专项04勾股定理之图形折叠模型综合应用（4大类型）（解析版）.docx

专项04勾股定理之图形折叠模型综合应用（4大类型）（1）折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等.（2）利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算.彰【翼例台新】【类型一：折叠构造直角三角形】【典例1】（保定二模）如图，RtZABC中，A8=9,BC=6,NB=90°,将AABC折叠,使点A与3C的中点。重合，折痕为MM则线段BN的长为（）A.4B.3C.2D.5【解答】设8N=x,由折叠的性质可得ON=AN=9XY。是BC的中点，:BD=3在RtANBD中，x2+32=（9-x）2,解得=4.即8N=4,选A【变式1-11如图所示的三角形纸片中N3=90°,AC=I3,BC=5.现将纸片进行折叠,使得顶点。落在4C边上，折痕为AE.则3E的长为（）BFCA. 2.4B. 2.5C. 2.8D. 3【答案】A【解答】解：B=90°,AC=I3,BC=5,=ac2-bc2=1设BE=x,由折叠的性质可得：CO=Ae-AO=1312=1,DE=BE=x,NAOE=NB=90°,EC=BC-BE=5-X,在Rt。七。中，EC2=CD2+DE2,（5-y）2=l+x2,解得：X=2.4,.BE=2A.故选：A.【类型二：折叠构造三垂直图形】【典例2】（2020春西城区校级期中）如图，长方形ABCo中，AB=S,BC=IO,在边CD上取一点E,将£）£折叠后点。恰好落在BC边上的点尸处（1）求CE的长；（2）在（1）的条件下，8C边上是否存在一点P,使得¾+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由.I【解答】（1）长方形ABCD中，AB=S, BC=IO .N8=N8CO=90° , CD=AB=S, AD=BC=W 由折叠知，EF=DE, AF=AD=S在RtZXAB尸中，根据勾股定理得，BF= yAF2 - AB2 ： CF=BC-BF=4设 CE=筋则 E尸=DE=CO-CE=8-X在RlZXEC尸中，根据勾股定理得，CF2+CE2=EF2SFc备用图工bF p 'c 1 7 E'.16+f=(8-x)2,.x=3,CE=3(2)如图，延长EC至Et使CE=CE=3,连接AE交BC于尸此时，抬+PE最小，最小值为AEVCD=8,/.DE=CD+CE,=8+3=11在RtZLAOE中，根据勾股定理得，AEJ=AD2+DE'2=221【变式2】如图所示，折叠长方形一边AO,点。落在BC边的点尸处，已知BC=IO厘米,A8=8厘米.(1)求BF与尸。的长.(2)求EC的长.BpC【解答】解：(1);ZAOE折叠后的图形是44FE,：.AD=AF,NO=NAfEDE=EF.,AD=BC=Wcm,AF=AD=XQcm.又.A8=80w,在Rt尸中，根据勾股定理，得川甲+8尸2=a产82+fiF2=IO2,月D：.BF=Gcm,：.FC=BC-BF=10-6=4cn.(2)设EC的长为XCM,则DE=(8x)的.D1在Rt中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2,f42+x2=(8-x)2»BPI6+x2=64-I6x+x2,化简，得16x=48,*x=3,故EC的长为3cm.【类型三：折叠构造全等三角形】【典例3】（思明区校级期中）如图，四边形QABC是矩形，点A的坐标为（8,0）,点C的坐标为（0,4）,把矩形QABC沿OB折叠，点C落在点。处，则点。的纵坐标为（）A.-2B.-2.4C.-22D.-23【解答】Y点A的坐标为（8,0）,点C的坐标为（0,4）,JQA=8,OC=4由折叠得：NCBO=NDBo,OD=OC=4,BD=BC,/ODB=ZOCB：.BC/OA,OC=AB=A,ZOCB=ZBAO=90o，BC=OA=S：,/CBo=/BOA,ZODE=90o，BD=OA,ZDBO=ZBOA1.BE=OE,DE=AE即 OE= 5, DE=AE=3在RtAABE中，根据勾股定理得：42+x2=（8-x）2,解得:过。作DFA-OA于F11QvA12：Soed=寺O。DE=为£DF,：,DF=学=苗=2.4点。的纵坐标为-2.4,选B【变式3-1（红河州期宋）如图所示，有一块直角三角形纸片，NC=90°,AC=8cm,BC=Gcm,将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AO,则BD的长为.【解答】在RtaABC中，AB=C2+BC2=10根据折叠的性质可知：AE=AB=10,DE=BDVAC=8,：.CE=AE-AC=2在RtZCQE中，DE2=CD2+CE2,.,.BD2=(BC-BD)2+CE2,AfiD2=(6-BD)2+4则 88' =2BH=【变式3-2(成华区期末)如图，在长方形ABCo中，A8=4,BC=6,点E为BC的中点，将aABE沿4E所在直线折叠，使点8落在矩形内点B'处，连接CB',则C&的长为.【解答】连接交AE于.BC=6,点E为5C的中点,：.BE=3又.AB=4,AE=>AB2+BE2=42+32=5,：.BH=-y,V,E=BE=ECZfi,C=90o,根据勾股定理得，CB,=FC2-BB,2=y62+()2=【变式3-3(2020张家港市期末)如图，在边长为6的正方形48Co中，七是边Co的中点，将AAOE沿AE对折至4A尸E,延长所交边BC于点G,连接AG(1)求证：(2)求NE4G的度数(3)求BG的长【解答】(1)证明；在正方形ABc。中，AD=AB=BC=CD,ND=NB=NBa)=90°I将aAOE沿AE对折至ZXA尸E：.AD=AF,DE=EF,ND=NA尸E=90°,AB=AF,NB=NA尸G=90°又YAG=AG在RtZABG和Rt尸G中，g=ig,4G4FG(HL)3B=AF(2)VABGAFG,ZBAG=ZMG,ZMG=ZBAF由折叠的性质可得：NEAF=NNDAE,：.ZEAF=ZDAFI11ZEAG=ZEAF+ZFAG=(ZDAF+ZBAF)=ZDAB=×90o=45o11(3)；E是8的中点,：DE=CE=以D=×6设BG=斯则CG=6-,GE=EF+FG=x+3VGE2=CG2+CE2,：.(x+3)2=(6-x)2+32,解得x=2AfiG=2【类型三：折叠构造等腰三角】【典例4】(2020碑林区校级月考)如图，把长方形纸片ABCO沿E广折叠，使点8落在边AO上的点夕处，点A落在点A'处(1)试说明：B,E=BF(2)若AE=3,A8=4,求的长【解答】(1)Y折叠，下E=EFB,BF=BF'：AD/BC：NBEF=NBFE,/.ZB,EF=NBFE:B'E=B'F,BF=BE(2)折叠，.,.AE=A'E=3,A8=A8=4,NA=NA'=90°，根据勾股定理可得B'E=5YFE=BF,.BF=5【变式4-1(2019潮南区一模)如图，把长方形纸片A8C。沿E尸折叠后，使得点。落在点”的位置上，点C恰好落在边A。上的点G处，连接EG.(I)ZXGE尸是等腰三角形吗？请说明理由；(2)若CD=4,GD=8,求”产的长度.【解答】(1) 长方形纸片48CoADBC4f.D：,ZGFE=NFECYNFEC=/GEF：,ZGFE=ZGEF,GE尸是等腰三角形(2) VZC=Z7=90o,HF=DF,GD=8设尸长为x,则G尸长为(8-)在Rt尸GH中，+42=(8-)2解得X=3”尸的长为3【限朦制秣】1 .如图，在矩形ABCD中，AB=10,8C=6.点E是边BC上一点，沿AE翻折点B恰好落在Co边上点尸处，则CE的长是（）A.AB.&C.独D.3333【答案】B【解答】解：四边形A8CD为矩形，AB=10,BC=6,：.CD=AB=0,AD=BC=6,ND=90°,AEmAABE,：,AF=AB=10,EF=BE,在RtZXAO/中，由勾股定理可得：df=AF2-AD2=102-62=8CF=CD-DF=IO-8=2,设CE=X,则EF=BE=6-f在Rt(?£产中，CF?+C烂=E卢,即22+/=(6-x)2,解得：X=色,3,CE的长为冬3故选：B.2.如图，在矩形ABCO中，点七在边Co上，将矩形ABC。沿AE所在直线折叠，点。恰好落在边8。上的点尸处.若A8=8,OE=5,则A。的长为()A.9B.10C.11D.12【答案】B【解答】解：:四边形ABCO为矩形，AB=SfZB=ZC=ZD=90o,AD=BC,CD=AB=StVDE=5,：CE=CD-DE=3,;矩形ABCD沿AE所在直线折叠，ZAFE=ZD=90o,AF=AD,EF=DE=5,在RiZkCM中，CF=JEF22,即CF=52-32=4,设BF=X,则AF=AD=BC=BF+CF=x+4,RtBF,A+HF2=AF2,即82+x2=(x+4)2,解得：x=6,AF=v+4=10,故选：B.3.如图，已知矩形4BCf沿着直线8。折叠，使点C落在U处，BC交AO于E,AD=8, 48=4,则OE的长为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解答】解：R(ZOC'8由RIZXOBC翻折而成，；CD=CO=AB=8,ZC=ZCx=90°,设OE=斯则AE=8-%,VZA=ZC,=90o,NAEB=NDEc,ZABE=ZCDE,在RtZA8E与Rt(7'DE中，rZA=ZCy=90°<AB=CyD，ZABE=ZCyDERtABERtCrDECASA),*BE=DE=X,在RtZA8E中，AB2+Ei=BE2,42+(8-x)2=2,解得：X=5,JOE的长为5.故选：C.4 .如图，矩形纸片ABCo中，AB=5,BC=10,现把矩形纸片ABCO沿对角线8。折叠，点。与C重合，求A尸的长.【解答】解：四边形A8CO是矩形，：.AB=CD=S,BC=AD=IO,ZA=ZABC=ZC=ZCDA=90o,由折叠得：CD=CD=5,BC=BC=Wf/CBD=NCBD,；/CBD=NADB,JZADB=ZCBDf：,FB=FD,设AF=x,贝J:FD=FB=IO-X,在RtZXABb中，由勾股定理得：AB2+AF2=BF2f即：52+2=(IO-X)2,解得：J,X4""=耳45 .如图，在三角形纸片ABC中，NACB=90°,BC=3tAB=6.在Ae上取一点E,以BE为折痕,使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点。重合，则CE的长度为()【答案】CB. 6C. 3D 23【解答】解：根据题意，RIZXABC中，NACB=90°,BC=3,AB=G;可得NBAC=30°,故/ABC=60°；则以BE为折痕，使AB的一部分与8C重合，故Rtz8CE中，ZCBE=ZABE=30o,则CE=3Xlan3(=3故选：C.6 .如图，ZXABC中，NC=90°,AC=6,BC=8,将点C折叠到AB边的点七处，折痕为AD,则CD的长为（）A.3B.5C.4D.35【答案】A【解答】解：在直角aABC中：=AC2+BC2=1°,根据折叠可得AC=AE=6,CD=DE,BE=Io-6=4,设Co=DE=X,MBD=S-X,在直角48。E中：（8-x）2=x2+42,解得：x=3.故选：A.7.课外活动课上，小明用矩形ABCO玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形ABCo沿反对折，折出折痕EF,并展开：第二步，将纸片折叠，使点A落在所上A，点，若A8=2,则折痕BG的长等于（）笫一步第二步A.Mi.B.-1-C.23D.4333【答案】B【解答】解：Y四边形A8C。为矩形，AB=I,.NBAG=90°,由折叠性质可得：Z,EB=90o,A,B=AB=2,ABG=ZA,BG,由题意可得：点E为AB中点，AE=BE=在Rt"8E中，A,8=28EZBA,E=30°,ZA,8E=60°,ZABG=Z,BG=30°,BG=对Nab=鼠333故选：B.8.如图，在矩形ABCo中，AB=5,AD=8,点E是边4。上的一个动点，把48AE沿BE折叠，点A落在4处，如果H恰在矩形的某条对称轴上，则AE的长为（）A.反过够B.反应碎C.反反或§D.殳区碇33333232【答案】D【解答】解：如图，过A'作尸。A。交AB于点尸，交CD于点Q,YPQ所在直线为矩形ABCD的对称轴，：.PQLAB,PA=PB,AD/PQ/BC,A'B=2PB,ZM,8=30°,ZAzBC=30°,：.ZEBA1=NA8E=30°,JAE=®,33如图，过A'作MN。交AO于点M,交BC于点、N,TMN所在直线为矩形ABCO的对称轴，"M=8N=Lq=4,MN=AB=5,2A8E沿BE折叠得到BE,：.A'E=AE,Af=A=5,'A，v=AyB2-BN2=52-42=3*A,M=MN-A'N=5-3=2,设AE=x,则：A'E=x,EM=AM-AE=4-x,在RtEM中,A,M2+EM2=A,E2,即：22+(4-X)2=jt2,解得：x=22."E=22综上，AE的长为互近或互，32故选：D.9.如图所示，把矩形纸条ABCO沿EF,G”同时折叠，B,C两点恰好落在A。边的P点处,若N尸P”的度数恰好为90°,PF=4,PH=3,则矩形ABeD的边BC的长为()A.10B.11C.12D.15【答案】C【解答】解：Y矩形纸条A8CO沿EHG”同时折叠，B,C两点恰好落在A。边的P点处,尸=尸尸=4,CH=PH=3,VZFPH=90o,F=pf2+ph2=542+32=5,；.BC=BF+FH+CH=4+5+3=12,故选：C.10.把一张矩形纸片ABCO按如图所示的方式进行折叠，使点B恰好与点。重合，折痕为EF,其中A8=3,BC=33则AOEF的面积是()【答案】C【解答】解：设。E=x,VAB=3,C=33.,A'E=AE=33-x»A'Q=48=3,.,.A,D2+A,E2=DE2,即：32+(3V3-x)2=2,解得：x=23>DE=23f5def=-1×D£XCD=AX23×3=33,故选：C.11 .如图，在R中，NBAC=90°,AB=Z近,AC=6,点E在线段AC上，。是线段8C上的一点，连接OE将四边形48。E沿直线Z)E翻折，得到四边形尸CDE当点G恰好落在线段AC上时，CG=2,则AE=【答案】1【解答】解：设AE为X,VCG=2,AC=6,：.EG=AC-AE-CG=4-x,Y四边形ABOE沿直线DE翻折，得到四边形Fa）区N6AC=90°,AB=2五,二NEFG=NBAC=90°,FG=AB=2®,EF=AE=Xf在RtAEPG中，EF2+FG2=EG2f即X2+（2V2）2=（4-X）2,解得：X=LE=1,故答案为：L12 .如图，在矩形ABeo中，点M为矩形AO的中点，连接CM,沿着CM折叠，点。的对应点。，N为BC上一点，且BNVCM沿MN折叠，恰好AM与。M重合，此时点A的对应点为点若48=6,8N=3.5,则A'到CM的距离为.【答案】9.6.【解答】解：如图，过点A'作”E±CAf,连接A'M,四边形ABCo为矩形，AB=6,BN=35,.CO=6,NA=NB=ND=90°，CDM沿CM折叠得到M,四边形ABNM沿MN折叠得到四边形。'A'NM,A'N=BN=35,A,D'=A8=6,CD'=CO=6,/NA'D'=NB=90°,ZAzD'M=NA=90°,ZCD'M=ND=90°,A'C=A,D'+CD,=12,:6=心1+A，C2=".AD=BC=BN+CN=16, 点M为矩形A。的中点，.OM=8,:。M=8,CM=JCD2+D.2=10,VScm=-×A,C×D,M=×CM×A,Et22.A'C×D,M_12X8_g 八rL,"'V.V9CM10 点A'到CM的距离为9.6,故答案为：9.6.13.如图，在直角三角形纸片ABC中，NACB=90°,ZB=30o,AC=3,点。是边AB上的点，将ACBO沿Co折叠得到ACPZ),CP与直线AB交于点E,当出现以。P为边的直角三角形时，BO的长可能是.P【答案】3或9或9一3F22【解答】解：由折叠性质可得：NP=/8=30°，DP=BD,ZPCD=/BCD,NA=90。-30o=60o,AB=2AC=6,fiC=3AC=33>如图，当CPJ_A8时，PDE为直角三角形， ZPDE= 90° - 30° =60° ， NACE=90°：.ZDCP= ZDCB=3Qo ,，N ACz)=NA=60° ,ZXACO为等边三角形，,AO=AC=3,.BD=AB-AD=3i如图，当C£>_LA8时，-ZA = 30o ,P(E) CPO为直角三角形，.8D=8CcosN8=8Ccos300 =X当Z)P_LAB时,PDE为直角三角形，ZAEC=ZPED=90oNP=60°,JAACE为等边三角形，E=AC=3,在RtZXPDE中，VZP=30°,：,dp=Mde,：.BD=DP=MDE,AB=AE+DE+BDf6=3+DE÷3ZDE=3«-32综上，8。=3或9或9-3我.22故答案为：3或旦或9-3«.2214.如图，三角形纸片48C中，ZACB=90q,AC=8,BC=6,折叠aABC使点A与点8重合，OE为折痕，求。E的长.【解答】解：YAOEB是由aOEA翻折,：.AE=EB,AD=DB,设AE=EB=x,VAC=8,BC=6,JEC=8-t在RTAEBC中,EB2=EC2+BC2,2=(8-)2+62,.L254VZC=90°,.A8=4ac2+bc2=10,AD=DB=5t在RTZXAEO中，.ED=JAE2-Ap2,15.已知矩形QABC的边长QA=4,AB=3,E是。4的中点，分别以所在的直线为X轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，直线/经过C、E两点.(1)求直线/的函数表达式；(2)如图，将矩形OABC中，将aCOE沿直线/折叠后得到ACFE,点尸在矩形。48C内部，延长b交AB于G点.证明：GF=GA;(3)由上面的条件，求四边形AGFE的面积？;矩形OA8C的边长0A=4,AB=3,E是OA的中点,：.OC=AB=3,OE=2,：.E(2,0),C(O,3)./f=2k+b,I3=b解得，2，b=3：直线/的解析式y=-r+3(2)证明：如图2,连接EG.四边形QABC是矩形，,NCOA=NOA8=90°.又根据折叠是性质得到NCOE=NCFE=90°,OE=EF,JNE尸G=NEAG=90°.又E是OA的中点，.OE=EF,EF=EAIEG=EG,RtEFGRlEAGCHL）,：.GF=GAx（3）解：由（2）知，GF=GA,根据折叠的性质知OC=Cr=3.tJBG=AB-AG=3-AG,CG=CF+GF=3+GA,AE=2,在直角中，由勾股定理得：CG2=BC2+BG2,即（3+AG）2=（3-AG）2+42,解得，AG=-.3Y由（1）知，RtEFGRtEG,.*.Sriefg=Srieag，S四边形4G在=2SRt£46=2乂！4£46=2乂!乂2'刍=&,即四边形47尸£：的面积是反.22333I免费增值服务介绍，V学科网(https:WWW3网校通合作校还提供学科网高端社群出品的老师请开讲私享直播课等增值服务。V组卷网(https:ZUjU)是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题，提供智能组卷、拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能扫码关注学科网每日领取免费资源回复"ppt"免费领180套PPT模板回复"天天领券"来抢免费下载券