(-1,0),故A符合题意；当0<。<1时，b>t同理可得，指数函数y=Z在R上单调递增，且过点(0,1),V=bg“(-x)在(-8,0)上单调递增且过点(-1,0),故B符合题意；故选AB.题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例3(1)(2023上陕西榆林高三校考阶段练习设a=sin5,b=e叫C=IOgOQ5,则。也。的大小关系是()A. a>b>cC. b>c> aB.a>c>bD.c>a>b【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数性质利用1比较仇C,再由正弦函数的性质比较。与O比较.【解析】因为b=e°'>e0=1，O=Iog04i<=Iog040.5<Iog040.4=1,而<5<2,sin5<0,所以"c<b,故选C(2) (2023上北京顺义校考)己知=bgs2,b=og43tC=Sin二，比较,b,C的大小为()6A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c【答案】C【分析】利用函数y=lo&x和y=iog的单调性，分别比较。、分与C的大小关系即可.【解析】因为函数V=IogsX在(0,+8)上单调递增，所以。=1og52<log56=:,又C=SinB=:，所以<C;又因为函数y=l0g4x在(0,+8)上单调递增，所以l0g43>l0g42=J,所以6>c.622综上b>c>a.故选C(3) (2023上陕西西安高三长安一中校考期中)已知奇函数/O)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(I0g52),6=g(lne),c=g(log83),则,Ac的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a【答案】A【分析】由己知得g(%)在(0,+8)上单调递增，判断k>gs2,In忘IogQ的大小关系得。也C的大小关系.【解析】由/(x)为奇函数知g(x)=xf(x)/W在R上单调递增且/(0)=0,所以当>0时，/数)>0,所以g(x)在(0,+8)上单调递增，且g()>o.又=g(logs2),>=g(lne)=g(),c=g(logs3),因为21og$2=log$4<l,所以IogsZvg,因为6Iog83=6Iog2,3=6×loS23=2loSz3=loS?9>loSz8=3»所以logfi3>g,所以0<l0g52<g<嘀3,所以a<b<c【跟踪训练】9. (2023上湖南长沙高一雅礼中学校考期中)若q=2023°2,>=Iog022023,c=O.22023,贝J()A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.Oa>b【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小.【解析】因为=2023°2>2023°=1，所以。>1,S=Iog022023<Iog021=0,所以6<0,因c=O.22o23<O,2o=1,且c=O223>o,所以0<c<1,所以0>c>b,故选C.10. (2023上湖南长沙高三雅礼中学校考)已知bfc=.则mb,C的大小关系是In43()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c【答案】B【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.22【解析】*c=-=log,33=Iog5V9>Iog3y8=Iog32=a,.c>a,Xc=log443=Iog4V16<Iog4y27=Iog43!?=/,：.c<b,*.a<c<b.故选B.11. (2023上陕西西安高三校联考阶段练习)已知Ia=IOgQR=O./,c=k>g063,则()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b【答案】D【分析】根据指数与对数的单调性即可与中间值比较作答.【解析】由0=1og35,6=O.9L2,c=log06O3可得c=logo.603>l。go.6O6=2,A=Iog35>log33=l,=log35<log332=2,Z)=0.9l2<0.9°=L得1<<2,0<6Vl,c>2,故c>a>b,故选D12. (2023上安徽蚌埠高三固镇县第二中学校考)若2023'-2023丫<2024,-2024'(XJw®,则()A.ln(-x+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.lnx-y>0D.Ink-M<0【答案】A【分析】等价变形给定的不等式，构造函数并探讨其单调性，由此可得<y,再判断选项即得.【解析】由2023r-2023v<2024X-2024乙得2023t-2024't<2023v-2024、，令/(力=2023'-2024：显然函数/(力在R上单调递增，且/(x)<(y),因此x<P,即歹-x>0,则y+l>l,于是ln(y-元+l)>lnl=0,A正确，B错误；由y-x>0,显然当y-x=l时，InlX-8=0,CD错误.故选A。命题点2解对数方程、不等式例4(1)(2019上黑龙江大庆高一大庆实验中学校考)已知log“(3o-l)恒为正数，则。取值范围是()A.(l,+)<J(j,)B.$1)C.(l,+oo)<(0,j)D.【答案】A【分析】分0<<L>l两种情况分类讨论，根据对数函数的性质即可求解.12【解析】当0<<l时，>=10&/1是减函数，1。80(3。-1)>0,则0<3。一1<1,解得当时，y=k¾产是增函数，log"(%-l)>0,则%-1>1,解得:<,又>l,所以。>1；综上取值范围是12(1,+)511).故选A(2)(2023上安徽高三固镇县第一中学校联考期中)已知/(力=1%(疗+1)7(心0,且7")是偶函数.(1)求加的值；(2)若关于X的不等式;3"x)-3('+(r+40在R上有解，求实数的最大整数值.【分析】(1)函数为偶函数，利用/(x)=f()求加的值；(2)设g(x)=；3"')-3(3)x+(3)十*依题意有g(0,求函数最小值，可得实数°的最大整数值.【解析】(1)函数/(力定义域为R,由函数为偶函数，有/(x)=f(r),即Iog3(mv+l)-x=Iog3(机一+1)+X,则有Iog3(w*+1)IogJ(A+1)=2x,即logant=XIOg3刑=2x,得logw=2,所以m=9.(2)由(1)可知，/(x)=log3(9x+l)-x,则3q)=3蚓匹h=咚L?I=?：=(G)'+(-2，设g(x)*3S3+(向+T'+(可(历+(百)+*依题意有g(x)mm°，由基本不等式，(3)x+(3)x2(3)v(3)x=2,当且仅当(J)L(51，即X=O时等号成立，令(J)"+(6)r=/,则)=9-3,+-l(r2),有MEL0,由二次函数的性质可知Mf)在2,3上单调递减，在3,+8)上单调递增，min=M3)=-9+-l=-义，则有一号0,得,所以实数。的最大整数值为5.【跟踪训练】13. (2023上辽宁本溪高一校考期末)若不等式(X-1)?<log/(>0,且。=1)在x”1,2内恒成立,则实数。的取值范围为()A.1,2)B.(1,2)C.(1,2D.(2,2)【答案】B【分析】分析出0<o<l时，不成立，当>l时，画出/(x)=log,g(x)=(xT)2的图象，数形结合得到实数的取值范围.【解析】若0<<,B'x(l,2.Iogax<0,rtf(x-l)20,故(X-1丫<bg“x无解；若>l,此时Xe(1,2,Iogux>O,而(x-lpO,令/(x)=lOgN,g(x)=(x-l)2,画出两函数图象，如下：故要想(x-l)2<bg/在xw(l,2内恒成立，则要IOgJ>1,解得：(l,2).故选B14 .已知函数/(x)=og°(8-ar)(a>0,且/1),若/(力>1在区间1,2上恒成立，则实数a的取值范围是.Q【答案】(K)QQ【分析】当a>l时，f(x)>1等价于8-ax>a在1,2上恒成立，即a<(-)当OVaVl时，x+13Qf(X)>1等价于8-axVa在1,2上恒成立，即a>(-)max=4.由此能求出实数a的取值范围.x+【解析】当a>l时，f(x)>1等价于8-ax>a在1,2上恒成立，OOO即a<()min=T，：I<a<-；x+133当OVaVl时，f(x)>1等价于8-axVa在口，2上恒成立，QQ即a>(一)M=4(舍去)，综上，a的取值范围是(1,5).x+1315 .(2023上浙江台州高一台州市书生中学校考)设%)二唾式1°-左)2(1)求使/(x)0的X的取值范围；(2)若对于区间3,4上的每一个X的值，不等式/(x)>g)'+m恒成立，求实数小的取值范围.【分析】(1)利用对数函数的单调性求解对数不等式；(2)由题可转化为旭<1(10-2力一(1恒成立，令g(x)=log|(10-2x)-(。，判断其单调性求解最小5272值.【解析】(I)/(X)=R)g2(l0-2x),“)o可化为log(10-2x)0,229.0<10-2xl,%<5,2G/(x)。的X的取值范围为XX<5;(2)不等式+加恒成立等价于IogL(10-2x)>(；)*+/恒成立，也即机<log(10-2x)-(；)X恒成立，令g(x)=log(10-2Af)-,.m<g(x)min即可，22因为函数10-2X递减，函数y=0gL递减，由复合函数的单调性知函数y=k(°一2)单调递增，乂因为22函数y=3*单调递增，g(")=°g(1°-2%)-(：)，单调递增，2I2也在区间口川上的最小值且仁濡=名=(l0-6)-=-2-=-,aooo命题点3对数函数的性质及应用"例5(1)(2023上映西榆林高三校考)函数/(x)=W7+ln(xT)的定义域为()A.(2,+)B.(1,2)C.(1,2D.(l,2)"2,+)【答案】B【分析】求具体函数的定义域，须使函数有意义，即使分式的分母不为零，偶次根式的被开方式为非负数,对数的真数为正数，再把对应的自变量范围求交集即得.【解析】要使函数有意义，须使一：,解得：l<x<2,故函数的定义域为(L2).故选B.x-l>O(2) (2023广东韶关统考一模)函数/(0=1%12-4)在(,)上单调递减，则实数取值范围是()A.(o,-2B.2,+)C.(-,0D.0,+)【答案】A【分析】求出函数的定义域，结合复合函数单调性得到答案.【解析】/(力的定义域是(-8,-2)U(2,ko),令y=logj,其在定义域上单调递增，t=x2-4,在(-,-2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，由复合函数的单调性可知，e(-oo,-2dA.(多选题)(2023上江苏淮安高三校联考期中)已知函数/卜)=1呜(1+4')-；X,则下列说法中正确的是()A.函数/(力的图象关于N轴对称B.函数/(x)的图象关于原点对称C.函数/(%)在0,+功上是增函数D.函数/(x)的值域为【答案】ACD【分析】利用对数的运算性质将函数解析式化简为/(x)=log4(2'+2r),利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；利用函数单调性的定义以及复合函数的单调性可判断C选项；利用函数/(x)的单调性求出函数/(力的值域，可判断D选项.11X【解析】因为f(x)=为g4(l+4jf)-5x=log4(l+4)log42jr=log4=Iog4g+2*),对于A选项，对任意的xcR,2'+27>0,则函数/(%)的定义域为R,/(-x)=log4(2-+2v)=/),所以，函数/(力为偶函数，A对B错；对于C选项，任取不、w0,÷o°)且玉>工2，JX1>X20,则2">2"21,x+>0,则2丑+与>1，所以(2'+2-)-(A÷2-)=(2一2口)«!2一2今言=(2'-IRIT)0,即2为+2->2Xi÷ZR>0，2演勺所以,/(x1)=log4(2v'+2'r')>log4(2+2-r9=/(力故函数/(x)在0,+8)上是增函数，C对；对于D选项，因为函数/(x)为R上的偶函数，且在0,+R)上为增函数，故函数/(x)在(Y,0上为减函数，所以，/(x)/(O)=Iog42=1,故函数/(x)的值域为；，+8)，D对.故选ACD.【跟踪训练】16. (2023上浙江杭州高一校联考期中)函数/(=睡2(2。唾2(4力的值域为()A.RB.-或,+00)C.T÷q0)D-等+8)计算得到答案.【答案】C【分析】/(x)=(1+log2x)(2+log2x),Iog2X=tt解析/(X)=Iog2(2x)log2(4x)=(l+log2x)(2+log2x),设log/=/,则y=(l+2)(2+f)=+3r+2=.+)一:-,故函数的值域为-；,内).故选C17. (2023上山东日照高三山东省日照实验而级中学校考阶段练习)已知函数/(x)=Igk2-2x)+2023E+2023”"则不等式/(3x)</(x+3)成立的X的取值范围是()a(44)B,信，0)U停mC.(-l,O)(,D,仔|)【答案】B【分析】先判断的对称性，然后利用导数讨论其单调性，结合对称性即可求解，注意最后的范围要考虑定义域.【解析】由/-2x>()得的定义域为(-,0)U(2,+oo),因为/0-X)=Ig(l-xf-2(l-x)+2023-9+202卢1)=lg(x2-l)+2023x+2023x,/(l+x)=Ig(l+x)2-2(l+x)+2O23o+xbl+2023H，+x)=lg(x2-1)+2023v+2023x,所以f(l-x)y(l+x),所以/(x)的图象关于x=l对称.记g(x)=(x+l)=lg(-l)+2023、2023-,当x>0时，由复合函数单调性易知歹=Ig(X2-1)单调递增,记MX)=2023v+2023,则(X)=(2023v-2023T)In2023,记w(x)=2023,-20237,则加(X)=(2023+2023T)In2023>0,所以m(工)在(0,+e)上单调递增，所以MX)>MO)=O,所以“(外>0,所以MX)在(0,+功上单调递增，所以g(x)在(0,+功上单调递增，综上，/U)在(1,”)上单调递增，图象关于x=l对称，由此可知，要使/(3x)<(x+3),必有3x-l<x+3-1,两边平方整理得82一10-3<0,解得一(<x<,2X3x(-oo,0)kJ(2,+oo)yx+3(-,0)kJ(2,+oo),得x<-3或,所以/(3x)<(x+3)的解集为(一+0)UC).故选B.4.118. (2023上新疆高三校联考期中)已知函数/卜)=log2*t.(1)求/(X)的定义域及值域；(2)若VXW(0,1)J(X)>3a,求。的取值范围.【分析】(1)令真数大于。解不等式即可得到/(力的定义域，将函数表达式变形结合不等式性质得到了(力的值域.(2)将不等式“«0,1),/(力>3'+。转换为VX(0,l)j(x)-3>>o,发现g(x)=(x)-3"在(U)单调递减，故只需g(l).【解析】(1)令芝巴>o,即3'-l>0,解得x>0故/(x)的定义域为(0,+e)3-1/W=iog21=iog2÷iry因为3'-l>0,所以/7>0,l+白>1,所以/(x)=logl+六>0,故/(x)的值域为(0,+力).31313-17(2)因为函数)，=3'-1在(0,+力)上单调递增，且3'-1>0,所以函数V=1+7t在(0,+e)上单调递减，因为y=log2%为增函数,所以/(x)在(0,+e)上单调递减.Vx(0,l)J(x)>3'+o,即Vx(0,l)J(X)-3、>。.令函数且()=/(切-3=1。&，+吉卜31因为函数y=-3'在(0,+勿)上单调递减，所以g(x)在(0,+e)上单调减.g(x)>g=唾2。+±)-3=-2,则qg(l)=-2.故。的取值范围是(-8,-2.【规律总结】求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.【针对性训练】1. （2023全国模拟预测）已知79<6°,设=bg76,=log87,c=0.9,则（）A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a【答案】A【分析】作商结合基本不等式可判断<b,由条件79<6°,可得72<6,取对数可判断得解.【解析】因为A器=>g76×og78（IOg76产8j=（普可<1,99-又因为b>0,所a<b.因为79<6°,即7正<6，所以C=m=Iog77°<bg76=.综上，c<a<b,故选：A.2. （2023上湖南长沙长郡中学校考）已知=log2,b=log45,c=bg32,则下列结论正确的是（）A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b【答案】B【分析】利用1作为中间量，判断氏C的大小，利用换底公式判断a、b的大小.【解析】因为°=噫2<1v6=k>g45<嗨6=|°&?.6=log¼6=c,Iog242即Ceb<a.故选B.3. （2023上江苏常州高一校联考期中）我们知道，任何一个正实数N可以表示成N=l（l<<10Z）,此时IgN="+lgQ（0lgo<l）.当>0时，N是+1位数.已知怆3才0.4771,则3的位数是（）A.46B.47C.48D.49【答案】C【分析】依题意可得lg3w°=1001g3=47.71即可判断.【解析】因为Ig3=0.4771,fiFfWlg3,0°=1001g3«100×0.4771=47.71,所以严是47+1=48位数.故选C4. （2023上重庆永川高三重庆市永川萱花中学校校考期中）荀子劝学中说：“不积蹉步，无以至千里;不积小流，无以成江海所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把（1+I%）365看作是每天的“进步”率都是1%,一军后是1.0137.7834;而把（1-1%严看作是每天“退步”率都1O365是1%,一年后是0.9产s三00255;这样，一年后的“进步值”是“退步值”的用而。1481倍.那么当“进步”的0.99泗值是“退步”的值的3倍，大约经过()天.(参考数据：Iglolk2.004,lg991.995,lg30.477)A.20B.30C.40D.50【答案】D【分析】根据已知列方程，然后取对数求解.【解析】设经过X天“进步”的值是“退步”的值的3倍，则Lll=3,两边取对数得X(IgLOl-Ig0.99)=Ig3,0.99x(lgl01-lg99)=lg3,x-JL5()t故选：d.2.004-1.9955. (2023上吉林长春高一长春市第二中学校考期中)设2“=5=加，且,+。=：,则泄=()ab2A.10B.10C.100D.1000【答案】C【分析】利用指数与对数运算法则可得八唾必底噫明再由换底公式即可得91唳/。=；计算1 l i 1 ,b = IogS m =, lg. 2& Iogm 51:2 ,可得w=100【解析】根据题意由2"=56=冽可得。=1。82机=所吟+1k2+k5=k(2x5)=k10即可得Q=I0,即加=IOo.故选:C6. (2023全国模拟预测)已知函数/(x)=Tnk-II,记4=/(噫兀)，b=f(n4),c=(-e),则()A. a<bcB. b<c<aC. b<a<cD. c<a<b【答案】D【分析】根据函数解析式可得函数图像关于直线=l对称，/(力在(1,+8)上单调递减，再根据对数函数的性质比较自变量大小，可得解.【解析】由题可知，/()的图象关于直线=l对称，且/()在。,+8)上单调递减，又Iog2<2,且Iog2>Iog222=1.5,即log?(1.5,2)；44/Lln4>lRln4=l+ln-<1+In=1+In1.6=1+ln56<1+lne=1即ln4(l,1.5),由函数的对称性知c=f(-e)=f(e+2),i<ln4<1.5<log2<2<e+2,故/(e+2)<(log2几)<(ln4),gJc<a<b,故选D.7. (2023上甘肃天水高三校联考)数学中符号众多，十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“V”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，现有实数。和6,满足6,则下列不等式成立的是()A.1B.tani?tanbbC.2a'h1D.ln(-Z?)0【答案】C【分析】根据函数单调性举出反例，可判断各选项.【解析】A选项，当b=T时，满足b,此时f=T<l,A选项错误；bB选项：当=与，6=：时，tana=-3»tanb=3,tan<tan/?,B选项错误；C选项：当“b时，。一方20,乂y=2'在R上单调递增，所以2"从2°=1,C选项正确；D选项：当a=l,6=/时，满足ab,此时a6=；,又函数y=lnx在(O,+r)上单调递增，所以ln(>)=ln=0,D选项错误；故选C.8. (2023上新疆克孜勒苏统考期中)函数/(x)=log2Q2*+l),若=(),>=-c=(斗则a,b,c的大小关系()A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.c>a>b【答案】D【分析】变换/(x)=log2(2'+£),确定函数为偶函数，根据复合函数单调性确定f(x)在(0,+8)上单调递增，得到大小关系.【解析】/(X)=Iog2(22x+l)-x=log2(22v+l)-log2r=Iog2(2、/),函数定义域为R,/(-x)=log2(2-v+2x)=(x),函数为偶函数，当x>0时，2，>1，且y=x+'在。,+8)上单调递增，Xy=Iog2X在(0,+<z>)上单调递增，故/(X)=log?(2'+£在(0,+)上单调递增，J>2>, e(2)>-故c>4 >b.故选D.9. （多选题）（2023下,山东滨州校考）对数函数V=IogwX（。>0且。工1）与二次函数y=（"T）f-X在同【分析】AB选项，从对数函数出发，推出>l,再判断二次函数，从开口方向和其中一根与1的比较，得到A可能，B不可能；CD选项，从对数函数出发，得到0<“<l,再判断二次函数，也是从开口方向和其中一根与1的比较，得到CD均不可能.【解析】选项A,B中，由对数函数图象得则二次函数中二次项系数其对应方程的两个根为0,一1,选项A中，由图象得7>1,从而l<<2,选项A可能；选项B中，由图象得一<0,与>l相矛盾，选项B不可能.选项C,D中，由对数函数的图象得0<<l,则-lv,二次函数图象开口向下，D不可能；选项C中，由图象与X轴的交点的位置得7>1,与0<<l相矛盾，选项C不可a-能.故选BCD.10. （2023上山东青岛高三统考期中）若>0,b>0flg+lgb=lg（+>）,贝J2M的最小值为.【答案】8【分析】由对数运算法则变形，然后利用基本不等式得最小值.【解析】由已知Igm6）=IgS+6）,:.ab=a+b,ab=a+b2庭，当且仅当=b=2时取等号，所以“b4,从而2h8,即2而的最小值是8.故答案为：8.11. （2023上北京海淀校考）设函数/（力的定义域为O,如果对任意芭D,都存在唯一的we。，使得/（xj+（w）=m（机为常数）成立，那么称函数/（力在。上具有性质也,.现有函数：/(x)=3x;/(x)=3/(x)=l0g3X;®/(j)=tanx.其中，在其定义域上具有性质匕的函数的是.(请填写序号)【答案】【分析】根据性质外的函数定义，列出方程可以解出关于玉表达式且情况唯一的选项是和，而和通过解方程发现不符合这个定义，从而可以判断正确答案.【解析】/(x)=3x的定义域为R,取任意JWR,则/&)+八巧)=3石+3%=利,解得马=W王，可以得到唯一的wR,所以函数/(x)=3x在R上具有性质K.；/(x)=3'的定义域为R,值域为(0,+e),且f(x)=3"在R上单调递增，若演=2,/(xi)=32=9,w=6,要使/(司)+/(工2)=机成立，则/(工2)=旭一/(玉)=6-9=-3<0,所以不存在满足条件的/，故错；/(x)=IogaX的定义域为(0,+8),值域为R,且/(x)=log3%在(0,+8)上单调递增,对于任意MW(O,+8)，显然必存在唯一的9(0，+8)使得/(芭)+/(、2)=加成立，所以函数/(%)=10g3%在(0,+8)上具有性质歹j;/(x)=tanx为周期函数，定义域为。=卜x+阮Az,值域为R,对任意xD,存在无穷多个eO使得/(x)+f(/)=?成立，故不满足条件，故错.故答案为.12. (2023上上海浦东新高三华师大二附中校考阶段练习)设