专题03与直线有关的最值直线系方程问题（解析版）.docx

专题03与直线有关的最值、直线系方程问题，常考题型目录题型1类比两点之间距离问题2题型2距离之和型的最值问题5 类型1点共线型5 类型2换元型8题型3距离之差型的最值问题11题型4截距之和型的最值问题14题型5点到直线距离型问题15题型6周长型的最值问题17题型7面积型的最值问题19题型8距离乘积型的最值问题21题型9距离的平方和型的最值问题26 类型1距离平方和问题26 类型2与函数结合型29 类型3与导数结合型29题型10平行线间距离型的最值问题31题型11导数与平行线间的距离结合型33题型12直线系方程问题36 类型1平行直线系方程问题36 类型2垂直直线系方程问题37 类型3相交直线系方程问题37Q知识梳理知识点一.三种距离公式类型条件距离公式两点间的距离点Pl(Xlfy),P2(x2,加之间的距离IBPW二yX2-Xi2+y2-y2点到直线的距离点Po(XO到直线/：Ax+By+C=O的距离Axo+Byo+C两平行直线间的距离两条平行线Ax+y+Cl=0与4x+By+C=O间的品巨离C1-C2d-lA2+B2知识点二.两个充要条件(两条直线平行或重合的充要条件直线I1：Alx+Biy+Ci=O与直线I2:A2x+B2y+C2=O平行或重合的充要条件是A1B2-A2B1=0.两条直线垂直的充要条件直线h：4x+By+C1=O与直线I2:A2x+2y+C2=0垂直的充要条件是出小+BiB2=0.知识点三.三种直线系方程(与直线Ax+By+C=O平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR且mC).0与直线Ax+y+C=O垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=O(n>.过直线l,Alx+Biy+G=()与2.A2x+B2y+C2=O的交点的直线系方程为A1x+Biy+Ci+(A2x+B2y+。2，=0仅口划，但不包括/2.CR题型分类题型1类比两点之间距离问题【例题/函数f(x)=x2+2x+5+%2-6x+10的最小值是()A.5B.4C.1+25D.17+2【答案】A【分析】本题将f(x)转化为点Pao)到两定点4(T2),8(3,1)的距离和，然后利用将军饮马模型，得到距离最值即可.【详解】f(×y)=>x2+2x+5+W-6x+10=7(x+I)2+(02)2+(x3)2+(0-I)2/则其几何意义为点P(KO)到两定点4(-1,2),8(3,1)的距离和，点(0)表示为横坐标上的点，作出如图所示：根据将军饮马模型，作出点A关于X轴对称点/(T-2),连接/B,交X轴于点P,则/(x)min=M川=7(3+I)2÷(1÷2)2=5,此时直线A8的直线方程为y-1=j(x-3)令y=O,则X=，故当=g时，f(%)min=5故选：4【变式1-111.著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：J(X-)2+(y-b)2可以转化为平面上点May)与点N(,可的距离.结合上述观点，可得f(%)=x2+10x+26+42+6%+13的最小值为()A.55.29C.13D.2+13【答案】C【分析】记点P(X,O)、4(一5,1)、(-3,-2),可得出f(x)=PA+PB,数形结合可求得八幻的最小值.【详解】因为f(%)=+5)2+1+(x+3)2+4=(%+5)2+(0-1)2+(+3)2+(O÷2)2f记点P(x,O)、4(一5,1)、8(3,-2),则f(x)=IP川+PBAB=(-5+3)2÷(1+2)2=13,当且仅当点P为线段4B与X轴的交点时，等号成立，即/(%)的最小值为g故选：C.【变式2.函数f(x)=(x-l)2+9+Ja-5)2+4的最小值为【答案】4l【分析】根据两点距离公式的几何意义可得f(%)表示P®0)到点4(L3),B(5,2)距离之和，作点4(1,3)关于X轴的对称点4,根据对称的性质结合不等式分析可得IP川+PB=PA1+PBA1B,运算求解【详解】/(x)=(x-l)2÷9+(x-5)2÷4=(x-l)2+(0-3)2+(x-5)2+(0-2)2f根据两点距离公式的几何意乂得，函数f(x)表小P(X,0)到点A(1,3),8(5,2)距离之和,如图所示，作出点4关于X轴的对称点41(1,-3),连接28,交汇轴于点21,连接。4。8/4/142/1力1,可得IPAl+PB=PA1÷PB,P1A+IPlBl=P1A1+PlBt又由P4J+PBP1A1+IPIBl=AlB=(1-5)2+(-3-2)2=41,当且仅当点P与匕重合时，等号成立,所以IPAl+PB=PA1÷PF41,即函数f(%)的最小值为"I故答案为：41【变式皿】3.代数式J2+3-2)2+J(X-I)2+(*3)2的最小值为()A.23B.10C.22D.6【答案】B【分析】由两点之间距离公式分析出J2+-2)2+J(%l)2+O3)2表示P(无到4(0,2)、8(1,3)的距离之和，求出做0,2)关于y=x对称点为力'(2,0),连接交y二厅点P,此时P4+PB最小.由两点之间距离公式可以得到Jx2+(2)2表示点Pa,X)到A(0,2)的距离，2+(x3)2表示点Pax)到3(1,3)的距离，所以代数式J+(-2)2+J(%-i)2+3)2表示PA+P8,由图像可知产(%)在y=X在运动，所以易得4(0,2)关于y=x对称点为力(2,0),连接4B交y=x于点P,此时PA+P8最小，最小值为-l)2+(0-3)2=W.故选：B.题型2距离之和型的最值问题类型1点共线型【例题2-1】已知平面内点一定点4-3,1)点MN分别是X轴和直线2x+y-5=0上的两个动点lAM+MN的最小值为.【答案】岑%5【分析】利用对称性,作点4(31)关于X轴的对称点a'(3,i),am+mn=m+mm,利用数形结合求MMI+1MNl的的最小值.【详解】作出点4(31)关于X轴的对称点力'(31),则MMl+1MNl=M'M+MN,I最小值即为/(3")到直线2x+y-5=0的距离d=曙=等,所以HMI+1MM的最小值为等.故答案为：争.【变式2-11.已知点4(3,-1),8(5,-2),且点P在直线x+y=O上,若使IP川+P8取得最小值,则点P的坐标为()A(M-£)B得，-引C(-22)O(2,-2)【答案】A【分析】首先求出A(3,-1)关于直线X+y=0的对称点C(l,-3),再求出直线BC,与直线X+y=0求交点即可.【详解】因为4(3,-1)代入直线+y=0得到3-1>0,B(5,-2)代入直综+y=0得到5-2>0,所以4B在直线X÷y=0的同侧.设4(3,-1)关于直线X÷y=0的对称点为C(m,n),(n+l_"尸=，解得MA,即C(I，-3)所以岫C=言=；,lBC-.y+2=i(x-5),BPx-4y-13=0.+2-所以广第¥。=。=二|，即P(MY)M【变式2-12.在平面直角坐标系内A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-/)的距离之和最小的点的坐标是【答案】(2,4)【详解】取四边形48CQ对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值.可证明如下：假设在四边形相C。中任取一点乙在/尸。中，有4P+PC>4C,在BPD中，有PB+PD>BD,而如果产在线段4C上，那么4P+PC=C;同理，如果P在线段8。上，那么8P+PQ=8D如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P就只能是力。与8。的交点.易求得/Y24).【变式2-1】3.在平面直角坐标系中，点力，8分别是X轴、y轴上的两个动点，有一定点M(3,4),则IM川+IABl+田M的最小值是().A.9B.10C.11D.12【答案】B【分析】依题意，作图，分两类讨论：当A与8重合于坐标原点。时；当月与B不重合时，从而可求得答案.【详解】依题意，作图如下：设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(-3,4),关于无轴的对称点为Q(3,-4)则M8=PB,MA=MQ|,当A与8重合于坐标原点。时lMA+MBI+IBMl=IPol+0Q=IPQl=3-(-3)2÷(-4-4)2=10；当4与B不重合时,如图,MA+AB+BM=PB+AB+AQ>PQ=10；当4与B重合于坐标原点O时，IMAI+AB+8M取得最小值IO.故选：B.【变式2-114.已知点PQ分别在直线&X+y+2=0与直线%：x+y-l=0±,且PQ1。点4(-3,-3),8©1)，则MPl+由Ql÷IQBI的最小值为.4.零8.13+C.13D.32【答案】B【分析】设力'(-1一5，则四边形"'QP为平行四边形，故而4P+IPQl+IQBl就是Mbl+苧+1QBI的最小值I又4Ql+苧+Q8的最小值就是4B+乎.kAA=1,故4/1",所以AA'IlPQ,又MA=挈,所以|44=PQ,故四边形/L4QP为平行四边形，4P+IPQl+IQBl=WQI+苧+IQM,因为M'q+QBAB=13,当且仅当K,Q,B三点共线时等号成立，AP+PQ+IQM的最小值为11+苧，选8【点睛】本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点(在直线上)与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.【变式2-1】5.已知点P,Q分别在直线A：x+y+2=0与直线：x+y-l=0±,且PQJuI,点A(33),8(2,1),则MPI+PQ+Q8的最小值为.答案3舟E【分析】考察直线上的动点到直线两侧两定点距离之和的最小值，由IPQl为定值，求4P+PQ+QB的最小值，要先求4P+Q8的最小值,转化求Q+QB的最小值，利用“三角形两边之和大于第三边”这一几何结论可得.,三Fwr【详解】如图：J由平行线间的距离公式得IPQI=等=苧,过点4作垂直于的直线，并lz+lz2截取44 =PQ ,设点力(x0ly0)+ -3 yo32v32一此因3-2 3-2- -= =22X X3 - 2 G 点DD苧=14du贝则四边形力力QP是平行四边形，则有4P+QB=Mq+Q848,当4,Q,B三点共线时等号成立，4P+PQ+QB苧+孚J4P+PQ+Q8的最小值为吟电.类型2换元型【例题2-2】过定点M(l,2)作两条相互垂直的直线小I2,设原点到直线k%的距离分别为山、d2,则d+d2的最大值是.【答案】lo【分析】根据数形结合，结合三角函数知识即可求得出+超的最大值.*-5-IOIOFx【详解】如图所示：J作OPM交匕于点P,作。Qll2交G于点Q,可得四边形。PMQ为矩形z.+=OM2=l2+22=5,故可设d=5cosad2=sine,.d+d2=V5cose+5sine=TUsin(6+0),其中ta110=l,，当sin(e+9)取最大值1时,d1+d2=lsin(0+)取最大值I故答案为：To【变式2-2/.已知mR,若过定点4的动直线-my+n-2=0和过定点8的动直线，2y4=-m(%+2)交于点P(P与48不重合力则IP川+PB的最大值为()A.56B.55C.52D.5【答案】C【分析】首先确定定点力和定点B的坐标再判定两条直线是垂直关系从而得到IP川2+pbF为定值利用三角函数求解最值即可.【详解】根据题意动直线Axmy+m-2=0过定点4(2,1).动直线y4=m+2)过定点8(2,4),48=>7T?=5,直线"六见+加2=0和直线/2了-4=沏(+2)=小%+丫+2叱4=0满足.?1'1+(-1)乂巾=0.，“I%方直线/与直线，2交于点P,PA1PB,PA2-PB2=AB2=25,NAB为直角三角形,且IABl=5,设"48=e,e(,9MP4=5cosaP8=5sing,.IP川+P8=5cos8+5sine=5sin(e+y,.8(,m,.e+te,9.当6+：=狎时,P川+P8的最大值为5故选.C【变式2-2】2.已知一条动直线3(n+l)x+(m-l)y-6m2=0,直线/过动直线的定点P,且直线/与X轴、y轴的正半轴分别交于4,B两点,。为坐标原点.0是否存在直线/满足下列条件：AOB的周长为12UQAOB的面积为6.若存在,求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.当IPAl+,P8取得最小值时，求直线/的方程.【答案】(I)±l3x+4y-12=0(2)3x+3y-10=0【分析】(/)将直线方程化为(3%÷y-6)m+3x-y-2=0,再根据定点满足条件列式，再设直线I的截距式方程2+?=l(>0,b>0),代入定点P1再分别表示AOB的周长和面积，求解参数,b即可；(2)由(/)直线/的倾斜角。g,),再根据三角函数表达出IPAl+PF=2×筮震,令£=COSa-sin=2cos(+J,再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可.(/)3(m+l)x+(ml)y6m2=0,即(3x+y6)n+3x-y2=0,3-y-2=O，解得；,故动直线过定点P(Q)设直线/的方程为鸿=13>0,b>0),将PC，2)代入得(+：=1.由H)Ao力)fQAOB的周长为12面积为6得 + b + ya2 + b2 = 12Iab = 6令+b=f,则/+b2=t2-24,所以t+-Jt2-24=12,即t12=Jt224,化简得24t-168,解得t=7,所以有映解得或其中鼻：不满足，：；满足所以诙直线/的方程为鸿=1，即32=。满足条件.(2)由(/)可知直线/过定点P(*2),直线/与X轴、y轴的正半轴分别交于力，B两点,所以直线/的 令t = cos - Sina = 8s(q + ?)，因为(Q),所以Q + ;(7»T),所以CoS ( + 9 e倾斜角0w(Q)，所以RMI=高，四=一短，所以网+沙BI=高一N短=高一2=2'-y),所以t=2cos(+：)-2,-l).则IPAl+JIPBl=2×=0-2,-l),2t因为y=7-t在-,-1)上为减函数，所以y=-四,-1)上为增函数,rt故当t=-2,即=,PA+lIPBI取得最小值-4Z此时直线I的方程为y -2 = tan×,即 3x + 3y /0 = 0.【变式2-2】3.已知直线/:kx-y+2+3k=。经过定点P.证明：无论k取何值，直线/始终过第二象限；0若直线/交X轴负半轴于点4,交y轴正半轴于点8,当发尸川+gP8取最小值时，求直线/的方程.【答案】0证明见解析X-y+5=0.【分析】将依一y+2+3k=0变形为k(%+3)+2-y=0,解方程组仁二黑，即可证明结论；(2)设直线/的倾斜角为。,可表示出IP川=WIPBl=W,即得;PA+iIPBI的表达式，利用换元法,SIfIacose*/o结合三角函数性质，求出当;IP川+1P8取最小值时参数的值，即可求得答案.(/)证明：由匕-y+2+3k=0可得：/c(x+3)+2-y=0,可得,所以I经过定点P(-3,2)；即直线/过定点(-3,2),且定点在第二象限，所以无论A取何值，直线/始终经过第二象限.(2)设直线/的倾斜角为,则O<V.可得IP川=高，出用=亮,所以1P+1PB=4-+二=Sma+cos”令亡_Sina+cosa=Vsin(+；),因为O<<p可得;<a+<亨,当Vsin(+?)1,BPt=sin(+J(1,2,将t=sin+COSa两边平方可得：t2=(sin+cosa)2=1÷2sinCOSaf所以SinaCoSa=l所以Tll+IPBl=三=W=*=2,因为y="拉(1，上单调递增，所以O<t旧务4O¾>IIIC4U<zCXC.I.A(一v2t故V,所以JN2企，当且仅当亡=或时取等号，此时t=2sin(+；)=I,可得=:,所以k=tana=tan；=1，所以直线的方程为N-y+5=O题型3距离之差型的最值问题【例题3】在直线l3x-y-l=O上求点2和Q,使得点P到点"4和4(0,9的距离之差最大；点0到点力4和CG力的距离之和最小.【答案】(/)P(2t5)；(2)(,).【分析】0设点B关于/的对称点8的坐标为elb)l求得8的坐标,进一步可得直线的方程，联立直线方程即可求得点尸的坐标.0设点C关于/的对称点为CI求得C的坐标,进一步可得直线4C的方程，联立直线方程即可求得点Q的坐标.K【详解】加图所示，设点4关于/的对称点4的坐标为M勿，z则如夕/=-1,即3x?=-l,口"3人/2=0.匚线段88的中点坐标为岁殍)，且中点在直线/上，口3-1-0t即3ch60.解得ci3lb=3B,(3,3).于是直线48的方程为言=言，即2x+y-9=0.解二;二;鼠喊二0如图所示，设点C关于I的对称点为C ,求出C的坐标为号,T)即I与直线的交点坐标为P(2,5),且此时点P到点A.B的距离之差最大.匚力。所在直线的方程为19x+17y93=0l解得直线力C和/交点坐标为弓卷)，故。点坐标为(?,m)，且此时点P到点A,C的距离之和最小.【点睛】本题主要考查直线方程的应用，最值问题的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.【变式3-/】/.已知平面上两点4(4,1)和8(0,4),在直线，:3%yl=0上求一点使IIM川-IMBlI最大值；使M4+MB最小.【答案】4)S；(2)5.【分析】(/)由题设求出B关于直线/的对称点C(m,n),再根据IlM力HM8=IM川-IMClIAC,即可求最大值；(2)利用两点间线段长度最短，即可求最小值.(/)若C(m,九)为B关于直线，的对称点，则BC中点(会等)在直线，上，(3x?学.1=0OnT所以J±i-1，得器;，贝依3,3)，由IMBl=IMCI，则MHMB=M川MCMC,Im3要使IlMAHM8|最大，只需ACM共线"M川-IMBIlmaX=IACl=后(2)如上图，要使MA+M8最小，只需A,8,M共线，所以(IM川+M8)rnm=4B=5【变式32.在直线Z:3x-y-l=。上求一点尸，使得：到4(4,1)和8(0,4)的距离之差最大；(2)P到4(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.【答案】0P(2,5)0Pg,争【分析】(7)作点B关于直线，:3x-y-l=0的对称点8',连接品.则直线相和直线/的交点即为P,求得B坐标，进而求得直线48'方程，联立直线，:3x-y-l=0,求得答案；(2X乍点。关于直线，:3x-y-l=0的对称点C',连接4C,则直线1C'和直线/的交点即为尸，求得c'坐标，进而求得直线力。'方程，联立直线I：3x-y-l=0f求得答案；(/)画出期士3x-y-l=0和点A(4,l)和B(0,4),如图：48在，:3x-y-l=0两侧，作B关于直线上3x-y-l=0的对称点U,连接力质则直线ZlB'和直线/的交点即为P1设。为/上异于P的一点则IDBl=DBfPB=|PB'|,故|。川-|。用|=DA-DBAB=PA-Ba.b),则3×PB'=IlPALlP8|,故IlPAl-IP8|最大，即此时尸到4(4,1)和B(0,4)的距离之差最大f，解得=3,b=3,故直线48,方程为2%+y-9=0,联立。工;二；，解得，即P(2,5);(2)如图：4C在±3x-y-l = 0同侧,作C关于直线，:3x-y-l = 0的对称点C',连接",则直线和直线/的交点即为P1设E为I上异于P的一点，则IEel=EC,PC=PC,故IECl+EA=IECI+ECAC=AP+PC=AP+PC,故IPAl+IPCl最小，即此时尸至(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.，设c'(m,n),则3×m+3n+4 Y C1 = 022解得m=,n=v，故直线AC'方程为19x+17y-93=0,联立_DILX"X/VOU117267X y即即P(Mm)；【变式3-113.已知两点4(-3,3),B(5,l),直线，:y=Xl在直线，上求一点P,使IlP川-P8最大.【答案】P(9,9)【分析】先取作点A关于，对称点片,根据对称的性质结合不等式分析可得IlPAl-PB=P,A-IPBUA,B,运算求解.【详解】如图2：-3,3),8(5,1)位于直线上y=X的异侧作点做一3,3)关于1对称点/,则4(3,-3),连接延长交吁P,口|PAI-IPBIl=IlPR-IP叫A'B,即IlPAI-IP8|最大值为|A'B|,联立产了二;二°,得三，即P(9,9)直线4力的斜率=r=2，直线的方程:y+3=2(x-3)r即2x-y-9=0题型4截距之和型的最值问题【例题4】直线2x+/Aa=O(>0)与八y轴的交点分别是人B两点，则直线在%、y轴上的截距之和的最小值是.【答案】2【分析】求出直线在两坐标轴上的截距，利用基本不等式可求得两截距之和的最小值.【详解】在直线AB的方程中，令y=0,可得Am；令%=0,可得,即点Ag。)、B(0*),因此，直线2x+2y=o(>o)在乂y轴上的截距之和为"2悟=,当且仅当=时，等号成立.故直线在%、y轴上的截距之和的最小值是故答案为：2.【变式4-1】/.若直线以+如=而(心0">0)过点(/,/),则该直线在X轴力轴上的截距之和的最小值为【解析】直线ax+byab(a>0,b>()过点(1,1),.'.a+b=ab,即'+:=1,a+b=(a+b)(：+g)=2+g+；2+2聆=4,当且仅当a=b=2时上式等号成立.直线在X轴小轴上的截距之和的最小值为4.【变式4-112.过点P(,4)做直线与两坐标轴正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线的方程.【解析】设所求直线/的方程为+21(a>0,h>O)丁直线/经过点PU,4),.*+H1，a+b=(a+b)(1+;?=5+-+5+2蟀=9当且仅当2即=3"=6时+方有最小值为9,此时所求直线abababab方程为2x+y-6=0o题型5点到直线距离型问题【例题5已知直线/的方程为(2-m)x+(2m+l)y+3n+4=0,其中mR求出当?变化时，点Q(3,4)到直线/的距离的最大值为.【答案】213【分析】先将直线方程化为直线的共点直线系方程的形式，即可确定出直线/恒过两直线2%+y+4=0,-x÷2y+3=0的交点，直线夕一点到动直线的距离的最大值即为0到交点的距离.【详解】将直线的方程化解为：2x+y+4+m(-x+2y+3)=0r则由共点直线系方程性质可知，直线恒过2x+y+4=0,-工+2y+3=0的交点，设交点为尸解得?,2),则点到直线的距离的最大值即为IPQl的大小"PQI=(3+1)2+(4+2)2=213.故答案为：213【点睛】本题考查了共点直线系方程的性质及点到动直线距离的最值问题，属于基本题型，解题中要能将直线方程的一般式变形为共点直线系方程的形式，根据共点直线系方程的性质判断出点到直线距离的最大值.【变式5-71.在平面直角坐标系中，从点P(2,4)向直线y-4M(六4)=0(k为参数)作垂线，垂足为M,O为坐标原点，则线段IMol的最小值是()A.3B.4C.5D.6【答案】B【分析】根据直线y4k(44)=0过定点N(4,4),得到点M是在以PN为直径的圆上，再把所求问题转化圆上的点到原点距离的最小值即可.【详解】直线y-4(x-4)=0过定点N(4,4),.PM1MN,可知点M是在以PN为直径的圆C:(x3)2+(y4)2=l上，又IoCl=J(3-0)2+(4-0)2=5,可得：IMolmin=5-1=4,故选：8.【变式51】2.已知实数X,P满足直线/的方程x+2y+3=0,则次铲为期的最小值为.【答案】5【分析】将问题转化求点(0,1)到直线/：x+2y+3=0上点的距离最小值,即可得结果.【详解】由题意，JN+g)2表示点(or到直线I:+2y+3=0上点的距离，所以其最小值为d=暇1=隗.故答案为：55【变式5-73.若点(m,)在直线，:3x+4y13=0上,则痛!再出的最小值为()A.3B.4C.2D.6【答案】C【分析】将(m-l)2+"转化为两点距离,即可求解.【详解】解：J(m-1)2+112表示点(IQ)与点(m,n)的距离,且点(1,0)在直线外则J(ml)2+112的最小值为点(LO)到直线3%+4y13=0的距离l即器f=2,故J(m-1)2+112的最小值为2.故选：C.题型6周长型的最值问题【例题6】点B在娉由上运动，点C在直线+2=O上运动，若4(1,2),则ABC的周长的最小值为【答案】5【分析】设片关于X轴的对称点关于，：x-y+2=O的对称点。,利用对称将ABC的周长的最小值转化为求OM的长度，求得M,。的坐标，由两点间距离公式即可求得答案.【详解】设/关于轴的对称点私4关于，:-、+2=O的对称点。,.MB=BA,AC=CD4Be的周长=AB+IBCl+AC=MB+BC+CDMD,取等号时即M,8,C,0共线时,448C的周长的值最小，即OM的长度即为三角形周长的最小值，然一学+2=0由题意M(l,-2),设点Da,y),J2_，解得X=0fy=3t所以O(0,3),Ix-1-由两点距离公式知IMol=T+25=任.故答案为：26.【变式6-JLmR,动直线，1：%+ny-l=O过定点A,动直线，2：mx-y-2m+>3=O过定点8,若直线/1与%相交于点P(异于点4B),贝必PAB周长的最大值为【答案】2+22【详解】由条件得直线。过定点4(1,0),直线过定点8(2,5),且4BI=Jl2+(3)2=2.又直线ALI2,所以PA2+pb2=2=4,11PA÷PB2爬手星=22,当且仅当IP川=IPBI时等号成立，P川+IPBl+AB2+22,即4P48周长的最大值为2+22.答案:2+272【变式6-/】2已知点4(3,1),在直线产X和y=O上分别找一点M和N,使二4N的周长最短，最短周长为(X1÷1_X+3_JT二h解得即5(1,3),同样可得点力关于V=O的对称点c(3,-/),如图所示，则MM+4V+MN=8M+C+MN8q,当且仅当8,N,C共线时，AiN的周长最短，即IBel=J(1-3/+11+1/=25【变式6-1】3.点M(3,5),在直线x2y+2=0和j，轴上各找一点。和。使MPQ周长最小【解析】由点M(3,5),直线/.*2y+2=0,可求得点M关于/的对称点也(5,/),同样求得点M关于P轴的对称点-3,5)l连接MM2,如图，易证得/lM2的长度就是4MPQ周长的最小值根据Mi.M2两点的坐标，可得直线历M2的方程为x+2y-7=0,令x=0,得直线M/%与户轴的交点Q(Of,解方程组仁-2y+2=1得交点唱I所以PM，Q(0，三)即为所求。【变式6-/】4.在直角坐标系Xoy中，点/,8分别在射线y=2x(%0)和射线上y=1(x0)运动，且M。B的面积为/,则力，8两点横坐标之积为,力OB周长的最小值为.【答案】9#0.822÷22+22【分析】设力(,2)(>0),86,加0>0),根据面积为I可得帅W,根据基本不等式可求周长的最小值【详解】因为2x(-J=-I,故直线y=2x与直线y=小垂直.设4(,2)(>0),(b>0),故S-08=TXl。川xOB=gxx'b=；Qb=I,故b=(4。B的周长为L=5+?+J2+22yfab+JJ三azbz=22+2,当且仅当a=和。=?力=平时等号成立，故L的最小值为2+2.故答案为：1,22÷2.题型7面积型的最值问题【例题7】在平面直角坐标系XoWo为坐标原点中不过原点的两直线匕:-my+2m-1=Otl2m×+y-m-2=O的交点为尸，过点O分别向直线匕，引垂线，垂足分别为M,N,则四边形OWPN面积的最大值为()35/3BqC.5D,-【答案】D【解析】由小h的方程可得它们都过定点(L2),hl。，然后可得四边形OMPN为矩形，且IOPl=5,然后可求出答案.【详解】将直线，的方程变形得X-1+m(2-y)=O,由仁二L,得忧则直线L过定点(1,2),同理可知直线%过定点(1,2)匚所以直线L和直线，2的交点尸的坐标为(1,2)易知直线LlI2,如图所示，易知，四边形OMPN为矩形,且IoPl=l2+22=5,设|。Ml=at0N=b,则/+房=5,四边形OM尸N的面积为S=0M0N=ab亨=1,当且仅当'；2!5，即当°=b=窕，等号成立，因此，四边形OM尸N面积的最大值为I,故选：D【变式7-1】/.已知直线±m%-y-4m+l=0与两坐标轴正半轴分别交于力，8两点，O为坐标原点，则MOB面积的最小值为【答案】8【分析】先由题意及直线的几何意义可推得mv,再分别令x=O与y=O求得在两坐标轴的截距，由此利用三角形面积与基本关系式即可求得A408面积的最小值.【详解】因为直线，：mxy4m+l=0与两坐标轴正半轴分别交于4,B两点,(ryfm<0所以由mx-y-4m+l=0化为y=mx-4m+l,得,即由工，故7n<°，令%=°,则V=-4m+l；令尸0,-m十jl>u则=4-工，所以maob=(-4m+l)(4-=(-16m-+4×2J(16n)(-3)+4=8,当且仅当-16m=,即m=1时，等号成立，所以5-o88,即0。8面积的最小值为8.故答案为：8.【变式7-112.过定点A的直线(+l)x-y+2=O与过定点8的直线X+(+l)y-4q-2=O交于点P(P与4、8不重合)，则4P4B面积的最大值为()A.2B.22C.2D.4【答案】C【分析】根据方程可得定点4Bl并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.【详解】动直线(+l)x-y+2=。化为y=(+l)x+2,可知定点4(0,2),动直线X+(+l)y-4-2=O化为(Q+l)(y-4)+x+2=0f可知定点B(-2,4),又(+1)×1-1×(+1)=O所以直线(+l)x-y+2=O与直线X+(+l)y-4a-2=。垂直,P为交点，PA1PB,PA2+PB2=AB2=(0+2)2+(2-4)2=8.贝抬"48=PAPB”等=2,当且仅当PA=PB=2时，等号成立.即PAB面积的最大值为2.故选：C【变式7-13.如图，已知直线ItUl2,点力是，之间的定点，点力到/"?之间的距离分别为3和2,点3是/2上的一动点,作力C8t且4C与/交于点。，则口8C的面积的最小值为.【答案】6【分析】以/为坐标原点，平行于。的直线为X轴，建立直角坐标系,写出B,C的坐标,求出/B/C的长，代入三角形面积公式，利用均值不等式求最值即可.【详解】以4为坐标原点，平行于L的直线为X轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a,-2),C(b,3).JACCAB,ab-6=0lah=6lb=(Rt/6C的面积S=/a2+4"2+9=,2+4.阜+9=IJ72+902+72÷72=6.【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式，三角形的面积，均值不等式，属于中档题.题型8距离乘积型的最值问题【例题8】(多选)设用是不等于零的实数，过定点M的动直线x+my=O和过定点N的动直姗%ym+3=0交于点P(%y),下列结论正确的是()A,定点N的坐标是(1,3)B.MV=1OC.PMPN的最大值是5。.PNPM的最大值5【答案】ABC【分析】由题可得M(O,O),N(L3)可判断AB.进而可得PM2+PM2=MN2=10,然后根据基本不等式可判断CD.【详解】由直线x+my=O可得定点M(0,0),由直线mx-y-m+3=0,即r1131)=y3,可得恒过点N(1,3),故彳正确；所以IMNl=T5,故8正确；又lxmmxl=0,可得两条直线互相垂直，所以其交点P(%y)落在以MN为直径的圆周上，所以pm+pn2=