专项07勾股定理之风吹荷花模型综合应用（2大类型）（解析版）.docx

专项07勾股定理之风吹荷花模型综合应用(2大类型)“印度荷花问题”湖静浪平六月天，荷花半尺出水面；忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃。湖面之上不复见，入秋渔翁始发现；残花离根二尺遥，试问水深尽若干？一印度数学家拜斯迦罗(公元11141185年)【模型】读诗求解“出水3尺一红莲，风吹花朵齐水面，水面移动有6尺，求水深几何请你算工【思路】利用勾股定理建立方程，求出水深为4.5尺.【解析】设水深AP=X尺，PB=PC=(x÷3)尺，根据勾股定理得：PA2+AC2=PC2,2+42=(x+3)2.解得X=4.5.答：水深4.5尺.【典例合折】【典例1如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是()A. 10 尺B. 11 尺C. 12 尺【答案】D【解答】解：设水深为X尺，则芦苇长为(X÷l)尺，根据勾股定理得：/+ (l) 2= (x+l) 2, 2解得：X= 12,D. D尺芦苇的长度=x+l = 12+l = 13 (尺)，故选：D.【变式1-1】小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花(如图)拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1切，则荷花处水深OA为()【答案】DC. 3nD. y3m【解答】解：在RlAABO中，NeMB=90°,NA8O=60°,AB=im,则OA=J故选：D.【变式1-2印度数学家什迦逻(1141-1225)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上一尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原地五尺远，能算诸君请解题，湖水深浅知几何？”（）A.12RB.6尺C.5尺D.5.5尺【答案】A【解答】解：设湖水深X尺，根据图形结合分析可得：W+52=（+1）2,解得：X=12（尺），故选：A.【典例2】如图，一架梯子AB长10米，底端离墙的距离BC为6米，当梯子下滑到OE时,【解答】解：在RiZXABC中，根据勾股定理，可得：AC=ab2.bc2=1q2-62=8（米），DC=AC-AD=8-2=6（米），在Rt£>CE中，CE=de2.dc2=1q2.62=8（米），,.BE=CE-BC=S-6=2（米）,故答案为：2.【变式2-1（2020春镇原县期末）如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根。的距离为3帆，梯子的底端A向外移动到A',使梯子的底端A'到墙根O的距离等于4?，同时梯子的顶端B下降至5',求BB'的长（梯子AB的长为5相）.【答案】BB,的长为加【解答】解：由题意可得出：AO=3m,A,O=4m,AB=A'B'=5m,二在RlZXAOB中，BO2=Jab2_0a2=4(WI),在RlZXA'OB,中，B'O2=Ja/2-OAz2=3(”?)，:BB'的长为：4-3=1(/«).答：BB'的长为m.【变式2-2如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度OE=Lm将它往前推送4加(水平距离8C=4W时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=2m,秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AO的长度.【解答】解：在RtZXACB中，ac2+bc2=ab2,设秋千的绳索长为m?,则AC=(X-I)m,故x2=4?+(X-I)2,解得：X=8.5,答：绳索AO的长度是8.5?.影【眼除利称】1.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9c?，内壁高12c%若这支铅笔长为180，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是()D. ScmA.3cmB.5cmC.6cm【答案】D【解答】解：根据题意可得图形：AB=2cm,BC=9cm,在RtZXABC中：AC=ab2+bc2=i22+92=15(cm)，所以18-15=3(cm)，18-12=6(cm).则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3cm6cm之间.观察选项，只有选项。符合题意.故选：D.2 .我国古代数学著作九章算术中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(ji)生其中，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何？"(丈、尺是长度单位，1丈10尺)其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇48,它高出水面1尺(即BC=I尺).如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B恰好到达池边的水面。处.问水的深度是多少？则水深OE为尺.【答案】12【解答】解：设水深为尺，则芦苇长为(/2+1)尺,根据勾股定理，得(h+l)2-12=(0÷2)2,解得力=12,，水深为12尺,故答案是：12.3 .池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺处长着一朵红莲，一阵风吹来把荷花吹倒在一边,红莲倒在水面位置距荷花生长处水平距离为2尺,则池塘深尺.【答案】175【解答】解：若设池塘深X尺.则荷花的长是(X+0.5)尺.根据勾股定理，得：(x+0.5)2=x2+22,解之得：x=3.75故答案为：3.75.4 .有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面的部分为1尺，如果把该芦苇的顶端沿水池边垂直的方向拉到岸边，发现芦苇顶端恰与水面齐平，则芦苇的长度是尺.【答案】13【解答】解：设水深为X尺，则芦苇长为(x+l)尺，根据勾股定理得：/+(改)2=(+1)2,2解得：X=12,芦苇的长度=x+l=12+l=13(尺).故答案为：13.5 .如图，淇淇在离水面高度为5加的岸边。处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m.(1)开始时，船距岸A的距离是/«：(2)若淇淇收绳后，船到达。处，则船向岸A移动山.C【答案】12；(12-39).【解答】解：(1)在RtZA8C中，NCAB=90°,BC=13m,AC=5m,AB=132-52=12(M，故答案为：12；(2) V淇淇收绳5后，船到达。处，CD=8(m),-ad=>CD2-KC2=82-52=39(W,，BD=AB-AD=(12-39)M故答案为：(12-前).6 .“引葭赴岸”是九章算术中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面8。为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的8(如图).问水深和芦苇长各多少？(画出几何图形并解答)【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长A8=AB'=X尺，则水深AC=Q-D尺,因为8E=10尺，所以8C=5尺在RtAASC中，52+(x-l)2=x2f解之得X=13,即芦苇长13尺，水深12尺.7 .学校的一棵大树被风吹断了，如图，距地面6m处折断，折断的树梢顶部落在距树干底部Sm处，求此树原高是多少米？（图1）有两棵大树，一棵高8m,另一棵高2?，BC=6,一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢,至少飞多少米？（图2）一架长IOm的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面即小现将梯子顶端沿墙面下滑2小，则梯子底端与墙面距离是否也增长2?？请说明理由（图3）【解答】（1）在直角三角形A8C中，AO2=AB2+BC2,所以AC=2+g2=10/w；工此树原高=10+6=16m.（2）两点之间，直线最短，所以最短距离为直接从。点飞到A点，所以最短距离为:AD=yj（8-2）2+62=（3）在直角三角形A8C中，AB=Sm,AC=IOm,则BC=y（）2_g2=6m,现将梯子顶端下移至。点，则8。=6?，DE=IOzn,所以在直角三角形8。E中，BE=yjIO2-（8-2）2=8加,Sm-6m=2tnf因此梯子底端与墙面的距离增加了2，.8 .细心观察图形，解答问题:(1)OA2=，0A3=，OA=，OAn=；(2)ZOA8A9的周长=:(3)若一个三角形的面积是22.计算说明它是第几个三角形？【解答】解：=弧百篇=GT于吊=后，o3=0A22+A2A32=V(2)2+l2=3,=0A32+A3A42=(3)2+l2=4=2,OAw=70An_12+AIT_1An2=：V()2+l2=11故答案为：5,M，2,4；(2)OA8A9的周长=O48+OA9+AsA9=我+1=2J+4,故答案为：22÷4;(3)设它是第个三角形，则1xRx1=25,2.,.=42n=32,答：它是第32个三角形.I免费增值服务介绍，V学科网(https:WWW3网校通合作校还提供学科网高端社群出品的老师请开讲私享直播课等增值服务。V组卷网(https:ZUjU)是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题，提供智能组卷、拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能扫码关注学科网每日领取免费资源回复"ppt"免费领180套PPT模板回复"天天领券"来抢免费下载券